2017相似三角形中考试卷分类汇编

2017中考数学真题汇编---利用相似三角形的性质解答综合题1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．4．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．5．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；6．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA 于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．7．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．8．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．9．如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM ⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．10．已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．11．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．12．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．13．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC 于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．14．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．15．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．16．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．18．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．19．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）20．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．21．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．23．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP=∠BAN．（1）求证：△ABC为等腰三角形．（2）求证：AM?CP=AN?CB．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．25．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．27．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．28．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．29．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．30．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→Ｂ向终点B运动，直线EP交AD 于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．31．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．32．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．33．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？34．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F 为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．35．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？36．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．37．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC 交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？38．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．39．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．40．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°．（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN=PM．（2）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．参考答案与解析1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE：CF=DE：EF，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴CE：CF=DE：EF，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．3．（2017?攀枝花）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．4．（2017?黄冈）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2=MD?MN．【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：（1）∵ME平分∠DMN，∴∠OME=∠DME，∵OM=OE，∴∠OME=∠OEM，∴∠DME=∠OEM，∴OE∥DM，∵DM⊥DE，∴OE⊥DE，∵OE过O，∴DE是⊙O的切线；（2）连接EN，∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，∴∠MDE=∠MEN=90°，∵∠NME=∠DME，∴△MDE∽△MEN，∴=，∴ME2=MD?MN【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．5．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE；（2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．6．（2017?锦州）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG?OE．【分析】（1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．【解答】证明：（1）如图，过O作OH⊥AB，∵四边形OABC为菱形，∴AB=BC，∵BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，∴AB?OH=BC?OD，∴OH=OD，∴AB为⊙O的切线；（2）由（1）可知OD⊥CB，∴AO⊥DO，∴∠AOD=90°，∴∠DFE=∠AOD=45°，∵∠C=45°，且∠ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，∴△DGF∽△DFO，∴=，即DF?GF=DG?OF，∵OF=OD=OE，∴DF=GF，∴GF2=DG?OE．【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．7．（2017?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG ⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．8．（2017?巴中）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；（2）先根据角平分线的性质得出EF=BE=6，再证明△ADF∽△FCE，根据相似三角形对应边成比例得出==．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，又∵AF⊥FG，∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴=，又∵AF=12，EF=6，∴==．【点评】本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．9．（2017?德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切线，过AO上一点N作NM⊥DF于M，连结DN并延长交⊙O于点E，连结CE．（1）求证：△DMN∽△CED．（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半径为3，求DN2+GN2的值．【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：∠DEC=∠NMD=90°，再证明CD∥NM，可得∠MND=∠EDC，根据两角对应相等可得两三角形相似；（2）先证明△GND是直角三角形，再根据△EGN是等腰直角三角形得∠GEN=45°，证明△GOD是直角三角形，利用勾股定理可得结论．【解答】证明：（1）∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥CD，∵NM⊥DF，∴NM∥CD，∴∠MND=∠EDC，∵CD为⊙O的直径，NM⊥DF，∴∠DEC=∠NMD=90°，∴△DMN∽△CED；（2）连接GE，CG，OC，∵G为点E关于AB对称点，∴AO垂直平分EG，∴GN=EN，∠GNA=∠ENA，∵∠DNO=45°，∴∠ENA=45°，∴∠GNE=90°，∴∠GND=180°﹣90°=90°，∴△GND是直角三角形，∴DN2+GN2=DG2，∵△EGN是等腰直角三角形，∴∠GEN=45°，∴∠C=∠GEN=45°，∵OG=OC，∴∠CGO=∠C=45°，∴∠GOD=90°，∴△GOD是直角三角形，∴DG2=OG2+OD2=32+32=18，∴DN2+GN2=DG2=18．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等知识，第2问有难度，证明∠C=45°是解决第（2）小题的关键．10．（2017?十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．【分析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．【解答】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，∴=，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，∴=，∴=，即=，∵AB=BC，∴=1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．11．（2017?宁夏）将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC．（1）求证：EC平分∠AEB；（2）求的值．【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）方法1、设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．方法2、易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==，再用角平分线定理判断出CP=CQ，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）解：如图，设AB与CE交于点M．∵EC平分∠AEB，∴=．在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，∴∠BAD=30°，∵以AB为直径的圆经过点E，∴∠AEB=90°，∴tan∠BAE==，∴AE=BE，∴==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．在△AFM与△BGM中，∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，∴△AFM∽△BGM，∴==，【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG==2，即可得出△BCD的面积．【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC交AB于G，如图所示：∵BE=EF，∴∠F=∠EBF；∵∠AEB=∠EBF+∠F，∴∠F=∠AEB，∵C是的中点，∴，∴∠AEC=∠BEC，∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，∴∠AEC=∠AEB，∴∠AEC=∠F，∴CE∥BF；②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴，即，∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴，即，∴CB=2，∴AD=6，∴AB=8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AG=BG=AB=4，∴CG==2，∴△BCD的面积=BD?CG=×2×2=2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．13．（2017?桂林）已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；（2）根据AA可证△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求CD；（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求BD，根据AA可证△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP，根据等高三角形面积比等于底边的比可得S△DPE：S△BPE=13：32，S△BDE：S△BCD=4：5，再根据三角形面积公式即可求解．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=BC，∴D是AC的中点，∠ABD=∠CBD，∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴=，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴=，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴=，∴BP=，∴DP=BD﹣BP=，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD=××3=15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE=．【点评】考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．14．（2017?衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出∠E=90°=∠CDO，再由∠C=∠C，得出△COD∽△CBE．（2）由勾股定理求出BC==15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO=90°，∵BE⊥CD，∴∠E=90°=∠CDO，又∵∠C=∠C，∴△COD∽△CBE．（2）解：在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，∴BC==15，∵△COD∽△CBE．∴，即，解得：r=．【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．15．（2017?乐山）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE?CP的值．【解答】解：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP?CE=C A2=（2）2=8．【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．16．（2017?怀化）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．（1）求证：△ACD∽△BAD；（2）求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（2017?滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求证：DE2=DF?DA．【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?DA，据此可得DE2=DF?DA．【解答】解：（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，∴直线DM是⊙O的切线；（2）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，即∠BED=∠EBD，∴DB=DE，∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴=，即DB2=DF?DA，∴DE2=DF?DA．【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．18．（2017?黔东南州）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA?PB；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解决问题；（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；【解答】（1）证明：连接OT．∵PT是⊙O的切线，∴PT⊥OT，∴∠PTO=90°，∴∠PTA+∠OTA=90°，∵AB是直径，∴∠ATB=90°，∴∠TAB+∠B=90°，∵OT=OA，∴∠OAT=∠OTA，∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PTA∽△PBT，∴=，∴PT2=PA?PB．（2）∵TP=TB=，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，∴tanB==，∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣?12=﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明△AOT的等边三角形．19．（2017?广东）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．（2）证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∴的长==π．【点评】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．21．（2017?德州）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【解答】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=BE?BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x?3x，解得：x=，即AE=．【点评】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．22．（2017?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．。

