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高数 集合

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高数高等数学1.1映射与函数

高数高等数学1.1映射与函数
1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1

高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数

高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+

高数-集合与映射

高数-集合与映射

并集：A B { x | x A或x B} 集合的运算： 交集 : A B { x | x A且x B}
差集 : A \ B { x | x A且x B}.
文式图：
AB
AB
AB
AB
AB
A\ B
特 别 ， 若B A,则 称 差A \ B为B关 于A的 余 （ 或 补 ） 集 ， 记 为C AB， 若 全 集 记为X， 则 称X \ A为A的 余 （ 或 补 ） 集 ，
记 为AC。 若A B , 称A与B不 相 交 ， 若A B , 称A与B相 交 。
运算律： 交换律: A B B A, A B B A 结合律: ( A B) C A (B C ),
(A B)C A(B C) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ),
解 ： 及 大 于 的 一 切 数 都 是2 上 界 ，
6
6
及 小 于 的 一 切 数 都 是 下 界 。
2
2
一个数集若有上（下）界则有无穷个上（下）界， 其中最重要的是最小（大）的上（下）界，此即 为上（下）确界。
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
邻域
N ( x0 , ) { x | | x x0 | }
x0 的 邻域
N( x0 , ) { x | 0 | x x0 | }
x0 的去心 邻域
简记： N ( x0 ) N ( x0 )
有限集 集合的类型： 空集：
无限集
集合间的关系
A是B的子集：A B或B A A是B的真子集：A B或B A A与B相等 : A B A B且B A
第一章 一元函数的极限与连续

人教版高数必修一第1课：集合的含义与表示(教师版)

人教版高数必修一第1课：集合的含义与表示(教师版)

集合的含义与表示1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。

3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对 象称为该集合的元素。

如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。

1，2，3，4就是这个集合的元素 。

类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。

3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

三、元素与集合的关系：一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

高数公式集合

高数公式集合

等差数列求和公式等差数列{an}:通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, 项数为nan第n项数【an=a1+(n－1)d】an=ak+(n-k)d ak为第k项数若a,A,b构成等差数列则A=(a+b)/22.等差数列前n项和:设等差数列{an}的前n项和为Sn即Sn=a1+a2+...+an;那么Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 【sn=na1+n(n－1)d/2】还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法2 累加法 3 倒序相加法等比数列求和公式（1）等比数列：a（n+1）/an=q, n为自然数。

（2）通项公式：an=a1*q^（n－1）；推广式：an=am·q^(n－m)；（3）求和公式：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即a-aq^n)(前提：q不等于1)（4）性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.(5）“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.（6）在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1) d /2等比数列求和公式q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为公比)sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π2-a)=cos(a)cos(π2-a)=sin(a)sin(π2+a)=cos(a)cos(π2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(b)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 5.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)7.其它公式(推导出来的)a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=baa⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中tan(c)=ab1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2sec在三角函数中表示正割直角三角形斜边与某个锐角的邻边的比,叫做该锐角的正割，用sec（角）表示。

大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解

大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解

围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间
的运算．
热点分类突破
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命 题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q
本
讲 栏
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
目 开
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
关 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
(B )
解析 (1)通过否定原命题得出结论．
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
热点分类突破
(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－
1 2
；命题q：
若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是
大学数学高数微积分专题一第1讲 集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
第1讲 集合与常用逻辑用语
【高考考情解读】
1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含
本 讲
有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等
栏 目
式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在
开 关
一起考查.
2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本
D．(－∞，－1]∪(0,1)
热点分类突破
弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．
解析 (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
A＝{1,2,3,4,5}，
本
讲 栏
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，
目 开

上海昂立智立方数学高中 高数—10暑—08—集合单元复习—周宝瑞-教师版

高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题集合单元复习教学目标1．理解交集及其性质，会求两个集合的交集；2．理解并集及其性质；会求两个集合的并集；3．理解补集及其性质；会求两个集合的补集。

教学重点交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关性质教学安排版块时长1例题解析50 2巩固训练40 3师生总结10 4课后练习201、集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

集合常用大写字母C B A 、、…来表示，集合中的元素用c b a 、、…表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”数的集合简称数集：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合 集合单元复习知识梳理含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集规定空集不含元素，记作∅集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法2、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。

高数基础知识点汇总

高数知识点汇总第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A 。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。

）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。

最新人教A版高数数学必修一课件：1.3 集合的基本运算第2课时并集与交集

第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运算
学习目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集 2.能运用Venn图表达补集运算
素养要求 数学运算 直观想象
|自学导引|
补集的概念
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_所__有__元__素_，那么就称这个集合为全集．
|素养达成|
1．补集定义的理解(体现了数学运算的核心素养)．
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研 究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想． (3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一．
U (2)记法：全集通常记作________．
2．补集
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于__集__合__A___的所有元素组成 文字语言 的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作___∁_U_A___
符号语言
∁UA＝_{_x_|x_∈__U__且__x_∉_A_}__
图形语言
A．{1,4}
B．{1}
C．{4}
D．∅
【答案】A
【解析】∁UA＝{0,1,4}，B∩(∁UA)＝{1,4}．故选A．
2．(题型2)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝
A．{－2，－1}
B．{－2}
()
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
【答案】A
5．(题型2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁UA，∁UB， (∁UA)∩(∁UB)．

