上海市行知中学2020届高三上学期10月月考数学试题+Word版含解析

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期月考试题数学测试题第I 卷（选择题）一、单选题1()B C A R 的元素个数为（ ）(A) 0(B) 1 (C) 2 (D)32．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数且(1)y f x =+也是奇函数，若(3)0f =，则函数()y f x =在区间(0,8)内的零点个数至少有（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7 3．C ∆AB 中，若)sinC sin cos =A +A B ，则（ ） A ． 3πB =B ． 2b a c =+C ． C ∆AB 是直角三角形D ． 222a b c =+或2C B =A+4．定义在R 上的函数)(x f 满足0)()2(<'+x f x ，又，，)3(ln f c =，则( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）A ． 1B ． 2C ． -2D ． -16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图像关于()1,0对称，若对任意x ，y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．()13,7C ．()9,49D ．()13,497．已知，现有下列命题：①；②；③若，且，则有，其中的所有正确命题的序号是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①③D ． ①②③ 8．已知非零向量,a b满足||3||a b =，且关于x 的函数3211()||22f x x a x a bx =++⋅为R 上增函数，则,a b 夹角的取值范围是（ ） A 、[0,]2π B 、[0,]3πC 、(,]32ππD 、2(,]33ππ9．设f(x)，g(x)是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f(x)g ′(x)＜0，则当a ＜x ＜b 时有( )A ． f(x)g(x)＞f(b)g(b)B ． f(x)g(a)＞f(a)g(x)C ． f(x)g(b) ＞ f(b) g(x)D ． f(x) g(x)＞f(a)g (a)10．已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 图像上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,4,4ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,42,42ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,62,32ππππ11．已知向量a =，b =，其中x ∈.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为A ． (1，＋∞)B ． (0，＋∞)C ． (−1，＋∞)D ． (2，＋∞) 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知向量)3,2(=a，)2,1(-=b ，若 b n a m +与 ba 2-共线，则nm 等于__________14．已知函数()33f x x x =-的图象与直线y a =有三个不同的交点，则a 的取值范围是_______. 15．函数的定义域为_____________.16．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++=． 三、解答题 17．已知是同一平面的三个向量，其中.（1）若且，求的坐标；（2）若，且，求的夹角．18．（本小题10分）已知函数()23sin()cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 6π()g x 的图象，若方程()g x ＝m在x ∈[0,]2π上有解，求实数m 的取值范围．19．已知某服装厂每天的固定成本是30000元，每天最大规模的生产量是m 件.每生产一件服装，成本增加100元，生产x 件服装的收入函数是21()4003R x x x=-+，记()L x ，()P x 分别为每天生产x 件服装的利润和平均利．．．润．（ ）=总利润平均利润总产量．（1）当500m =时，每天生产量x 为多少时，利润()L x 有最大值；（2）每天生产量x 为多少时，平均利润．．．．()P x 有最大值，并求()P x 的最大值．20．（本小题满分14分）已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f . (1)求函数()x f 的单调区间；(2)求函数()x f 在 [],2t t +()0t >上的最小值；(3)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围． 21．已知△ABC 3tan tan tan 3A B A B --=（I ）求∠C 的大小；（Ⅱ）设角A ，B ，C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且△ABC 是锐角三角形，求22a b +的取值范围． 22．已知函数()()()ln ,20x f x x x g x mx m m=+=+->与，其中e 是自然对数的底数．(1)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的()()212121,,,2x x e f x g x ⎡⎤∈≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 高三数学文参考答案一、单选题1()B C A R 的元素个数为（ ） A 0 B 1 C 2D 32．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数且(1)y f x =+也是奇函数，若(3)0f =，则函数()y f x =在区间(0,8)内的零点个数至少有( )A 、4B 、5C 、6D 、7 3．C ∆AB 中，若)sinC sin cos =A +A B ，则（ ） A ． 3πB =B ． 2b a c =+C ． C ∆AB 是直角三角形D ． 222a b c =+或2C B =A+4．定义在R 上的函数)(x f 满足0)()2(<'+x f x ，又，))31((3.0f b =，)3(ln f c =，则( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． -2 D ． -16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图像关于()1,0对称，若对任意x ，y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．()3,7B ．()13,7C ．()9,49D ．()13,497．已知，现有下列命题：①；②；③若，且，则有，其中的所有正确命题的序号是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①③D ． ①②③ 8．已知非零向量,a b满足||3||a b =，且关于x 的函数3211()||22f x x a x a bx =++⋅为R 上增函数，则,a b 夹角的取值范围是（ ） A 、[0,]2π B 、[0,]3πC 、(,]32ππ D 、2(,]33ππ9．设f(x)，g(x)是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x)g(x)－f(x)g ′(x)＜0，则当a ＜x ＜b 时有( )A ． f(x)g(x)＞f(b)g(b)B ． f(x)g(a)＞f(a)g(x)C ． f(x)g(b) ＞ f(b) g(x)D ． f(x) g(x)＞f(a)g (a)10．已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，若将()f x 图像上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,4,4ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,42,42ππππC ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,62,32ππππ11．已知向量a =，b =，其中x ∈.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为A ． (1，＋∞)B ． (0，＋∞)C ． (−1，＋∞)D ． (2，＋∞) 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．4 二、填空题13．已知向量)3,2(=a，)2,1(-=b，若 b n a m+与 b a2-共线，则 nm等于-___________14．已知函数()33f x x x =-的图象与直线y a =有三个不同的交点，则a 的取值范围是_______. 15．函数的定义域为_____________.16．设函数x x x f sin 1)(-=在0x x =处取极值，则)2cos 1)(1(020x x ++=．三、解答题 17．已知是同一平面的三个向量，其中.（1）若且，求的坐标；（2）若，且，求的夹角．18．（本小题10分）已知函数()23sin()cos()sin 244f x x x x a ππ=++++的最大值为1．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 6π()g x 的图象，若方程()g x ＝m在x ∈[0,]2π上有解，求实数m 的取值范围．19．已知某服装厂每天的固定成本是30000元，每天最大规模的生产量是m 件.每生产一件服装，成本增加100元，生产x 件服装的收入函数是21()4003R x x x=-+，记()L x ，()P x 分别为每天生产x 件服装的利润和平均利．．．润．（ ）=总利润平均利润总产量．（1）当500m =时，每天生产量x 为多少时，利润()L x 有最大值；（2）每天生产量x 为多少时，平均利润．．．．()P x 有最大值，并求()P x 的最大值．20．（本小题满分14分）已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f . (1)求函数()x f 的单调区间；(2)求函数()x f 在 [],2t t +()0t >上的最小值；(3)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围． 21．已知△ABCtan tan tan A B A B --= （I ）求∠C 的大小；（Ⅱ）设角A ，B ，C 的对边依次为,,a b c ，若2c =，且△ABC 是锐角三角形，求22a b +的取值范围． 22．已知函数()()()ln ,20x f x x x g x mx m m=+=+->与，其中e 是自然对数的底数．(1)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)若对任意的()()212121,,,2x x e f x g x ⎡⎤∈≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 参考答案1．C 【解析】试题分析：化简得{}0,1A =，1|202B x x x ⎧⎫=><<⎨⎬⎩⎭或考点：解不等式与集合的交并补运算点评：本题考察了指数不等式与对数不等式的求解，求解时结合函数单调性；两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合 2．D【解析】由题意得()(),(2)(),(2)(),f x f x f x f x f x f x -=--=-∴-=周期为2.(3)(1)(5)(7)0f f f f ====，(2)(0)(4)(6)0f f f f ====。

2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：（共12小题，每题5分，共计60分）1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再利用交集的定义可得出.【详解】解不等式，得或，或，因此，，故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得，然后利用复数的除法法则可得出复数.【详解】，，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法法则，考查计算能力，属于基础题.3.命题“若，则且”的否命题为（）A. 若，则且B. 若，则且C. 若，则或D. 若，则或【答案】C【解析】【分析】根据原命题与否命题之间的关系可得出正确选项.【详解】由题意知，命题“若，则且”的否命题为“若，则或”，故选：C.【点睛】本题考查否命题的改写，要弄清原命题与否命题之间的关系，同时要注意“”的否定为“”，属于基础题.4.若偶函数在上为增函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函数的定义得出，然后利用函数在上的单调性可比较、、的大小关系.【详解】函数为偶函数，则，且该函数在上为增函数，则，即，故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，解题时应将自变量置于同一单调区间，再结合函数的单调性来比较大小，考查推理能力，属于中等题.5.已知等比数列的公比为，那么“，”是为递增数列的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用定义得出等比数列为递增数列的等价条件，由此可判断出“，”与“为递增数列”的充分必要性关系.【详解】若，则等比数列为摆动数列，由于等比数列为递增数列，则.若，则，由得，；若，则，由得，.所以，等比数列为递增数列，或，.因此，“，”是为递增数列的充分不必要条件，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查等比数列的单调性，在判断时，可结合定义，也可以找特殊数列来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，然后利用柱体的体积减去锥体的体积即可得出结果.