2017中考数学真题汇编----相似三角形的性质（选择、填空题）一．选择题1．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12．如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A．=B．=C．=D．=3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：14．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．126．点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：①S1：S3=1：n②S1：S4=1：（2n+1）③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1）其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④7．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD 于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④8．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；△AEF④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③10．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC 于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=14．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺15．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B． C．D．16．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．17．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=DP；④DP•DE=DH•DC，其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④18．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．519．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．20．将一张边长分别为a，b（a＞b）的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为（）A．B．C．D．二．填空题21．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形=．ABNM22．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．24．如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB 上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S=2S△ABE．△ABC其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）25．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE=．26．如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下=S四边形ANGD．其中正确列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF的结论的序号是．27．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=C E•CO，其中正确结论的序号是．28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．29．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．30．如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE 与△BMF的面积比为．31．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．32．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD=．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=．34．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB 的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为．35．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为．36．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则=．37．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．38．如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D 在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．39．在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是．40．如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n ，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3﹣1的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为；面积小于2011的阴影三角形共有个．参考答案与解析一．选择题1．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选A【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2017•连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】根据相似三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴=，A不一定成立；=1，B不成立；=，C不成立；=，D成立，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．4．（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）∴∠ADE=∠B．∵∠ADE=∠EFC，∴∠B=∠EFC，∴BD∥EF，∵DE∥BF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE=BF．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===，∴BC=DE，∴CF=BC﹣BF=DE=6，∴DE=10．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出BC=DE是解题的关键．6．（2017•镇江）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P 在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：①S1：S3=1：n②S1：S4=1：（2n+1）③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1）其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知=（）2，S3=n2S1，=（）2，求出S2，S3，S4（用S1，n表示），即可解决问题．【解答】解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，∴=（）2，S3=n2S1，=（）2，整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1，∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确，∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确，∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错误，故选B．【点评】本题考查平行四边形的性质．相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．（2017•东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2=PH•PC，故④正确；故选C．【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．8．（2017•仙桃）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC==，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD==2，根据相似三角形的性质得到AE=；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°﹣∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2，故④正确．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC==，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD==2，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE=；故③正确；∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°﹣∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°﹣2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=2，∴AF=2，故④正确；故选C．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质10．（2017•永州）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出=（）2=，结合△ADC的面积为1，即可求出△BCD的面积．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=（）2=．=1，∵S△ACD=4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．∴S△ABC故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键．11．（2017•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE 绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME ⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD•CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据△ABG∽△ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM=GM=BG+BM，即可得出AM=DE+BM不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM成立；根据N不是AM的中点，可得点N不是△ABM的外心．【解答】解：∵E为CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；如图，延长CB至G，使得∠BAG=∠DAE，由AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BA M=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，由△ABG∽△ADE，可得=，而AB＜BC=AD，∴BG＜DE，∴BG+BM＜DE+BM，即AM＜DE+BM，∴AM=DE+BM不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD时，=＜1，∴N不是AM的中点，∴点N不是△ABM的外心，故④错误．