【卓越学案】高考理科数学新课标一轮复习练习：7.2一元二次不等式(含答案解析)

§7.2 一元二次不等式的解法考纲解读分析解读 1.一元二次不等式的解法是高考热点.2.熟练掌握图象法求解一元二次不等式的方法、步骤.3.理解分式不等式转化为一元二次不等式(组)的等价过程.4.以函数为载体,一元二次不等式的解法为手段,求参数的取值范围也是高考热点,属于中低档题.五年高考考点 一元二次不等式的解法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x 2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]答案 B2.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30] 答案 C3.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时, f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 . 答案 (-5,0)∪(5,+∞)教师用书专用(4—5)4.(2013广东,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为.答案{x|-2<x<1}5.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是.答案(-7,3)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一元二次不等式的解法1.(2018黑龙江大庆实验中学期中,5)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]答案 D2.(2017河北八所重点中学一模,7)不等式2x2-x-3>0的解集为( )A. B.C. D.答案 B3.(2017广东汕头潮阳黄图盛中学第三次质检,9)设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 B4.(2017上海浦东新区期中联考,17)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]答案 A5.(2018全国名校第三次联考,13)不等式x2-2ax-3a2<0(a>0)的解集为.答案{x|-a<x<3a}6.(2018豫北豫南名校精英联赛,13)不等式x2-3|x|+2>0的解集是.答案(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)7.(2017重庆二诊,13)若关于x的不等式(2a-b)x+(a+b)>0的解集为{x|x>-3},则= .答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,8)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为( )A. B.C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}答案 A2.(2018黑龙江哈尔滨第六中学高三10月阶段考试,7)已知关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的整数a的值之和是( )A.13B.18C.21D.26答案 C3.(2017四川成都实验外国语学校二诊,8)已知0<a1<a2<a3,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B4.(2017湖北重点高中联合协作体期中,11)已知函数f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的a的取值范围是( )A.(0,2)B.(1,)C.(1,2)D.(0,)答案 B5.(2016湖南衡阳八中一模,8)已知函数f(x)=若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有1个整数解,则实数a的最大值是( )A.2B.3C.5D.8答案 D二、填空题(共5分)6.(2017上海浦东新区期中联考,11)已知f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1-x),a>0且a≠1,则使f(x)-g(x)>0成立的x的集合是.答案{x|-1<x<0}(0<a<1)或{x|0<x<1}(a>1)三、解答题(共15分)7.(2017中原名校豫南九校第四次质量考评,19)已知函数f(x)=a(x2+1)+ln x.(1)当a≥0时,解关于x的不等式f(x)>2a;(2)若对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,求实数m的取值范围.解析(1)f '(x)=2ax+=(x>0),当a≥0时,恒有f '(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(1)=2a,所以f(x)>2a可化为f(x)>f(1),故x>1.所以原不等式的解集为{x|x>1}.(2)对任意a∈(-4,-2)及x∈[1,3],恒有ma-f(x)>a2成立,等价于ma-a2>f(x)max,x∈[1,3],当a∈(-4,-2)时,由f '(x)=≤0,得x≥,因为a∈(-4,-2),所以<<<1.从而f(x)在[1,3]上是减函数,所以f(x)max=f(1)=2a,所以ma-a2>2a,即m<a+2.因为a∈(-4,-2),所以-2<a+2<0,所以实数m的取值范围为m≤-2.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 一元二次不等式及分式不等式的解法1.(2017安徽江淮十校第三次联考,5)|x|(1-2x)>0的解集为( )A.(-∞,0)∪B.C. D.答案 A2.(2018上海长宁、嘉定一模,2)不等式≤0的解集为.答案(-1,0]3.(2017江苏南京一模,12)已知函数f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为.答案-方法2 解含参数的一元二次不等式4.(2016福建福州校级期末,17)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.解析(1)根据题意,得方程ax2-3x+2=0的两个根为1和b,∴由根与系数的关系,得解之得a=1,b=2.(2)由(1)知不等式ax2-(am+b)x+bm<0即为不等式x2-(m+2)x+2m<0,因式分解,得(x-m)(x-2)<0,①当m=2时,原不等式的解集为⌀;②当m<2时,原不等式的解集为(m,2);③当m>2时,原不等式的解集为(2,m).方法3 一元二次不等式恒成立问题的解题方法5.(2017四川成都七中二诊,11)已知函数f(x)=x2-2ax+1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是( )A. B.[-1,1] C.(-∞,1] D.答案 C6.(2018江苏南京金陵中学高三上学期月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是.答案1≤t≤。

高考数学一轮复习《一元二次不等式》练习题（含答案）一、单选题1．已知集合{}23A x x =-<<，()(){}170B x x x =--<，则A B ⋃=（ ） A ．{}13x x <<B ．{}21x x -<<C ．{}37x x <<D ．{}27x x -<<2．不等式220x x -->的解集是（ ） A ．{x |x <－1或x >1} B ．{x |－1<x <2} C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |－2<x <1}3．已知集合{}{}22,1,0,2,3,4,|340A B x x x =--=--<，则A B =（ ）A ．{}1,0,2,3,4-B ．{}0,2,3,4C ．{}0,2,3D ．{}2,34．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y+≥m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥85．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B ⋂（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2,3D ．{}1,26．已知集合{}1A x x =>，{}240B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x <<C ．{}12x x <≤D ．{}2x x ≥7．若对任意12x ≤≤，有2x a ≤恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|4}a a ≥ C ．{|5}a a ≤D ．{|5}a a ≥8．已知集合{}2|3440=--<M x x x ，{}||1|1N y y =-≤，则M N ⋂=（ ）A ．[]0,2B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．[]1,2D ．∅9．若集合{}220A x x x =--<，{}21B x x =<，则A B =（ ）A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,210．若命题“x ∃∈R ，()2214(1)30k x k x -+-+≤”是假命题，则k 的范围是（ ）A ．()1,7B ．[)1,7C ．()7,1--D ．(]7,1--11．若关于x 不等式20ax bx c ++≥的解集为[2,3]-，则关于x 不等式20cx bx a ++≥的解集为（ ） A ．11[,]23-B ．11[,]32-C ．11(,][,)23-∞-+∞D ．11(,][,)32-∞-+∞12．已知一元二次不等式kx 2 -x +1<0的解集为{x |a <x <b } ，则2a +b 的最小值是（ ）A ．3+B ．5+C ．3+D ．5+二、填空题13．若命题:P x R ∀∈，210ax a ++-≥是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．已知集合{}2202120200A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______．15．若关于x 的一元二次不等式210x ax -+≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是______.16．已知命题0:p x ∃∈R ，200(1)10x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为__________．三、解答题17．已知函数)(23f x x ax =-+．（1）若不等式)(f x b <的解集为)(0,2，求实数a ，b 的值；（2）若函数)()()(212g x f x a x =+--在区间](0,2有零点，求实数a 的范围．18．已知不等式组22,780x x x -<⎧⎨+-<⎩的解集为A ，集合{}535B x a x a =-<<-．(1)求A ；(2)若A B B ⋃=，求a 的取值范围．19．已知集合(){}222120A x x a x a a =-+++<．(1)若{}13A x x =<<，求实数a 的值； (2)设，若“x B ∀∈，x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．20．（1）求不等式2560x x -++>的解集； （2）解不等式：()()20x a x -->；（3）关于x 的不等式210ax ax ++>的解集为R ，求实数a 的取值范围．21．命题p ：函数()22lg 43(0)y x ax a a =-+->有意义，命题q ：实数x 满足302x x -<-． （1）当1a =且p 和q 都为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知集合()(){}130A x x x =--≤，集合{}1B x m x m =-≤≤． (1)当1m =时，求A B ⋃和()RA B ⋃．(2)若B A ⊆，求实数m 的取值范围．23．二次函数2(2)3(0)y ax b x a =+-+≠. (1)当1a =，6b =时，求此函数的零点；(2)若不等式0y >的解集为{}11xx -<<∣，求实数a ，b 的值； (3)当1b a =-时，不等式10y ->在R 上恒成立，求实数a 的取值集合。

