【人教A版】高中数学必修二：专题强化训练(二)

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年广西玉林市高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练(12)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）37.5分钟40.5分钟49.5分钟52.5分钟1. 如图，在平面直角坐标系 中，质点 间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为 弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）A .B .C .D . 2. 已知单位向量 满足 ，若向量 ，则（ ）A .B .C .D .1﹣13. 如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若 =λ +μ ，则λ+μ的值为（ ）A .B .C .D .34. 已知 ， 满足：| |=3，| |=2，则| + |=4，则| ﹣ |=（ ）A .B .C .D .5. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且 ，则A等于（ ）A .B .C .D .等腰三角形直角三角形等腰直角三角形等边三角形6. 在 中，已知，且 ，则的形状是（ ）A . B . C . D .30°60°120°150°7. 若向量 满足 ，且 ，则向量的夹角为（ ）A .B .C .D .12468. 中，角 所对的边分别为 ．若，则边（ ）A .B .C .D .1-19. 已知向量 ，且 ，则实数 （ ）A .B .C .D .2310. 已知 ， ， 均为单位向量， 与 的夹角为 ，则 的最大值为（ ）A .B .C .D .充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件11. 已知中，“”是“”成立的（ ）A .B .C .D .12. 已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则的面积为（ ）A .B .C .D .13. 已知 ， 为单位向量，且 ，则向量 与 的夹角为 .14. 已知 ， 均为单位向量，与 ， 共面的向量 满足 ， ，则 的最大值是 .15. 在 中，，，为的三等分点，则.16. 已知向量 ，则a与b夹角的大小为 .17. 已知向量 ，函数 .(1) 若 ，求 的值；(2) 在 中，角 对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围.18. 从① ，② 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知 中， ， ， 分别是内角 ， ， 所对的边，且 .(1) 求角 ；(2) 已知 ，且______，求 的值及 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19. 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 若且 ．(1) 求的值；(2) 若且的面积为 ， 求的周长．20. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 ， 且 ．(1) 求角B的大小；(2) 若 ， ，求 的面积．21. 数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：(1) 用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）(2) 设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

高中数学必修二练习题（人教版，附答案）本文适合复习评估，借以评价学习成效。

一、选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点且平行于直线的直线方程为（）A． B．C．D．3. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．5. 研究下在同一直角坐标系中，表示直线与的关系6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（C ）A.MN∥βB.MN与β相交或MNβC. MN∥β或MNβD. MN∥β或MN与β相交或MNβ12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（A ）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定二填空题13.已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为；14.已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2,则PC＝；15.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；16.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为．三解答题17(12分) 已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0 求AC边上的高所在的直线方程.18(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE 的中点，求证：(1) FD∥平面ABC;(2) AF⊥平面EDB.19（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.20(12分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上. 求圆C的方程.设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，2分)设有半径为3的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22（14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45度时，求弦AB的长.一、选择题（5’×12=60’）（参考答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D B C C A A C A C A二、填空题：(4’×4=16’) （参考答案）13. (0,0,3) 14. 15 y=2x或x+y-3=0 16. (x-2)2+(y+3)2=5三解答题17(12分) 解：由解得交点B（－4，0），. ∴AC边上的高线BD的方程为.18(12分) 解：(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴ FM∥EA, FM=EA∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.19解：略20解：∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|. 又圆心C到直线y－x=0的距离在Rt△CBD中，.∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.21解解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6分将①代入……………8分又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.设直线相切，则有……………………11分答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分22解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45度时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年宁夏高中数学人教A 版 必修二平面向量及应用强化训练(17)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）11或0或1. 若向量 ， ， 且与的夹角的余弦值为， 则实数等于（ ）A. B. C. D. 122. 在面积为2的 中， ，分别是， 的中点，点 在直线 上，则的最小值是（）A. B. C.D.3-33.已知等边三角形ABC 的边长为1，，那么（ ）A. B. C.D.4. 已知正四面体 的棱长为a ，点E ，F 分别是的中点，则 的值为（ ）A.B.C.D.5. 如图， 中， 与 交于 ，设 ， ， ，则 为（ ）A. B. C. D.486. 如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点分别是上的两动点，且，点在圆弧上，则的最小值为（）A. B. C. D.7. 在中，若，则（）A. B. C. D.8. 如图，正方形的边长为1，延长BA至E，使，连接EC、ED，则（）A. B. C. D.24689. 已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则( )A. B. C. D.无解有一解有两解不能确定10. 在中，已知，，，则该三角形（）A. B. C. D.11. 设非零向量，，满足，则（）A. B. C. D.12. 已知向量，，，若，则向量在上的投影为（）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 如图，四边形为筝形有一条对角线所在直线为对称轴的四边形，满足，的中点为，，则筝形的面积取到最大值时，边长为．14. 如图在中，，，点是外一点，，则平面四边形面积的最大值是．15. 在等边中，为边上的点且满足，且交于点，且交于点，若，则的值是 .16. 如图所示，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，.若，则；则的长为 .阅卷人三、解答得分17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， D为的中点，且．(1) 证明：；(2) 若，求的面积．18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点M的圆与直线相切于N，且满足．(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1) 求角B；(2) 若，的面积为，求的周长.20. 在中，内角､､的对边分别是､､，，平分交于， .(1) 求面积的最小值；(2) 已知，求面积 .21. 在平面四边形中，，，， .(1) 求；(2) 若，求 .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省温州市高中数学人教A版 必修二平面向量及应用强化训练(5) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 在斜中，设角 的对边分别为 ，已知 ， 是角 的内角平分线，且 ，则（ ）A . B .C .D .22. 设双曲线 的一个焦点为 ，过 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，且与另一条渐近线交于点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）A .B .C .D .或或 3. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则角 （ ）A . B . C .D .4. 向量 化简后等于（ ）A .B .C .D .5. 已知两异面直线的方向向量分别为 ， ，且 ， ，则两直线的夹角为（ ）A .B .C .D .6. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， ， 则=( )2468A .B .C .D .±57. 已知抛物线 ,的焦点为 ，其上两点 满足 ，则直线 的斜率为（ ）A .B .C .D .充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件8. 若是向量，则“”是“”的( )A .B .C .D .9. 在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，则 的面积为（ ）A .B .C .D .10. 在空间四边形 中， ，且 ，则 （ ）A .B .C .D .30°60°120°150°11. 已知向量， 向量 ， 则与的夹角大小为（ ）A . B . C . D .m >0， n >0m >0， n <0m <0， n >0m <0， n <012.如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含边界），设， 且点P落在第Ⅳ部分， 则实数m、n满足（ ）A . B . C . D .13. （理）在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标为 ．14. 在平面直角坐标系中， 为直线 ： 上在第一象限内的点， ，以 为直径的圆 与直线 交于另一点 .若 ，则点 的横坐标的取值范围为 .15. 已知是双曲线的两个焦点，为上一点， ， 且 ， 则的离心率为 ．16. 面积为 的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则 = ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知 ， 是夹角为的单位向量，设 ，(1) 若 ， 且 ， 求t的值；(2) 求的最小值18. 在 中，已知内角 ，边 .设内角 ，周长为 .(1) 求函数 的解析式和定义域；(2) 求 的最大值．19. 已知在锐角中，内角所对的边分别是 ， 且.(1) 求；(2) 记面积为 ， 求的取值范围.20. 已知 为坐标原点，椭圆 ： 上一点 在第一象限，若 .(1) 求点 的坐标；(2) 椭圆 两个顶点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 ，若直线 与直线 相交于点 ，求证： 为定值.21. 在 中，角 所对的边分别为 ,且 .(1) 求角C；(2) 若 的中线CE的长为1，求 的面积的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。

