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大一高数复习知识点一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入与输出之间的关系。
一般来说，我们把输入称为自变量，输出称为因变量。
2. 极限的概念极限是函数中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的趋近性。
简单来说，一个函数的极限可以看作是函数在该点附近的稳定值。
3. 基本的极限运算法则- 常数乘以函数的极限等于函数的极限乘以该常数。
- 两个函数的和的极限等于两个函数的极限之和。
- 函数的极限与自变量无关。
二、导数与微分1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
在数学上，导数可以通过极限来定义，即函数在某一点上的极限值。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数的导数为0。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的指数减1再乘以导数来计算。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 微分的概念微分描述了函数在某一点上的局部线性逼近。
它是导数的一种应用。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在该区间的两个端点处取得相同的函数值，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是导数中值定理的一种情况，它表示在一个开区间上，函数存在至少一点处的导数等于该区间上函数的平均斜率。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义不定积分是函数逆运算的一种形式，使用一个表示无穷小的符号 "dx" 来表示。
不定积分可以求出一个函数的原函数。
2. 常见函数的不定积分公式- 幂函数的不定积分可以通过幂函数的幂次加1再除以幂次来计算。
- 指数函数和对数函数的不定积分可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 定积分的定义定积分用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。
定积分可以看作是不定积分的一种应用。
五、常微分方程1. 常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数的导数的方程，其中未知函数是变量的函数。
大一学的高数重点知识第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，（变量替换）5.解：令6.（变量替换）7.已知在x=0连续，求a解：令（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.（洛必达）2.（洛必达或Taylor）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，则B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题6.已知，，求点的性质。
高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二） 三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习： 化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ； 解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三） 复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位 我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数 我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数 考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数 数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数 例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件 两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数 复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数 如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。
第一章 预备知识高等数学是研究变量的科学，恩格斯曾说过：“数学中转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”变量与变量之间的联系就是函数关系。
本章从集合、映射的概念出发引出函数、反函数的概念，接着介绍三角函数、反三角函数等重要函数的概念与性质，最后简单介绍极坐标系、二阶及三阶行列式的有关内容。
第一节 函数世界是普遍联系的，数学则是揭示事物之间数量联系的工具。
例如：水的沸点随海拔的增高而变化，圆的面积与其半径有关等等。
这些现象、规律都是变量与变量之间函数关系的反映。
函数的概念是建立在集合、映射上的。
下面介绍集合、映射的概念。
一、函数的概念1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示可采用列举法或描述法。
所谓列举法是把把集合的全体元素一一列举出来. A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }；而描述法是指若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为M ={x | x 具有性质P }.例如圆心在原点的单位圆上的点构成的集合表示为：{(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 下面是高等数学中常用的几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 2. 