【详解】几何体的直观图如下图所示：可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，直三棱柱底面为直角三角形，底面积为，三棱柱的体积为，直三棱锥的底面积与直三棱柱的底面积相等，高为，三棱锥的体积为，因此，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的直观图还原，分析几何体的结构，然后再利用简单几何体的体积进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.7.在等差数列中，，则的前项的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质得出的值，再利用等差数列的前项和公式即可求出等差数列的前项和.【详解】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可知，等差数列的前项和为，故选：A.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，灵活利用等差数列的基本性质进行计算，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.8.在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出和所成角的余弦值，可得出异面直线与所成角.【详解】，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，，，所以，，因此，异面直线与所成角为，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，建立空间直角坐标，利用空间向量法进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.若函数，则的递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，然后解不等式可得出函数的单调递增区间.【详解】，解不等式，得，因此，函数的单调递增区间为，故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并结合正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.在中，，，，为边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将和利用基底、表示，然后利用平面向量数量积的定义和运算律计算出的值.【详解】如下图所示：由平面向量数量积的定义可得，，，因此，，故选：B.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，选择合适的基底，并利用基底表示问题涉及的向量，并利用平面向量数量积的定义和运算律计算是解题的关键，也可以建系，利用坐标法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知椭圆的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆交圆于、两点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件可得出点的坐标为，再将点的坐标代入圆的方程，可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点为两圆在第一象限的交点，设的中点为点，由于两圆均关于轴对称，则两圆的交点、也关于轴对称，又，则为圆的一条直径，由下图可知，轴，所以点的坐标为，将点的坐标代入圆得，可得，所以，，因此，椭圆的离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出、、的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．考点：函数的性质二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若集合，，，则实数的取值为__________．【答案】或【解析】【分析】由得出，可得出关于的方程，求出的值，再将的值代入集合，把不满足互异性的的值舍去，即可求出实数的值.【详解】，，或，解得或或.当时，，满足互异性；当时，集合、都不满足互异性；当时，，满足互异性.综上所述：或.【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数的值，在处理有限集时，还应注意元素要满足互异性，考查计算能力，属于基础题.14.如果函数定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】由得出，然后解不等式，即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，该函数定义域为，即，得.对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题：（1）函数的定义域为自变量的取值范围；（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致.由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.15.已知三个不同平面、、和直线，下面有四个命题：①若，，，则；②直线上有两点到平面的距离相等，则；③，，则；④若直线不在平面内，，，则.则正确命题的序号为__________．【答案】①③【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的性质定理判断出命题①的正误；判断出直线与的位置关系，可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断出命题③的正误；判断出直线与平面的位置关系，可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，若，则存在异于直线的直线，当垂直于平面与的交线时，，又，则，，且，，，命题①正确；对于命题②，直线上有两点到平面的距离相等，则与平行或相交，命题②错误；对于命题③，过直线作平面，使得，，由直线与平面平行的性质定理可知，，，又，，命题③正确；对于命题④，若直线不在平面内，，，则或，命题④错误.因此，正确命题的序号为①③.故答案为：①③.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系有关命题正误的判断，在判断时可充分利用线面、面面平行与垂直的判定和性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.设函数，若对所有都有，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析】设，变形后得出，利用辅助角公式得出，得出，由此可得出关于的不等式，求出的取值范围，得出的最大值，可求出实数的取值范围.【详解】设，则有，即，由辅助角公式可得，其中，.，由，得，解得，函数的最大值为，则有，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用正、余弦型函数的有界性求函数的值域，同时也考查了辅助角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角、、的对应边分别为、、，且满足，的面积为，.（1）求角；（2）求边长、.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）利用余弦定理可求出的值，然后结合角的取值范围可得出角的值；（2）由三角形的面积公式求出，再结合等式可得出、的值.【详解】（1），，由余弦定理得，，；（2）由三角形的面积公式可得，.由题意可得，解得或.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，解题时要结合三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由计算出的值，再令，由求出，再验证是否满足，即可得出数列的通项公式；（2）将数列的通项裂项为，然后利用裂项求和法求出数列的前项和.【详解】（1）对任意的，.当时，；当时，.适合，所以，；（2），.【点睛】本题考查由求数列通项，一般利用公式，但要对是否满足进行检验，同时也考查了裂项求和法，要熟悉这种求和方法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数（1）若，求的单调区间和极值点；（2）若在单调递增，求实数的取值范围.点为；（2）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后解导数方程，并列表分析的符号和的增减性，可得出函数的单调区间与极值点；（2）求出函数的导数为，由题意得出对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，，令，得或（舍去）.列表如下：极小因此，函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值点为；（2），，由题意知，不等式对任意的恒成立，得，构造函数，其中，则，所有，函数在上为减函数，则，，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与极值点，同时也考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在某区间上恒成立，利用分类讨论思想和参变量分离法求解，考查运算求解能力，属于中等题.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，，为棱的中点，为棱的动点.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求点的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）点为线段的中点.【解析】【分析】（1）分析出是等边三角形，由三线合一得出，由，由，由底面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和平面的法向量、，由计算出实数的值，即可确定点的位置.【详解】（1）如下图所示，由于四边形是菱形，则，又，是等边三角形，为的中点，，，.底面，平面，，，、平面，平面；（2）由（1）知，，且底面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、、，设，则，，，设平面的一个法向量为，由，即，得，取，则，，则平面的一个法向量为.同理可得平面的一个法向量为，由题意可得，解得.因此，当点为线段的中点时，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角中的动点问题，掌握直线与平面垂直的判定方法，以及正确运用向量法求空间角是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上异于长轴端点的点，且的最大面积为.（1）求椭圆的标准方程（2）若直线是过点点的直线，且与椭圆交于不同的点、，是否存在直线使得点、到直线，的距离、，满足恒成立，若存在，求的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）根据题意列出有关、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，并列出韦达定理，由，得出，通过化简计算并代入韦达定理计算出的值，即可得出直线的方程，即可说明直线的存在性.【详解】（1）设椭圆的焦距为，且的最大面积为，则，由已知条件得，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，消去并整理得，，由韦达定理得，.，即，即，整理得；当直线与轴重合时，则直线与椭圆的交点为左、右顶点，设点、，，，由，得，解得.综上所述，存在直线，使得.【点睛】本题考查利用、、求椭圆方程，同时也考查了椭圆中存在定直线问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.22.已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）在方程两边同乘以极径可得，再根据，代入整理即得曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到的值.试题解析：（1）等价于①将代入①既得曲线C的直角坐标方程为，②（2）将代入②得，设这个方程的两个实根分别为则由参数t 的几何意义既知，.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：（共12小题，每题5分，共计60分）1.设集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再利用交集的定义可得出.【详解】解不等式，得或，或，因此，，故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得，然后利用复数的除法法则可得出复数.【详解】，，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法法则，考查计算能力，属于基础题.3.命题“若，则且”的否命题为（）A. 若，则且B. 若，则且C. 若，则或D. 若，则或【答案】C【解析】【分析】根据原命题与否命题之间的关系可得出正确选项.【详解】由题意知，命题“若，则且”的否命题为“若，则或”，故选：C.【点睛】本题考查否命题的改写，要弄清原命题与否命题之间的关系，同时要注意“”的否定为“”，属于基础题.4.若偶函数在上为增函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函数的定义得出，然后利用函数在上的单调性可比较、、的大小关系.【详解】函数为偶函数，则，且该函数在上为增函数，则，即，故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，解题时应将自变量置于同一单调区间，再结合函数的单调性来比较大小，考查推理能力，属于中等题.5.已知等比数列的公比为，那么“，”是为递增数列的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用定义得出等比数列为递增数列的等价条件，由此可判断出“，”与“为递增数列”的充分必要性关系.【详解】若，则等比数列为摆动数列，由于等比数列为递增数列，则.若，则，由得，；若，则，由得，.所以，等比数列为递增数列，或，.因此，“，”是为递增数列的充分不必要条件，故选：C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查等比数列的单调性，在判断时，可结合定义，也可以找特殊数列来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出几何体的直观图，可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，然后利用柱体的体积减去锥体的体积即可得出结果.