2011年高考真题——文科数学(天津卷)

选择题1.i 是虚数单位，复数13i1i--=（ ）. (A)2i -(B)2+i (C)12i -- (D)1+2i -2.设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( ).(A)-4 (B)0 (C)43(D)43.阅读如下程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ).(A)0.5 (B)1 (C)2 (D)44.设集合{}{}|20,|0A x x B x x =∈->=∈<R R ，{}|(2)0C x x x =∈->R ，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ).(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===，则( ).(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b a c >> (D)c a b >>6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）.(A)(B)(C)(D)7.已知函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,ππ.()f x ωϕ>-<≤若的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则（ ）. (A)()f x 在区间[2π,0]-上是增函数 (B)()f x 在区间[3π,π]--上是增函数 (C)()f x 在区间[3π,5π]上是减函数(D)()f x 在区间[4π,6π]上是减函数8.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1),f x x x x =-⊗-∈R .若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）. (A)(1,1](2,)-⋃+∞ (B)(2,1](1,2]--⋃(C)(,2)(1,2]-∞-⋃(D) [-2，-1]填空题9.已知集合{}||-1|2,A x x =∈<R Z 为整数集，则集合A ⋂Z 中所有元素的和等于________.10.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈*N ，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.12.已知22log log a b +≥1，则39ab+的最小值为__________.13.如下图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，::4:2:1.D F C F A F F B BE ==若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.14.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,90ADC ∠=︒,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.解答题15.编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率.16.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值.17.如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点. （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.18.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(),Pab 满足212PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点.若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于,M N 两点，且58MN AB =,求椭圆的方程. 19.已知函数322()4361,f x x tx t x t x =+-+-∈R ，其中t ∈R .（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．20.已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n a -+++-+=-+=∈=N 且 （Ⅰ）求23,a a 的值； （Ⅱ）设2121,nn n c a a n +-=-∈*N ，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明2121212212n n n nS S S S a a a a --++++≤1().3n n -∈*N参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c == 于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+== 因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++= 整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c = 所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2t x t x =-=或 因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）若0,2t t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论：(1)当2t ≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减.2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -< 2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点. 若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->. 所以()0,2t f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点. 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121n n n n n b a b a +++=-+，当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =- 当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N ,21212221n n n a a --+=-+, ① 2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n n c c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时， 2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++- 13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-. 故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k k S a a a a a a -=++++++= 于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+ 故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k k k k k k k k k k k k k S S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n n n nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。

2011天津高考数学1. 引言数学作为一门基础科学，对于每一个高中毕业生来说都是必修课程之一。

通过高考数学考试，学生的数学素养、逻辑思维和解决问题的能力都会受到检验。

本文将回顾2011年天津高考数学试卷，并对其中的题目进行分析和解答。

2. 试卷结构2011年天津高考数学试卷共分为两个部分：选择题和非选择题。

选择题占总分的60%，非选择题占总分的40%。

下面将对两部分的题目类型进行介绍。

2.1 选择题选择题共有20道题目，每道题目共有4个选项，只有一个选项是正确的。

这些题目涵盖了高中数学的各个知识点，包括代数、几何、函数等。

选择题在考查学生的记忆能力、分析能力和推理能力的同时，也对学生的考试时间管理能力提出了一定的要求。

2.2 非选择题非选择题共有5道题目，每道题目都需要学生进行全面的分析和解答。

其中，题目三是非常典型的解决问题的题目，要求学生综合运用所学的数学知识解决实际问题。

这些题目对学生的思维能力和应用能力提出了较高的要求。

3. 题目分析和解答3.1 选择题选择题是考试中较为常见的题型，下面对其中几道题目进行分析和解答。

3.1.1 题目1题目描述：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(1) + f(3)的值。

解答：将x=1和x=3代入函数f(x)，得到f(1) = 2 * 1 + 3 = 5，f(3) = 2 * 3 + 3 = 9。

所以f(1) + f(3) = 5 + 9 = 14。

3.1.2 题目2题目描述：已知函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(-1)的值。

解答：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1) = 3 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6。

3.2 非选择题非选择题需要学生进行全面的分析和解答，下面对其中几道题目进行分析和解答。

3.2.1 题目3题目描述：有一组数据：8, 9, 10, 12, x。

求x的值，使得这组数据的平均数等于10。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么棱柱的体积公式其中S表示棱柱的底面面积。

表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，复数=A．B．C．D．2．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A．-4B．0C．D．43．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，则输出的值为A．,0．5 B．1C．2 D．44．设集合，，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5．已知则A．B．C．D．6．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）A．B．C．D．7．已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（）A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数C ．在区间上是减函数D ．在区间上是减函数 8．对实数，定义运算“”：设函数。