第六章平面向量及其应用6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形 B .矩形 C .正方形 D .平行四边形,四边形ABCD 是以AB ,AD 为邻边的平行四边形. 2.在边长为1的正方形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于 ( )A.0B.1C.√2D.3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.3.(多选题)已知向量a ∥b ,且|a |≠|b |,则向量a +b 的方向可能( ) A.与向量a 的方向相同 B.与向量a 的方向相反 C.与向量b 的方向相同 D.与向量b 的方向相反a ∥b ,且|a |≠|b |,∴a 与b 共线,它们的和的方向可能与a 同向或反向,与b 同向或反向. 4.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.0 B.BE⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.CF ⃗⃗⃗⃗⃗CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.5.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA⃗⃗⃗⃗⃗ C.PC⃗⃗⃗⃗⃗ D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC⃗⃗⃗⃗⃗ . 6.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)0由平行四边形法则可知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(4)AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 7.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .°P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC ,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由向量加法的平行四边形法则可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°. 8.是否存在a ,b ,使|a +b |=|a |=|b |?请画出图形说明.,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OA=OB=OC ,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.9.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?图,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3 km .关键能力提升练10.(2021广东模拟)在正六边形ABCDEF 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AF ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BE⃗⃗⃗⃗⃗ C.CD⃗⃗⃗⃗⃗ D.0,连接AD ,BE ,设AD 与BE 交于O 点,则BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故选D .11.(多选题)设a =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列选项正确的有( ) A.a ∥b B.a +b =a C.a +b =b D.|a +b |<|a |+|b |a =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又b 为任一非零向量,∴A,C 正确.12.如图所示,在矩形ABCD 中,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则|a +b +c |= .√3+b +c =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .如图,延长BC 至点E ,使CE=BC ,连接DE ,∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE AD.∴四边形ACED 是平行四边形.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴|a +b +c |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3. 13.如图所示,一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地,然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km 到达C 地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°≈0.6).AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B 地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |;两次位移的和指的是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt △ABC 中,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+6002=1 000(km),其中∠BAC ≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向约为北偏东72°.学科素养创新练14.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 是平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,知四边形ABCD 为菱形. 又cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=60°. ∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.。

1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的地点关系是()A．平行 B ．垂直C．订交不垂直D．不确立分析：由题意可知，该直线垂直于三角形所确立的平面，也垂直．答案： B2．如下图，假如MC ⊥菱形 ABCD 所在平面，那么故这条直线和三角形的第三边MA 与 BD 的地点关系是()A．平行 B ．垂直订交C．垂直但不订交D．订交但不垂直分析：连结 AC ，由于 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC. 又 MC ⊥平面 ABCD ，则 BD ⊥ MC.由于 AC∩MC ＝C，所以 BD ⊥平面 AMC. 又 MA平面AMC，所以MA⊥ BD.明显直线MA 与直线 BD 不共面，所以直线MA 与 BD 的地点关系是垂直但不订交．答案： C3．以下表述正确的个数为()①若直线 a∥平面α，直线 a⊥b，则 b⊥ α；②若直线 a平面α，bα，且a⊥ b，则a⊥ α；③若直线 a 平行于平面α内的两条直线，则a∥ α；④若直线 a 垂直于平面α内的两条直线，则a⊥ α.A 0B 1C 2D3分析：①中 b 与α还可能平行、斜交或 b 在平面α内；②中 a 与α还可能平行或斜交；③中 a 还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判断定理知④错．