综上所述，正确的结论有2个，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．12．（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．B．C．D．【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG 是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=，据此得出EF=DF﹣DE=．【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深．【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE，∴AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，解得AD=62.5，BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺．故选：B．【点评】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF∽△ADE．15．（2017•泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B． C．D．【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴=，即=，解得CG=，∴DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴=，即=，解得DE=．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．16．（2017•株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P 为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•朝阳）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=DP；④DP•DE=DH•DC，其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【分析】只要证明△PDH是等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，即可判定③④正确，由此即可判断解决问题．【解答】解：∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；∵△HPD为等腰直角三角形，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；故③正确，∵DP•DE=DH•DE，DC=DE，∴DP•DE=DH•DC，故④正确，由此即可判断选项D正确，故选D．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．18．（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON ≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，的最小值是1﹣=，故⑤正确；此时S△OMN综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．19．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，【解答】解：如图，设折痕EF与对角线AC的交点为G，则AC⊥EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，又AC⊥EF，∴∠AGE=90°，∴∠AGE=∠B，又∵∠GAE=∠BAC，∴△AGE∽△ABC，∴，∴GE=，又∵AG=AC=，∴EF=2GE=．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质．关键是理解对称点的连线垂直于折痕．二．填空题21．（2017•北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S=3．四边形ABNM【分析】证明MN是△ABC的中位线，得出MN∥AB，且MN=AB，证出△CMN ∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的面积比，继而可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论．【解答】解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，且MN=AB，∴△CMN∽△CAB，∴=（）2=，∴=，∴S=3S△CMN=3×1=3．四边形ABNM故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．22．（2017•齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）=67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．【点评】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（2017•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=3．【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（2017•包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④=2S△ABE．若点D是AB的中点，则S△ABC其中正确的结论是①②④．（填写所有正确结论的序号）【分析】①根据SAS证明△ACD≌△ABE；②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角相等，所以△ABC∽△AMN；③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，则S△④根据三角形的中线将三角形面积平分得：S△ACD=2S△ACD=2S△ABE．ABC【解答】解：①在△ACD和△ABE中，∵，∴△ACD≌△ABE（SAS），所以①正确；②∵△ACD≌△ABE，∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，又∵M，N分别为BE，CD的中点，∴CN=BM，在△ACN和△ABM中，∵，∴△ACN≌△ABM，∴AN=AM，∠CAN∠BAM，∴∠BAC=∠MAN，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ABC=∠AMN，∴△ABC∽△AMN，所以②正确；③∵AN=AM，∴△AMN为等腰三角形，所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，=S△ABM，∴S△ACN∵点M、N分别是BE、CD的中点，∴S=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，△ACD=S△ABE，∴S△ACD∵D是AB的中点，=2S△ACD=2S△ABE，∴S△ABC所以④正确；本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④．【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形中线的性质、三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定及三角形中线平分面积的性质是关键；此类选择题比较麻烦，类似四个证明题，所以要认真审题，并做出正确的判断．25．（2017•莱芜）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE=．【分析】利用互余先判断出∠ABE=FCB，进而得出△ABE≌△FCB，即可得出BF=AE，BE=BC=1，再判断出∠BAF=∠AEB，进而得出△ABE∽△FBA，即可得出AE=AB2，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=1，∠BAF=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠FCB，在△ABE和△FCB中，，∴△ABE≌△FCB，∴BF=AE，BE=BC=1，∵BE⊥AC，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵∠ABF+∠AEB=90°，∴∠BAF=∠AEB，∵∠BAE=∠AFB，∴△ABE∽△FBA，∴，∴，∴AE=AB2，在Rt△ABE中，BE=1，根据勾股定理得，AB2+AE2=BE2=1，∴AE+AE2=1，∵AE＞0，∴AE=．【点评】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是判断出AE=AB2．26．（2017•十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是①③．【分析】①易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF 和S四边形ANGD，即可解题．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴==，∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，COB；②BD=CD；③CD2=CE•CO，其中正确结论的序号是①②③．【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出，得出CD2=CE•CO．【解答】解：①∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=90°．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=45°．∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAO=45°，∴∠DOC=45°，∴∠BOD=∠DOC，∴OD平分∠COB．故①正确；②∵∠BOD=∠DOC，∴BD=CD．故②正确；③∵∠AOC=90°，∴∠CDA=45°，∴∠DOC=∠CDA．∵∠OCD=∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴，∴CD2=CE•CO．故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．28．（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键29．（2017•岳阳）如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是②③④．（写出所有正确结论的序号）①若∠PAB=30°，则弧的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．【解答】解：如图，连接OP，∵AO=OP，∠PAB=30°，∴∠POB=60°，∵AB=12，∴OB=6，∴弧的长为=2π，故①错误；∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD∥BC，∴OP⊥BC，∴=，∴∠PAC=∠PAB，∴AP平分∠CAB，故②正确；若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，∵OP⊥PD，∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，∴PD=OP=6，故③正确；∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，又∵∠ABC=∠APC，∴∠APC=∠BAC，又∵∠ACP=∠QCA，∴△ACP∽△QCA，∴=，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．30．（2017•呼和浩特）如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为或．【分析】作MH⊥BC于H，设AB=AC=m，则BM=m，MH=BM=m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根据ASA证得△AOE≌△COF，证得AE=FC=m，进一步求得OE=AE=m，从而求得S=m2，作AN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形△AOE求得BC=m，进而求得BF=BC﹣FC=m﹣m=m，分别求得△AOE与△BMF的面积，即可求得结论．【解答】解：①当BM=AB时，设AB=AC=m，则BM=m，∵O是两条对角线的交点，∴OA=OC=AC=m，∵∠B=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，∵EF⊥AC，∴cos∠ACB=，即cos30°=，∴FC=m，∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=m，∴OE=AE=m，。