第2节一元二次不等式的解法【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016漳州质检)不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是(C)(A) (-∞,)∪(2,+∞) (B)R(C) (,2) (D)解析:因为不等式(x-2)(2x-3)<0,解得<x<2,所以不等式的解集是(,2).2.不等式≤0的解集为(A)(A)(B)(C)∪[1,+∞) (D)∪[1,+∞)解析:不等式≤0⇒⇒-<x≤1.故选A.3.已知函数f(x)=则不等式f (x)≥x2的解集为(A)(A)[-1,1] (B)[-2,2] (C)[-2,1] (D)[-1,2] 解析:当x≤0时,x+2≥x2,所以-1≤x≤0,①当x>0时,-x+2≥x2,所以0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.故选A.4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的值的集合是(D)(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4}(C){a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4}解析:集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,等价于ax2-ax+1<0无解.当a=0时,原不等式可化为1<0,满足条件;当a≠0时,由ax2-ax+1<0无解,得即解得0<a≤4,综上可知0≤a≤4.5.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(C)(A)m>(B)0<m<1(C)m>0 (D)m>1解析:不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则有Δ=1-4m<0,所以m>,所以它的一个必要不充分条件应为m>0.6.不等式x2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3},则bx2-ax-1>0的解集为(C)(A){x|2<x<3} (B){x|<x<}(C){x|-<x<-} (D){x|-3<x<-2}解析:因为x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},所以a=5,b=-6,所以不等式bx2-ax-1>0,即为-6x2-5x-1>0,解得-<x<-.7.(2015长沙校级二模)产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(C)(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台解析:由题意知产量为x台时,总售价为25x;欲使生产者不亏本,必须满足总售价大于等于总成本,即25x≥3 000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).故欲使生产者不亏本,最低产量是150台.8.(2015高考江苏卷)不等式<4的解集为.解析:不等式<4可转化为<22,由指数函数y=2x为增函数知,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为(-1,2).答案:(-1,2)9.(2015河西区二模)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(-2a,4a),又x2-2ax-8a2<0(a>0)解集为(x1,x2),则x1=-2a,x2=4a,由x2-x1=6a=15得a=.答案:10.(2016衡水中学月考)定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x<0时,f′(x)<x,则不等式f(x)+≥f(1-x)+x的解集为.解析:令g(x)=f(x)-x2,则当x<0时,g′(x)=f′(x)-x<0,所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,因为g(-x)=f(-x)-x2=x2-f(x)-x2=x2-f(x) =-g(x)(x∈R),所以g(x)是R上的奇函数,所以g(x)在R上单调递减.因为f(1-x)=(x-1)2-f(x-1),所以不等式f(x)+≥f(1-x)+x即为f(x)+≥x2-x+1-f(x-1),即f(x)-x2≥x2-x+-f(x-1)=(x-1)2-f(x-1),也即g(x)≥-g(x-1)=g(1-x),所以x≤1-x,解得x≤,故原不等式的解集为(-∞,].答案: (-∞,]能力提升练(时间:15分钟)11.(2016长沙质检)已知函数f(x)=x(1+a|x|).设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若[-,]⊆A,则实数a的取值范围是(A)(A) (,0) (B) (,0)(C) (,0)∪(0,) (D) (-∞,)解析:a=0时,A= ,显然不满足条件.a>0时,易知f(0)=0,x>0时,f(x)=x(1+a|x|)>0,于是f(0+a)>0=f(0),而由已知[-,]⊆A可得0∈A,即f(0+a)<f(0),所以a>0也不满足条件,故a<0. 易知f(x)=在同一坐标系中画出y=f(x)与y=f(x+a)的图象如图所示.由图可知满足不等式f(x+a)<f(x)的解集A={x|x C<x<x B}.由x(1-ax)=(x+a)[1-a(x+a)]可得x C=;由x(1+ax)=(x+a)[1+a(x+a)],可得x B=-.所以A=(,-) (a<0).由[-,]⊆A,得解得<a<0.故选A.12.(2016重庆一中期中)若正实数x,y满足x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,则实数a的取值范围是.解析:因为正实数x,y满足x+2y+4=4xy,即x+2y=4xy-4,又不等式(x+2y)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,所以(4xy-4)a2+2a+2xy-34≥0恒成立,即2xy(2a2+1)≥4a2-2a+34恒成立,即xy≥恒成立.因为x>0,y>0,所以x+2y≥2,所以4xy=x+2y+4≥4+2,即2()2--2≥0⇒≥或≤-(舍去),可得xy ≥2(当且仅当x=2,y=1时等号成立),又xy≥恒成立,所以2≥恒成立,化简得2a2+a-15≥0⇒a≤-3或a≥.答案:(-∞,-3]∪[,+∞)13.如果关于x的不等式(1-m2)x2-(1+m)x-1<0的解集是R,则实数m的取值范围是. 解析:令1-m2=0,解得m=±1;当m=1时,不等式化为-2x-1<0,不满足题意;当m=-1时,不等式化为-1<0,满足题意;当m≠±1时,根据题意得,解得即m<-1或m>,综上,实数m的取值范围是m≤-1或m>.答案:(-∞,-1]∪(,+∞)14.已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:法一f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a∈(-∞,-1)时,结合图象(略)知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3.又a<-1,所以-3≤a<-1.②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.又a≥-1,所以-1≤a≤1.综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].法二由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,令g(x)=x2-2ax+2-a,即Δ=4a2-4(2-a)≤0或解得-3≤a≤1,故a的取值范围为[-3,1].精彩5分钟1.(2015闸北区一模)如果不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是.解题关键:将不等式转化为二次函数,作出函数图象,利用数形结合找出等价条件,求解.解析:不等式x2<|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a<0,设f(x)=x2-|x-1|-a,则f(x)=作f(x)的草图如图所示.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则等价为即即解得a≤5.答案:(-∞,5]2.(2015启东市校级期中)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+8),则实数c的值为.解题关键:(1)由函数f(x)的值域为[0,+∞)求得a,b的关系.(2)挖掘出题目的隐含条件|x1-x2|2=64建立方程求出c的值.解析:因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),所以函数的最小值为0,可得Δ=a2-4b=0,即b=a2,又因为关于x的不等式f(x)<c可化成x2+ax+b-c<0,所以x2+ax+a2-c<0,若不等式f(x)<c的解集为(m,m+8),也就是方程x2+ax+a2-c=0的两根分别为x1=m,x2=m+8,所以可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=64,即(-a)2-4(a2-c)=64,解得c=16.答案:16。

7.2 一元二次不等式及其解法一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2≤0，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A4. 已知全集U 为实数集R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －m >0，集合∁U A ＝{y |y ＝x 13，x ∈[－1,8]}，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析 集合∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 13，x ∈[－1，8]＝[－1,2]，故不等式x ＋1x －m >0，即不等式(x ＋1)(x －m )>0的解集为(－∞，－1)∪(m ，＋∞)，所以m ＝2. 答案 A5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 B6．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152 B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7]解析 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x＜8. 答案 C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题8．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 解析原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－x －1－3－x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，x ＋1－3－x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3，x ＋1－x －3≥0，解得1≤x ≤3或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．答案 {x |x ≥1}9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)10．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解析 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]． 答案(－∞，－1]11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2x >2，－x 2－x ＋4x ≤2，则不等式f (x )≤2的解集是________．解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1x －2≤2，x >2，或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.答案 (－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞12．若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________．解析 (等价转化法)将原不等式化为：m (x 2－1)－(2x －1)＜0.令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )＜0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f－2＜0，f 2＜0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－1－2x －1＜0，2x 2－1－2x －1＜0，解得－1＋72＜x ＜1＋32.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32【点评】 本题用改变主元的办法，将m 视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题13．已知f (x )＝2x 2－4x －7，求不等式f x－x 2＋2x －1≥－1的解集．解析 原不等式可化为2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1，等价于2x 2－4x －7x 2－2x ＋1≤1，即2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0， 即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0. 由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0.所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，x ≠1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x <1或1<x ≤4}． 14．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )，x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.15．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500，由月利润不少于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元．(2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元． 16．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解析 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1； (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.。

