人教版高中数学选修2-2学案：1.7.2定积分在物理中的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用教材分析本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题；2．学会将实际问题化归为定积分的问题．过程与方法目标能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观培养将数学知识应用于生活的意识．重点难点重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题．教学过程引入新课提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？活动设计：以提问的形式让学生回答．设计意图让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．探究新知提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析．活动结果：由速度—时间曲线可知：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是s ＝∫1003t d t ＋∫401030d t ＋∫6040(－1.5t ＋90)d t ＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040＝1 350(m)． 答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.设计意图通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法．提出问题2：此问题还可以如何解决？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302＝1 350(m)． 设计意图使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题．理解新知提出问题1：一物体在恒力F (单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s (单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F ·s .那么，如果物体在变力F (x )的作用下作直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么如何计算变力F (x )所做的功W 呢？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题，可以得到W ＝∫b a F (x )d x .设计意图让学生通过类比求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的方法，探究得出求变力作功也可用定积分解决．提出问题2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．活动设计：学生独立思考，找一个学生板书．活动成果：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F (x )与弹簧拉伸(或压缩)的长度x 成正比，即F (x )＝kx ，其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到W ＝∫l 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)． 答：克服弹力所作的功为12kl 2 J. 设计意图通过上面变力作功的积分表示，将其应用于实际问题，加深学生的理解．运用新知例 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝∫b a v (t )d t .解：(1)设从A 到C 所用的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．答：A 、C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．答：B 、D 间的距离为240 m.(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，则从C 到D 的时间为6 72024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)． 答：电车从A 站到B 站所需时间为320 s.巩固练习物体A 以速度v ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v ＝10t (米/秒)在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？分析：依题意，物体A 、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．解：A 从开始到t 秒所走的路程为s A ＝∫t 0(3t 2＋1)d t ＝t 3＋t .B 从开始到t 秒所走的路程为s B ＝∫t 010t d t ＝5t 2，由题意：s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，解得t ＝5(秒)．此时：s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离分别是130米和125米．变练演编1．一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．2．弹性物体所受的压力与缩短的距离之间的关系依照胡克定理F ＝kx (k 是常数)计算，现有弹簧一个，原长有1 m ，每压缩1 cm 时需力5 N ，求自80 cm 压缩至60 cm 时需作功多少？【答案】1. 解：因土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度s 成正比，设其比例系数为k ，则由题意知∫10ks d s ＝∫x 1ks d s ，解得x ＝2，故第二次打入的深度为(2－1) m.点评：本题关键是抓住两次作功相等，搞清积分上限和积分下限．2．解：由题意知比例系数k ＝50.01＝500，弹簧被压缩20 cm 到被压缩40 cm ，需作功W ＝∫0.40.2500x d x ＝30(J)．点评：此题属于常规题型，应注意单位统一用国际单位制．达标检测1．一物体沿直线以v ＝2t ＋3的速度运动，求物体在t ∈[3,5]内行进的路程为__________．2．物体作变速直线运动的速度为v (t )，当t ＝0时，物体所在的位置为s 0，则在t 1秒末时它所在的位置为( )A ．∫v(t)t 10d tB ．s 0＋∫v(t)t10d tC ．∫v(t)t 10d t －s 0D ．s 0－∫v(t)t 10d t3．汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度大小2 m/s 2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车走了约( )A ．19.75 mB ．20.76 mC ．22.80 mD ．24.76 m4．一物体在力F (x )＝3x ＋4(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4处，求力F (x )所作的功为__________．【答案】1.22 2.B 3.A 4.40 J 课堂小结1．知识收获：用定积分求变速直线运动的路程和变力作功问题．2．方法收获：数形结合方法．3．思维收获：数形结合、化归的思想．布置作业课本习题1.7A 组第5,6题．补充练习基础练习1．某质点作直线运动，其速度v (t )＝3t 2－2t ＋3，则它在2秒内所走的路程是_________．2．如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需作功( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J3．物体作变速直线运动的速度为v (t )＝1－t 2，则它前两秒走过的路程为__________． 拓展练习4．由截面积为 4 cm 2的水管往外流水，打开水管t 秒末的流速为v (t )＝6t －t 2(cm/s)(0≤t ≤6)．试求：t ＝0到t ＝6秒这段时间内流出的水量．5．物体按规律x ＝4t 2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x ＝0到x ＝2阻力所作的功．【答案】1.10 2.A 3.2 4.144 cm 3 5.－25焦 设计说明通过物理学中变速直线运动的路程问题、弹簧作功问题，既可以加强学生对之前所学知识的进一步应用，又能让学生掌握如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决，突破本节课的难点，让他们体验到数学在现实生活中的灵活运用．通过相应的练习，让学生学会运用所学知识解决实际问题，将数学知识运用到生活中来．。

