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第三章 概率与概率分布

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统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布

统计学第3章-概率、概率分布与抽样分布
3－15
互斥事件及其概率
(例题分析)

解：由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率 都是1/2，当抛掷的次数逐渐增大时，上面的4个 简单事件中每一事件发生的相对频数 (概率)将近 似等于 1/4 。因为仅当 H1T2 或 T1H2 发生时，才会 恰好有一枚硬币朝上的事件发生，而事件 H1T2 或 T1H2 又为互斥事件，两个事件中一个事件发 生或者另一个事件发生的概率便是 1/2(1/4+1/4) 。 因此，抛掷两枚硬币，恰好有一枚出现正面的概 率等于 H1T2 或 T1H2 发生的概率，也就是两种事 件中每个事件发生的概率之和
解：设 A = 某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报
依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50
P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.375
3－31
独立事件与乘法公式
(例题分析)
【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球 (摸出后球不放回)，求连续两次摸中红球的概率
3－17
互斥事件的加法规则
(例题分析)
【例】抛掷一颗骰子，并考察其结果。求出其点 数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率
解：掷一颗骰子出现的点数(1，2，3，4，5，6)共有
6个互斥事件，而且每个事件出现的概率都为1/6 根据互斥事件的加法规则，得
P(1或2或3或4或5或6) P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 1 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6


合计
从这200个配件中任取一个进行检查，求 (1) 取出的一个为正品的概率 (2) 取出的一个为供应商甲的配件的概率 (3) 取出一个为供应商甲的正品的概率 (4) 已知取出一个为供应商甲的配件，它是正品的概率

概率论第三章 多维随机变量及其分布

概率论第三章 多维随机变量及其分布

1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R

概率分布函数

概率分布函数

第三章 几种重要的概率分布
例 4 一页书上印刷错误的个数 X 是一个离散型随机变量，它服从参数 为 的泊松分布，一本书共有 300 页，有 21 个印刷错误，求任取 1 页 书上没有印刷错误的概率。 21 7 解：由于 300 页中有 21 个印刷错误，从而平均每页有 个印刷
300 100 7 错误，即离散型随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ， 100 又由于离散型随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，因此数学期望
由概率加法公式得：
n
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m m nm 且 b(m; n, p) Cn p q ( p q) n 1 n
概率 b(m; n, p) 实际上是二项式 ( p q) n 的展开式中的通项公式。
2 2
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第三章 几种重要的概率分布
小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。 二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们 应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努
里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与
方差。。 课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05
m m nm b(m; n, p) C n p q , 其中m 0,1,2,, n; q 1 p
m 0
m 0
称为概率计算的二项公式。
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第三章 几种重要的概率分布
二、二项分布
定义 如果随机变量 X 的概率分布为
i PX i C n p i q n i
(0 p 1, p q 1)

第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)

第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)

P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x

(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。

第三章 常用概率分布之正态分布

第三章 常用概率分布之正态分布

图4.13 离均差的绝对值≤1 , 2 和3 的概率值
随机变量x在区间( μ – kσ, μ + kσ )外取值的概率P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )为两尾概率，记为α P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )=α P ( x<μ – kσ ) = P( x>μ + kσ )=α/2 两尾分位数Uα
=0.0227
0.020
fN (x)
0.020
fN (x)
0.016
0.016
0.012
0.012
0.008
P( y 40) 0.9773
P( y 26) 0.2119
0.008
0.004
0.004
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
首先计算：
查附表2，当u=－0.8时，FN(26)=0.2119，说明这 一分布从－∞到26范围内的变量数占全部变量数的 21.19%，或者说，y≤26概率为0.2119. 同理可得： FN(40)=0.9773
所以：P(26＜y≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119