7-2一元二次不等式及其解法A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设U ＝R ，M ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U M ＝( )． A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)解析 ∵M ＝{x |x 2－2x ＞0}＝{x |x ＞2或x ＜0}， ∴∁U M ＝{x |0≤x ≤2}． 答案 A2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A3．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )． A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a ＜－4或a ＞4解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D4．(2011·济南二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 B5．(2011·沈阳模拟)如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )． A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125 C ．a ＜80D ．a ＞125解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a 5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·广东)不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 解析 原不等式等价于⎩⎨⎧x ＜－1，－x －1－(3－x )≥0或⎩⎨⎧－1≤x ≤3，x ＋1－(3－x )≥0或⎩⎨⎧x ＞3，x ＋1－(x －3)≥0，解得1≤x ≤3或x ＞3，故原不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案 {x |x ≥1}7．(2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)8．(★)不等式x ＞ax ＋32的解集为(4，b )，则a ＝__________，b ＝________. 解析 (等价转化法)设x ＝t ，则原不等式可转化为：at 2－t ＋32＜0，所以a ＞0，且2与b (b ＞4)是方程at 2－t ＋32＝0的两根，由此可得：a ＝18，b ＝36.答案 18 36【点评】 通过换元和等价转化把无理不等式的求解问题转化为解一元二次不等式问题，利用一元二次方程的根与系数的关系得解. 三、解答题(共23分)9．(11分)二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )＞－1.解 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8. 可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4. ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.由f (x )＞－1，－4x 2＋4x ＋7＞－1， 即x 2－x －2＜0，∴解集为{x |－1＜x ＜2}． 10．(★)(12分)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )，x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0. 故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0， ∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152B ．[2,8]C ．[2,8)D ．[2,7]解析 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8. 答案 C2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )． A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B ．[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．不等式ax 2＋(ab ＋1)x ＋b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a ＋b ＝________. 解析 ∵ax 2＋(ab ＋1)x ＋b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－ab ＋1a ＝3，b a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32或－3.答案 －32或－34．(★)(2012·泰州质检)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________．解析 (等价转化法)将原不等式化为：m (x 2－1)－(2x －1)＜0.令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )＜0恒成立，只需⎩⎨⎧f (－2)＜0，f (2)＜0即可，即⎩⎨⎧－2(x 2－1)－(2x －1)＜0，2(x 2－1)－(2x －1)＜0，解得－1＋72＜x ＜1＋32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32【点评】 本题用改变主元的办法，将m 视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题(共22分)5．(10分)一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)． (1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500，由月利润不少于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元． 6．(12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1； (2)当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； ②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1；③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.。

7.2 一元二次不等式及其解法一、填空题1.若a<0,则不等式22230x ax a --<的解集是 .解析 ∵22230x ax a --=, ∴123x a x a =,=-.又a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}.答案 {x|3a<x<-a}2．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 解析 由x 2－2x －3<0，得(x －3)(x ＋1)<0，即－1<x <3.∴A ＝{x |－1<x <3}．又∵B ＝{x |1≤x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |1≤x <3}．答案 {x |1≤x <3}3.已知不等式ax 2＋bx ＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a ＋b 等于 .解析 由题意得，a ＜0且－5＋1＝－b a ，－5×1＝1a， ∴a ＝－15，b ＝－45，∴a ＋b ＝－1. 答案 －14．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0 即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝ (x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)6．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________．解析 由5x 2－a ≤0，得－a 5≤x ≤ a 5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4， 所以4≤ a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 [80,125)7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________． 解析 由题意知⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＞x 或⎩⎨⎧ x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0.答案 {x |x ≠0}8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案 (－1,3)9．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值集合为________． 解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]10．不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a ，b 的值依次为________．解析 由题意，1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0两根，所以a ＝－3，b ＝2. 答案 －3,211．函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋1， x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________． 解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1， 所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]12．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ e 2x ＋13－x ＜1，则A ∩B ＝________. 解析 由|2x －1|＜3，得－3＜2x －1＜3，即－1＜x ＜2，A ＝{x |－1＜x ＜2}．由e 2x ＋13－x ＜1，得2x ＋13－x ＜0，即(2x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－12或x ＞3， B ＝{x |x ＜－12或x ＞3}．故A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1＜x ＜－12 13．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”．乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”．丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________． 解析 采用丙的方法：由xy ≤ax 2＋2y 2，得ax 2≥xy －2y 2，a ≥y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.因为x ∈[1,2]，y ∈[2,3]， 所以1≤y x≤3. 所以y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18. 当y x＝1，即x ＝2，y ＝2时取最大值－1，所以a ≥－1.答案 [－1，＋∞)二、解答题14.已知不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式2()ax ac b x -++bc<0.解析 (1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b},所以x=1与x=b 是方程2ax -3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=,⎪⎨⎪⨯=.⎩解得 12a b =,⎧⎨=.⎩ 所以 12a b =,⎧⎨=.⎩(2)原不等式2()ax ac b x -++bc<0,可化为2(2)x c x -++2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为∅.15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )， x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67， ∴m ＜67. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.16．已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －a x － a 2＋1 ＜0，x ∈R . (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解析 (1)若4∈B ，则4－a 3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)， 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 17．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解析 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅.②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅；b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－b 3， 解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧ a ＝3＋3，b ＝9.18．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解析 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2<－2，g －2 ≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4 3－a ≥0，－a 2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73. 此不等式组无解． ③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2>2，g 2 ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4 3－a ≥0，－a 2>2，4＋2a ＋3－a ≥0，⇔⎩⎨⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7， ⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。