【详解】几何体的直观图如下图所示：可知该几何体是在一个直三棱柱中截去了一个直三棱锥后形成的几何体，直三棱柱底面为直角三角形，底面积为，三棱柱的体积为，直三棱锥的底面积与直三棱柱的底面积相等，高为，三棱锥的体积为，因此，该几何体的体积为，故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的直观图还原，分析几何体的结构，然后再利用简单几何体的体积进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.7.在等差数列中，，则的前项的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质得出的值，再利用等差数列的前项和公式即可求出等差数列的前项和.【详解】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可知，等差数列的前项和为，故选：A.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，同时也考查了等差数列前项和公式的应用，灵活利用等差数列的基本性质进行计算，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.8.在直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出和所成角的余弦值，可得出异面直线与所成角.【详解】，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，，，所以，，因此，异面直线与所成角为，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，建立空间直角坐标，利用空间向量法进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.若函数，则的递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，然后解不等式可得出函数的单调递增区间.【详解】，解不等式，得，因此，函数的单调递增区间为，故选：B.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，并结合正弦函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.在中，，，，为边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将和利用基底、表示，然后利用平面向量数量积的定义和运算律计算出的值.【详解】如下图所示：由平面向量数量积的定义可得，，，因此，，故选：B.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，选择合适的基底，并利用基底表示问题涉及的向量，并利用平面向量数量积的定义和运算律计算是解题的关键，也可以建系，利用坐标法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知椭圆的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆交圆于、两点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设点为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件可得出点的坐标为，再将点的坐标代入圆的方程，可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点为两圆在第一象限的交点，设的中点为点，由于两圆均关于轴对称，则两圆的交点、也关于轴对称，又，则为圆的一条直径，由下图可知，轴，所以点的坐标为，将点的坐标代入圆得，可得，所以，，因此，椭圆的离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出、、的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．考点：函数的性质二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若集合，，，则实数的取值为__________．【答案】或【解析】【分析】由得出，可得出关于的方程，求出的值，再将的值代入集合，把不满足互异性的的值舍去，即可求出实数的值.【详解】，，或，解得或或.当时，，满足互异性；当时，集合、都不满足互异性；当时，，满足互异性.综上所述：或.【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数的值，在处理有限集时，还应注意元素要满足互异性，考查计算能力，属于基础题.14.如果函数定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】由得出，然后解不等式，即可得出函数的定义域.【详解】对于函数，该函数定义域为，即，得.对于函数，则有，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，需要注意以下两个问题：（1）函数的定义域为自变量的取值范围；（2）求解抽象函数的定义域要注意中间变量的取值范围要一致.由此列不等式进行求解，考查计算能力，属于中等题.15.已知三个不同平面、、和直线，下面有四个命题：①若，，，则；②直线上有两点到平面的距离相等，则；③，，则；④若直线不在平面内，，，则.则正确命题的序号为__________．【答案】①③【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的性质定理判断出命题①的正误；判断出直线与的位置关系，可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断出命题③的正误；判断出直线与平面的位置关系，可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，若，则存在异于直线的直线，当垂直于平面与的交线时，，又，则，，且，，，命题①正确；对于命题②，直线上有两点到平面的距离相等，则与平行或相交，命题②错误；对于命题③，过直线作平面，使得，，由直线与平面平行的性质定理可知，，，又，，命题③正确；对于命题④，若直线不在平面内，，，则或，命题④错误.因此，正确命题的序号为①③.故答案为：①③.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系有关命题正误的判断，在判断时可充分利用线面、面面平行与垂直的判定和性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.设函数，若对所有都有，则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析】设，变形后得出，利用辅助角公式得出，得出，由此可得出关于的不等式，求出的取值范围，得出的最大值，可求出实数的取值范围.【详解】设，则有，即，由辅助角公式可得，其中，.。

2019-2020年行知中学高三上10月月考一. 填空题1. 若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =2. 命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是 命题（填真或假）3. 不等式2log 2x ≤的解集为4. 已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的 取值范围是5. 关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为6. 已知幂函数()n f x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----， 则n 可能的值为7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)f 的值为8. 函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则右图中阴影部分表示的集合为9. 若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为10. 如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴， 顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x = 和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为11. 设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=12. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则a 的取值范围二. 选择题13. 下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=； （2）{0}∅⊆； （3）{0}∅∈； （4）0{0}=； （5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈； （7）{1,2}{1,2,3}⊆； （8）{,}{,}a b b a ⊆； A. 1 B. 2 C. 3 D. 414. 设110b a<<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. a b > B. aa b b<- C. 33332b a a b +> D. 11||||b a < 15. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是 “()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个函数()f x 满足：① {()|}T f x x S =∈；② 对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合为“S 到T 的保序同构”，以下集合对不是“A 到B 的保序同构”的是（ ）A. ,A B *==ΝNB. {}|13A x x =-≤≤，{}|8010B x x x ==-≤≤或C. {}|01A x x =<<，B =RD. A =Z ，B =Q三. 解答题17. 已知()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）求1()f x -；（2）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围；18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，4AP BC ==，30ABC ∠=，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ，求tan θ的值.19. 已知A ，B 的两地距离是100km ，按交通法规定，A ，B 两地之间的公路车速x 应限制在60120/km h - (含端点)，假设汽油的价格是7元/升，汽车的耗油率为2(6)400x +升/时，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑 其他费用，这次行车的总费用是多少？20. 设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(10)x x ≠≠且，则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .21. 已知4()log (41)x f x kx =++是偶函数，()2x x ϕ=. （1）求k 的值，并判断函数1()()2h x f x x =-在R 上的单调性，说明理由； （2）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图像有且仅有一个交点， 求实数a 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子11|()()|ni i i m x m x M -=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[,]p q 上的H 函数”（其中，011i n p x x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=）. 试判断函数()x ϕ是否为“[1,3]-上的H 函数”，若是，则求出M 的最小值； 若不是，则说明理由.（注：121()()()()n i n i k x k x k x k x ==++⋅⋅⋅+∑）.参考答案一. 填空题1. {5,2,1}2. 假3. (0,4]4. (0,2)5. 1-6. 2-7. 13- 8. (,1](0,1)-∞-U9. 2a > 10. 11. 0 12. (,1)-∞二. 选择题13. D 14. C 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12()log (1)f x x -=+（1x >-）；（2）[0,1].18.（1；（2）tan θ. 19. 最经济的车速是80/km h ，总费用是280元. 20.（1）A 中另外两个元素是1-、12；（2）不是；（3）112{1,,2,,3,}223A =--. 21.（1）12k =-，递减；（2）(1,){3}+∞-；（3）是，152.。

2019-2020年行知中学高三上10月月考一:填空题。