概率论第三章

概率论第三章

若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2

第三章 概率分布

第三章 概率分布

f(0)
0.0039
0.0039
f(1)
0.0469
0.0508
f(2)
0.2109
0.2617
f(3)
0.4219
0.6836
f(4) 总和
0.3164 1.0000
1.0000
NP(x) 0.39 4.69 21.09 42.19 31.64 100.00
精品课件
例2：某批鸡种蛋的孵化率是0.90，今从该 批种蛋中每次任选5个进行孵化，试求孵出 小鸡的各种可能概率。
（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称。
精品课件
图4—9 n值不同的二项分布比较
图4—10 p值不同的二项分布比 较
精品课件
2、二项分布的参数 • 总体平均数（次数）：
μx=np • 总体标准差（次数）：
σx= npq
如例1，n=4, p=0.75，可求红花出现的株数为 4×0.75=3株，σ=(4×0.75×0.25)1/2=0.866株
在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确 得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的 频率作为该随机事件概率的近似值。
即
P（A）=p≈m/n （n充分大）
精品课件
概率有如下基本性质：
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
精品课件
三、概率计算
（一）事件的相互关系 1、和事件
事件A和事件B至少有一件发生而构成的新 事件称为事件A和事件B的和事件，以A＋ B表示。 2、积事件 事件A和事件B同时发生，以A·B表示
精品课件
3、互斥事件 事件A和事件B不能同时发生，A·B=V 如新生儿男为A，女为B

第三章 概率分布

第三章 概率分布

第二节 概率分布
概率:一次试验某一个结果发生的可能性大小 概率分布:试验的全部可能结果及各种可能结果发生 的概率
一、随机变量 随机试验的所有可能结果中，若对于每一种可能结果 都有唯一的实数x与之对应，则称x为随机试验的随 机变量。
【例4.3】 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能 结果是“0头治愈”、 “1头治愈”、“2头治愈”、 “…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的 取值为0、1、2、…、100。
【例4.4】 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“ 孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。 若用变量x表示试验 的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表 示“孵出小鸡”。
【例4.5】 测定某品种猪初生重，表示测定结果的 变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5―1.5kg，x 值可以是这个范围内的任何实数。
但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结
果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定
性，通常称之为随机现象的统计规律性
概率
论与数理统计
（二）随机试验与随机事件
1、随机试验 通常我们把根据某一研究目的 ，在一定条件下对 自然现象所进行的观察或试验统称为随机试验。
随机试验满足下述三个特性
（1）可重复性：试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）结果多样性：每次试验的可能结果不止一个，并且事先 知道会有哪些可能的结果； （3）未知性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
一类随机现象或不确定性现象：事前不可预言其 结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行观察， 其结果未必相同。即在个别试验中其结果呈现偶然性、 不确定性现象。例
随机现象特点：

经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布

经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布

3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。

例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。

又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。

定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。

定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。

记作（X，Y）～F（x,y）。

（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。

因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。

3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。

设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。

（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。

第三章概率与概率分布习题及答案

第三章概率与概率分布习题及答案

第三章概率、概率分布与抽样分布计算题：1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。

试求这种零件的次品率。

2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。

某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。

求该选手两发都脱靶的概率。

3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。

据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。

该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。

问该企业决策者会倾向于如何决策4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。

保险费每人50元。

若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。

试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。

5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。

若规定寿命低于150小时为不合格品。

试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。

6. 某商场某销售区域有6种商品。

假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。

求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。

1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。

统计学习题答案 第3章 概率与概率分布

统计学习题答案 第3章 概率与概率分布

第3章 概率与概率分布——练习题(全免)1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。

试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。

并说明几个计算结果之间有何关系？解:设A ＝女性，B ＝工程师，AB ＝女工程师，A+B ＝女性或工程师（1）P(A)＝4/12＝1/3（2）P(B)＝4/12＝1/3（3）P(AB)＝2/12＝1/6（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/22. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。

试求这种零件的次品率。

解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A ）的概率()P A 。

考虑逆事件A =“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。

据题意，有：()(10.2)(10.1)(10.1)0.648P A =---=于是 ()1()10.6480.352P A P A =-=-=3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。

试求任一参考人员成绩优秀的概率。

解:设A 表示“合格”，B 表示“优秀”。

由于B ＝AB ，于是)|()()(A B P A P B P ＝＝0.8×0.15＝0.124. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。

某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。

求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A ＝第1发命中。

B ＝命中碟靶。

求命中概率是一个全概率的计算问题。

再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +＝＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9脱靶的概率＝1－0.9＝0.1或（解法二）：P (脱靶)＝P (第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.15.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。