映射的概念映射： 设,X Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作:f X Y →其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =, 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X = X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为f R , 或()f x , 即 (){()|}f R f X f x x X ==∈需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域f D X =; 集合Y , 即值域的范围: f R Y ⊂; 对应法则f , 使对每个x X ∈, 有唯一确定的()y f x =与之对应. (2)对每个x X ∈, 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个f y R ∈, 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域f R 是Y 的一个子集, 即Rf Y ⊂, 不一定f R Y = . 例1设:f R R →, 对每个x R ∈,()f x x =.显然, f 是一个映射f D R =, 值域{|0}f R y y =≥, 它是R 的一个真子集. 对于f R 中的元素y , 除0y =外, 它的原像不是唯一的. 如1y =的原像就有1x =和1x =-两个. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若f R Y =, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素12x x ≠, 它们的像12()()f x f x ≠, 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).图1-1清楚地表明单射、满射、双射之间的关系.双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射图1-1 逆映射与复合映射 设f为X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个f y R ∈ , 有唯一的x X ∈, 适合()f x y =,于是, 我们可定义一个从Rf 到X 的新映射g , 即:f g R X →对每个f y R ∈, 规定()g y x =, 这x 满足()f x y =. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f-, 其定义域1g f D R -=, 值域1f R X -= .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 设有两个映射 12:,:g X Y f Y Z →→，其中12Y Y ⊂.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则，它将每个x X ∈映成[()]f g x Z ∈.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作f g ，即 :f g X Z → ，()()[()],f g x f g x x X =∈如图1-2所示。
物理专业高数大一下知识点一、导数及其应用导数是高等数学中非常重要的概念之一，对于物理专业的学生来说尤为重要。
导数可以衡量函数的变化率，也能帮助我们解决很多实际问题。
在大一下学期的高数课程中，我们主要学习了导数及其应用的基本知识。
1. 导数的定义导数的定义是函数变化率的极限值，记作f'(x)或dy/dx。
对于函数f(x)，其导数可以通过极限的方法求得，即lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
理解导数的定义很关键，它是后续计算和应用导数的基础。
2. 导数的计算法则高数课上，我们学习了一些计算导数的法则，例如常数法则、求和法则、积法则、商法则以及链式法则等。
熟练掌握这些法则可以帮助我们快速计算各种函数的导数。
3. 高阶导数除了一阶导数外，我们还学习了高阶导数的概念。
高阶导数表示对函数进行多次求导的结果。
例如，二阶导数表示对一阶导数再次求导的结果。
高阶导数的计算方法与一阶导数类似但需要进行多次求导。
4. 函数的凹凸性与拐点在应用中，通过函数的导数可以研究函数的凹凸性和拐点。
我们学习了判断函数凹凸性和拐点的方法，并通过绘制函数图像来进一步理解这些概念。
二、定积分与不定积分在物理专业的学习中，定积分与不定积分是非常重要的数学工具。
它们可以帮助我们解决一些实际问题，如求曲线下的面积、质心位置、动量等。
1. 定积分的概念与计算定积分是指在一定区间上，函数图像与x轴之间的有界面积。
常用的求解定积分的方法有几何法、代数法和换元法等。
我们学习了定积分的定义、性质以及简单的计算方法。
2. 不定积分及基本积分表不定积分是积分运算的一种，其结果称为原函数或不定积分。
在求解不定积分时，我们需要运用一些基本的积分公式和方法。
例如，常见的积分形式有幂函数、指数函数、三角函数等。
3. 定积分的应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过计算质点在一段时间内的位移的定积分可以得到质点的位移函数。
又如，计算曲线下的面积可以通过定积分求得。
大一高数知识点电子版在大学学习中，高等数学是一门重要的基础课程，涵盖了许多必要的数学知识点。
本文将为大一学生提供一份大一高数知识点的电子版总结，以便帮助他们更好地掌握和应用这些知识。
1. 函数与极限1.1 函数的定义与性质- 函数的定义及其与自变量和因变量的关系- 函数的分类：一次函数、二次函数、指数函数等- 函数的奇偶性、周期性和单调性等性质1.2 极限的概念与计算- 极限的定义及其与函数趋势的关系- 极限的性质与计算方法：夹逼定理、洛必达法则等- 无穷大与无穷小的概念及其运算2. 导数与微分2.1 导数的计算和性质- 导数的定义及其与函数斜率的关系- 基本导数公式和求导法则- 高阶导数、隐函数导数及参数方程导数 2.2 微分的概念及其应用- 微分的定义及其在近似计算中的应用 - 高阶微分与泰勒展开- 导数与函数的变化率和单调性的关系3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的计算和性质- 不定积分的定义及其与原函数的关系 - 基本积分表和积分法则- 分部积分、换元积分等特殊积分方法 3.2 定积分的概念与计算- 定积分的定义及其与曲线下面积的关系 - 定积分的性质和基本计算方法- 反常积分与变限积分的应用4. 微分方程与应用4.1 微分方程的基本概念和分类- 微分方程的定义及其与导数的关系- 高阶微分方程与常系数线性微分方程- 分离变量法、齐次方程与一阶线性常微分方程4.2 微分方程的解法及其应用- 一阶线性非齐次微分方程的解法- 可降阶的高阶线性微分方程解法- 微分方程在物理、经济等领域的应用通过学习以上知识点，大一学生将能够建立对高等数学的坚实基础，并能够运用这些知识来解决实际问题。
希望这份大一高数知识点的电子版能够对他们的学习有所帮助，并提高他们的学习效果。
注意事项：本文提供的知识点仅为大一高数课程的核心内容，学生在学习过程中还需仔细阅读教材并完成相关习题，以全面掌握和理解这些知识点。
本电子版仅供参考，不可作为替代课堂教学的主要依据。
一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A ∪B。