高考数学（理科）一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案34 一元二次不等式及其解法导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ&gt;0Δ＝0Δ&lt;0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a 有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c&gt;0的解集a&gt;0{x|x&lt;x1，或x&gt;x2}{x|x≠____}______a&lt;0{x|x1&lt;x&lt;x2}________自我检测．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a&gt;0的解集是R，q：－1&lt;a&lt;0，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x&lt;0，则不等式f&gt;f的解集是A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知不等式x2－2x－3&lt;0的解集为A，不等式x2＋x－6&lt;0的解集是B，不等式x2＋ax＋b&lt;0的解集是A∩B，那么a＋b等于A．－3B．1c．－1D．34．已知f＝ax2－x－c&gt;0的解集为，则y＝f的图象是5．当x∈时，不等式x2＋mx＋4&lt;0恒成立，则m的取值范围为________________.探究点一一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：－x2＋2x－23&gt;0；9x2－6x＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式：2x2＋4x＋3&lt;0；－3x2－2x＋8≤0；8x－1≥16x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a&lt;0.变式迁移2 解关于x的不等式ax2－x＋1&lt;0.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3 已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f ≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3 关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3&lt;2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．若不等式x2＋px&gt;4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想的应用例已知不等式ax2＋bx＋c&gt;0的解集为，且0&lt;α&lt;β，求不等式cx2＋bx＋a&lt;0的解集．【答题模板】解由已知不等式的解集为可得a&lt;0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得ba＝－&#61480;α＋β&#61481;&lt;0，①ca＝αβ&gt;0.②[4分]∵a&lt;0，∴由②得c&lt;0，[5分]则cx2＋bx＋a&lt;0可化为x2＋bcx＋ac&gt;0.[6分]①÷②，得bc＝－&#61480;α＋β&#61481;αβ＝－1α＋1β&lt;0，由②得ac＝1αβ＝1α&#8226;1β&gt;0，∴1α、1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．[10分]∵0&lt;α&lt;β，∴不等式cx2＋bx＋a&lt;0的解集为{x|x&lt;1β或x&gt;1α}．[12分]【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c&gt;0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a&lt;0，要求cx2＋bx＋a&lt;0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知ca ＝α&#8226;β&gt;0，因a&lt;0，∴c&lt;0，从而知道cx2＋bx＋a&lt;0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a&lt;0两边同除c或a，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c&gt;0恒成立的条件是a&gt;0，Δ＝b2－4ac&lt;0；ax2＋bx＋c&lt;0恒成立的条件是a&lt;0，Δ＝b2－4ac&lt;0.一、选择题．函数y＝的定义域是A．[－2，－1)∪c．[－2，－1)∪∪2．已知集合P＝{x|x＋1x－1&gt;0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件c．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知集合m＝{x|x2－XXx－XX&gt;0}，N＝{x|x2＋ax ＋b≤0}，若m∪N＝R，m∩N＝A．a＝XX，b＝－XXB．a＝－XX，b＝XXc．a＝XX，b＝XXD．a＝－XX，b＝－XX4．若x2－x＋3&lt;0对任何实数x恒成立，则实数m 的取值范围是A．m&gt;1B．m&lt;－1c．m&lt;－1311D．m&gt;1或m&lt;－13115．已知a1&gt;a2&gt;a3&gt;0，则使得2&lt;1都成立的x的取值范围是A.0，1a1B.0，2a1c.0，1a3D.0，2a3二、填空题6．在R上定义运算&#8855;：x&#8855;y＝x，若不等式&#8855;&lt;1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________．7．已知函数f＝log2x，x&gt;0，x2，x≤0，则满足f&gt;1的x的取值范围为______________．8．已知函数f的定义域为，f′为f的导函数，函数y＝f′的图象如右图所示，且f＝1，f＝1，则不等式f&gt;1的解集为__________________．三、解答题9．解关于x的不等式x－ax－a2&lt;0．10．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a&lt;0的解集．11．已知函数f＝x2＋ax＋3.当x∈R时，f≥a恒成立，求a的取值范围；当x∈[－2,2]时，f≥a恒成立，求a的取值范围．学案34 一元二次不等式及其解法自主梳理．2 2.－b2a －b2a R &#8709; &#8709;自我检测．c 2.A 3.A 4.D5．＝x2＋mx＋4，根据题意得Δ＝m2－16&gt;0，f&#61480;1&#61481;≤0，f&#61480;2&#61481;≤0，解得m≤－5.课堂活动区例1 解题导引解一元二次不等式的一般步骤对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c&gt;0，ax2＋bx＋c&lt;0．计算相应的判别式．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解两边都乘以－3，得3x2－6x＋2&lt;0，因为3&gt;0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x|1－33&lt;x&lt;1＋33}．∵不等式9x2－6x＋1≥0，其相应方程9x2－6x＋1＝0，Δ＝2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x＝13，结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1 解∵不等式2x2＋4x＋3&lt;0可转化为22＋1&lt;0，而22＋1&gt;0，∴2x2＋4x＋3&lt;0的解集为&#8709;.两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，因为3&gt;0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是x1＝－2，x2＝43，所以原不等式的解集是．原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，即2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解．a＝0时，解为x&gt;0.a&gt;0时，Δ＝4－4a2.①当Δ&gt;0，即0&lt;a&lt;1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a2a，∴不等式的解集为{x|1－1－a2a&lt;x&lt;1＋1－a2a}．②当Δ＝0，即a＝1时，x∈&#8709;；③当Δ&lt;0，即a&gt;1时，x∈&#8709;.当a&lt;0时，①Δ&gt;0，即－1&lt;a&lt;0时，不等式的解集为{x|x&lt;1＋1－a2a或x&gt;1－1－a2a}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为2&gt;0，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ&lt;0，即a&lt;－1时，x∈R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为&#8709;；当0&lt;a&lt;1时，解集为{x|1－1－a2a&lt;x&lt;1＋1－a2a}；当a＝0时，解集为{x|x&gt;0}；当－1&lt;a&lt;0时，解集为{x|x&lt;1＋1－a2a或x&gt;1－1－a2a}；当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；当a&lt;－1时，解集为{x|x∈R}．变式迁移2 解①当a＝0时，解得x&gt;1.②当a&gt;0时，原不等式变形为&lt;0，∴a&gt;1时，解得1a&lt;x&lt;1；a＝1时，解得x∈&#8709;；0&lt;a&lt;1时，解得1&lt;x&lt;1a.③当a&lt;0时，原不等式变形为&gt;0，∵1a&lt;1，∴解不等式可得x&lt;1a或x&gt;1.综上所述，当a&lt;0时，不等式解集为∪；当a＝0时，不等式解集为；当0&lt;a&lt;1时，不等式解集为；当a＝1时，不等式解集为&#8709;；当a&gt;1时，不等式解集为．例3 解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解方法一f＝2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈时，f在[－1，＋∞)上单调递增，fmin＝f＝2a＋3.要使f≥a恒成立，只需fmin≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a&lt;－1；②当a∈[－1，＋∞)时，fmin＝f＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.方法二令g＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4≤0或Δ&gt;0，a&lt;－1，g&#61480;－1&#61481;≥0.解得－3≤a≤1.变式迁移3 解∵x2－2x＋3＝2＋2&gt;0，∴不等式4x＋mx2－2x＋3&lt;2同解于4x＋m&lt;2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m&gt;0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m&gt;0对任意实数x恒成立．∴Δ&lt;0，即64－8&lt;0，整理并解得m&lt;－2.∴实数m的取值范围为．∵x2＋px&gt;4x＋p－3，∴p＋x2－4x＋3&gt;0.令g＝p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g&gt;0，只要有g&#61480;0&#61481;&gt;0g&#61480;4&#61481;&gt;0.∴x&gt;3或x&lt;－1.∴实数x的取值范围为∪．课后练习区．A [由已知有≥0，∴x2－1&gt;0，x2－1≤1. ∴x&gt;1或x&lt;－1，－2≤x≤2.∴－2≤x&lt;－1或1&lt;x≤2.]2．D [化简得P＝{x&lt;－1，或x&gt;1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]3．D [化简得m＝{x|x&lt;－1或x&gt;XX}，由m∪N＝R，m∩N＝2&lt;1，即a2ix2－2aix&lt;0，即aix&lt;0，由于ai&gt;0，这个不等式可以化为xx－2ai&lt;0，即0&lt;x&lt;2ai，若对每个都成立，则2ai应最小，即ai应最大，也即是0&lt;x&lt;2a1.]6．解析由题意知，&#8855;&lt;1&#8660;&lt;1&#8660;x2－x－&gt;0.因上式对x∈R都成立，所以Δ＝1＋4&lt;0，即4a2－4a－3&lt;0.所以－12&lt;a&lt;32.7．∪解析当x&gt;0时，由log2x&gt;1，得x&gt;2；当x≤0时，由x2&gt;1，得x&lt;－1.综上可知，x的取值范围为∪．8．∪解析由导函数图象知当x&lt;0时，f′&gt;0，即f在上为增函数；当x&gt;0时，f′&lt;0，即f在上为减函数，故不等式f&gt;1等价于f&gt;f或f&gt;f，即－2&lt;x2－6≤0或0≤x2－6&lt;3，解得x∈∪．9．解x－ax－a2&lt;0&#8660;&lt;0，①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为&#8709;；②当a&lt;0或a&gt;1时，a&lt;a2，此时a&lt;x&lt;a2；③当0&lt;a&lt;1时，a&gt;a2，此时a2&lt;x&lt;a.综上，当a&lt;0或a&gt;1时，原不等式的解集为{x|a&lt;x&lt;a2}；当0&lt;a&lt;1时，原不等式的解集为{x|a2&lt;x&lt;a}；当a＝0或a＝1时，原不等式解集为&#8709;.0．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2，知a&lt;0，又－13×2＝ca&lt;0，则c&gt;0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，即ba＝－53.又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a&lt;0变为－23ax2＋－53ax＋a&lt;0，即2ax2＋5ax－3a&gt;0.又∵a&lt;0，∴2x2＋5x－3&lt;0，∴所求不等式的解集为x|－3&lt;x&lt;12.1．解∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.当x∈[－2,2]时，设g＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论：①如图，当g的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4≤0，即－6≤a≤2.②如图，g的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g≥0，即Δ≥0，x＝－a2&lt;－2，g&#61480;－2&#61481;≥0，即a2－4&#61480;3－a&#61481;≥0，－a2&lt;－2，4－2a＋3－a≥0&#8660;a≥2或a≤－6，a&gt;4，a≤73，解之，得a∈&#8709;.③如图，g的图象与x轴有交点，但在x∈≥0，即Δ≥0，x＝－a2&gt;2，g&#61480;2&#61481;≥0，即a2－4&#61480;3－a&#61481;≥0，－a2&gt;2，4＋2a ＋3－a≥0&#8660;a≥2或a≤－6，a&lt;－4，a≥－7 &#8660;－7≤a≤－6.综合①②③，得a∈[－7,2]．。