第三章 多维随机变量及概率分布

第三章 多维随机变量及概率分布

第三章多维随机变量及概率分布3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。

例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。

又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。

定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。

定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。

记作（X，Y）～F（x,y）。

（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。

因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。

3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。

设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。

（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。

第三章 概率与概率分布

第三章 概率与概率分布
如果表示试验结果的变量y ，其可能取值为某 范围内的任何数值 ，且y在其取值范围内的任一区 间中取值时，其概率是确定的，则称Y为连续型随 机变量( continuous random variable)。
2.离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量Y的统计规律，必须知道 它的一切可能值 yi 及取每种可能值的概率pi。 2.1 概率函数（probability function )
研究偶然现象本身规律性的科学称为概率 论。
基于实际观测结果，利用概率论得出的规 律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学就是 统计学。
概率论是统计学的基础，统计学是概率论 所得出的规律在各领域中的实际应用。
二、事件及事件的关系 1. 随机试验 同一组综合条件的实现，称为试验（trial）。
而一个试验如果满足下述三个特性， 则 称 其 为 一个 随机试验（random trial），简称试验。
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率”
10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件， 即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件 数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
任何事件 0≤P(A)≤1 必然事件 P( W )=1 不可能事件 P(V)＝0 随机事件 0<P(A)<1
P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理的推理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。

田间试验与统计分析 第三章 概率和概率分布

田间试验与统计分析 第三章 概率和概率分布

第四节 抽样分布
一、随机抽样 二、样本平均数的抽样分布 三、样本平均数差数的抽样分布（自学）
统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理论关系为基础的
（1）从总体到样本的方向： 其目的是研究从总体中抽出 所有可能样本统计量的分布 及其与原总体的关系。 （2）从样本到总体的方向： 用样本对总体作出推断。
统计概率：随机事件发生频率的稳定值，一般称为该 事件的统计概率。
二、概率的主要性质
必然事件的概率P(A)等于1； 不可能事件的概率P(A)等于0； 随机事件的统计概率P(A)都在0与1之间。
三、小概率事件原理
人们常把P ≤0.05或0.01的事件称为小概率事件。
小概率事件有一个重要的特性是：概率很小的事件， 在一次试验中是很难出现的，人们就认为它是不可 能出现的。一旦容易出现了，该事件就有可能不是 小概率事件。这就称为小概率事件实际不可能性原 理，是统计推断的理论依据。
此曲线全距为-∞到+∞ 。
5. 正态分布曲线与x轴之间的总面积等于1，因此，在曲线下轴的 任何定值，如x=x1到x=x2之间的概率等于介于两个定值间面积占 总面积的成数。
区间
μ±1σ μ±2σ μ±3σ μ±1.96σ μ±2.58σ
面积或概率 0.6827 0.9545 0.9973 0.9500 0.9900
发芽频率 0.9 0.95 0.92 0.93 0.93 0.91 0.92 0.92 0.91 0.92 0.92 0.92
概率的统计定义
在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生 的 次 数 为 m ， 那 么 m/n 称 为 随 机 事 件 A 的 频 率 （frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事 件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就 把 p 称为随机事件A的概率。

第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义

第三章 概率与概率分布 华中农业大学生物统计学讲义

该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10，而事 件A所包含的基本事件有3个，即抽得编号为1、2、3中的任何一 个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8 9 10
一、概率基本概念
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件（即每个球 被取到的可能性是相等的），即n=10 事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件，即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
一、概率基本概念
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率” 10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件，即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
2、在一定条件下可能发生也可能不 发生。
（二）频率（frequency）
一、概率基本概念
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
0≤W(A) ≤1
例：
一、概率基本概念
设样本空间有n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包 含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P(A)=m/n。
古典概率(classical probability) 先验概率(prior probability)
一、概率基本概念
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数