1.若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1} 【解析】 【分析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案．【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }，当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2， 当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1}【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 2.命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假 【解析】 【分析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可．【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 3.不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4] 【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4]【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．4.已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2) 【解析】 【分析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2aa +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可得a取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 5.关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1- 【解析】 【分析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 详解】由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1-【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m符号判断6.已知幂函数()nf x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________ 【答案】2-的【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2， 在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝______.【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22xxf x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 8.函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-U 【解析】 【分析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}，∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1}B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1）故答案为：(,1](0,1)-∞-U【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定． 9.若关于x 的不等式|2|1x a x -+>在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a > 【解析】 【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10.如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________【解析】 【分析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可．【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2，∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a =【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．11.设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0 【解析】 【分析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞二.选择题13.下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）0{0}=；（5）0{0}∈； （6）{1}{1,2,3}∈；（7）{1,2}{1,2,3}⊆；（8）{,}{,}a b b a ⊆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的相关定义逐个判断。

2019-2020学年高三数学10月月考试题(I)一、填空本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上1.满足{1}⊆ A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数为 ▲ .2.已知复数)()1(i a i z -⋅+=（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ .3.已知3lg ,2lg ==b a ，则 5lg = ▲ .(用 a ，b 表示)4.函数)1ln()(+-=x x x f 的单调递减区间是 ▲ .5.命题“若实数a 满足a 2<4，则a≤2”是 ▲ 命题.（填“真”、“假”之一）6.设正项等比数列{a n }的公比为q ，且733=a S ,则q 的值为 ▲ . 7.把一个体积为27cm1的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块恰有两个面被涂有红漆的概率为▲ . 8.已知角a 的终边经过点P(x-6),且cosa=53-,则实数x 的值为 ▲ . 9.在平面直角坐标系中，己知A 、B 分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在椭圆上，则CB A sin sin sin +的值是 ▲ . 10.已知函数||2)(x x f = ，记)5(log ),3(log 35.0f b f a ==，则a,b,c 的大小关系为 ▲ .(用“<”连接）11.曲线231x y =过点P （2，38）的切线方程为 ▲ . 12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--=,1,2,1＞,1)(x x x x x f 则函数))((x f f 的值域为 ▲ .13.已知对于任意的),5()1,(+∞-∞∈ x ,都有a x a x +--)2(22>0 ，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 的最小值为3，且当0≥x 时，a e x f x +=3)(（a为常数）。

2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出．【详解】集合A＝{y|y＝2x﹣1}＝（﹣1，+∞），B＝{x|x≥1}＝[1，+∞），则∁RB＝（﹣∞，1）则A∩（∁RB）＝（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.已知角的终边过点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由点的坐标有：，结合三角函数的定义可知：，则：.本题选择B选项.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数有意义，则：，求解三角不等式可得函数的定义域为：.本题选择C选项.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．4.已知函数的图象如图所示，其中是函数的导函数，则函数的大致图象可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：讨论x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1时，f′（x）＜0，的正负，从而得函数的单调性，即可得解．详解：由函数的图象得到：当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．由此得到函数y=f（x）的大致图象可以是A．故选：A．点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基础题．5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）．A. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】将函数用降幂公式和二倍角公式化简，再根据平移法则求解即可【详解】函数可化简为，即，可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到故选D．【点睛】本题考查复合三角函数的化简，复合三角函数的平移法则，其中用到降幂公式，二倍角的正弦公式，平时训练当中应熟记基本的降幂公式和二倍角公式，以便争分夺秒，决胜考场6.已知，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可先初步判断和的取值范围，再由不等关系来确定的增减性即可【详解】由指数函数是减函数知，；由指数函数是增函数知，，设幂函数为，由知，幂函数在第一象限应为减函数，故故选B．【点睛】本题考查指数型不等式的解法与幂函数增减性的判断，处理此类题型，应从范围的角度去分析，确定底数取值区间，再根据幂函数的性质去求解7.已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可得的图象，利用函数的对称性求解即可【详解】由题又和的图象都关于对称，则，得，即，又，故，，则故选：A点睛】本题考查，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换确定其解析式，考查三角函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可【详解】由，得（当且仅当时等号成立），解得故选D【点睛】本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想9.当时，函数的最小值为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】，，当且仅当时取等号，函数的最小值为4，选C.10.已知函数，若，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先研究函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式，解得实数的取值范围.【详解】因为 ,所以为奇函数，且在R上单调递减，因为，所以，选D.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.11.已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，令，则.当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；所以，故，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.12.设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）A. B.C. D. 与大小关系不能确定【答案】C【解析】【分析】可构造函数，求导得，根据题意判断的正负，进而判断的增减性，再令分别为和，比大小即可求得【详解】令，则，因为对任意都有成立，所以恒成立，即在上单调递增，则，即，即．故选C．【点睛】本题考查构造函数，结合导数和函数增减性求解不等式的问题，对基本函数的熟识度有较高要求，由可判断构造函数类型应为分式型，故考虑构造二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】利用偶函数关于轴对称，又由在上单调递增，将不等式转化为，即可解得的解集。

卜人入州八九几市潮王学校师范大学附属2021届高三数学上学期10月月考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(){|20}A x x x=-<，且()A B A⋃=，那么集合B可能是()A.{}1-B.{}0C.{}1D.{}2【答案】C【解析】【分析】先解出A＝〔0，2〕，根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项里面哪个集合是A的子集即可．【详解】A＝〔0，2〕；∵A∪B＝A；∴B⊆A；选项里面，只有{1}⊆A．应选：C．【点睛】此题考察了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于根底题．z满足11iz z=+，那么复数z的一共轭复数z对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法那么首先求得z 的值，然后求解其一共轭复数即可确定其所在的象限.【详解】由题意可得：1zi z =+，那么()()111111122i z i i i i --===----+--， 故1122zi =-+，其所对的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.应选：B.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么，复数所在象限确实定等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.以下判断正确的选项是〔〕A.“2x <-〞是“ln(3)0x +<〞的充分不必要条件B.函数()f x =的最小值为2C.当,R αβ∈sin sin αβ≠，那么αβ≠D.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃≤，020*******x +≤〞【答案】C 【解析】 【分析】求解对数不等式之后即可考察选项A 是否正确，利用换元法可确定选项BCD 是否正确. 对于选项A ：由ln(3)0x +<可得031x <+<，即32x -<<-，故“2x <-〞是“ln(3)0x +<对于选项B ：令)3tt =≥，由对勾函数的性质可知函数()()13f t t t t =+≥单调递增，其最小值为()1033f =对于选项C αβ=，那么sin sin αβ=〞，对于选项D 0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃>，020*******x +≤应选：C.{}n a 满足()2*12n nn a an N +=∈，那么65a a -的值是B.-C.2D.