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大一高数复习知识点一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入与输出之间的关系。
一般来说，我们把输入称为自变量，输出称为因变量。
2. 极限的概念极限是函数中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的趋近性。
简单来说，一个函数的极限可以看作是函数在该点附近的稳定值。
3. 基本的极限运算法则- 常数乘以函数的极限等于函数的极限乘以该常数。
- 两个函数的和的极限等于两个函数的极限之和。
- 函数的极限与自变量无关。
二、导数与微分1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
在数学上，导数可以通过极限来定义，即函数在某一点上的极限值。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数的导数为0。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的指数减1再乘以导数来计算。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 微分的概念微分描述了函数在某一点上的局部线性逼近。
它是导数的一种应用。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在该区间的两个端点处取得相同的函数值，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是导数中值定理的一种情况，它表示在一个开区间上，函数存在至少一点处的导数等于该区间上函数的平均斜率。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义不定积分是函数逆运算的一种形式，使用一个表示无穷小的符号 "dx" 来表示。
不定积分可以求出一个函数的原函数。
2. 常见函数的不定积分公式- 幂函数的不定积分可以通过幂函数的幂次加1再除以幂次来计算。
- 指数函数和对数函数的不定积分可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 定积分的定义定积分用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。
定积分可以看作是不定积分的一种应用。
五、常微分方程1. 常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数的导数的方程，其中未知函数是变量的函数。
大一学的高数重点知识第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，（变量替换）5.解：令6.（变量替换）7.已知在x=0连续，求a解：令（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.（洛必达）2.（洛必达或Taylor）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，则B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.已知，，求点的性质。
高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二） 三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习： 化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ； 解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三） 复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位 我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数 我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数 考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数 数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数 例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件 两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数 复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数 如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。