若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．[-2，-1]第Ⅱ卷注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________ 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________ 11．已知为等差数列，为其前项和，， 若则的值为_______12．已知，则的最小值为__________13．如图已知圆中两条弦与相交于点，是延长 线上一点，且 若与圆相切，则的长为__________ 14．已知直角梯形中， //, , , 是腰上的动点，则的最小值为____________三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）（Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率． 16．（本小题满分13分）在△中，内角的对边分别为，已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）的值． 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为 平行四边形，，，为中点， 平面，， 为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．18．（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。

参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）若0,2tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： (1)当2t≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减. 2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -<2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->.所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121nn n n n b a b a +++=-+， 当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =-当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N , 21212221n n n a a --+=-+, ①2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n nc c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-.故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n nn nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n nnn n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B ⋃=+其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。

1—4 ADCC 5—8 BBAB二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。

9．3 10．4 11．110 12．18 13 14．5 三、解答题（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。

（Ⅰ）解：4，6，6（Ⅱ）（i ）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。

（ii ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。

所以51().153P B == （16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。

（Ⅰ）解：由,2,B C b c b ====可得所以222222331cos .2322a a abc a A bc +-+-===（Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3A A π=∈，所以sin 3A ==27cos 22cos 1.sin 22sin cos 99A A A A A =--=-==故所以7c o4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A 【解析】因为13(13)(1)212i i i i i --+==--，故选A. 2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,2c =,选B.7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】3【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m .【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.11. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 .【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 2b =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4Aπ+的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,2b =,可得c b ==,所以 222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===.(Ⅱ)因为1cos 3A =,(0,)A π∈,所以sin A =, 27cos 22cos 19A A =-=-,故sin 22sin cos 9A A A ==,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 444A A A πππ+=-=818+-. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力. 17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而 AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM与平面ABCD . 【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-= 2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-, 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0t <,则tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)2-∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, (0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项： 1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式： 如果事件A,B 互斥,那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B ⋃=+其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数131ii--= A.2i - B.2i + C.12i --D.12i -+2.设变量x,y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为A.－4B.0C.43D.43.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为－4,则输出y 的值为 A.,0.5 B.1 C.2D.44.设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<,{}|(2)0C x R x x =∈->, 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b >>6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为( )A.23B.25C.43D.457.已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈,其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则( )A.()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B.()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C.()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D.()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数8.对实数a b 和,定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B ⋃=+其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i - B ．2i + C ．12i --D ．12i -+2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为A ．-4B ．0C ．43D ．43．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为 A ．,0．5 B ．1 C ．2 D ．44．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->， 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）A ．23B ．25C ．43D ．457．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数8．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文）试题解析本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh = ()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= ( )A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+【答案】A 【解析】 13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )A ．-4B ．0C ．43D ．4 【答案】D【解析】可行域如图：联立40340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧==22y x 当目标直线3z x y =-移至（2.2）时，3z x y =-有最大值4.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ) A ．,0．5 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】当4x =-时，37x x =-=； 当7x =时，34x x =-= 当4x =时，31|3|<=-=x x ，∴22y '==.4．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->， 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵{}20A x kx =∈->，{}0B x kx =∈<，∴{0A B x x ⋃=<，或}2x >，又∵}{{(2)00C x k x x x k x =∈->=∈<或}2x >， ∴A B C ⋃=，即“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的充分必要条件.5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】∵ 3.6222log log 1a =>=，又∵4log xy =为单调递增函数， ∴ 3.2 3.64444log log log 1<<=， ∴b c a <<.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线22215x y a -=的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-==，即4p =，又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则 （ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2sin()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.8．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。