【答案】D 【解析】分析：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由()212nn n a a n N *+=∈，可得()21122122n n n nn n a a a a ++++=，解得2,q=2222,0n n n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，代入即可得结果.详解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，()212n n n a a n N *+=∈，所以()2121221242n n n n n n a a q a a ++++===，解得2q，2222,0nn n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，那么119226522aa -=-=，应选D.点睛：此题主要考察数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考察推理才能与计算才能以及根本概念与根本公式的掌握的纯熟程度，属于中档题.2tan ()1xf x x x=++的局部图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质和函数值的取值情况进展分析、判断可得结论． 【详解】因为()()21tanxf x x f x x-=++=， 所以函数()f x 为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故可排除A ，C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0tanx >，所以()0f x >，故可排除B ． 从而可得选项D 正确． 应选D ．【点睛】此题考察用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解． 6.O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OBOC +=-，那么C ∠的值是〔〕A.4π B.2π C.6π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法那么确定AOB ∠的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法那么求得cos C 的值即可确定C ∠的值.【详解】由题意可得：||||||OA OB OC ==，且1(34)5OCOA OB =-+，224||25OC OA OB =+⋅， 24025OA OB ∴⋅=，∴∠AOB =90°. 如下列图，建立平面直角坐标系，设()0,1A ，()10B ,， 由()344,35OA OB OC +==-可知：43,55C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，那么：48,55CA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，93,55CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，362425cos 4CA CB C CA CB +⋅===⨯，那么4Cπ∠=.应选：A.【点睛】此题主要考察平面向量的运算法那么，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，那么sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为〔〕 A.cos (cos )ααB.sin (sin )ααC.cos (sin )ααD.sin (cos )αα【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先确定sin ,cos αα的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项里面最大的数即可.【详解】由于,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，故0sin 1,0cos 1αα<<<<，且sin cos αα>. 由指数函数的单调性可得：()()sin cos sin sin αααα<，()()sin cos cos cos αααα<，由幂函数的单调性可得：()()cos cos sin cos αααα>， 综上可得，sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为cos (sin )αα.应选：C.【点睛】此题主要考察三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 满足12a =，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，那么数列{}n a 的前2021项的乘积为〔〕A.12B.1C.2D..3【答案】D 【解析】【分析】由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列{}n a 的前2021项的乘积即可.【详解】由题意可得：1211n n na a a +=+-，故：12a =，1212131a a a =+=--，23221112a a a =+=--， 34321113a a a =+=-，45142121a a a a =+==-， 据此可得数列{}n a 是周期为4T =的周期数列，注意到201943MOD =，且：12341a a a a =，故数列{}n a 的前2021项的乘积为：()12332⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 应选：D.【点睛】此题主要考察数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()2cos()4f x x πω=+〔0>ω〕的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，假设()y g x =在[0,]3π上为减函数，那么ω的最大值为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】由题意可得函数()g x 的解析式为ππ()2cos 2cos 44g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，假设函数()y g x =在区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，那么ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，那么ω的最大值为3，应选B ． 点睛：函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调区间的子集；{}n a 满足11a =，()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，那么10a 的值是〔〕 A.23B.12C.1019D.52【答案】C 【解析】 【分析】首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得10a 的值.【详解】由11(1)n n n n a a a a n n ++-=+可得:()11111111n na a n n n n +-==-++， 那么：101099821111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111191191089210⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么101019a =. 应选：C.【点睛】此题主要考察数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的前n 项和为n S ，假设()2*12n n S S n n ++=∈N ，且1028a =，那么2a =〔〕A.－5B.－10C.12D.16【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合10a 的值可得2a 的值.【详解】由题意可得：212n n S S n ++=，()2121n n S S n -+=-，两式作差可得：()122142nn a a n n ++=-=-，① 进一步有：()141246n n a a n n -+=--=-，②①-②可得：114n n a a +--=，故数列的偶数项为等差数列，且公差为4， 据此可得：1024a a d =+，即：22844a =+⨯，解得：212a =.应选：C.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n nn S S a +-=转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 12.()e xf x x =，又2()()()1()g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，那么实数t 的取值范围是〔〕A.21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B.212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D.21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围.【详解】,0()e ,0x xxxe x f x x xe x ⎧≥==⎨-<⎩， 当x ⩾0时,()0x x f x e xe '=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数；当x <0时,()(1)x x x f x e xe e x '=--=-+，由f ′(x )=0,得x =−1,当x ∈(−∞,−1)时,f ′(x )=−e x(x +1)>0,f (x )为增函数，当x ∈(−1,0)时,f ′(x )=−e x(x +1)<0,f (x )为减函数，所以函数f (x )=|xe x|在(−∞,0)上有一个最大值为1(1)f e-=， 那么函数()f x 的大致图象如下列图：令f (x )=m ,要使方程f 2(x )−tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根，那么方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内. 再令h (m )=m 2−m +1,因为h (0)=1>0,那么只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即21110t e e⎛⎫-⋅+< ⎪⎝⎭，解得21e t e +>. 应选：A.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在答题卡相应的位置上〕23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【解析】 【分析】此题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x ky ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的根底，此题易因为导数的运算法那么掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢〞，计算要准，是解答此类问题的根本要求．a 与b 的夹角为45，()1,1a=-，b 1=，那么a 2b +=______．.【解析】【详解】分析：先计算||a ，再利用向量模的公式求2a b +.详解：由题得2a ||=，所以2a b +=224424a b a b ++⋅=++==.点睛：(1)此题主要考察向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和根本计算才能.(2)假设(,)a x y =，那么222a x y a =+=.R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.【答案】2- 【解析】 【分析】利用题中条件可推出函数()y f x =是以3为周期的周期函数，由421n n a S -=可得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出3a 、5a 的值，再利用周期性和奇函数的性质求出()()35f a f a +的值.【详解】对任意的n ∈+N ，421n n a S -=，当1n =时，11421a S -=，得112a =； 当2n ≥时，由421nn a S -=得11421n n a S ---=，上述两式相减得14420n n n a a a ---=，整理得12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，231222a ∴=⨯=，451282a =⨯=.()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()32f x f x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =为奇函数， ()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =是以3为周期的周期函数，()()()()32111f a f f f ∴==-=-=-，()()()5821f a f f ===-，因此，()()352f a f a +=-，故答案为：2-.【点睛】此题考察函数周期性与奇偶性求值，同时也考察了利用前n 项和公式求数列的通项，考察运算求解才能，属于中等题.16.G 点为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，那么222sin sin sin A BC+的值是________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得222sin sin sin A BC+的值. 【详解】以点G 为坐标原点，建立如下列图的平面直角坐标系，设()()0,2,2,0A m B n ，由重心的性质可得：()()0,,,0Mm N n --，故直线AN 的方程为：12x y n m +=-，直线BM 的方程为：12x y n m+=-， 联立直线AN 与直线BM 的方程可得点C 的坐标为()2,2C n m --.结合两点之间间隔公式可得：222164a n m =+，222416b n m =+，22244c m n =+，利用正弦定理可知：222222sin sin 5sin A B a b C c++==. 故答案为：5．【点睛】此题主要考察正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕()|1|||f x x x a =++-.