高一数学：分期付款中的有关计算(教学设计)

课 题：分期付款中的有关计算（二）教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程：一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=mn mmp p p a x 二、例题讲解例1 一般地，购买一件售价为a 元的商品m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n(n 是m 的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为1)1(]1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 推导过程：设每次付款x 则：第1期付款x 元（即购货后n m 个月时），到付清款时还差nm m 2-个月，因此这期所付款连同利息之和为：nm m p x 2)1(-+……第n 期付款（即最后一次付款）x 元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：nm m nm n m p x p x p x x -+++++++)1()1()1(2货款到m 个月后已增值为mp a )1(+ 根据规定可得：m nm m nm nm p a p p p x )1(])1()1()1(1[2+=+++++++-即：m nm m p a p p x )1(1)1(1)1(+=-+-+⋅解之得：1)1(1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 例2 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在2001年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到2010年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到2010年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ 每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高） 那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.例如,由于年利率为1.98%，,款额a 元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a(元);再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.01982a(元) 独立探究方案1可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？ 提出解答,并给答辩：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×10%)98.11(++3×9%)98.11(++…+3×1%)98.11(+=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）设每年存入x 万元，在2010年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+••x解得x=4.48（万元）通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；独立探究方案2：分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为n a ，则 2001年底：1a =50（1+4.425%）–x 2002年底：2a =1a （1+4.425%）–x=502%)425.41(+–（1+4.425%）·x –x … 2010年底：10a =9a （1+4.425%）–x=50×10%)425.41(+–9%)425.41(+ ·x –…–（1+4.425%）·x –x=50×10%)425.41(+–0%)425.41(1%)425.41(110=•+-+-x解得：1010%)425.41(1%)]425.41(1[%)425.41(50+-+-+⨯=x ≈6.29（万元）分析方法2：50万元10年产生本息和与每年存入x 的本息和相等，故有 购房款50万元十年的本息和：5010%)425.41(+每年存入x 万元的本息和：x ·9%)425.41(++x ·8%)425.41(++…+x=%)425.41(1%)425.41(110+-+-·x 从而有 5010%)425.41(+＝%)425.41(1%)425.41(110+-+-·x解得：x=6.29（万元） ， 10年共付：62.9万元独立探究方案3：分析：设每期存入x 万元，每一期的本息和分别为：第5期为x ，第4期2%)425.41(+x ， 第3期 4%)425.41(+x ，第二期：6%)425.41(+x ，第1期8%)425.41(+x ，则有[1+2%)425.41(++4%)425.41(++6%)425.41(++8%)425.41(+·x =50·10%)425.41(+解得：10210%)425.41(1]%)425.41(1[%)425.41(¨50+-+-+=•x ≈12.85（万元）此时，10年共付：12.85×5=64.25（万元）创建数学模型：比较方案1、2、3结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年还清贷款,每年还款x,年利率为p,则1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=m n mmp p p a x验证并使用模型：（略）结论分析：方案3比方案2多付了：64.25-62.9=1.35(万元)所以方案2更好方案1每年虽存款少，但需等10年后才能买房由于6.29－4.48＝1.81(万元)，如若本地的年房租低于1.81(万元)就可以考虑先租10年房后再买房的方案，当然还要考虑10年后的房价是升还降的问题四、小结 ： 解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解. 五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决 六、板书设计（略） 七、课后记。

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息＝本金×利率×存期．若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．因而数列{a n }是首项为4,公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元),因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题)某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。

《分期付款》教学设计一、教学目标：1、让学生了解有关分期付款的知识，体会分期付款在生活中的作用。

2、通过联系生活中的实际问题，让学生将一个分期付款为背景的实际问题转化为数学问题，会根据利率求利息额和本息款。

3、通过解决现实生活中的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。

4、通过有关分期付款问题的解决，了解不同分期付款的利于弊，增强学生应用数学的意识。

二、教学重点、难点：1、会根据利率求利息额和本息款。

2、根据实际情况，合理地选择付款方式。

赵老师购买的一套房子价值30万元，首付10万元，以后每年付一定的数额，十年或五年付清购房的全部款项，但每年付款的同时还要付一定的利息，剩余额20万元的付款方式有三种：①每年付2万元，十年后全部付清，从第1年到第10年利息依次是5％，10％，15％，20％，25％，30％，35％，40％，45％，50％。