1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 学习重点：定积分的几何意义.学习难点：曲线所围平面图形的面积求法.学习过程：知识链接：1.定积分的几何意义2.曲线所围平面图形的面积求法例题讲解：例1：半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需做多少功?例2：在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．例3：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在t ＝12s 到t ＝6 s 之间的运动路程．课堂检测：1．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603m B.803 m C.403 m D.203m 2．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是( )A.13(2311－1)(m)B.13(2310－1)(m) C.13(3211－1)(m) D.13(3210－1)(m) 3．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为( )A.23(m) B.13(m) C.14(m) D.12(m) 4．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 25．将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为________．学习小结：通过本节课的学习，能够熟练利用定积分求变速直线运动的路程及所做的功.——★ 参 考 答 案 ★——：例题讲解：例1：解：建立如图所示的坐标系：将高为r 的球缺取出水面，所需的力F x ()为：F x G F ()=-浮 其中：G r g =⋅⋅4313π是球的重力，F 浮表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力.由球缺公式 )3(2x r x V -⋅=π 有 g x r x r F ⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅=1)3(3423ππ浮 从而)]2,0[()3()(2r x g x r x x F ∈-⋅=π 十分明显，F x ()表示取出水面的球缺的重力.即：仅有重力做功，而浮力并未做功，且这是一个变力.从水中将球取出所作的功等于变力F x ()从0改变至2r 时所做的功.取x 为积分变量，则x r ∈[,]02，对于[,]02r 上的任一小区间[,]x x dx +，变力F x ()从0到x dx +这段距离内所做的功.g x r x dx x F dW )3()(2-⋅==π 这就是功元素，并且功为g r x x r g dx x r gx W rr 4204320234123)3(⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰=ππππ另解 建立如图所示的坐标系取x 为积分变量， 则 x r ∈[,]02，在 [,]02r 上任取一个小区间[,]x x dx +， 则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为π(())r r x dx 222--由于球的比重为1， 故此薄片质量约为dm r r x dx =--⋅π[()]221将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为x .故功元素为dWdm g x g r r x xdx =⋅⋅=--π[()]22 ()22202230344[()]d 2d 2210344.3rrW g r r x x xg rx x xr g rx x r g ππππ=--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰ 例2：解：力F 对物体所做的功为W ＝F ·s ，由物理学知识易得压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即PV ＝k ，又因为V ＝x ·s (x 指活塞与底的距离)，所以p ＝k V ＝k xS. 所以作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝k x ·s ·s ＝k x.所以气体压力所做的功为W ＝∫b a k x d x ＝k ln x |b a ＝k ln b a. 例3：解：由题意，得v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以该物体在t ＝12s 到t ＝6 s 之间的运动路程为 s ＝()612d v t t ⎰＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ＝t 2112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 课堂检测：1．[解析]由v ＝40－10t 2＝0得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝20(⎰40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3|20＝80－803＝1603(m)． [答案]A2．[解析]s ＝∫1001＋t d t ＝23(1＋32t |100＝13(3211－1)(m)． [答案]C3．[解析]由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝∫21v (t )d t ＝∫21(t 2－2t ＋1)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－t 2＋t |21＝13(m)． [答案]B4．[解析]令7－3t ＋251＋t＝0，解得t ＝－83(舍去)或t ＝4. 则∫40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）40＝4＋25ln 5. [答案]C5．[解析]设力F (x )＝kx ，由题意：8＝k ·0.02，所以k ＝400，所以F (x )＝400 x . 所以W ＝0.10400d x x ⎰＝200x 20.10＝2(J)．[答案]2J。

1.7.2 定积分在物理中的应用教课建议1.教材剖析,指引学生解决变力所做的功等一些简单的物本小节主假如经过举例复习变速直线运动的行程理问题 .要点是应用定积分解决变速直线运动的行程和变力做功等问题,使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值 .难点是将物理问题化归为定积分的问题.2.主要问题及教课建议(1)变速直线运动的行程问题.建议教师用发问的方式让学生思虑、议论 ,使学生进一步从“数形联合”的角度理解定积分的观点并解决问题 .(2)变力做功的问题 .,自己推导出变力做功的公式,进一步体验用建议教师指引学生类比求变速直线运动行程的过程定积分解决问题的思想方法 .备选习题1.已知物体从水平川面做竖直上抛运动的速度—时间曲线如图 ,求物体 :(1)距离水平川面的最大值 ;(2)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的位移 ;(3)从 t= 0(s)到 t= 6(s)的行程 .解:(1) 设速度—时间函数式为v(t)=v 0+at ,将点 (0 ,40),(6,-20)的坐标分别代入,得 v0= 40,a=- 10,因此 v(t)= 40-10t.令 v(t) =0? 40-10t= 0? t= 4,物体从 0 s 运动到距离水平川面的最大值为2(2)由上述可知 ,物体在 0~6 s 内的位移为s= (40-10t)dt= (40t-5t2)= 60(m) .(3)由上述可知,物体在 0~6 s 内的行程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40 t-5t 2)-(40t- 5t2)=80+ 20= 100(m) .2.如下图,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B,C 运动到 D,此中 AB= 5 m,BC= 4 m,CD= 3 m,变力 F= 在 AB 段运动时动方向同样 ,求物体由F 与运动方向成30°角 ,在A 运动到 D 所做的功 .BC 段运动时 F 与运动方向成45°角 ,在CD段F与运解: 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 1=F cos 30 .°在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F 2=F cos 45 .°由变力做功公式得W= cos 30 dx+° cos 45 dx+° 20dx= (x+ 20 )dx+ (x+20)dx+ 20dx=+ 20x=×108+ 20×3= (N ·m).。