〔Ⅰ〕当2a=时，解不等式：()5f x x ≥；〔Ⅱ〕假设存在0x R ∈，使得()020f x -<，试务实数a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦〔Ⅱ〕{}|31a a -<<. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集； (Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得|1|||x x a ++-的最小值，据此得到关于a 的不等式即可确定实数a的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕|1||2|5x x x ++-≥，1125x x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩或者12125x x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩或者2125x x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 所以，1x ≤-或者315x -<≤或者x ∈∅， 不等式解集为3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 〔Ⅱ〕即假设存在0x R ∈，使得()02f x <，因为|1|||x x a ++-|(1)()||1|x x a a +--=+，所以|1|2a +<， 所以a 的取值范围为{}|31a a -<<.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．18.cos 2,2sin 34ax x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1,sin 4b x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记()f x a b =⋅〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间和图象的对称轴方程； 〔Ⅱ〕画出函数()f x 在区间[0,]π上的图象.【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;对称轴方程是32k x ππ=+，()k ∈Z ；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先将函数的解析式整理为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后讨论函数的单调递增区间和函数的对称轴方程即可；(Ⅱ)首先利用函数的解析式列表，然后绘制函数图像即可.【详解】〔Ⅰ〕()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈， 那么：222233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，据此可得()f x 的单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.令262x k πππ-=+，可得对称轴方程为32k x ππ=+，()k ∈Z .〔Ⅱ〕列表可得函数值如下：据此绘制函数图像如下列图：【点睛】此题主要考察三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，三角函数图象的绘制等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，37b =，763S =，设11n n c a =+，求证：数列{}n n b c ⋅的前n 项和2n T <.【答案】〔Ⅰ〕31n n a =-〔Ⅱ〕证明见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用题中所给的递推关系式构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)由题意首先求得数列的首项和公差，据此即可确定数列{}n b 的通项公式，据此确定数列{}n n b c ⋅的通项公式，最后错位相减求得其前n 项和即可证得题中的结论. 【详解】〔Ⅰ〕∵数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈，∴()1131n n a a ++=+，113a +=，∴{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n na +=，31n n a =-.〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的公差为d ，那么：3127b b d =+=，7172163S b d =+=，解得13b =，2d =，所以，21n b n =+，1(21)3n n n b c n =+ 23111111357(21)(21)33333n n nT n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔1〕3142111111357(21)(21)333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔2〕〔1〕－〔2〕得，23121111112(21)3333333n nn T n +⎛⎫=+⋅++++-+⋅ ⎪⎝⎭111111332(21)13313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅-+⋅-141(24)33n n +=-+，12(2)3n nT n =-+⋅ 12(2)23n nT n=-+⋅<. 【点睛】此题主要考察由递推关系式求解数列通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )sin 30A A B C A -+-=〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕假设2a=，求ABC ∆的周长L 的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕3A π=.〔Ⅱ〕6【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用诱导公式和两角和差正余弦公式得到关于A 的三角方程，然后结合角的范围即可确定∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合正弦定理将边长整理为关于∠B 的三角函数式，然后结合三角函数的性质和角的范围即可求得周长的最大值. 【详解】〔Ⅰ〕∵A B C π++=，∴cos()cos B C A +=-①，∵32A A A =+，∴sin 3sin(2)A A A =+sin 2cos cos2sin A A A A =+②，又sin 22sin cos A A A =③，2cos22cos 1A A =-④，将①②③④代入，得2sin 2cos A A Asin 2cos cos 2sin A A A A =++得sinA A +=sin 3A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴233A ππ+=，即3A π=.2sin sin 3b c B B π==⎛⎫- ⎪⎝⎭∵62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，当62B ππ+=时，即3B π=，ABC ∆的周长max 6L =.【点睛】解三角形的根本策略：一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化边〞；求三角形周长的最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.{}n a 满足()1,2n n a a n N n -+<∈≥，记数列{}n a 前n 项和n S ，()2*441n n S a n n N =+-∈，其中13a ≠.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设()*11n n n b n N a a +=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设9n m T ≤恒成立，务实数m 的最小值.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕92【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分类讨论n =1和n ≥2两种情况即可确定数列的通项公式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论首先裂项求和求得数列{}n b 的前n 项和为nT，然后结合恒成立的结论确定实数m 的取值范围即可确定实数m 的最小值. 【详解】〔Ⅰ〕()2441n n S a n n N +=+-∈，令1n =，可得：21441n a a =+-，解得13a =〔舍〕或者11a =2441n n S a n =+-，211445(2)n n S a n n --=+-≥，两式作差得，22144n n n a a a -=-+，即()2212n n a a --=，所以12nn a a --=±. 〔1〕当12(2)nn a a n --=≥时，{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，此时，12(1)21n a n n =+-=- 〔2〕当12(2)n n a a n -+=≥时，11a =，此时1n a =，不满足数列{}n a 是递增数列，舍去.所以21na n =-，〔Ⅱ〕111(21)(21)nn n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭19292n m T m <≤⇒≥，实数m 的取值范围9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 那么实数m 的最小值为92. 【点睛】此题考察的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，本质上造成正负相消是此法的根源与目的．21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间； 〔Ⅱ〕设2()2x g x e x e =--+，假设对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕ln 21a >- 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)首先求得函数()g x 的最大值，然后进展等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定a 的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕()2(1)(2)()21(0)ax x f x ax a x x x--'=-++=>. ①当0a ≤时，0x >，10ax ，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =时，2(2)()02x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a>时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞上，()0f x '>；区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕设()1x g x e '=-，2(]0,x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，由，()max g(2)0gx ==.据此可得max()0f x <.由〔Ⅰ〕可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2f x f a a ==-++222ln 2a =--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故max 11()22ln 2f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展：(1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考察数形结合思想的应用．。

2020届上海市行知中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各式中，正确的个数是（ ）（1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈； （6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据集合的相关定义逐个判断。

【详解】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误空集是任何集合的子集，故（2）正确∅和{}0都表示集合，故（3）错误0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误{}00∈，故（5）正确{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误 {}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确 综上，正确的个数是4个 故选D 【点睛】本题主要考查了空集的辨析，一定要运用定义来进行判断，较为基础。