答案： A4．矩形ABCD中， AB ＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________．分析： tan∠ PCA ＝ PA ＝AC1 ＝3，∴∠ PCA ＝30°.33答案： 30°5．如下图，四边形 ABCD 是矩形， AP ⊥平面 ABCD ，△ PAD 是等腰三角形， PA＝ AD ，M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点，求证： MN ⊥平面 PCD.证明：取 PD 的中点 E，连结 AE 、 NE.∵ N、 E 分别为 PC、PD 的中点，1∴ NE 为△ PCD 的中位线，∴ NE ∥ CD 且 NE ＝2CD.1又∵ M 为 AB 的中点，∴ AM ∥ CD 且 AM ＝2CD ，∴AM ∥NE 且 AM ＝NE，∴四边形 AENM 为平行四边形，∴AE ∥ MN.又∵△ PAD 为等腰三角形，∴AE ⊥ PD，∴ MN ⊥ PD.连结 PM 、 MC ，设 AD ＝ a， AB ＝ 2b，∴PM2＝a2＋ b2，CM 2＝ a2＋ b2，∴ CM ＝ PM.∵N 为 PC 的中点，∴ MN ⊥ PC.∴PC∩PD＝ P，∴ MN ⊥平面 PCD.讲堂小结——本课须掌握的三大问题1.直线和平面垂直的判断方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判断定理；(3)利用下边两个结论：①若a∥b，a⊥ α，则b⊥ α；②若α∥ β， a⊥ α，则 a⊥β.2.线线垂直的判断方法：(1)异面直线所成的角是 90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3.求线面角的常用方法：(1)直接法 (一作 (或找 )二证 (或说 )三计算 )；(2)转移法 (找过点与面平行的线或面 )；(3)等积法 (三棱锥变换极点，属间接求法 ).。

2022版人教A 版高中数学必修第二册--专题强化练1 平面向量数量积及其应用一、选择题1.(2020浙江杭州学军中学高一上期末,)对任意向量a ,b ,下列关系式不恒成立的是 ( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.(a +b )2=|a +b |2 C.|a -b |≤||a |-|b || D.(a+b )·(a -b )=|a |2-|b |2 2.(2020北京房山高三上期末,)设a ,b 均为单位向量,则“a 与b 的夹角为π3”是“|a +b |=√3”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(2021安徽卓越县中联盟高一下期中,)已知a ,b 是单位向量,且|a +b |=√2|a -b |,向量e 是与a -b 同向的单位向量,则向量a 在向量a -b 上的投影向量为 ( ) A.√33e B.√33C.√63eD.√634.(2021安徽亳州二中高一下期中,)已知向量a =(sin θ,-2),b =(1,cos θ),且a ⊥b ,则sin 2θ+2cos 2θ的值为 ( ) A.1 B.85C.65D.3 5.(2021江苏镇江一中高一下期中,)已知等边三角形ABC 的边长为6,点P 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.√32B.2√3C.3√3D.4√36.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)在△ABC 所在的平面内,使|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的值最小的点P 是△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 二、填空题 7.()如图,在四边形ABCD 中,AB =CD =1,B ≠C ,点M 和点N 分别是边AD 和BC 的中点,延长BA 和CD ,分别交NM 的延长线于点P ,Q ,则(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为 .三、解答题8.(2021黑龙江龙西北地区八校高一下联考,)已知向量a ,b 满足|a |=2|b |=2,单位向量e 与向量b 方向相同且向量a 在向量b 上的投影向量为-e . (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a -2b |;(3)当λ为何值时,向量λa +b 与向量a -3b 互相垂直?9.(2021江苏无锡太湖高级中学高一下期中,)在直角梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,∠DAB =90°,AB =4,AD =CD =2,对角线AC ,BD 交于点O ,点M 在AB 上,且满足OM ⊥BD.(1)求AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)若N 为线段AC (含端点)上任意一点,求AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.答案全解全析一、选择题1.C 对于A ,设a ,b 的夹角为θ,则|a ·b |=|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |,故A 中关系式恒成立; 对于B ,(a +b )2=(a +b )·(a +b )=|a +b ||a +b |cos 0=|a +b |2,故B 中关系式恒成立; 对于C ,|a -b |≥||a |-|b ||,只有取等号时,|a -b |≤||a |-|b ||才成立; 对于D ,(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2,故D 中关系式恒成立. 故选C .2.C 由题可得,|a |=|b |=1.若a ,b 的夹角为π3,则|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=1+2×1×1×12+1=3,即|a +b |=√3;若|a +b |=√3,则(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=3,即a ·b =12,设a ,b 的夹角为θ,θ∈[0,π],则cosθ=a ·b |a ||b |=12,所以θ=π3.所以“a 与b 的夹角为π3”是“|a +b |=√3”的充要条件.故选C . 3.A ∵|a +b |=√2|a -b |,∴a 2+2a ·b +b 2=2(a 2-2a ·b +b 2),∴6a ·b =a 2+b 2, ∵a ,b 为单位向量,∴|a |=|b |=1,a ·b =13,∴a ·(a -b )=a 2-a ·b =1-13=23,|a -b |=√(a -b )2=√a 2-2a ·b +b 2=2√33,∴向量a 在向量a -b 上的投影向量为a ·(a -b )|a -b |e =23×2√3×e =√33e .故选A .4.C ∵向量a =(sin θ,-2),b =(1,cos θ),且a ⊥b , ∴a ·b =sin θ-2cos θ=0, ∴tan θ=sinθcosθ=2,∴sin 2θ+2cos 2θ=2sinθcosθ+2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ+2tan 2θ+1=4+24+1=65.