7.2 一元二次不等式及其解法考纲要求1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式的解法一元一次不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为 (1)当a ＞0时，解集为__________． (2)当a ＜0时，解集为__________．2．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 __________ __________ __________ ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集______________________________3．用程序框图来描述一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的求解的算法过程为：1．不等式x 2＞x 的解集是( )． A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．(2012重庆高考，文2)不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )．A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )． A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a4．若关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集是{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值是__________．一、一元二次不等式的解法 【例1】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3＞0；(2)－3x 2－2x ＋8≥0；(3)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 方法提炼1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．提醒：当a ＝0时，ax ＞b 不是一元一次不等式；当a ＝0，b ≥0时，它的解集为∅；当a ＝0，b ＜0时，它的解集为R .请做演练巩固提升2 二、分式不等式的解法【例2】 (2012江西高考)不等式x 2－9x －2＞0的解集是__________．方法提炼对于形如f xg x ＞0(＜0)可等价转化为f (x )g (x )＞0(＜0)来解决；对于f xg x ≥0(≤0)可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，gx ≠0.当然对于高次不等式可用“穿根法”解决．请做演练巩固提升1三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ (2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ 方法提炼解不等式应用题的步骤请做演练巩固提升5与一元二次不等式有关的恒成立问题【典例】 (12分)设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．分析：(1)对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，可转化为函数f (x )的图象总是在x 轴下方，可讨论m 的取值，利用判别式求解．(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一般方法二比较简单．规范解答：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4＜m ＜0. 综上有－4＜m ≤0.(4分)(2)要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(6分) 有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，(8分) 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；(10分)当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.(8分)因为函数y＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．(10分)所以，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.(12分) 答题指导：1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．4．本题考生易错点：忽略对m ＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．1．不等式x －2x ＋1≤0的解集为( )． A ．{x |－1≤x ≤2} B ．{x |－1＜x ≤2} C ．{x |－1≤x ＜2} D ．{x |－1＜x ＜2}2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N 为( )．A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]3．条件p ：x －52－x≥0，条件q ：x 2－7x ＋10＜0，则p 是q 的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是__________． 5．某种商品，现在定价p 元，每月卖出n 件，设定价上涨x 成，每月卖出数量减少y 成，每月售货总金额变成现在的z 倍．(1)用x 和y 表示z ；(2)设x 与y 满足y ＝kx (0＜k ＜1)，利用k 表示当每月售货总金额最大时x 的值；(3)若y ＝23x ，求使每月售货总金额有所增加的x 值的范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >b a (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <ba2．{x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅3．Δ≥0？ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，＋∞ (－∞，x 2)∪(x 1，＋∞) (－∞，＋∞)基础自测1．D 解析：x 2＞x ⇒x (x －1)＞0⇒x ＞1或x ＜0.2．C 解析：不等式x －1x ＋2＜0，解不等式得其解集为(－2,1)，故选C.3．B 解析：由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .4．1 解析：由－12x 2＋2x ＞mx ，得x 2－4x ＋2mx ＜0，即x [x －(4－2m )]＜0，∵不等式的解集为{x |0＜x ＜2}， ∴4－2m ＝2.∴m ＝1. 考点探究突破【例1】解：(1)∵Δ＝42－4×2×3＜0，∴方程2x 2＋4x ＋3＝0没有实根．二次函数y ＝2x 2＋4x ＋3的图象开口向上，与x 轴没有交点，即2x 2＋4x ＋3＞0恒成立，∴不等式2x 2＋4x ＋3＞0的解集为R .(2)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， ∵Δ＝100＞0，∴方程3x 2＋2x －8＝0的两根为－2，43.结合二次函数y ＝3x 2＋2x －8的图象可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (3)由12x 2－ax －a 2＞0⇔(4x ＋a )(3x －a )＞0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＞0， ①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－a 4或x >a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 3或x >－a 4. 【例2】(－3,2)∪(3，＋∞) 解析：不等式x 2－9x －2＞0可化为(x －2)(x －3)(x ＋3)＞0，由穿根法(如图)得，所求不等式的解集为(－3,2)∪(3，＋∞)．【例3】解：(1)设生产第x 档次产品时，所获利润最大，则生产第x 档次产品时，每件利润为[16＋(x －1)×1]元，生产第x 档次产品时，每天生产[40－2(x －1)]件， 所以生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][16＋(x －1)]＝－2(x －3)2＋648.当x ＝3时，y 最大，即生产第三档次产品利润最大． (2)若最低档次产品每件利润为22元， 则生产第x 档次产品时，每天所获利润为： y ＝[40－2(x －1)][22＋(x －1)]＝－2x 2＋882.因为x ∈[1,6]，且x ∈N ，所以当x ＝1时，y 最大，即生产第一档次产品利润最大． 演练巩固提升1．B 解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0⇔－1＜x ≤2.2．A 解析：由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以M ∩N 为[0,1)．选A. 3．B 解析：条件p ：(x －5)(x －2)≤0且x ≠2⇔2＜x ≤5； 条件q ：2＜x ＜5.显然：p q ，q ⇒p .故选B.4．(－∞，－5] 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤0，8＋2m ≤0.∴m ≤－5.5．解：(1)按现在的定价上涨x 成时，上涨后的定价为p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，每月卖出数量为n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10件， 每月售货总金额是npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10，所以z ＝(10＋x )(10－y )100.(2)在y ＝kx 的条件下，z ＝(10＋x )(10－kx )100，整理可得z ＝1100·⎩⎨⎧⎭⎬⎫100＋25(1－k )2k－k ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －5(1－k )k2，由于0＜k ＜1，所以5(1－k )k＞0，所以使z 值最大的x 值是x ＝5(1－k )k.(3)当y ＝23x 时，z ＝(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x 100，要使每月售货总金额有所增加，即z ＞1，应有(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x ＞100， 即x (x －5)＜0， 所以0＜x ＜5.所以x 的取值范围是(0,5)．。

1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1〈x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根2。

常用结论(x－a)(x－b）>0或（x－a）(x－b）〈0型不等式的解法【知识拓展】（1）错误!〉0(〈0）⇔f(x)·g(x)〉0（〈0)．(2)错误!≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0（≤0)且g(x）≠0。

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若不等式ax2＋bx＋c〈0的解集为（x1，x2)，则必有a〉0.( √) (2)若不等式ax2＋bx＋c〉0的解集是（－∞，x1)∪(x2，＋∞),则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.（√）(3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.（×)（4）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a〈0且Δ＝b2－4ac≤0.(×）(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．（√）1．(教材改编）不等式x2－3x－10>0的解集是( ）A．(－2，5）B．（5，＋∞）C．（－∞，－2) D．（－∞，－2)∪（5,＋∞）答案D解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10〉0的解集为(－∞，－2）∪(5，＋∞)．2．设集合M＝｛x｜x2－3x－4<0}，N＝{x｜0≤x≤5｝，则M∩N等于（)A．（0,4］B．［0，4）C．[－1，0) D．(－1，0]答案B解析∵M＝｛x|x2－3x－4<0}＝{x｜－1<x〈4},∴M∩N＝［0，4)．3．(教材改编）y＝log2（3x2－2x－2)的定义域是________________．答案（－∞，错误!)∪（错误!，＋∞）解析由题意，得3x2－2x－2〉0，令3x2－2x－2＝0得x1＝错误!，x2＝错误!,∴3x2－2x－2〉0的解集为（－∞，错误!）∪(错误!,＋∞）．4．(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2〉0的解集是(－错误!，错误!)，则a＋b＝________.答案－14解析∵x1＝－错误!，x2＝错误!是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴错误!解得错误!∴a＋b＝－14.5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－4］∪[4，＋∞）解析∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则x2＋ax＋4＝0一定有解．∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x2＋x＋3〈0的解集．解化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝错误!，∴不等式2x2－x－3〉0的解集为（－∞，－1）∪(错误!,＋∞）,即原不等式的解集为（－∞，－1）∪(错误!,＋∞）．命题点2 含参不等式例2 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a〈0.解由x2－（a＋1)x＋a＝0,得(x－a)（x－1)＝0，∴x1＝a,x2＝1，①当a>1时，x2－（a＋1）x＋a〈0的解集为｛x|1<x〈a}，②当a＝1时,x2－（a＋1)x＋a<0的解集为∅,③当a<1时，x2－（a＋1)x＋a<0的解集为｛x｜a〈x〈1}．引申探究将原不等式改为ax2－（a＋1)x＋1〈0，求不等式的解集．解若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0,原不等式等价于(x－错误!)(x－1）〉0，解得x<错误!或x〉1。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【基础巩固】一、填空题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【答案】92．对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．【答案】{x |x <1或x >3}【解析】x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【答案】{x |－1<x <2}【解析】∵2x 2－x <4＝22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】[0,4]【解析】由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．【答案】{x |x ＞1}【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 【解析】由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【能力提升】11．(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－3212．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．【答案】{x |－ln 2<x <l n 3}【解析】法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－l n 2<x <ln 3. 法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．解原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.。