请填表：共付利息元，以这种方式购房共花元。

②每年付4万元，5年后全部付清，从第一年到第五年，每年利息额依次是5％，10％，15％，20％，25％，填表。

共付利息元，以这种方式购房共花元。

③剩余款20万元十年后一次付清，同时还要付50％的利息，共付利息元，以这种方式购房共花元。

例 2赵老师准备买辆汽车，就向银行贷款了2.4万元，以后逐月归还贷款，偿还贷款的方式有以下几种：①每月还款2000元，一年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％、6％、6.5％、7％、7.5％、8％、8.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

②每月还款4000元，半年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

③一年后一次还清2.4万元，要付利息8.5％，共还利息元,本息共还元.试一试按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表。

800元以内不纳税800—1300元超过800至1300元的部分按5％纳税。

一、目的要求使学生会运用数列的知识进行分期付款中的有关计算，并在这个过程中培养学生的探究能力和解决应用问题的能力。

二、内容分析1．“研究性课题”是本套教科书的一个专题性栏目，也是本套教科书的特色之一。

在“研究性课题”里讨论的问题，一般具有专题性，应用性和探究性。

它既是所学知识的实际应用，又对学生探究问题和解决问题具有较好的训练价值。

它与教科书中的“实习作业”有一定的共同点，但“实习作业”更偏重于实践性，而“研究性课题”则显得探究性更强。

2．这一课里的“研究性课题”，是一个有关分期付款的问题。

分期付款在今天的商业活动中应用十分广泛，这一方面是因为很多人一次性地支付售价较高商品的款额有一定的困难；另一方面是因为很多商店为了促销商品，也需要不断研究营销策略，在便于顾客购买、付款上下工夫。

可以说，分期付款与我们每个家庭、甚至每个人的日常生活都是密切相关的，因而较易引起学生的研究兴趣。

3．利用数列的知识解决分期付款中的有关计算问题并不困难，问题的关键在于要让学生弄清有关分期付款的有关常识和规定。

它们主要是：分期付款时每期所付款额相同；每月利息按复利计算，即上月的利息要计入下月本金；分期付款时，每期所付款额会随着时间的推移而不断增值，商品价格在货款付清前也会随时间推移而不断增值；各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

4．由于学生解决分期付款中的有关计算问题并不困难，教学中应以学生进行探究活动为主，教师主要是进行必要的点拨和介绍计算中涉及的有关常识，避免用教师的讲解取代学生的探究活动。

三、教学过程1．提出问题。

提出教科书中的问题：购买5000元的一件商品时，是采取一次性付款，还是分期付款？如果用分期付款，又选取教科书中表里的哪种方式？在这过程中，穿插介绍有关分期付款的一些常识。

2．计算分6期付款时，每期应付款多少，总共付款多少。

为此，又可分为以下步骤：（l）启发学生思考：到款额全部付清时，商品价格增值到了多少？（2）再启发学生思考：第6、5、4、3、2、l期付的款到款额全部付清时各增值到了多少？（3）提出作为建立方程基础的分期付款的有关规定，并启发学生根据这一规定列出方程。

湘教版高中高二数学必修四《分期付款问题中的有关计算》说课稿一、引言大家好，今天我将为大家介绍《分期付款问题中的有关计算》这一章节的教学内容。

本章主要涉及分期付款的相关概念和计算方法。

通过本节课的学习，学生将能够理解分期付款问题的本质，并掌握相关的计算技巧。

二、知识点概述在这一章节中，我们将学习以下几个重要的知识点：1.分期付款的定义和基本概念；2.利息、贷款利率和年利率的关系；3.分期付款问题中的等额本金和等额本息还款方法。

三、教学目标通过本节课的学习，学生应能够达到以下几个方面的教学目标：1.理解分期付款的概念和基本原理；2.掌握计算分期付款利息的方法；3.理解贷款利率和年利率之间的关系；4.掌握等额本金和等额本息还款方法的计算。