相似三角形中考压轴试题一、选择题1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．三、解答题1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M 的坐标；（3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1：2yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°BC，=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CP是D等腰三角形？4.（2014年湖南衡阳10分）二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△的面积为APCS，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△B相O似C？5.（2014年湖南益阳12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．6.（2014年内蒙古呼伦贝尔13分）以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△CO的B形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长；（3）当点E在线段OA上时，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△A相B似C？若存在，请求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．7.（2014年山东日照14分）如图1，在菱形OABC中，已知OA=23，∠AOC=60°，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过O，C，B三点．（1）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（2）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．①当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；②在①的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PE相F似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8.（2014年山东威海12分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△C相O似B？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BD的A度数．9.（2014年宁夏区10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．△与PB△QABC相似；有（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQ面P积最大，并求出最大值；R t△AOP（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P410．（2014年新疆区、兵团12分）如图，直线y x83A O方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个从A点出发，以每秒2个单位的速度沿单位的速度沿B A方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3．）（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQ的P面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△A相B似O，并直接写出此时点Q的坐标．11．（2014年新疆乌鲁木齐14分）如图．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接O D、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．（1）求证：△OAD≌△EAB；（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接O E，若点M是直线BF上的一动点，且△B与M△DOED相似，求点M的坐标．12．（2014年云南省9分）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段A C的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM 与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为A C2，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．13．（2014年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P 与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．10.（2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线2yaxbxc经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。