专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。

§7.2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c ＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. 自查自纠1．(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜0 3．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间(4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，1]D ．[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x ∈R } B ．{x |x ≠1，x ∈R } C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0， x 的取值范围是x ≠1.故选B .已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .不等式2x 2－x <4的解集为____________．解：由2x 2－x <4得x 2－x <2，解得－1<x <2，即不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．故填{x|－1<x<2}．(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________．解：显然k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＜0，解得k ∈(－3，0)．故填(－3，0)．类型一 一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13，则关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集为________．解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0， 得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故填{x|x ＜－3}．【点拨】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b＝－13是解本题的关键．解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，②当m ＝2时，原不等式的解集为R .(2)当m 2－4＞0，即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0，即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二 一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4.而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1.而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为________．解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴a ＜0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)．即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜－13.类型四 含有参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0.解：(1)当m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}；(2)当m ≠0时，不等式为m ⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为⎝⎛⎭⎫x －1m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1m＜1，即m ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜1；(Ⅱ)若1m＞1，即0＜m ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1m ；(Ⅲ)若1m＝1，即m ＝1时，不等式的解集为∅.【点拨】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论；第三层次：1m 与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a . 类型五 分式不等式的解法(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔ x ＋22x ＋1≥0.解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得{x|x ＞－12或x ≤－2}．解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得{x |x ＞－12或x ≤－2}．故填{x|x ＞－12或x ≤－2}．(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集为 ．解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}．【点拨】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过，可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零．(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A .类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.∴a ≥－52.解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1) ②⎩⎨⎧0＜－a 2＜12，f ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎨⎧－a 2≥12，f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(1)(2015·甘肃模拟)若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：不等式可变形为a >2x －14x ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ，令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则t >0.∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫14x ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a >14.故填⎝⎛⎭⎫14，＋∞.(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．类型七 二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0.∴－32<a <－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.检验知合要求．不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. ∴故填{x|－1＜x ＜0}．类型八 一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇒5x －14－3x≥0⇒5x 2－14x －3≥0⇒(5x ＋1)(x －3)≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫－3x 2＋1x ＋5＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112. 故x ＝6时，y max ＝457 500元．【点拨】和一元二次不等式有关的实际应用题是高考考查的重点，这类题目往往与实际生活结合紧密，应予以重视．(2015·河南模拟)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解： (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . ∵售价不能低于成本价，∴100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0. ∴y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.∴x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2]B ．[－1，2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1，2]解：x －2x ＋1≤0⇔()x ＋1()x －2≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1，2]，故选D .2．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎨⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C .3．(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .4．(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]解：设矩形的另一边为y m ，依题意得x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，所以x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.故选C .5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－12)B ．(－4，＋∞)C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－4)解：关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ＞0在(1，4)内有解，即a ＜2x 2－8x －4在(1，4)内有解，令f (x )＝2x 2－8x －4＝2(x －2)2－12，当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－12；当x ＝4时，f (4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f (x )＜－4.要使a ＜f (x )有解，则a ＜－4.故选D .6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－12，＋∞)C ．(－22，0)D ．(－12，0)解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0. 解得－12＜a ＜0.故选D .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为________． 解：log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x≤2.当x ＞0时，x ＋1x ≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(2015·昆明模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值是__________． 解：原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22，对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.故填8.9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min≤－3，即f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2. 解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2＞12，即x 2＋10x －1200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(舍去)．这表明甲车的车速超过30 km/h ，又由甲车刹车距离略超12 m ，可判断甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车有0.05x ＋0.005x 2＞10，即x 2＋10x －2000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(舍去)．这表明乙车超过40 km/h ，超过规定限速．11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0.因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a ＜0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －35. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a ， 及a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎨⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0. 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．解关于x 的不等式：a （x －1）x －2＞1(a ＜1)． 解：(x －2)[(a －1)x ＋2－a ]＞0，当a ＜1时有(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1＜0， 若a －2a －1＞2，即0＜a ＜1时，解集为{x |2＜x ＜a －2a －1}； 若a －2a －1＝2，即a ＝0时，解集为∅； 若a －2a －1＜2，即a ＜0时，解集为{x |a －2a －1＜x ＜2}．。

高考数学一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法（含答案）7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数.一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1“三个二次”的关系判别式b24ac000的图象一元二次方程ax2bxc0a0的根有两相异实根x1，x2x10a0的解集x|xx2xxb2ax|xR一元二次不等式ax2bxc0的解集x|x10x|xbx|xax|xaxaxb0的解集是，x1x2，，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.3若方程ax2bxc0a0没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.4不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集为，173173，.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为________用区间表示答案4,1解析由x23x40可知，x4x10的解集为，132，，即原不等式的解集为，132，.命题点2含参不等式典例解关于x的不等式ax222xaxaR解原不等式可化为ax2a2x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为x2ax10，解得x2a或x1.当a1，即a0，x3x20，可得x2或x0，则必有a0，a24a0.解得x3.故当x的取值范围为，13，时，对任意的m1,1，函数fx的值恒大于零思维升华1对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练函数fxx2ax3.1当xR时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；2当x2,2时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；3当a4,6时，fx0恒成立，求实数x的取值范围解1当xR时，x2ax3a0恒成立，需a243a0，即a24a120，实数a的取值范围是6,22当x2,2时，设gxx2ax3a0，分如下三种情况讨论如图所示如图，当gx的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a243a0，即6a2.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x2，时，gx0，即0，xa22，g20，即a243a0，a22，42a3a0，可得a2或a6，a4，a73，解得a.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x，2时，gx0.即0，xa22，g20，即a243a0，a22，7a0，可得a2或a6，a4，a7.7a6，综上，实数a的取值范围是7,23令haxax23.当a4,6时，ha0恒成立只需h40，h60，即x24x30，x26x30，解得x36或x36.实数x的取值范围是，3636，题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求1x10，每小时可获得的利润是1005x13x 元1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；2要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度并求最大利润解1根据题意，得2005x13x3000，整理得5x143x0，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是3,102设利润为y元，则y900x1005x13x910451x3x2910431x1626112，故当x6时，ymax457500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元思维升华求解不等式应用题的四个步骤1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成1成10，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价1设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yfx，并写出定义域；2若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围解1由题意，得y1001x101001850x.因为售价不能低于成本价，所以1001x10800.所以yfx4010x254x，定义域为x0,22由题意得4010x254x10260，化简得8x230x130，解得12x134.所以x的取值范围是12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例1已知函数fxx2axba，bR的值域为0，，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值范围是________思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析1由题意知fxx2axbxa22ba24.fx 的值域为0，，ba240，即ba24.fxxa22.又fx0恒成立即当x1时，ax22x恒成立令gxx22x，则gxx22xx121在1，上单调递减，gxmaxg13，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案192a|a3。

高三数学一轮复习《一元二次函数、方程和不等式》练习题 （含答案） 等式性质与不等式性质一、单选题1.下列运用等式的性质，变形不正确的是( ) A.若x =y ,则x +5=y +5 B.若a =b ,则ac =bc C.若a b cc=,则a =b D.若ax =ay ,则x =y 2.下列不等式中,正确的是( )A.若a >b ,c >d ,则a +c >b +dB.若a >b ,则a +c <b +cC.若a >b ,c >d ,则ac >bdD.若a >b ,c >d ,则a b cd> 3. (x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小关系为( )A. (x 2+1)2≥x 4+x 2+1B. (x 2+1)2>x 4+x 2+1C.(x 2+1)2≤x 4+x 2+1D. (x 2+1)2<x 4+x 2+1 4. 若m <n ,p <q 且(p -m )(p -n )<0,(q -m )(q -n )<0,则( ) A. m <p <q <n B. p <m <q <n C. m<p <n <q D. p <m <n <q 5.设0<α<β<2π，则α-β的取值范围是( ) A. (,0)-∞ B. (,0)2π- C. (,)22ππ- D. (,)2π+∞6.若b <a <0,则下列不等式正确的个数为( )①a b >； ②110a b +>； ③11b a a b+<+； ④22a a b b <-A.1B.2C.3D.4 二、多选题7.对于实数a ,b ,c ,其中正确的命题为( )A.若a >b ,则ac <bcB.若ac 2>bc 2,则a >bC.若a <b <0,则a 2>ab >b 2D.若c>a>b >0,则a bc a c b>-- 8.下列四个条件能使“11a b<”成立的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >0 三、填空题9.建筑学规定:民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积,但按采光标准，窗户面积与地板面积之比应不小于10%,并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数，那么住宅的采光条件是__________(填“变好了”或“变坏了”).10.已知a >b , 11a b ab-<-同时成立，则ab 应满足的条件是__________.11.若a 是三个正数a ,b ,c 中的最大的数,且“a c bd<,则a +d 与b +c 的大小关系是___________.基本不等式及其应用一、单选题 1. 22(2)2y x x x =+>-的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D. 1 2.若式子4(0,0)a y x x a x=+>>当且仅当x =2时取得最小值，则实数a 的值为( )A.12B. 24C. 16D.36 3.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则xy 的最大值是( )A.1B.2 C. 2 D. 124.下列各函数中，最小值为2的是( )A. 1y xx=+ B. y =C. 2y =D. 43,131y x x x =+-<<- 5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120 件 6.设a >1,b >2,ab =2a +b ,则a +b 的最小值为( )A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题7.下列结论正确的是( )A.当x >02≥ B. 当x >2时1x x+的最小值是2 C.当54x <时, 14245x x -+-的最小值是5 D.设x >0,y >0,且x+y =2,则14xy+的最小值是928.下列说法正确的有( ) A.不等式a b +≥恒成立 B.存在a ,使得不等式1a a+≤2成立 C.若a ,b ∈(0,+∞),则2a b b a+≥ D.若正实数x ,y 满足x +2y =1,则18xy ≤ 三、填空题9.设x >-1，则231x x y x ++=+的最小值为_________.10.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是___________. 11.已知a,b 都为正实数,且113ab+=,则ab 的最小值是_________;1bab+的最大值是________.二次函数与一元二次方程、不等式一、单选题1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则y >0的解集为( )A. {x |-2<x <1}B. {x |-1<x <2}C. {x |1<x ≤2}D. {x |x <0或x >3}2.若关于x 的一元二次方程2410ax x --=有实数根，则a 满足( ) A. a ≥-4且a ≠0 B. a >4且a ≠0 C. a ≥4 D.a ≠03.下列不等式的解集是空集的是( )A. x 2-x +1>0B.-2x 2+x +1>0C. 2x -x 2>5D. x 2+x >2 4.已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则( ) A. A B ⊆ B. B A ⊆ C. A B = D. A B ⋂=∅ 5.设a ∈R ,则“a >1”是“a 2>a "的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知命题“0x ∃∈R ,使得200210ax x ++<成立”为真命题，则实数a 满足( )A. [0,1)B. (-∞,1)C. [1,+∞)D. (一∞,1] 二、多选题7.关于x 的不等式ax 2- (a +1)x +1>0的解集可能是( ) A. {1}x x < B. 1{1}x x x a<>或 C. 1{1}x x a << D. 1{1}x x x a<>或 8.下列四个解不等式，正确的有( ) A.不等式2x 2-x -1>0的解集是{x |x >2或x <1} B.不等式-6x 2-x +2≤0的解集是21{}32x x x ≤-≥或C.若不等式ax 2 +8ax +21<0的解集是{x |-7<x <-1}，那么a 的值是3D.关于x 的不等式x 2+ px -2<0的解集是(q ,1),则p+q 的值为-1 三、填空题9.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-2或x >3},则f (x )>0的解集为______________.10.如果方程ax 2+bx +c =0的两根为-2和3,且a <0,那么不等式ax 2+bx +c >0的解集为_____________.11.若不等式x 2-4x > 2ax +a 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是___________本章检测一、单选题1.已知集合A ={x |x 2 +2x >0},B ={x |x 2+2x -3<0},则A∩B=( ) A. (-3,1) B. (-3,-2) C. R D. (-3,-2)∪(0,1)2.已知a <0,0<b <1,则下列结论正确的是( ) A. a >ab B. a >ab 2 C. ab <ab 2 D. ab >ab 23.不等式3121xx ≤+的解集为( ) A. (,1]-∞ B. 1[,1]2- C. 1(,1]2- D. 1(,)[1,)2-∞-⋃+∞4.使不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. 0x ≥ B. 0x <或2x > C. {1,3,5}x ∈- D. 12x ≤-或3x ≥ 5.若方程x 2+ax +a =0的一根小于-2,另一根大于-2,则实数a 的取值范围是( )A. (4,+∞)B. (0,4)C. (-∞,0)D. (-∞,0)∪(4,+∞) 6.若关于x 的方程x 2- 4ax +3a 2 =0(a >0)的两个根为x 1,x 2,则1212ax x x x ++的最小值是( )A.33C. 3D. 3二、多选题7.给出下列四个命题，其中正确的命题是( )A.若a b >且11a b>，则0ab > B.若0c a b >>>,则a bc a c b>-- C.若0a b c >>>,则b b c a a c +<+ D.若1a b +=,则114a b+≥8.若正数a ,b 满足a +b =2ab ,则( )A.1ab> B. 2a b+≥ C. 243a b+≥+1ab-≤三、填空题9.已知x<0,-1<y<0,用不等号将x,xy,xy2从大到小排列得___________.10.已知关于x的二次函数y= (m+3)x2-4x-1与x轴有交点，则m的取值范围是_____________.11. 已知a,b∈R,a2+b2-ab=2,则a+b的最大值为_______,ab的取值范围是__________参考答案等式性质与不等式性质1.D2.A3.A4.A5.B6.B7.BCD8.ABD9.变好了10.a b>0或ab<-111.a+d>b+c基本不等式及其应用1.C2.C3.D4.B5.B6.D7.AD8.BCD9.110.[9,)+∞11.449二次函数与一元二次方程、不等式1.B2.A3.C4.B5.A6.B7.ABCD8.BCD9.{23}x x-<<10.{23}x x-<<11.(-4,-1)一元二次函数、方程和不等式1.D2.C3.C4.C5.A6.C7.BC8.BD9.xy>xy2>x10.{73}m m m≥-≠-且11.2 [,2]3-。