四、教学重点本节课的教学重点主要包括以下几个方面：1.分期付款的概念和基本原理；2.分期付款利息的计算方法；3.贷款利率和年利率的关系。

本节课的教学难点主要包括以下几个方面：1.等额本金和等额本息还款方法的计算；2.贷款利率和年利率之间的转换。

六、教学过程1. 分期付款的概念和基本原理首先，我们先来理解分期付款的概念和基本原理。

分期付款是指将一个大额消费分成若干期进行付款，每期付款包括本金和利息。

在分期付款过程中，利息是根据贷款利率和还款周期计算得出的。

2. 分期付款利息的计算方法接下来，我们将学习分期付款利息的计算方法。

分期付款利息的计算公式为：“利息 = 本金× 贷款利率× 还款周期”。

这个公式可以帮助我们计算出每期的利息金额。

3. 贷款利率和年利率的关系在分期付款问题中，我们常常需要将贷款利率和年利率进行转换。

贷款利率和年利率之间的关系可以使用公式：“年利率 = 贷款利率× 还款周期”来表示。

4. 等额本金和等额本息还款方法的计算最后，我们将学习等额本金和等额本息还款方法的计算。

等额本金还款方法是指每期还款金额相同，但利息逐期递减。

研究性课题:分期付款中的有关计算江门市新会第一中学〔529100〕张泳华[教学目的]：1．要求学生会将一个以分期付款为背景的实际问题转化为数学问题。

2．培养学生的合作意识，探究意识，提高运用已学的数学知识分析问题和解决问题的能力。

[教学重点]：引导学生分析和解决实际问题[教学难点]：将实际问题转化为数学问题。

即数学的建模过程[教学方法]：学生自主探索，教师启发引导[教学手段]：多媒体辅助教学[教学过程]：一．创设问题情境，引入课题任务1：请你作一回“少年包青天〞小张借了一万块给小王，小王承诺6个月后分3次还清，然而两人在还款方案上出现分歧，以下是他们各自的还款方案，试判断两个方案是否公平？方案1：小王认为，自己借了小张10000元，分3次还清，为公平起见就取平均数，也就是说，每次还给小张10000元，约为3333.3元。

3方案2：小张认为，自己借给小王10000元，假设钱存在银行6个月后因增值为1000×〔1+0.008〕6≈10489.7(月利率为0.8%，每月利息按复利计算)，为公平起见就取平均数，也就是说，小王每次应该还1000016元，约为3496.57元。

3学生思考、做出选择。

〔这里采用了网上投票的方式，可以直观的得到选择的结果，并判断学生的认识情况〕教师引导分析：分析还款的情形，从而得出这一类问题解决的关键：经6个月后10000元2个月后4个月后6个月后x x x无利息个月利息个月利息如下列图，“公平〞的本质是1000元及其六个月的利息，与分期所还款额连同利息之和相等。

同时，指出贷款购物,分期付款已深入我们生活。

再用电脑展示从互联网通过一些搜索引擎，如以及等搜索的有关分期付款的信息，让学生认识到网络上相关知识的丰富性，同时也意识到所研究的问题源于生活实际〔引题后教师板书〕。

二、新课教学1．给出预备知识，引导学生探索表达公平的最正确方案假设购置一件售价为 10000元的商品，要求在 6个月内将款全部还清，月利率为 0.8%，分3次付款，那么每次付款多少元？〔1〕通过情境 1分析分期付款的情况和规定 在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移 而不断增值； 各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购置到最后一次付款时的利息之和2〕复习有关复利计息按复利计算利息的一种储蓄，本金为存期为x ，本利和y 随存期x 变化的函数式为：元，每期利率为r ，设本利和为y ，x 期后的本利和为 y=a 〔1+r 〕x〔3〕等比数列有关知识a nq定义式：an1通项公式：a na 1q n1前n 项和公式： a 1(1q n )a 1a n q S n1 q1q2．分析、归纳。