中考全国100份试卷分类汇编相似三角形角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）PE=EM=PMFP=FN=NPPE=EM=FP=FN=OA=AC2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）3、（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）=，=4、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（），AG=6、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..．故答案为：．7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．．=，=，=，，．11、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）12、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．a∴小鸟在花圃上的概率为13、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=，DB14、（9-2图形的相似·2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。

图形的相似与位似一、选择题1.（2017·重庆A卷）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】A．【解析】试题解析：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选A．考点：相似三角形的性质.2.（2017·重庆B卷）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF的面积比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1【答案】A．考点：相似三角形的性质；图形的相似．3.（2017·广西贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON 是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO 的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN 的最小值是1﹣=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．4.（2017·四川成都）如图，四边形ABCD和A B C D''''是以点O为位似中心的位似图形，若:2:3''''的OA OA'=，则四边形ABCD与四边形A B C D面积比为（）A．4：9 B．2：5 C. 2：3 D【答案】A【解析】考点：位似变换的性质二、填空题1.（2017·北京）如图，在中，分别为的中点.若，则 ．【答案】3.【解析】试题分析：由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N,分别为AC,BC的中点，∴ , ∴ ，∵ , . 考点：相似三角形的性质.2.（2017·湖南湘潭）如图，在ABC ∆中，DE 、分别是边AB AC 、的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积比:ADE ABC S S ∆∆= .ABC ∆M N 、,AC BC 1CMN S ∆=ABNM S =四边形12CM CN AC AB ==2211()()24CMN ABC S CM S AC ∆∆===1,44CMN ABC CMN S S S ∆∆∆===413ABNM ABC CMN S S S ∆∆=-=-=Y【答案】41【解析】试题分析：∵D E 、分别是边AB AC 、的中点，∴DE 是三角形的中位线，∴ADE ∆∽ABC ∆∴:ADE ABC S S ∆∆=412122=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AD 考点：相似三角形及中位线性质定理。

2017年中考数学相似三角形专题练习（附答案）相似三角形0题一、选择题：1如图，DE∥B，在下列比例式中，不能成立的是（）A ＝B ＝＝D ＝2如图，点D、E分别为△AB的边AB、A上的中点，则△ADE的面积与四边形BED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 ．1：4 D．1：13两个相似多边形一组对应边分别为3，4，那么它们的相似比为( )4如图，F是平行四边形ABD对角线BD上的点，BF:FD=1:3，则BE:E=（）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△AB相似的是( )A．B．．D．6下列各组数中，成比例的是（）A-7,-，14，B-6，-8，3，4 3，，9，12 D2，3，6，127如图,铁路道口的栏杆短臂长1,长臂长16当短臂端点下降0时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A4 B6 8 D128下列四组图形中，一定相似的是( )A正方形与矩形B正方形与菱形菱形与菱形D正五边形与正五边形9如图所示，在▱ABD中，BE交A，D于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A3对B4对对D6对10如图，在△AB中，∠AB=90°，A=8，AB=10，DE垂直平分A交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．．4 D．311如图，△AB与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于（）A6 B 9 D12如图，正方形ABD的边长为4，动点P、Q同时从点A出发，以1/s的速度分别沿A→B→和A→D→的路径向点运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为（单位：2），则与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为( )A B D13如图，矩形ABD中，AB=3，B=4，动点P从A点出发，按A→B→的方向在AB和B上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为，则关于x的函数图象大致是( )A．B．．D．14如图，△AB与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BA=∠D=90°，B分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（）A2 B3 4 D1如图,正方形ABD的两边B,AB分别在平面直角坐标系的x轴，轴的正半轴上,正方形A/B//D/与正方形ABD是以A的中点/为中心的位似图形,已知A=3 ,若点A/的坐标为(1,2),则正方形A/B//D/与正方形ABD的相似比是( )A B D16如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A4对B1对2对D3对17如图，△AB和△AN都是等边三角形，点是△AB的重心，那么的值为（）A B D18将一副三角尺（在Rt△AB中,∠AB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=4°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交A于点P，DF经过点，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交A于点，DF′交B于点N，则的值为（）A B D19如图,在△AB中,∠AB=90°,∠A=30°,B=1P是AB边上一动点,PD⊥A于点D,点E在P的右侧，且PE=1，连结E．P从点A出发,沿AB 方向运动,当E到达点B时,P停止运动．在整个运动过程中,阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A一直不变B一直减小一直增大D先减小后增大20如图,在⊙中,AB是直径,点D是⊙上一点,点是弧AD的中点,弦E ⊥AB于点E,过点D的切线交E的延长线于点G,连接AD,分别交E、B于点P、Q,连接A给出下列结论：①∠DA=∠AB；②AD=B；③点P是△AQ的外心；④A2=AE•AB；⑤B∥GD，其中正确的结论是（）A①③⑤B②④⑤①②⑤D①③④二、填空题：21若△AB与△A1B11的相似比为2:3，△A1B11与△A2B22的相似比为2:3，那么△AB与△A2B22的相似比为22如图，(1)若AE:AB=________,则△AB∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△AB∽△AEF23如图，在□ABD中，对角线A，BD相交于点，P是B边中点，AP 交BD于点Q 则的值为________．24在△AB中，已知AB=3，B=。