《概率论与数理统计》第三章

《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，

概率与概率分布

概率与概率分布

故乘客候车小于5min的概率为
1 P(0 5) dx 0.5 0 10
5
2、正态分布 一、 概念和公式的引出 正态分布 如果随机变量 的密度函数为
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
( x (,))
其中 , ( 0) 为参数，则称随机变量 服从参数为
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率 分布为
k P( k ) Cn p k (1 p) nk (k 1,2,, n)
则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球]
练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件 中一级品的只数为 ，求 的概率分布．
“出现正面”这一随机事件．
3.2.1 离散型随机变量及其分布
一、案例 二、概念和公式的引出
三、进一步的练习
案例 [取球]
上面我们已经知道随机变量可以表示随机试验的
结果，有些随机试验的结果可用随机变量的取值按 一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用 取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出 离散型随机变量
k 10 k
的概率分布为
10 k
P( k ) C (0.2) (0.8)
(k 1,2, ...)
3．泊松分布 二、 概念和公式的引出 泊松分布 如果随机变量 的概率分布为
P( k )
k
k!
e

( 0, k 0,1,2,, n)
则称 服从参数为 的泊松分布，记作
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p(x)=X的概率函数=P(X=x) 则4粒种子有两粒发芽的概率为：
P(2)
P(x)= C 42p2 q4-2=6×0.92×0.12=0.0486
现已求出某事件发生的概率，若试验N次， 则该事件发生的理论次数为： 理论次数＝NP(x) 二项分布的概率累积函数为： F (x) = ΣP(x)=1
二项分布的两个条件：
C43p3q1 C44p4q0
0.2109
0.4219 0.3164 1.000
0.2617
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A 3 A4
A1 A2 A 3 A4 A1 A2 A3 A4
又由于以上各种方式中，任何二种方式
都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 粒
种子中正好有2粒种子发芽的概率为：
P4(2) = P( A1 A2 A3 A4) + P( A1 A2 A3 A4 ) + …
m m P(A) = p=lim n n
n ∝
在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准 确得到的。通常以试验次数n充分大时，随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
任何事件
必然事件 不可能事件 随机事件
0≤P(A)≤1 P(U)=1
P(V)＝0 0<P(A)<1
第二部分
概率的计算
（一）事件的相互关系
如果多个事件A1、A2、A3、…、An 彼此独立， 则称之为独立事件群。
如播种两粒玉米，它们的发芽
6
完全事件系
如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥， 且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、 A2、A3、…、An为完全事件系。 完全事件系的和事件概率为１，任何一个事 件发生的概率为1/n。即： P（A1＋A2＋…＋An）＝１
定理: 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
2 独立事件乘法定理 例:播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则： A:第一粒种子发芽，P (A) = 0.9， P(A) = 0.1 B:第二粒种子发芽，P (B) = 0.9， P( B ) = 0.1 求： C:两粒种子均发芽 D:一粒种子发芽 E:两粒种子均不发芽 C:两粒种子均发芽， C = AB，P（C) = P(A) P(B) = 0.81 D:一粒种子发芽：D= AB + AB，P(D)＝0.9*0.1+ 0.1*0.9=0.18 E:两粒种子均不发芽：E= A B，P(E)＝P(A)P(B)=0.1*0.1=0.01
第三章
概率与概率分布
第一节：概率基础知识
一、概率的概念 二、概率的计算 三、概率的分布
一、概率基本概念
（一）事件 定义：在一定条件下，某种事物出现与否 就称为是事件。
自然界和社会生活上发生的现象是各 种各样的，常见的有两类。
在一定条件下必然出现某种结果或必然不出现某种结果。
确定性事件
必然事件（U) (certain event)
Pi
i 1

=1
（二）连续型变量的概率分布
当试验资料为连续型变量，一般通过分组
整理成频率分布表。如果从总体中抽取样本的
容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将
它近似地看成总体概率分布。
频 率 密 度
0.25一
0.20一 0.15一 0.10一 0.05一
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
P(A) = p
抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录 实验者 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊 投掷次数 4040 12000 24000 发生正面朝上的次数 2048 6019 12012 频率(m/n) 0.5069 0.5016 0.5005
随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频 率稳定接近0.5，我们称0.5作为这个事件的概率。
里试验，简称贝努里试验。
在贝努里试验中，独立将此试验重复n次，求在n 次试验中，一种结果A出现x次的概率P(x)是多少。 在种子发芽试验中，设事件A为“种子发芽”，则 A为“种子不发芽”。取4粒种子（n=4）来做试验，求
有2粒种子发芽(x=2)的概率。
在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 C 42种：
频率表明了事件频繁出现的程度，因而其稳定性说
明了随机事件发生的可能性大小，是其本身固有的 客观属性，提示了隐藏在随机现象中的规律性。
概 率
（三）概率（probability,P)
概率的统计定义：设在相同的条件下，进行大量重复试验， 若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则称p 为事件A出现的概率。
表 观察4株出现红花的概率分布表 (p=0.75 q=1-p=0.25)
概率函数 Cnxpxqn-x P(x) P(0) P(1) C40p0q4 C41p1q3 0.0039 0.0469 F(x) 0.0039 0.0508 NP(x) 0.39 4.69
P(2)
P(3) P(4) 合计
C42p2q2
a
b
对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概 率为函数f(x)从a到b的积分，即：
P(a x b) f ( x)dx
a
b
连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。
P( x ) f ( x)dx 1