1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：1．了解一般的变速直线运动的路程和位移的关系及求法2．理解变力做功问题是实质并会求解变力做的功3．借助于定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题学习过程：情境一：求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)(t v v = (0)(≥t v ) 在时间区间[a,b]上的定积分，即⎰=ba dt t v s )(。

试回答下面的问题： 问题1：当0)(≥t v 时，路程和位移是否相同？能否直接用定积分来求？ 问题2：当0)(<t v 时路程和位移是否仍然一致？此时，用定积分⎰b a dt t v )(表示的是路程吗？如果不是，那它表示的是什么？问题3：如果定积分⎰ba dt t v )(表示的不是路程，应该怎么求路程？ 问题4：如果在区间[a,b]上，速度有正有负，比如，当],[c a t ∈ 时，0)(≥t v ；当],[bc t ∈时，0)(<t v 。

又应该怎么求路程？情境二：通过以上的探索，你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的？（小组讨论，最后形成结论后，由小组代表阐述本组最终观点，跟其它各组比较，体会相互沟通、交流的乐趣和必要性）问题1：用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么？（分清物体的运动状态，明确运动状态改变的“节点”）总结：求变速直线运动的路程s 和位移1s 的方法：（1）若)(0)(b t a t v ≤≤≥，则⎰==ba dt t v s s )(1； （2）若)(0)(b t a t v ≤≤≤，则⎰-=b a dt t v s )(；⎰=ba dt t v s )(1。

（3）若在区间],[c a 上0)(≥t v ，在区间],[bc 上0)(<t v ，则⎰⎰-=b c c a dt t v dt t v s )()(，⎰=ba dt t v s )(1对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限，若是分段函数，则需要先分别求出各段上的路程，然后再求和。