专题09 三角形一、选择题1.（2017重庆A卷第8题）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】A．【解析】试题解析：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选A．考点：相似三角形的性质.2. （2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米【答案】A.【解析】试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=140.753 CQBQ==，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2或x=﹣2（舍），则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中，∵AP=11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，故选A．考点：解直角三角形的应用.3.（2017甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）A．115°B．120°C．135°D．145°【答案】C．【解析】试题解析：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=135°．故选C ．考点：平行线的性质；余角和补角．4. （2017甘肃庆阳第8题） 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）A ．2a+2b-2cB ．2a+2bC ．2cD ．0【答案】D【解析】试题解析：∵a 、b 、c 为△ABC 的三条边长，∴a+b-c ＞0，c-a-b ＜0，∴原式=a+b-c+（c-a-b ）=0．故选D ．考点：三角形三边关系．5.（2017广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠= ，，则线段PM 的最大值是 （ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1【答案】B【解析】试题解析：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=12A′B′=2， ∵CM=BM=1，又∵PM ≤PC+CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选B ．考点：旋转的性质．6.（2017湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．7【答案】C【解析】试题解析：①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，△BCD 就是等腰三角形；②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E ，△ACE 就是等腰三角形；③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F ，△BCF 就是等腰三角形；④作AC 的垂直平分线交AB 于点H ，△ACH 就是等腰三角形；⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G ，则△AGB 是等腰三角形；⑥作BC 的垂直平分线交AB 于I ，则△BCI 是等腰三角形．故选C.考点：画等腰三角形.7.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75 【答案】D ．【解析】试题解析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC=4，AB=3，∴BC=2234 =5，∵CD=DB ，∴AD=DC=DB=52， ∵12•BC•AH=12•AB•AC， ∴AH=125， ∵AE=AB ，DE=DB=DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形， ∵12•AD•BO=12•BD•AH， ∴OB=125， ∴BE=2OB=245， 在Rt △BCE 中，EC=22222475()55BC BE -=-= . 故选D ． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．8.（2017甘肃兰州第3题）如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )A.513B.1213C.512D.1312【答案】C ．【解析】试题解析：如图，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=130m ，BC=50m ，∴AC=222213050AB BC -=-=120m ，∴tan∠BAC=50512012 BCAC==.故选C．考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．9. （2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(0.5DE BC==米，,,A B C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得15CG=米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得3CG=米，小明身高 1.6EF=米，则凉亭的高度AB约为( )A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米【答案】A.【解析】试题解析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，∴△ACG∽△FEG，∴AC CG EF GD=∴15 1.53 AC=∴AC=8，∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．故选A．点：相似三角形的应用．10.（2017贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A ．120°B ．90°C ．100°D ．30°【答案】C ．【解析】 试题解析：∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C ．考点：三角形的外角性质．11.（2017山东烟台第12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平底面A 处安置侧倾器得楼房CD 顶部点D 的仰角为045，向前走20米到达'A 处，测得点D 的仰角为05.67.已知侧倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，414.12 ）A ．14.34米B ．1.34米 C.7.35米 D ．74.35米【答案】C ．【解析】试题解析：过B 作BF ⊥CD 于F ，∴AB=A′B′=CF=1.6米，在Rt △DFB′中，B′F=tan 67.5DF︒，在Rt △DFB 中，BF=DF ， ∵BB′=AA′=20，∴BF ﹣B′F=DF﹣tan 67.5DF︒=20，∴DF ≈34.1米，∴CD=DF+CF=35.7米，答：楼房CD 的高度约为35.7米，故选C ．考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．12.（2017四川泸州第10题）已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=()()()p p a p b p c ---，其中p=2a b c++；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=2222221()22a b c a b +--，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ） A.3158 B. 3154 C. 3152 D. 152【答案】B.考点：二次根式的应用.13.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）A．4B．5C．6D．9【答案】C.【解析】试题解析：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选C．考点：三角形的三边关系.二、填空题1.（2017浙江宁波第16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知500AB=米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．(参考数据：sin340.56°≈，cos340.83°≈，tan340.67°≈)【答案】280.【解析】试题分析：在RtΔABC中，sin34°=AC AB∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.考点：解直角三角形的应用.2.（2017甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．【答案】154cm ． 【解析】试题解析：如图，折痕为GH ，由勾股定理得：AB=226+8=10cm ，由折叠得：AG=BG=12AB=12×10=5cm ，GH ⊥AB ， ∴∠AGH=90°，∵∠A=∠A ，∠AGH=∠C=90°，∴△ACB ∽△AGH ， ∴AC BC AG GH=， ∴865GH=， ∴GH=154cm ． 考点：翻折变换3.（2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为 ．【答案】35【解析】试题解析：连接PP′，如图，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P'C ，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC 为等边三角形，∴CB=CA ，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB 和△P′CA 中PC P C PCB P CA CB CA '⎧=⎪'∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCB ≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP 2=P′A 2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin ∠PAP′=63105PP P A '=='． 