人教版八年级上册11.2认识三角形-角度模型习题课件(共33张)(20200706091824)

同学们，你们知道其中的道理吗？
三角形的三个内角和是180°.
——可以用拼合的办法来验证。
从刚才拼角的过程你 能想出证明的办法吗?
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
三角形的内角和等于1800.
证法１：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等) E
x=20° 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
（1）在△ABC中，∠A=５5°，∠ B=43 ° 则∠A CB= ８2 °. ∠ ＡＣＤ＝__９_ ８°
A （2）∠A+∠ B+ ∠ C+∠D+∠E+ ∠F=360°.
A
B
F
B
CＤ
C
E
（３）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 D 则∠A = 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C= 80 °.
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
动笔练一练
C
AB
D
考考自己?
2:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 求∠C的 度数。
解：在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°
∴∠B+∠C=100°

第7题
8. (2019·枣庄)将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角
的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线
上，则∠α的度数是( C )
A. 45° B. 60°
C. 75°
D. 85°
第8题
9. (2020·泰州)如图，将分别含有30°，45°的一副三角尺重叠，使直角
顶点重合．若两直角重叠形成的角为65°，则图中∠α的度数为
__1_4_0_°___．
第9题
10. 如图，在△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后变成四边形，则∠1＋∠2＝
___2_2_0_°__．
第10题
11. 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝50°， ∠ACD＝40°，∠ABE＝28°，则∠CFE＝____6_2_°__．
若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( B )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°
第8题
9. △ABC具备下列条件：① ∠A＝1∠B＝ 1 ∠C；② ∠A＝∠B＝ 1 ∠C；③
2
3
2
∠A＝∠C－∠B；④ ∠A－∠B＝90°.其中，不是直角三角形的是
____④____(填序号)．
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
1. 三角形三个内角的和等于___1_8_0_°__． 2. 直角三角形可以用符号“___R_t_△___”表示，直角三角形的两个锐角
___互__余___；有两个角___互__余___的三角形是直角三角形．
课堂训练
1. 如果三角形的三个内角的度数比是1∶2∶4，那么它是( B )
10. 如图，∠A＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝___2_8_0_°__． 第10题

∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD Excellent courseware = 6 0 °- 45 °
教材知识点精讲
2. 三角形外角
A 三角形的一边与
另一边的反向延长 线组成的角．
B
C
D
三角形同一顶点有几个外角? 它们有什么关系?
教材知识点精讲
2. 三角形外角
4
A 1
B 2
D
3 解：过A作AD平行于BC
C
∴ ∠3＝ ∠4
∴ ∠2＝ ∠BAD
两直线平行， 同位角相等
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°
Excellent courseware
知识点及时练
C
利用三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形．
Excellent courseware
知识点及时练
1 如图，在⊿ABC中，∠BAC=40 ° ，∠B=75 ° ，AD是⊿ ABC的角平分线，求∠ADB的度
C
数。
D
解：∵AD是⊿ ABC的角平分线,
∠BAC=40 ° (已知)
∴∠1= ∠12BAC=20°
Excellent courseware
教材知识点精讲
1. 三角形内角和定理
三角形三个内角的和是180°
想办法验证
Excellent courseware
量
600
锐角三角形
480
720
60°＋48°＋72°＝180°
Excellent courseware
量
380 260 钝角三1角1形60
116°＋26°＋38°＝180°

因为∠B C A +∠A C E +∠E C D =180°﹙平角定义﹚
所以∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法二
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A E
证明：延长B C至点D ，过点C 作C E∥BA.
B
C
D
则∠ A =∠A C E ﹙两直线平行，内错角相等﹚
∴ ∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E 证明：在△A B C的外部以C A 为边 作∠A C E =∠A. 延长BC至点D 。
B
C
D
则 C E∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
所以∠D C E =∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三

4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD
平分∠BAC．求∠ADC的度数.
三角形的内角和等于1800. 2、两直线平行，同旁内角互补。
解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者其它方法.
AA D
1
证明:过点C作CD∥AB，
BB
CC
∴∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等)
∠B+∠BCA+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互
补)
∴∠B+∠A+∠BCA=180°
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用 逆向思考的方法,把问题转化为一个平 角,同旁内角互补,或者其它方法.这种 转化思想是数学中的常用方法.
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛
的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.
从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、
B两岛的视角∠ACB是多少度？
D北
北E
.C
.
.
B
A
东
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
C
D4
1
40° 2
3
A
E
B
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°， ∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．