一、选择题1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[导学号35950511] 解析：选A.由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.2.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D ．322[导学号35950512] 解析：选B.法一：因为－6≤a ≤3， 所以3－a ≥0，a ＋6≥0， 则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92， 当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：－aa ＋＝－a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab[导学号35950513] 解析：选C.因为ab >0，所以{ a b >0或{ ab <0，排除A ，B ；由于a 2＋b 2≥2ab 恒成立，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 错误；在C 中，ab >0时，b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ×a b＝2，故选C.4．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时， 3x ＋27y 的最小值是( ) A ．339 B ．1＋2 2 C ．5D ．6[导学号35950514] 解析：选D.∵x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ≥23x ·27y ＝23x＋3y＝6，当且仅当x ＝3y ＝1时取等号，故3x ＋27y 的最小值是6，故选D.5．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋by )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)[导学号35950515] 解析：选D.因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4， 当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy ，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，故选D.6．已知x >1，y >1，且 14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e[导学号35950516] 解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y＝14≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][导学号35950517] 解析：选D.∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，故选D.8．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[导学号35950518] 解析：选B.若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B.9．设x >y >z ，且1x －y ＋1y －z ≥nx －z (n ∈N )恒成立，则n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[导学号35950519] 解析：选C.因为x >y >z ，所以x －y >0，y －z >0，x －z >0，不等式1x －y ＋1y －z ≥n x －z 恒成立，等价于n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立． 因为x －z ＝(x －y )＋(y －z )≥ 2x －yy －z ，1x －y ＋1y －z≥21x －y ×1y －z ， 所以(x －z )(1x －y ＋1y －z )≥2x －yy －z ×21x －y ×1y －z＝4，当且仅当x －y ＝y －z 时取等号， 则要使n ≤(x －z )(1x －y ＋1y －z )恒成立，需使n ≤4(n ∈N )，故n 的最大值为4，故选C.10．(2016·山东青岛质检)在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a ∈R ，a *0＝a ；②对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[导学号35950520] 解析：选B.依题意可得f (x )＝ (e x )*1e x ＝e x ＋1e x ＋1≥2e x ·1ex ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x )*1ex 的最小值为3，故选B.二、填空题11．若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． [导学号35950521] 解析：∵log m n ＝－1， ∴m －1＝n ，∴mn ＝1，∵n >0，m >0且m ≠1， ∴3n ＋m ≥23mn ＝23， 当且仅当3n ＝m ，即n ＝33，m ＝3时等号成立． 答案：2 312．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是________．[导学号35950522] 解析：依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )·(2a ＋b )＝3＋(ba ＋2ab)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，所以1a＋1b的最小值是3＋2 2. 答案：3＋2 213．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值为________． [导学号35950523] 解析：因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1，又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15，因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥2a －6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是27.答案：2714．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[导学号35950524] 解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元， 则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10， 即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)． 因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”， 所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 答案：160三、解答题15．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值． [导学号35950525] 解：(1)行车所用时间t ＝130x(小时)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]，所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时，等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．16．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图所示)，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x (米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (米)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)？并求此时外周长的值．[导学号35950526] 解：(1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6， ∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6) .(2)由y ＝18x ＋3x2≤10.5得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]． (3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为63米， 此时腰长x 为23米．。