2011天津高考数学文科一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位,复数13i1i-=- ( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+【测量目标】复数的代数形式四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………则目标函数3z x y =-的最大值为 ( ).A ．4-B ．0C ．43D ．4【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值 为 ( )．A ．0.5B ．1C ．2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件，充分条件的关系及集合的概念 【参考答案】C【试题解析】{0A B x x =∈<R 或}2x >，(){}{20=0C x x x x x =∈->∈<R R 或}2x >所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ．5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性，利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选B ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程，知道其简单的几何性质. 【参考答案】B【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．(步骤1)又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =．(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =(步骤3)7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，π<πϕ-…．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则 ( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】考查了正弦函数的性质（如单调性，最值，周期等） 【参考答案】A【试题解析】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(步骤1) 其增区间满足πππ2π2π2332x k k -+++剟，k ∈Z ．(步骤2) 解得5π6ππ6π2k x k -++剟，k ∈Z ．(步骤3)取0k =得5ππ2x -剟，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．(步骤4) 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧⊗=⎨->⎩…设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B【试题解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--=⎨-<->⎩或剟(步骤1)画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,2B ，()1,1C --，()1,2D --．(步骤2)从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．(步骤3)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3【试题解析】解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4【试题解析】几何体是由两个长方体组合的．体积为1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈N +．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110【试题解析】设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +…，则39ab+的最小值为 ． 【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18【试题解析】因为22log log 1a b +…，则2log 1ab …，2ab …，24a b …3918a b +=厖，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.【参考答案】2【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ===， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE === ．所以2CE =． 14． 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【测量目标】平面向量在平面几何的应用.【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题 【参考答案】5【试题解析】解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．(步骤1)35PA PB += ，(步骤2)当且仅当34cy =时，等号成立，于是， 当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．(步骤3)解法2 ． 以相互垂直的向量，为基底表示3PA PB +，得()533332P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- ．(步骤1) 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与共线，于是可设PC DP λ=，有53(31)2PA PB DA DP λ+=+- ．所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⎣⎦(步骤2) 即 ()()22222533125314PA PB DA DP DP λλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦ ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即13PC DP = 时，所以3PA PB +有最小值5．(步骤3)解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①(步骤1)因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②(步骤2)（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，(步骤3)于是()22252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=…，所以3PA PB +有最小值5．(步骤4)三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2011年天津高考文科数学试题及答案详细解析一.选择题文数1. L4[2011·天津卷] i 是虚数单位，复数131ii--= 【答案】A 【解析】13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 文数2. E5[2011·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件【答案】D【解析】可行域如图：联立40340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧==22y x 当目标直线3z x y =-移至（2.2）时，3z x y =-有最大值4.文数3.L1 [2011·天津卷] 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 【答案】C【解析】当4x =-时，37x x =-=； 当7x =时，34x x =-= 当4x =时，31|3|<=-=x x ， ∴22y '==.文数4. A2[2011·天津卷] 设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈< 【答案】C【解析】∵{}20A x kx =∈->，{}0B x kx =∈<，∴{0A B x x ⋃=<，或}2x >，又∵}{{(2)00C x k x x x k x =∈->=∈<或}2x >， ∴A B C ⋃=，即“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的充分必要条件. 文数5.B7 [2011·天津卷] 已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c === 【答案】Bxyo12 34 -1-2-3-412 3 4 x=1x-3y+4=0x+y-4=0【解析】∵ 3.6222log log 1a =>=，又∵4log x y =为单调递增函数， ∴ 3.2 3.64444log log log 1<<=，∴b c a <<.文数6.H8 [2011·天津卷]【答案】B【解析】双曲线22215x y a -=的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-==，即4p =， 又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =， ∴22415c a b =+=+=，即225c =.文数7.C4 [2011·天津卷]【答案】A【解析】∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2sin()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.文数8. B5[2011·天津卷]【答案】B【解析】()()⎪⎩⎪⎨⎧>----≤----=112,112,2)(2222x x x x x x x x f⎩⎨⎧>-<-≤≤--=2,1,121,22x x x x x 或 则()f x 的图象如图，∵函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数()y f x =与y c =的图象有两个交点，由图象可得21,12,c c -<≤<≤或. 二.填空题文数9.A1 [2011·天津卷] 已知集合{}|12,A x R x Z =∈-<为整数集， 【答案】3【解析】{}}{1213A x k x x x ∈-<=-<<.∴{}2,1,0=Z A I ，即.3210=+= 文数10.G2 [2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则 【答案】4【解析】2111124v =⨯⨯+⨯⨯=.文数11. D2[2011·天津卷] 已知{}n a 为等差数列，n S 为 【答案】110【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意得，()⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯⨯+==+=202219202016212013a S d a a ，解之得120,2a d ==-，∴101091020(2)1102s ⨯=⨯+⨯-=. 文数12. [2011·天津卷] 已知22log log 1a b +≥，则39a b+的【答案】18【解析】∵1log log log 222≥=+abba， ∴2ab ≥， ∴18323233233932222=≥=⋅≥+=++abb a b a b aba.文数13. N1 [2011·天津卷] 如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为________.【答案】27 【解析】设k AF 4=，k BF 2=，k BE =，由BF AF FC DF •=•得282k =，即21=k . ∴27,21,1,2====AE BE BF AF ， 由切割定理得4727212=⨯=•=EA BE CE ，∴27=CE . 文数14. F2[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC , 【答案】5【解析】建立如图所示的坐标系，设PC h =，则(2,0),(1,)A B h ，设(0,),(0)P y y h ≤≤则(2,),(1,)PA y PB h y =-=-u u u r u u u r，∴2325(34)255PA PB h y +=+-≥=u u u r u u u r .三、解答题文数15. K2[2011·天津卷] 编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得 文数16. C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 文数17. G12[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为 平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==， 文数18.H5[2011·天津卷]ABCD oxy文数19. B12[2011·天津卷] 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． 文数20. D5[2011·天津卷]。

2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（文科）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ．2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--= 73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，(),2B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解】2． 因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P BD A D P P C C B D A P C D P+=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即 []213(25)13(-+=-+=+λλ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -=．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=≥，所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。