大一高数课件 ch1-1函数

第一章
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y
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-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
4．函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l) f ( x) 恒成立. 则称f ( x)为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
复数集 复平面
ห้องสมุดไป่ตู้
复数的表示法：
1. z x iy 2.复平面上的点P (x, y)或向量OP
3. z r(cos i sin ) (三角表示法） 4. z rei（指数表示法）
其中：r z x2 y2 z的模
Argz z的幅角. 任一非零复数有无穷多 个幅角，称在范围( , ]
A的一个上确界，记为inf A
定理1 有上（下）界的非空实数集必有上（下）确界
区间
(a , b) {x | a x b}
[a , b) {x | a x b} (a , b] {x | a x b}
( a , ) { x | a x } [ a , ) { x | a x } ( , b) {x | x b} ( , b] {x | x b}
集合的运算：交集 : A B

差集
:
A
\
B.
特别，若B

A,
则称A
\
B为B关于
运算律：
A的补集, 记为C A B
交换律 : A B B A, A B B A
结合律 : (A B) C A (B C), (A B) C A (B C)
复合映射 :
设 f : A B1, g : B2 C, 若B1 B2,则称 (g o f )(x) g( f (x)) x A
为f 与 g的复合映射 恒等映射I A：I A(x) x, x A
可逆映射 :
设 f : A B, 若存在g : B A, 使 g f IA, f g IB
则称f 为可逆映射，g 为f 的逆映射，记为：g f 1
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x 0
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
(2) 取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x 的最大整数 4
3
2
-4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
内的幅角为主幅角，记 为arg z.
Argz arg z 2k , k 0,1,




arg
z






性质：
arctan y x
arctan y
x
arctan y
x arctan y
x
z在第一象限 z在第二象限
z在第三象限 z在第四象限
z1

z2

z1
f : A B 或 f : x y f (x) , x A
称y为x在映射f下的像， x为y在映射f下的原像
A f 的定义域 ,
f (A) y y f (x), x A f 的值域
f为满射：若f (A) B
f为单射：若x1, x2 A, x1 x2, f为一一映射 有 f (x1) f (x2 )
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
复数与复数的表示法
复数集： C z x iy x, y R
x Re z, y Im z,i 1 复数 z x iy 有序数组(x, y)
分配律 : (A B) C (A C) (B C),
(A B) C (AC) (B C)
(A \ B) C (A C) \ (B C)
幂等律：A A A, A A A
吸收律：A A, A
A (A B) A, A (A B) A
通常说周期函数的周期是指其最小正周期。
基本初等函数
1、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
2、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
3、对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y

D( x)

1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
对偶律 : ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc ( Ac I \ A)
Descartes 积(直积）: A B (x, y) x A, y B
Rn R R R
(x1, x2, , xn ) xi R,i 1,2, , n
N 全体非负整数（自然数 ）组成的集合 Z 全体整数组成的集合 Q 全体有理数组成的集合 R 全体实数组成的集合
C 全体复数组成的集合
集合记号右下角加“”表示将该集合内的元 素“0”去掉 后所得的集合，比如
N 全体正整数组成的集合
R 全体非零实数组成的集 合
并集：A B
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
3．函数的奇偶性:
若 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
若 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
称 f ( x)为奇函数;
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
( , ) { x | x } R
邻域
N( a, ) {x | | x a | }
a 的 邻域

N(a, ) {x|0| xa| }
a的去心 邻域
2 函数
定义1设 A和 B是两个非空集合 , 若有一个对应法则f , x A, 按照对应关系 f，有唯一的 y B与x 相对应，则称 f 是 A到B的一个映射 , 记为
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
2.实数集
封闭性 实数集R 的性质： 有序性
稠密性 完备性
定义1 设A R，且A ，若存在L R，使x A， 有x ()L,则称L为A的一个上（下）界
定义 2 设A R，且A ，若存在L R，满足：
（1）x A，有x L,
（2） 0，x0 A, 使x0 L 则称L为A的一个上确界，记为sup A L

z2 ，
z1z2

z1

z2，（
z1 z2
）
z1 z2
z z z 2 , z1z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
预备知识
1.集合的概念及运算
概念 : 具有某种确定性质的对 象的全体.组成集合的对象 称为集合的元素。 x A
有限集
集合的类型：空集：

无限集
A是B的子集：
A B
集合间的关系： A是B的真子集：
A B

A与B相等 :
A B A B且B A
常用的数集