（1）∠DAC＝__5_0_°_ ∠DAB＝__8_0_°__
北D
C
北 E
∠EBC＝___4_0_°__ ∠CAB ＝ __3_0__°_

B
(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少？ A
解：∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180°
∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100°
同学们，你们知道其中的道理吗？
将三角形的内角剪下， 试着拼拼看.
将三角形的内角剪下，试着拼拼看.
将三角形的内角剪下，试着拼拼看.
结论
三角形内角和定理： 三角形三个内角的和 等于 180°
命题的正确性还要严密的推理证明
想一想：如何证明呢？
A
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180°
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于1800.
例题讲解
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°， ∠B =
75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
C
D
A
B
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方
例题讲解
向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛
在B岛的北偏西40°方向.求下面各题.
(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少 有两个锐角；
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°
B
C
三角形的内角和等于1800.
过A作EF∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行，内错角相等)
∠C=∠CAF (两直线平行，内错角相等)
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°
(平角的定义)

外角
小试牛刀
下列各图中，∠1 是△ABC 的外角的是( D )
1 C
A
B
A
C
1 AB B
C 1
A
B
C
B
1
A
C
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
探究 要知道传球传给谁，就要知道外角∠ACD，内角∠B的度数
大小，你能比较外角∠ACD，内角∠B的度数大小吗？
解法二：延长BD交AC于点E.
A
(
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
51 °
F
E
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 方法总结
=51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
30 ° C
解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须 是三角形另一边的延长线
三角形 的外角
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360 °
下节课，再见！
∠2 +∠CBF = 180°，
E
∠3 +∠ACD = 180°，
A
得∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540°， 1
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，

【综合运用】 19．(12分)如图所示，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与 ∠C的数量关系．
解：∵∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋ ∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝360°－360°＋2∠C＝2∠C.即∠1＋∠2＝2∠C
三、解答题(共40分) 16．(8分)(教材P17T7变式)如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东 20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB的度数．
解：由题意，得∠2＝∠1＝60°，∠3＝20°， ∴∠ABC＝90°－∠2＝90°－60°＝30°，∠BAC＝∠1＋∠3＝60°＋20°＝80°.∵ ∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴∠ACB＝180°－30°－80°＝70°.
18．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且 ∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝180°2－∠A＝70°.又∵∠1＝ ∠2，∴∠BCP＝∠ABP.∴∠2＋∠BCP＝70°， ∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝110°
第十一章 三角形
11．2 与三角形有关的角
第1课时 三角形的内角
八年级上册·数学·人教版
三角形的内角和定理：__三角形三个内角的和等于180°__．
三角形的内角和定理 1．(3分)(南宁中考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( B ) A．100° B．80° C．60° D．40°
5．(3分)(长春中考)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交 AC于点E.若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( C ) A．44° B．40° C．39° D．38°

例3 如图11-2-1，BD是△ABC的高，AE是角平分线，
∠BAE=26°，求∠BFE的度数.
图11-2-1
解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°， ∴∠FAD=∠BAE=26°. ∵BD是△ABC的高，∴∠AFD=90°-∠FAD=90°26°=64°. ∴∠BFE=∠AFD=64°.
(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直
1 2 1 2
∴ PEF BEF，PFE DFE ，
1 ∴ PEF PFE BEF DFE 90 . 2
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°,∴∠P=90°. ∴△EFP是直角三角形.
三角形的外角及三角形内角和定理的推论 文字叙述 几何语言
三角形
的外角 三角形 内角和
问题，还要注意，可将其与内角和定理的推论综合运用.
混淆方位角 例6 如图11-2-4，A点在B处的北偏东40°方向，C 点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方 向，求∠BAC及∠BCA的度数.
图11-2-4
解：由题意，得∠DBA=40°，∠DBC=85°，
BD∥CE，
∴∠ECB=180°-∠DBC=180°-85°=95°， ∠ABC=∠DBC-∠DBA=85°-40°=45°. ∵∠ECA=45°，∴∠BCA=∠ECB-∠ECA=95°45°=50°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°45°=85°.
例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为
2∶3∶4，则该三角形最大角的度数是________. 80° 解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，
3x,4x.由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°，解得