课时作业34 一元二次不等式及其解法[基础达标]一、选择题1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23 2．不等式x ＋13x ＋6>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |x ≤－2或x >－1}C ．{x |x <－3或x >－2}D ．{x |x <－2或x >－1}3．[2021·呼和浩特模拟]已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( )A ．10B ．12C ．14D ．164．[2021·临沂模拟]不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}5．[2021·哈尔滨二十六中月考]不等式(ax －2)(x －1)≥0(a <0)的解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤2a ，1 B.⎣⎡⎭⎫2a ，1C.⎝⎛⎦⎤－∞，2a ∪[1，＋∞) D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎭⎫－2a ，＋∞ 6．[2021·陕西南郑中学月考]已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 7．[2021·湖南益阳月考]已知函数f (x )＝2ax －a ＋1，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．(－∞，－1) C.⎝⎛⎭⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－1，13 8．[2020·北京海淀区期中]设命题p ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0，命题q ：lg(2x －1)≤1，若p是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤12，92B.⎣⎡⎭⎫12，92C.⎣⎡⎦⎤12，92D.⎝⎛⎭⎫12，929．[2021·昆明模拟]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 10．[2021·山东淄博一中月考]已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1) 二、填空题11．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 12．[2021·山东实验中学诊断]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．13．[创新型]规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．14．[2021·安徽合肥一中月考]已知f (x )为二次函数，且不等式f (x )>0的解集是(－2017,2021)，若f (t －1)<f (1＋2t )，则实数t 的取值范围是________．[能力挑战]15．[2021·山东全真模拟]若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1B ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 16．已知x ∈(0，＋∞)，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．2－22<m <2＋22B ．m <2 C ．m <2＋22D ．m ≥2＋2 2 17．[2020·浙江卷，9]已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0课时作业341．解析：因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. 答案：A2．解析：不等式x ＋13x ＋6>0等价于(x ＋1)(x ＋2)>0，所以不等式的解集是{x |x <－2或x >－1}．答案：D3．解析：M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C. 答案：C4．解析：由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}． 答案：A5．解析：∵a <0，∴(ax －2)(x －1)≥0可化为(－ax ＋2)(x －1)≤0，∵(－ax ＋2)(x －1)＝0的两个根分别为x ＝1或x ＝2a 且2a<1，∴(－ax ＋2)(x －1)≤0的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，1.故选A 项． 答案：A6．解析：∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，∴易知a <0且⎩⎨⎧b a ＝－56，－1a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，∴不等式x 2－bx －a <0可化为x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A 项． 答案：A7．解析：∵∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，∴f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)(a ＋1)<0，∴(3a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >13.故选A 项．答案：A8．解析：由lg(2x －1)≤1得12<x ≤112.设f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫12≥0，Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a >0，f ⎝⎛⎭⎫112≥0，且12<2a ＋12<112，得12≤a ≤92.故选C 项． 答案：C9．解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A10．解析：由Δ＝[－(a ＋2)]2－4a ＝a 2＋4>0知，函数f (x )必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则f (－2)·f (－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1，此时不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0.故选C 项．答案：C11．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16，所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)12．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，解得0<m <1.由①②知0≤m <1.答案：[0,1)13．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案：(－1,1)14．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (x )>0的解集为(－2017,2021)，∴a <0且－ba＝4，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的对称轴方程为x ＝2，又f (t －1)<f (1＋2t )，∴|t －1－2|>|1＋2t －2|，∴|t －3|>|2t －1|，∴|t －3|2>|2t －1|2，∴3t 2＋2t－8<0，解得－2<t <43.答案：⎝⎛⎭⎫－2，43 15．解析：根据题意，若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则－4与1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，且a <0，则有⎩⎨⎧(－4)＋1＝－ba ，(－4)×1＝ca，解得b ＝3a ，c ＝－4a ，∴不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0可化为3(x 2－1)＋(x ＋3)－4<0，整理得3x 2＋x －4<0，即(3x ＋4)(x －1)<0，解得－43<x <1，即不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－43，1.故选A. 答案：A 16．解析：解法一 令t ＝3x (t >1)，则由已知得，函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，则对于方程f (t )＝0有Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f (1)＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m <2＋2 2.解法二 由9x －m ·3x ＋m ＋1>0得m <9x ＋13x －1，令f (x )＝9x ＋13x －1，因为x ∈(0，＋∞)，所以3x >1,3x －1>0，所以f (x )＝9x ＋13x －1＝3x －1＋23x －1＋2≥22＋2(当且仅当3x ＝1＋2时取“＝”)，所以m <2＋2 2.答案：C17．解析：解法一若a ，b,2a ＋b 互不相等，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，b ≤0，2a ＋b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝b ，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＝b ，2a ＋b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若a ＝2a ＋b ，则当⎩⎨⎧a ≥0，a ＝2a ＋b ，b ≤0时，原不等式在x ≥0时恒成立，又因为ab ≠0，所以b <0；若b ＝2a ＋b ，则a ＝0，与已知矛盾； 若a ＝b ＝2a ＋b ，则a ＝b ＝0，与已知矛盾． 综上，b <0，故选C.解法二 特殊值法：当b ＝－1，a ＝1时，(x －1)(x ＋1)(x －1)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝－1，a ＝－1时，(x ＋1)(x ＋1)(x ＋3)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝1，a ＝－1时，(x ＋1)(x －1)(x ＋1)≥0在x ≥0时不一定成立．故选C.答案：C。

§7.2 一元二次不等式及其解法1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知，(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．2．(2018·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于() A ．(1,3) B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)答案 C解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3．(2018·商丘调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．『－1,1』B ．『－2,2』C ．『－2,1』D ．『－1,2』答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2的解集为『－1,1』．4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知，当a ＝0时，满足条件． 当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)『100－10(x －10)』，依题意有(x －8)『100－10(x －10)』>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是『－4,3』的子集，则a 的取值范围是( )A ．『－4,1』B ．『－4,3』C ．『1,3』D ．『－1,3』答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为『a,1』，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为『1，a 』，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．答案 1±52 解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是____________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a 解析 原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a . 9．(2018·济南模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－2,2』解析 原不等式等价于，(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2』．10．(2018·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________． 答案 {x |－ln 2<x <ln 3}解析 依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)， 由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3， 解得－ln 2<x <ln 3.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．解 因为(a ＋b )x ＋2a －3b <0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0，等价于bx 2＋(4b －2)x ＋3b －2>0，即x 2＋⎝⎛⎭⎫4－2b x ＋3－2b<0， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋3－2b <0. 因为－3＋2b<－1， 所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3＋2b <x <－1.13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间『1,5』上有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 方法一 ∵x 2＋ax －2>0在x ∈『1,5』上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)>0，即25＋5a －2>0，解得a >－235. 方法二 由x 2＋ax －2>0在x ∈『1,5』上有解，可得a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈『1,5』上有解． 又f (x )＝2x－x 在x ∈『1,5』上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝－235，只需a >－235. 14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 『－8,4』解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.15．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式『f (x )』2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由『f (x )』2＋af (x )－b 2<0，得－a－a2＋4b22<f(x)<－a＋a2＋4b22，若b≠0，则f(x)＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b＝0，所以－a<f(x)<0，且整数解x只能是3，当2<x<4时，－8<f(x)<0，所以－8≤－a<－3，即a的最大值为8，故选D.16．(2017·宿州模拟)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在『1,2』上恒成立，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，0』解析因为不等式4x－2x＋1－a≥0在『1,2』上恒成立，所以4x－2x＋1≥a在『1,2』上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知，当2x＝2，即x＝1时，y取得最小值0，所以实数a的取值范围为(－∞，0』．。

课时作业33 一元二次不等式及其解法 一、选择题1．不等式|2x －1|＜x 的解集是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1 D ．(1,2) 2．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1，或x ＞a }，则( )．A ．a ≥1B ．a ＜－1C ．a ＞－1D ．a ∈R3．已知不等式x 2－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )．A ．3B ．－1C ．2D ．3或－14．已知集合M ＝{x |x 2－2 010x －2 011＞0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N＝(2 011，2 012]，则( )．A ．a ＝2 011，b ＝－2 012B ．a ＝－2 011，b ＝2 012C ．a ＝2 011，b ＝2 012D ．a ＝－2 011，b ＝－2 0125．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值集合是( )．A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4} D．{a |0≤a ≤4}6．不等式4x －2≤x －2的解集是( )． A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)7．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)二、填空题8．不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为__________．9．(2012福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．10．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则a 的取值范围为__________．三、解答题11．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是全体实数？12．已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求二次函数f (x )的解析式；(2)若不等式f (x )＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．A 解析：不等式|2x －1|＜x 等价于21<21>x x x x -⎧⎨-⎩，－，解得1,1.3x x <⎧⎪⎨>⎪⎩由此可得不等式|2x －1|＜x 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 2．C 解析：∵不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞a }，∴a ＞－1.3．D 解析：∵x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1.4．D 解析：化简得M ＝{x |x ＜－1或x ＞2 011}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 011,2 012]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 012}，即－1,2 012是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 012＝－2 012，－a ＝－1＋2 012，即a ＝－2 011.5．D 解析：由题意知，a ＝0时，满足条件；a ≠0时，由题意知a ＞0且Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4，故选D.6．B 解析：①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x－2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x ＜2.7．C 解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．因此f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.∴－32＜a ＜－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故选C.二、填空题8．{x |x ≥1} 解析：原不等式可化为353x ≤-⎧⎨-≥⎩，或3<2213x x -<⎧⎨+≥⎩，或25 3.x ≥⎧⎨≥⎩， 解得x ＝∅或1≤x ＜2或x ≥2.所以原不等式的解集为{x |x ≥1}．9．(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，∴Δ＝(－a )2－4·2a ＜0，即a 2－8a ＜0,0＜a ＜8.故a 的取值范围是(0,8)．10．[－1,1] 解析：当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≤2，x 2－1>0，∴⎩⎨⎧ －3≤x ≤3，x <－1或x >1，∴Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．∵Q ⊆P ，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)．∴－1≤a ≤1.三、解答题11．解：(1)当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立；若a ＝－1，原不等式为2x －1＜0，即x ＜12，不符合题目要求，舍去． (2)当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集是全体实数的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0， 解得－35＜a ＜1.综上所述，当－35＜a ≤1时，原不等式的解集是全体实数．12．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)． ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴2a ＝2，a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由(1)知x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即m ＜x 2－3x ＋1在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，则g (x )在[－1,1]上单调递减．所以g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1.所以m 的取值范围是(－∞，－1)．。