概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1。
试验只有两个对立结果，记为A和
二 项 总 体
A，出现概率分别为p和q=1-p。
重复性：每次试验条件不变时，事件A出
现为恒定概率p；
独立性：任何一次试验中事件A的出现与
其余各次试验结果无关。
（二）二项分布的计算
例：豌豆F1为红花和白花，杂交后F2红花：白花＝3：1 F1
F2
3:1
若每次观察4株，共观察100次，问红花为0、 1、理: 事件A和事件B为独立事件，则事件A与事 件B同时发生的概率为各自概率的乘积。 P(AB)=P(A)P(B)
推理：A1、A2、…An彼此独立，则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
三、概率分布 （一）离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知道 它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
概率(P)
x1
p1
x2
p2
x3
p3
x4
p4
……..
…….
xn
pn
P (x=xi) = pi, i=1,2,3…
设离散型变量x的所有一切可能值xi(i=1,2,3…),
取相应值的概率为pi，则P (x=xi)称为离散型随机变
量x的概率函数。
离散型变量的概率分布的特点
1≥ Pi≥ 0
(i=1,2,…)
2 积事件
事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称 为事件A和事件B的积事件，记作A•B。
n个事件的积，可表示为A1 • A2 • … • An
如调查田间病害发生情况，棉铃虫发生为事件A， 黄萎病发生为B，则棉铃虫与黄萎病同时发生的新 事件为A和B的积事件
3 互斥事件（互不相容事件）
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事 件A和B互不相容或互斥。
如，抽取一位阿拉伯数字，抽取数字为0、1、2….8、9构成了 完全事件系
（二）概率的计算法则 1 互斥事件加法定理 例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B)占30.7%，空 穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率。 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979 因为P(A)+P(B)+P (C) =1 P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979
图3.1 鲢鱼体长的频率分布图
直方图中同一组内的频率是相等的。
直方图中每一矩形的面积就表示该组的频率。
当n无限大时，频率转化为概率，频率密度也转化为概率
密度，阶梯形曲线也就转化为一条光滑的连续曲线，这时频率 分布也就转化为概率分布了，此曲线为总体的概率密度曲线，
曲线函数f(x)称为概率密度函数。
例：
表 婴儿的性别情况表
性别(x) 概率(P) 0（男） 1（女） 0.517 0.483
此表列出了性别变量的取值及相应值的概率，揭示了观 察婴儿性别试验的统计规律。 用随机变量的可能取值及取相应值的概率来表示随机 试验的规律称为随机变量的分布律或概率函数。
表3-3 离散型变量的概率分布
变量(x)
对立事件
发芽
有芒
成活
无芒
死亡
生物个体
• 二项总体: 这种“非此即彼”的事件构成的 整体 • 二项分布: 二项总体的概率分布
一、二项分布
设有一随机试验,每次试验结果出现且只出现对立事 件A与 A之一，这两种结果是互不相容的，在每次试 验中出现A的概率是p(0<p<1)，则出现对立事件 A的
概率是1-p=q，则称这一串重复的独立试验为n重贝努
对离散型变量x的一切可能值xi(i=1,2,3…), 及其对应的概率pi P (x=xi) = pi, i=1,2,3…
例：
表3-2某鱼群的年龄组成 年龄(x) 1 2 3 4 5 6 7
频率(W) 0.4597 0.3335 0.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012
此表给出了该鱼群年龄构成的全部，我们称 之为该鱼群年龄的概率分布。