1.7.2 定积分在物理中的应用明目标、知重点1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．变速直线运动做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间a，b]上的定积分，即ʃb a v(t)d t.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.探究点一变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21tt⎰v(t)d t求解；(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21tt⎰v(t)d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21tt⎰v(t)d t.例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．解由速度－时间曲线可知：v(t)＝⎩⎨⎧3t，0≤t≤10，30， 10≤t≤40，－1.5t＋90， 40≤t≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋(－34t 2＋90t )|6040 ＝1 350 (m)．答 汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻t ＝4时，该点的位置； (2)在时刻t ＝4时，该点运动的路程．解 (1)由ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝(t 33－2t 2＋3t )|40 ＝43知， 在时刻t ＝4时，该质点离出发点43m.(2)由v (t )＝t 2－4t ＋3>0， 得t ∈(0,1)∪(3,4)．这说明t ∈(1,3)时质点运动方向与t ∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．故s ＝ʃ40|t 2－4t ＋3|d t＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋ʃ31(4t －t 2－3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4.即在时刻t ＝4时，该质点运动的路程为4 m. 探究点二 变力做功问题思考 恒力F 沿与F 相同的方向移动了s ，力F 做的功为W ＝Fs ，那么变力做功问题怎样解决呢？答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F (x )作用下运动，沿与F 相同的方向从x ＝a 到x ＝b (a <b )，可以利用定积分得到W ＝ʃb a F (x )d x .例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎨⎧14x ＋5 (0≤x ≤90)20 (90<x ≤120)(单位：N)，在AB 段运动时F与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所做的功．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°. 由变力做功公式得：W ＝ʃ500⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |500＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x |9050＋600 ＝1 12543＋4502＋600≈1 723 (J). 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. 反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．跟踪训练2 设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解 设x 表示弹簧伸长的厘米，F (x )表示加在弹簧上的力， 设F (x )＝kx ，依题意得x ＝5时F (x )＝100， ∴k ＝20， ∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 即x ＝0到x ＝15所做的功W ＝ʃ15020x d x ＝10x 2|150＝2 250(N ·cm)＝22.5(J)．答 使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为22.5 J.1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.52g B.72g C.32g D ．2g答案 C解析 h ＝ʃ21gt d t ＝12gt 2|21＝32g . 2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A ．405 B ．540 C ．810 D ．945答案 A解析 停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0， 得t ＝30， ∴s ＝ʃ30v (t )d t ＝ʃ300(27－0.9t )d t＝(27t －0.45t 2)|300＝405.3．一个弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm ，求弹簧克服弹力所做的功．解 设F (x )＝kx ，因为弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力， ∴k ＝4.∴弹簧克服弹力所做的功为W ＝4ʃ50x d x ＝4×(12x 2)|50＝50(N ·cm)＝0.5(J)．呈重点、现规律]1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F (x )单位：N ，x 单位：m.一、基础过关1．一物体沿直线以v ＝2t ＋1 (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s 间行进的路程为( ) A ．1 m B ．2 m C ．3 m D ．4 m答案 D解析 s ＝ʃ21(2t ＋1)d t ＝(t 2＋t )|21＝4(m)．2．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( ) A ．120 m B ．437.5 m C ．360 m D ．480 m答案 B解析 从A 处到B 处所用时间为25 s. 所以|AB |＝ʃ251.4t d t ＝0.7t 2|250＝437.5 (m)．3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 mB.803 mC.403 m D.203m 答案 A解析 v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s.∴h ＝ʃ20(40－10t 2)d t ＝(40t －103t 3)|20 ＝1603(m)． 4．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( ) A ．0.5 J B ．1 J C ．50 J D ．100 J答案 A解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝ʃ100F (x )d x ＝ʃ100x d x ＝12x 2|100＝50 (N ·cm)＝0.5 (J)．5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J答案 B解析 W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ2010d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝10x |20＋(32x 2＋4x )|42＝46(J)． 6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1答案 B解析 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|1＝(1＋e)－1＝e. 二、能力提升7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．答案 0.36 J解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.120＝0.36 (J)． 8．汽车以每小时32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－1.8 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位) 答案 21.95 m解析 t ＝0时，v 0＝32 km/h ＝32×1 0003 600m/s ＝809 m/s.刹车后减速行驶，v (t )＝v 0＋at＝809－1.8 t ．停止时，v (t )＝0，则809－1.8 t ＝0，得t ＝40081s ， 所以汽车所走的路程s ＝40080⎰v (t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫809t －12t 2×1.8|40080≈21.95(m)．9．把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所作的功为________． 答案 k q a －k q b解析 W ＝ʃb a k qr 2d r ＝－k q r|ba＝k q a －k q b.10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，则克服弹簧力所做的功为________．答案 12kl 2J解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F (x )＝kx ，其中k 为比例系数．由变力做功公式得W ＝ʃl 0kx d x ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)．11．一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，其中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．解 物体的速度v ＝x ′(t )＝(bt 3)′＝3bt 2，媒质的阻力F 阻＝kv 2＝k ·(3bt 2)2＝9kb 2t 4(其中k 为比例常数，k >0)．当x ＝0时，t ＝0； 当x ＝a 时，t ＝(a b )13.所以阻力所做的功为W 阻＝ʃa 0F 阻d x ＝13()0a b ⎰kv 2·v d t＝13()0ab ⎰9kb 2t 4·3bt 2d t ＝13()0a b ⎰27kb 3t 6d t＝277kb 3t 7|13()0a b ＝277k 23b ·73a . 故物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功为277k 23b ·73a .12．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离各是多少？解 依题意知物体A ，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解． 设a 秒后物体A 比B 多运动5米，则A 从开始到a 秒末所走的路程为s A ＝ʃa 0v A d t ＝ʃa 0(3t 2＋1)d t ＝a 3＋a ；B 从开始到a 秒末所走的路程为s B ＝ʃa 0v B d t ＝ʃa 010t d t ＝5a 2.由题意得s A ＝s B ＋5，即a 3＋a ＝5a 2＋5，得a ＝5. 此时s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．故5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的距离分别是130米和125米． 三、探究与拓展13．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值． 解 (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点的路程s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt 0(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。

1．7.2 定积分在物理中的应用
基础梳理
1．物体以速度v＝v(t)(v(t)≥0)做变速直线运动，在时段t∈[a，b]上行驶的路程s ＝v(t)d t．
想一想：物体以速度v＝t2做变速直线运动，在时段t∈[0，2]上行驶的路程s＝8
3．
2．一物体在恒力F的作用下做直线运动，物体沿着与F相同的方向移动了s，恒力F 所做的功是W＝Fs．
想一想：一物体在恒力F＝30 N的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向移动了10 m，恒力F所做的功是300_J．
3．一物体在变力F(x)的作用下做直线运动，物体沿着与F(x)相同的方向由x＝a运动到x＝b时，变力F(x)所做的功是W＝F(x)d x．
想一想：用F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长l m，所耗费的功是W＝F(x)d x．自测自评
基础巩固
能力提升。