高一数学新编教材（试验修订本）编入了“研究性课题：分期付款中的计算”.它的出现，不仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是我们转变传统的教学观念，改进原有的教学方法和方式.为此，对这一课题的教学，我们进行了大胆的尝试.这一课题具有探究性和应用性的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施.1.课堂探究［师］在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式出售.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择.注：规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算.（此表可制作成投影片）下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？［生］是指上月的利息，要计入下月本金.［师］请以本金为a元，月利率为0.8%，说明复利计算的含义.［生］本金a元过一个月，就增值为a（1+0.008）=1.008a（元），再过一个月，本金由1.008a元，增值为1.0082a（元）等等.［师］若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x 元，那么到底以什么建立等量关系，布列方程呢？［生］由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程. ［师］顾客的分期付款总额怎么计算呢？ ［生］求每期付款额的和. ［师］是6x 吗？为什么？［生］不是，因为每期付款的x 元到款付清时，应增值.［师］为了好理解，我们可按第6期、第5期，…，第1期的顺序，去找每期付款x 元到款付清时的表达式.第6期付款（最后一次付款）为x 元，这时款全部付清，这x 元增值吗？为什么？［生］不增值，因为这x 元相当于银行即存即取.［师］第5期付款的x 元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，…，第1期呢？［生］第5期付款的x 元要增值，增值为x （1+0.008）2,第4期，…，第1期付款的x 元都要增值，分别增值为x （1+0.008）4,…,x （1+0.008）10.［师］到此，所需方程能列出吗？方程是什么？［生］能列出，方程是x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000.［师］所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢？正确方程是什么？［生］方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为5000×1.00812（元）.正确方程是：x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000×1.00812.［师］观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x 等于多少？［生］等号左边是一个首项为x ，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等比数列求和公式得；[]262008.11)008.1(1--x =5000×1.00812,解得x =1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯≈880.8（元）［师］经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款共为880.8×6≈5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入前面的表中）［师］表中还有两种付款方案，请第一、二两组同学采用方案1，第三、四两组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？［学生］（不一会儿得到结果）： 方案1：每期付款额x =1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯⨯≈1775.8（元）付款总额为1775.8×3≈5327（元），比一次性付款多付327（元） 方案3：每期付款额x =1008.1008.0008.150001212-⨯⨯≈438.6（元）付款总额为：438.6×12≈5263（元），比一次性付款多付263（元）.［师］下面我们再对一般性问题进行探究.购买一件售价为a 元的商品，采用上述分期付款时，要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是多少？由同学们推导得出每次付款额x 的计算公式x =1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++mn mmp p p a［师］上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？［生］（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期的付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等，是列方程的依据.2.社会调查课堂上，我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成了若干小组，走出课堂调查.有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，…，通过走访询问，现场考察，索取商家资料等.同学们获得了大量分期付款的信息资料.如“调查购房”小组获得了购房的各种办法，付款的多种方式，比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了一些电脑城，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等.再如综合调查小组进行综合调查，获得了带有共性的销售办法，付款方式及计算公式等资料.通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从老师那里得不到的办法.3.信息处理各调查小组的信息自我处理详细情况（略）.4.成果展示各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写出调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1～2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题，在展示中允许学生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题.最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向.摘自《中学数学》。

分期付款中的有关计算课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什2．基本公式：1.等差数列的前n项和公式：n(a1+an)n(n-1)dSn=， Sn=na1+ 222．等比数列的前n项和公式：a1(1-qn)a-anq 当q≠1时，Sn= ① 或Sn=1 ② 1-q1-q当q=1时，Sn=na1特殊数列求和－－常用数列的前n项和：1+2+3+ +n=n(n+1) 21+3+5+ +(2n-1)=n2n(n+1)(2n+1) 6n(n+1)213+23+33+ +n3=[] 23．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法 12+22+32+ +n2=二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？ 22. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)=x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x， 1224681010000⨯1.0112⨯(1.012-1)解得x=＝1785.86 1.0112-15．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,m⎡⎤a(1+p)⎢(1+p)n-1⎥⎣⎦每月还款x元,月利率为p,则x= (1+p)m-1m6．验证并使用模型：10000⨯1.0112⨯(1.01-1)方案2中，x=＝888.49 121.01-112410000⨯1.01⨯(1.01-1)＝3607.62 方案3中，x=1.0112-17．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法; 研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。

2019-2020年高一数学分期付款中的有关计算第十一课时第三章●课题§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的通项公式.2.等比数列的前n项求和公式.（二）能力训练要求将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.提高学生的实际应用能力.●教学重点等比数列通项公式和前n项和公式的应用.●教学难点利用等比数列有关知识解决一些实际问题.●教学方法启发诱导式教学法●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？［生］定义式：=q (n≥2,q≠0)通项公式：a n=a1q n－1(a1,q≠0)前n项和公式：S n=(q≠1)，Ⅱ.讲授新课［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)=1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)付款x元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)付款x元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x(元)［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和.［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得x·=5000×1.00812，即x=1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯解之得x≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.Ⅲ.课堂练习［生］分组对另外两种方案进行练习.第一组：方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.解：设每次付款为x元，则第一次付款到款付清时连同利息为x(1+0.008)11第二次所付款到款付清时连同利息总和为x(1+0.008)10……第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)=5000(1+0.008)12,x=解之得：x≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)第二组：方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.解：设每次付款为x元则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)由此可得：x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812x=1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯≈1775.8(元)付款总额为1775.8×3=5327(元)Ⅳ.课时小结［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.Ⅴ.课后作业（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.（二）1.预习内容：预习课本P1322.预习提纲：（1）采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?（2）可否概括出一个一般的公式?●板书设计。