故选C .5.C 因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62+14×62−6×6×12=27,故|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3.故选C .6.D 设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -a ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -b ,所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(m -a )2+(m -b )2+m 2=3m 2-2(a +b )·m +a 2+b 2=3[m -13(a +b )]2−13(a +b )2+a 2+b 2,所以当m =13(a +b )时,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的值最小,此时PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -m )+(b -m )+(-m )=a +b -3m =a +b -(a +b )=0,故点P 为△ABC 的重心,故选D . 二、填空题 7.答案 0解析 解法一:由题意知P ,Q ,M ,N 四点共线,可设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由题图可得{MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,①MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ .②因为M ,N 分别为AD ,BC 的中点,所以①+②可得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0,即MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),故(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|DC⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=0. 解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.设B =90°,C =60°,BC =2,以点B 为原点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D 作DD'⊥BC 于D',则B (0,0),C (2,0),A (0,1),D (32,√32),故M (34,12+√34),N (1,0),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,-12-√34),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√32),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12,-1+√32,故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14×(-12)+(-12-√34)×(-1+√32)=0.由于P ,Q ,M ,N 四点共线,所以可设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故原式=λ×0=0. 三、解答题8.解析 (1)∵|a |=2|b |=2,∴|a |=2,|b |=1.又向量a 在向量b 上的投影向量为|a |·cos θe =-e , ∴|a |cos θ=-1,∴cos θ=-12,∵θ∈[0,π],∴θ=2π3.(2)由(1)得a ·b =|a ||b |cos θ=-1,∴|a -2b |=√a 2-4a ·b +4b 2=√4+4+4=2√3. (3)∵λa +b 与a -3b 互相垂直,∴(λa +b )·(a -3b )=λa 2-3λa ·b +b ·a -3b 2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=47.9.解析 解法一:(1)在直角梯形ABCD 中,因为AB ∥CD ,AB =2CD ,所以AO =2OC , AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23×(4-2×4×1)=-83.(2)设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−16λ=−83,解得λ=16,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 45° =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16×|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 45°=|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−√23|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 令|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ,则0≤t ≤2√2, AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t2−√23t =(t -√26)2−118,所以当|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√26时,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118. 解法二:(1)以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.则A (0,0),B (4,0),C (2,2),D (0,2),所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2), 由相似三角形易得O (43,43).设M (m ,0),0<m <4,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m -43,-43),所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m -43)×(-4)+(-43)×2=−4m +83=0,解得m =23.所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×(-4)+0×2=-83.(2)设N (a ,a ),0≤a ≤2, 则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,a )·(a -23,a) =2a 2-23a =2(a -16)2−118, 所以当a =16时,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118.。