2．设110b a<<，则下列不等式恒成立的是 A ．a b >B ．aa b b<- C ．33332b a a b+>D ．11||||b a < 【答案】C【解析】利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案. 【详解】 因为110b a<<，所以0a b <<，所以A 项不正确； 因为0a b <<，所以0ab>，0a b -<，则a a b b >-，所以B 不正确；因为0a b <<，则33330,0b a a b >>，所以3333333322b a b a a b a b +≥⋅=， 又因为0a b <<，则3333b a a b≠，所以等号不成立，所以C 正确；由0a b <<，所以11||||b a >，所以D 错误. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“为[0,1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件 【答案】D 【解析】函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.4．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个函数()f x 满足：① {()|}T f x x S =∈；② 对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合为“S 到T 的保序同构”，以下集合对不是“A 到B 的保序同构”的是（ ） A.,A B *==ΝNB.{}|13A x x =-≤≤，{}|8010B x x x ==-≤≤或C.{}|01A x x =<<，B =RD.A =Z ，B =Q【答案】D【解析】由题意可知S 为函数的一个定义域，T 为其所对应的值域，且函数y ＝f （x ）为单调增函数，对题目给出的4个选项中的集合逐一分析看是否能找到这样的函数y ＝f （x ）即可． 【详解】对于A 中的两个集合，可取函数f （x ）＝x -1，x ∈N *，满足：（i ）B ＝{f （x ）|x ∈A }；（ii ）对任意x 1，x 2∈A ，当x 1＜x 2时，恒有f （x 1）＜f （x 2），故A 是“保序同构”；对于B 中的两个集合，可取函数()8,155,1322x f x x x -=-⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩ 满足题意,是“保序同构”； 对于C 中的两个集合，可取函数f （x ）2tan x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0＜x ＜1），是“保序同构”．利用排除法可知选：D 故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．二、填空题5．若集合{|22}A x x =∈-≤≤Z ，2{|1,}B y y x x A ==+∈，则用列举法表示集合B =________【答案】{5,2,1}【解析】根据题意，分析集合A 可得A 中的元素，将其元素代入y ＝x 2+1中，计算可得y 的值，即可得B 的元素，用列举法表示即可得答案． 【详解】根据题意，A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 对于集合B ＝{y |y ＝x 2+1，x ∈A }， 当x ＝±2时，y ＝5， 当x ＝±1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝1； 故答案为：{5,2,1} 【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B 中x 所取的值为A 中的元素且必须用列举法表示． 6．命题“如果2x >且2y >，那么4x y +>”的否命题是________命题（填真或假） 【答案】假【解析】判断逆命题的真假，再判断否命题即可． 【详解】“如果x ＞2且y ＞2，那么x +y ＞4”的逆命题是：“如果4x y +>那么2x >且2y >”是假命题，例如4,1x y ==，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假 【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题． 7．不等式2log 2x ≤的解集为________ 【答案】(0,4]【解析】利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集． 【详解】由题22log log 404x x ≤∴<≤ 故答案为：(0,4] 【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目． 8．已知一元二次函数()f x 满足(0)(2)f f =，若()f x 在区间[,1]2aa +上不单调，则a 的取值范围是________ 【答案】(0,2)【解析】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a ，解不等式可求a 的范围 【详解】由f （x ）在区间[,1]2a a +上不单调可知对称轴x ＝1∈,12a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且a +1＞2a，解不等式可得a 的取值范围是(0,2) 故答案为：(0,2) 【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 9．关于x 的不等式1mx <的解集为(,)m +∞，则实数m 为________ 【答案】1-【解析】利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 【详解】 由题知m <0,且1x m>，故1m m =，解得m=1-故答案为：1- 【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m 的符号判断 10．已知幂函数()n f x x =为偶函数，且在(0,)+∞上递减，若111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----，则n 可能的值为________【答案】2-【解析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可． 【详解】111{2,1,,,,1,2,3}232n ∈----幂函数y ＝x n 为偶函数，所{2,2}n ∈-，即y ＝x ﹣2，y ＝x 2，在（0，+∞）上递减，有y ＝x ﹣2， 所以n 的可能值为：﹣2，． 故答案为：﹣2，． 【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝______. 【答案】-13【解析】f x （） 是定义在R 上的奇函数，则有f x f x -=-（）（），则()()4293,f log f log = 当0x ＜ 时，2x f x =（）， 则当当0x > 时，0,x -＜22x x f x f x ---=∴=-（），（），故()()221334219322.3log log f log f log -==-=-=-故答案为：13． 12．函数2()lg(1)f x x =-，集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==，则图中阴影部分表示的集合为________【答案】(,1](0,1)-∞-【解析】首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A ，B ；由图知阴影部分表示的集合为将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果 【详解】∵f （x ）＝lg （1﹣x 2），集合A ＝{x |y ＝f （x ）}，B ＝{y |y ＝f （x ）}， ∴A ＝{x |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{x |1﹣x 2＞0}＝{x |﹣1＜x ＜1} B ＝{y |y ＝lg （1﹣x 2）}＝{y |y ≤0} ∴A ∪B ＝{x |x ＜1} A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤0}根据题意，图中阴影部分表示的区域为A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1） 故答案为：(,1](0,1)-∞- 【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．13．若关于x 的不等式|21x a x -+在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 【答案】2a >【解析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】 由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|21x a x -+恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a ＞-x+1或2x-a ＜x-1， 所以a ＜3x-1或a ＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．如果，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和log (1)a y x a =>的图像上，则实数a 的值为________2【解析】设B （x ，2log a x ），利用BC 平行于x 轴得出C （x 2，2log a x ），利用AB 垂直于x 轴 得出 A （x ，3log a x ），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为log a x ＝x 2﹣x ＝2，求出x ，再求a 即可． 【详解】设B （x ，2log a x ），∵BC 平行于x 轴，∴C （x ′，2log a x ）即log a x ′＝2log a x ，∴x ′＝x 2， ∴正方形ABCD 边长＝|BC |＝x 2﹣x ＝2，解得x ＝2．由已知，AB 垂直于x 轴，∴A （x ，3log a x ），正方形ABCD 边长＝|AB |＝3log a x ﹣2log a x ＝log a x ＝2，即log a 2＝2，∴a 2=2 【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．15．设A 、B 是R 的两个子集，对任意x ∈R ，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，01x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩，若A B ⊆，则对任意x ∈R ，(1)m n -=________ 【答案】0【解析】由A ⊆B ．由x ∉A 时，m ＝0，可得m （1﹣n ）．x ∈A 时，必有x ∈B ，可得m ＝n ＝1． 【详解】∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m ＝0，m （1﹣n ）＝0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m （1﹣n ）＝0． 综上可得：m （1﹣n ）＝0． 故答案为：0 【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【答案】(,1)-∞ 【解析】【详解】分别作(),y f x y x a ==+图象，由图象可得实数a 的取值范围是(,1)-∞三、解答题17．已知()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.（1）求1()f x -；（2）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围；【答案】（1）12()log (1)f x x -=+（1x >-）；（2）[0,1].【解析】（1）利用反函数求法求解解析式及定义域即可（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式； 【详解】（1）由y ＝2x ﹣1得2x ＝y +1，∴x ＝log 2（y +1） ∴f ﹣1（x ）＝log 2（x +1）（x ＞﹣1）（2）由f ﹣1（x ）≤g （x ）得log 2（x +1）≤log 4（3x +1）∴log 4（x +1）2≤log 4（3x +1）∴210310(1)31x x x x +⎧⎪+⎨⎪+≤+⎩＞＞得01x ≤≤ 【点睛】本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，4AP BC ==，30ABC ∠=，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ，求tan θ的值. 【答案】（183；（2）15tan θ=. 【解析】（1）三棱锥P ﹣ABC 中，由P A ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，利用V P ﹣ABC 13ABCS =•P A能求出三棱锥P ﹣ABC 的体积．（2）取AC 中点F ，连接DF ，EF ，则AB ∥DF ，得∠EDF （或其补角）就是异面直线AB 与ED 所成的角θ，由此能求出tanθ． 【详解】（1）三棱锥P ﹣ABC 中，∵P A ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AP ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，D 、E 分别是BC 、AP 的中点， ∴AC ＝2，AB ＝23， 所以，体积V P ﹣ABC 13ABC S =•P A 83=． （2）取AC 中点F ，连接DF ，EF ，则AB ∥DF ，所以∠EDF （或其补角）就是异面直线AB 与ED 所成的角θ． 由已知，AC ＝EA ＝AD ＝2，AB ＝23，PC ＝25， ∵AB ⊥EF ，∴DF ⊥EF ． 在Rt △EFD 中，DF 3=，EF 5=，所以，tanθ15=．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．已知A 、B 两地的距离是100km ，按交通法规定，A 、B 两地之间的公路车速x 应限制在60~120km /h ，假设汽油的价格是7元/L ，汽车的耗油率为26L /h 400x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？ 【答案】80,280【解析】将总费用表示出来1120074xw x =+，再利用均值不等式得到答案. 【详解】 设总费用为w 则210042007700011200767701(60120)4004400x x x x x w x x x x ⎛⎫+⨯+⋅=++=+≤≤ ⎪⎝⎭=⋅ 112007280(60120)4xx w x +≥≤≤=当112007804xx x =⇒=时等号成立，满足条件 故最经济的车速是80/km h ，总费用为280 【点睛】本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力. 20．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A . 