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．4.（2017贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．【答案】2.5【解析】试题解析：∵32+42=25=52，∴该三角形是直角三角形， ∴12×5=2.5． 考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．5.（2017湖北武汉第15题）如图△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠D AE=60°，BD=5，CE=8，则DE 的长为 ．【答案】7.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AE′B，如图，∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠EAC=60°，∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°，在△E′AD 和△EAD 中AE ＝AE E AD ＝EAD AD ＝AD ⎧'∠'∠⎪⎨⎪⎩∴△E′AD≌△EAD（SAS ），∴E′D=ED，过E′作EF⊥BD 于点F ，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°，∴∠E′BF=60°，∴∠BE′F=30°，∴BF=12BE′=4，E′F=43，∵BD=5，∴FD=BD-BF=1，在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=22（43）+1=7，∴DE=7．考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．6.（2017湖南怀化第15题）如图，AC DC=，BC EC=，请你添加一个适当的条件：，使得ABC DEC△≌△.【答案】CE=BC．本题答案不唯一．【解析】试题解析：添加条件是：CE=BC，在△ABC与△DEC中，AC DC BC EC CE BC⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△DEC．故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．点：全等三角形的判定．7.（2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D 都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．【答案】3.【解析】试题解析：平移CD 到C′D′交AB 于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD ，∴tan ∠BOD=tan ∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a ，则O′B=22(2)5a a a +=，O′D′=22（2a)(2)22a a +=，BD′=3a，作BE ⊥O′D′于点E ，则BE=3a 232222BD O F a a O D a''=='' ， ∴O′E=2222322(5)()22a a O B BE a '-=-=， ∴tanBO′E=32a2322BE O E a=='， ∴tan ∠BOD=3.考点：解直角三角形．8.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．【答案】120°.【解析】试题解析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°. 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．9.（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心点是O，3 5OE OA =，则FGBC=.【答案】3 5【解析】试题解析：如图所示：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴35 OE OFOA OB==，∴35 FG OFBC OB==．考点：位似变换．10.（2017贵州黔东南州第12题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．【答案】∠A=∠D ．【解析】试题解析：添加∠A=∠D ．理由如下：∵FB=CE ，∴BC=EF ．又∵AC ∥DF ，∴∠ACB=∠DFE ．∴在△ABC 与△DEF 中，A D ACB DFEBC EF ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．考点：全等三角形的判定．11.（2017山东烟台第14题）在ABC Rt ∆中，090=∠C ，2=AB ，3=BC ，则=2sin A ． 【答案】12． 【解析】试题解析：∵sinA=32BC AB =， ∴∠A=60°，∴sin 2A =sin30°=12． 考点：特殊角的三角函数值．12. （2017山东烟台第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.AOB ∆与''OB A ∆是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为2:3，点B A ,都在格点上，则点'B 的坐标是.【答案】（﹣2，43） 【解析】试题解析：由题意得：△A′OB′与△AOB 的相似比为2：3，又∵B （3，﹣2）∴B′的坐标是[3×2()3-，﹣2×2()3-]，即B′的坐标是（﹣2，43） 考点：位似变换；坐标与图形性质．13.（2017四川泸州第16题）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．【答案】45.【解析】试题解析：连接AO 并延长，交BC 于H ，由勾股定理得，DE=22=25OE OD +，∵BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，∴BC=2DE=45，O 是△ABC 的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=12BC=25，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=45.考点：1.三角形的重心；2.勾股定理．14.（2017四川自贡第14题）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为．【答案】1.【解析】试题解析：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴AM MNAB BC=，即1123WN=+，∴MN=1.考点：相似三角形的判定与性质.15.（2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】试题解析：①在△ABC和△ADC中，∵AB AD BC CD AC AC⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=12BD•AO+12BD•CO=12BD•（AO+CO）=12AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．16.（2017江苏徐州第13题）ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，7DE =，则BC = ．【答案】14.【解析】试题解析：∵D ，E 分别是△ABC 的边AC 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∵DE=7，∴BC=2DE=14．考点：三角形中位线定理．17. （2017江苏徐州第18题）如图，已知1OB =，以OB 为直角边作等腰直角三角形1A BO .再以1OA 为直角边作等腰直角三角形21A AO ，如此下去，则线段n OA 的长度为 ．【答案】2n ．【解析】试题解析：∵△OBA 1为等腰直角三角形，OB=1，∴AA 1=OA=1，OA 1=2OB=2；∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，∴A 1A 2=OA 1=2，OA 2=2OA 1=2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴A 2A 3=OA 2=2，OA 3=2OA 2=22；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴A 3A 4=OA 3=22，OA 4=2OA 3=4．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴A 4A 5=OA 4=4，OA 5=2OA 4=42，∵△OA 5A 6为等腰直角三角形，∴A 5A 6=OA 5=42，OA 6=2OA 5=8．∴OA n 的长度为2n ．考点：等腰直角三角形．18.（2017浙江嘉兴第15题）如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BAC ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠= ，……按此规律，写出tan n BA C ∠= （用含n 的代数式表示）．【答案】113，211n n -+. 【解析】试题解析：作CH⊥BA 4于H ，由勾股定理得，BA 4=22471=1+，A 4C=10，△BA 4C 的面积=4-2-32=12， ∴12×17×CH=12， 解得，CH=1717，则A 4H=223A C CH -=131717， ∴tan∠BA 4C=4CH A H =113， 1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，∴tan∠BA n C=211n n -+.考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．三、解答题1.（2017浙江衢州第23题）问题背景如图1，在正方形A BCD 的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形。