【答案】(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证； （2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ．【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--．∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x-≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，，，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题． 21．已知4()log (41)x f x kx =++是偶函数，()2x x ϕ=. （1）求k 的值，并判断函数1()()2h x f x x =-在R 上的单调性，说明理由； （2）设44()log (2)3xg x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图像有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的一个函数()m x ，如果存在一个常数0M >，使得式子11|()()|ni i i m x m x M -=-≤∑对一切大于1的自然数n 都成立，则称函数()m x 为“[,]p q 上的H 函数”（其中，011i n p x x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=）.试判断函数()x ϕ是否为“[1,3]-上的H 函数”，若是，则求出M 的最小值；若不是，则说明理由.（注：121()()()()n i n i k x k x k x k x ==++⋅⋅⋅+∑）.【答案】（1）12k =-，递减；理由见解析；（2）(1,){3}+∞-；（3）是，152. 【解析】（1）由偶函数的定义可得f （﹣x ）＝f （x ），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；函数h （x ）＝f （x ）12-x ＝log 4（4x +1）﹣x 在R 上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明； （2）由题意可得log 4（4x +1）12-x ＝log 4（a •2x 43-a ）有且只有一个实根，可化为2x +2﹣x＝a •2x 43-a ，即有a 22423xxx -+=-，化为a ﹣141234223xx x +⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．（3）利用()()()()12max min x x M x x M ϕϕϕϕ-≤⇔-≤求解即可 【详解】（1）f （x ）＝log 4（4x +1）+kx 是偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），即log 4（4﹣x +1）﹣kx ＝log 4（4x +1）+kx ，即有log 44141x x -+=+2kx ，可得log 44﹣x ＝﹣x ＝2kx ，由x ∈R ，可得k 12=-； 又函数h （x ）＝f （x ）12-x ＝log 4（4 x+1）﹣x=44411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在R 上递减，理由：设x 1＜x 2，则h （x 1）﹣h （x 2）＝log 4（1114x +）﹣log 4（2114x +） ＝log 4（4﹣x 1+1）﹣log 4（4﹣x 2+1），由x 1＜x 2，可得﹣x 1＞﹣x 2，可得log 4（4﹣x 1+1）＞log 4（4﹣x 2+1），则h （x 1）＞h （x 2），即y ＝f （x ）12-x 在R 上递减； （2）g （x ）＝log 4（a •2x 43-a ），若函数f （x ）与g （x ）的图象有且仅有一个交点， 即为log 4（4x +1）12-x ＝log 4（a •2x 43-a ）有且只有一个实根，可化为2x +2﹣x ＝a •2x 43-a ，即有a 22423xxx -+=-，化为a ﹣141234223x x x+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 可令t ＝143+•2x （t ＞1），则2x 334t -=， 则a ﹣1216162593425934t t t t t==-++-， 由9t 25t +-34在（1，53）递减，（53，+∞）递增， 可得9t 25t+-34的最小值为34＝﹣4， 当a ﹣1＝﹣4时，即a ＝﹣3满足两图象只有一个交点； 当t ＝1时，9t 25t+-34＝0，可得a ﹣1＞0时，即a ＞1时，两图象只有一个交点， 综上可得a 的范围是（1，+∞）∪{﹣3}．（3）()2x x ϕ=是H 函数，理由如下：由题当任意的[]12,1,3x x ∈-，有()()()()12max min x x M x x M ϕϕϕϕ-≤⇔-≤因为()2x x ϕ=单调递增，则()()max min 1158,,22x x M ϕϕ==∴≥，故M 的最小值为152【点睛】本题考查函数的导函数与单调性，方程与函数零点，考查转化化归能力，是中档题。

2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 已知命题p:∀x∈R，e x≥1+sin x，则命题¬p为( )A.∀x∈R，e x<1+sin xB.∀x∈R，e x≤1+sin xC.∃x0∈R，e x0≤1+sin x0D.∃x0∈R，e x0<1+sin x02. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A.18B.14C.6D.−103. 若集合A={x∈N||x−1|≤1}，B={x|y=√1−x2}，则A∩B的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.84. 已知α∈(0,π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=()A.√55B.15C.2√55D.√335. 若复数z满足iz=2+4i（其中i为虚数单位），在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 下列命题中(1)若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；(2)“x=5”是“x2−4x−5=0”的充分不必要条件；(3)命题“若x<−1，则x2−2x−3>0”的否命题为：“若x≥−1，则x2−2x−3≤0”；(4)已知命题p：∃x∈R，x2+x−1<0，则¬p：∀x∈R，x2+x−1≥0；正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.47. 已知向量m→=(a,−1)，n→=(2b−1,3)(a>0,b>0)，若m→//n→，则2a +1b的最小值为( )A.12B.10+2√3C.15D.8+4√38. 已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2，若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于（）A.4B.3C.2D.19. 如图所示是y=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )A.y=23sin(2x+π3) B.y=23sin(2x+π4)C.y=23sin(2x−π3) D.y=23sin(2x+2π3)10. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，并且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log210)的值为( )A.−25B.35C.−35D.2511. 已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，若椭圆离心率e1=√22，则双曲线C2的离心率e2=( )A.√72B.2 C.√62D.312. 已知函数f(x)=x1+|x|，如果f(1−t)+f(2−t)<0，则实数t的取值范围是( )A.t>32B.t<32C.t>12D.t<12二、填空题抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C（点B在点A，C之间），若|BC|=3|BF|，且|AB|=9，则p=________．三、解答题已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cos A+2sin C．(1)求角A的大小；(2)若b+c=5，且△ABC的面积为√3，求a的值；(3)若a=√3，求b+c的范围．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a4=3，a2，a3，a5成等比数列．(1)求a n；(2)设b n=3n−1+2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．设f(x)=|x−2|+|x+2|．(1)解不等式f(x)≥6；(2)对任意的非零实数x，有f(x)≥m2−m+2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p:∀x∈R，e x≥1+sin x的否定是：∃x0∈R，e x0<1+sin x0．故选D.2.【答案】C【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i>5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1，i=2，S=18，不满足条件i>5，i=4，S=14，不满足条件i>5，i=8，S=6，满足条件i>5，退出循环，输出S的值为6．故选C．3.【答案】A【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】分别求出集合A和B，从而求出A∩B＝{0, 1}，由此能求出A∩B的真子集的个数．【解答】解：集合A={x∈N||x−1|≤1}，B={x|y=√1−x2}，∴A={0, 1, 2}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B={0, 1}，∴A∩B的真子集的个数为22−1=3．故选A.4.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 2sin2α=cos2α+1，∴ 4sinαcosα=2cos2α，∴cosα=2sinα.∵sin2α+cos2α=1，∴ 4sin2α+sin2α=1，∴sin2α=15.又α∈(0,π2)，∴sinα=√15=√55.故选A.5.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由iz=2+4i，得：z=2+4ii =(2+4i)⋅(−i)−i2=−2i+4，∴复数z对应的点的坐标为(4,−2)，即在第四象限. 故选D.6.【答案】C【考点】全称命题与特称命题复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的否定【解析】利用复合命题，充要性的判断，否命题以及全称命题的否定逐个判断即可. 【解答】解：对于(1)，若p ∨q 为真命题，则p ，q 都为真命题或p ，q 一真一假， 则p ∧q 的真假不确定，故(1)错误；对于(2)，x =5时，x 2−4x −5=25−20−5=0，充分性成立， x 2−4x −5=0时， x =5或x =−1，必要性不成立，所以x =5是x 2−4x −5=0 的充分不必要条件，故(2)正确； 对于(3)，命题“若x <−1，则x 2−2x −3>0的否命题为： 若x ≥−1，则x 2−2x −3≤0"，故(3)正确； 对于(4)，命题p ：∃x ∈R ，x 2+x −1<0， 则¬p ：∀x ∈R ，x 2+x −1≥0，故(4)正确． 故正确命题的个数为3个. 故选C ． 7.【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据向量平行，建立m ，n 的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：向量 m →=(a,−1)， n →=(2b −1,3)(a >0,b >0)， 若 m →//n →，则2b −1+3a =0， 即2b +3a =1，∴ 2a+1b=(2a+1b)(2b +3a)=8+4b a+3a b≥8+2√4b a⋅3a b=8+4√3，当且仅当4b a=3a b，即a =2√33b ， 即a =3−√36，b =√3−14时取等号． 故最小值为8+4√3.故选D ． 8. 【答案】 B【考点】 类比推理棱锥的结构特征 【解析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“AOOM =3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM =√63，又O 到四面体各面的距离都相等，所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，则有r =3VS 表，可求得r 即OM ，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：AO OM=3．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM =√63，又O 到四面体各面的距离都相等， 所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，利用等体积法有：4×13×√34r =13×√34×√63，解得r =√612，即OM =√612，所以AO =AM −OM =√64，所以AO OM=3.故选B .9.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据图象的最高点和最低点求出A ，根据周期T =5π12−(−7π12)求ω，图象过(−π12,23)，代入求φ，即可求函数f(x)的解析式； 【解答】解：由图象的最高点23，最低点−23可得A =23， 周期T =5π12−(−7π12)=π，∴ ω=2πT=2．图象过(−π12,23)，∴23=23sin[2×(−π12)+φ]，可得：φ=2kπ+2π3(k∈Z)，则当k=0时，解析式为：y=23sin(2x+2π3).故选D.10.【答案】C【考点】函数的周期性对数的运算性质函数的求值【解析】由f(x+4)=f(x)，可知函数周期T=4，f(log210)=f(log210−4)<0，根据f(x)奇函数，即可求解。