相像三角形分类练习题〔1〕一、填空题1、如图，是△的中位线，那么△面积及△面积之比是。

2、如图，△中，∥，，且，那么＝。

3、如图，△中，∠＝90°，⊥，D为垂足，＝8，＝2，那么＝。

4、如图，△中，D、E分别在、上，且＝＝1:2，＝5，那么＝。

5、如图，、相交于点O，∥，＝2，＝4，△2，那么△面积为2。

6、如图，△中，＝7，＝4，∠B＝∠，那么＝。

7、假如两个相像三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为。

8、假如两个相像三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为。

9、两个相像三角形周长之比为2:3，面积之差为102，那么它们的面积之和为2。

10、如图，△中，∥，＝2:3，那么＝。

二、选择题1、两个相像三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是〔〕。

〔A〕；〔B〕1:25；〔C〕1:5；〔D〕。

2、假如两个相像三角形的相像比为1:4，那么它们的面积比为〔〕。

〔A〕1:16；〔B〕1:8；〔C〕1:4；〔D〕1:2。

3、如图，锐角三角形的高和高相交于O，那么及△相像的三角形个数是〔〕。

〔A〕1；〔B〕2；〔C〕3；〔D〕4。

共同4、如图，梯形，∥，和相交于O点，＝1:9，那么＝〔〕。

〔A〕1:9；〔B〕1:81；〔C〕3:1；〔D〕l:3。

三、如图，△中，∥，＝6，梯形面积是△面积的2倍，求长。

四、如图，△中，＝5:2，＝4:3，求的值。

五、如图，直角梯形中，⊥，∥，＜，＝，＝，⊥，求〔用的式子表示〕六、如图，△中，点D在上，∠＝∠B，＝4，＝5，∥交于点E，求长。

七、如图，是矩形，＝2，＝4，＝2，＝1，F是上任一点〔F及点B、点C不重合〕，过F作的平行线交于G，设为，四边形面积为，写出及的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

相像三角形分类练习题〔2〕一、填空题1、：，且，那么＝。

2、在一张比例尺为1:5000的地图上，某校到果园的图距为8，那么学校到果园的实际间隔为。

3、如图，△中，∠＝90°，是斜边上的高，＝4，＝16，那么＝。