专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ∆x ，那么函数 y 相应地有增量 ∆y =f （x 0 + ∆x ）－f （x 0 ），比值 ∆y叫做函数 y=f （x ）在 x 0∆x到 x 0 + ∆x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

如果当 ∆x → 0 时， x ∆x ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ∆x可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。

即 f （x）= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

0∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ∆x → 0 时，∆∆y x 有极限。

如果 ∆∆yx 不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（2）∆x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，∆x ≠ 04．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( u ± v )' = u ' ± v '. 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ：(uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu '. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的⎛ u ⎫ u ' v - uv ' 积再除以分母的平方：⎪ ‘ =v 2 ⎝ v ⎭（v ≠ 0）。

函数导数的知识点总结导数是微积分中一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的变化情况，求解最值，以及解决很多实际问题。

在这篇总结中，我们将从导数的定义、性质、求导法则以及应用等方面来详细讨论函数导数的相关知识点。

1. 导数的定义函数的导数可以理解为函数在某一点处的变化率，也可以看作函数在某一点处的斜率。

如果函数y=f(x)在某一点x处可导，则该函数在该点的导数可以表示为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量x的增量。

这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即斜率的概念。

2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质为我们进行导数计算提供了便利，也可以帮助我们更好地理解导数的意义。

（1）可导性与连续性：函数可导必然连续，但是连续函数不一定可导。

（2）导数与函数的关系：导数可以帮助我们研究函数的变化情况、求解函数的最值，并且导数还可以帮助我们判断函数的增减性以及函数的凸凹性。

（3）导数的性质：导数具有线性性、乘积规则、商规则等性质，这些性质为我们进行导数计算提供了便利。

3. 求导法则求导法则是求解导数的基本方法，掌握了这些法则可以帮助我们更高效地进行导数计算。

常见的求导法则包括：（1）常数法则：即常数的导数为0。

（2）幂函数法则：求解幂函数的导数。

（3）指数函数法则：求解指数函数的导数。

（4）对数函数法则：求解对数函数的导数。

（5）三角函数法则：求解三角函数的导数。

（6）复合函数法则：求解复合函数的导数。

（7）隐函数法则：求解隐函数的导数。

（8）参数方程法则：求解参数方程的导数。

4. 应用函数导数在实际问题中有着广泛的应用，包括但不限于：（1）求极值：导数可以帮助我们求解函数的最值，得到函数的极小值和极大值。

（2）判断函数的凸凹性：通过函数的二阶导数，可以帮助我们判断函数在某一区间上的凸凹性。

导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

求函数在指定点的数值导数一、导数的定义和基本概念导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数的变化率。

当函数在某一点存在导数时，导数表示了函数在该点附近的变化趋势。

本文将探讨如何求一个函数在指定点的数值导数。

导数的定义如下：定义：若函数f(x)在某一点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处的导数，记作f′(x0)或者df(x)dx(x0)，定义为：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ是一个趋近于0的实数。

导数表示了函数在某一点附近的斜率，即切线的斜率。

二、用数值方法求导数有时我们需要求函数在某一点的导数，但对于一些复杂的函数没有显式表达式，无法直接使用导函数的定义进行求导。

这时，我们可以使用数值方法来求解。

三、前向差分法求导数前向差分法是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的两个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用前向差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ≈f(x0+ℎ)−f(x0)ℎ其中ℎ是一个趋近于0的实数，称为步长。

在使用前向差分法求导数时，我们选择一个适当的步长ℎ，通过计算f(x0+ℎ)和f(x0)的差别除以ℎ的大小，来估计导数的值。

四、后向差分法求导数与前向差分法类似，后向差分法也是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的两个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用后向差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ≈f(x0)−f(x0−ℎ)ℎ与前向差分法不同的是，后向差分法使用f(x0)和f(x0−ℎ)的差别除以ℎ的大小来估计导数的值。

五、中心差分法求导数中心差分法是求导数的一种数值逼近方法，它利用函数在某一点附近的三个点的函数值来逼近导数。

对于一个函数f(x)，我们可以使用中心差分公式来求它在某一点x0的导数：f′(x0)=limℎ→0f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ≈f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)2ℎ中心差分法使用f(x0+ℎ)和f(x0−ℎ)的差别除以ℎ的两倍来估计导数的值。

求导数的方法及例题
求导数是微积分中的一个重要概念，它是描述函数变化的一种量度，是解决某些物理问题的一种重要方法。

掌握正确的求导数方法，是掌握微积分的重要基础。

一、求导数的概念
求导数是对函数的解析，它可以对函数的每一点进行分析，了解函数围绕某一点变化的情况。

它是一种精确描述函数局部变化的量度，可以表达函数围绕某一点的变化程度以及变化方向。

求导数具有一定的运算规律，熟悉运算规律，能够帮助我们准确地求导，从而掌握微积分。

二、求导数的方法
1、基础函数求导：当函数由多项式、三角函数等基本函数的乘积、商、复合等形式构成时，可以利用求导的基本法则和求导的运算规律，从而准确求出函数的求导式。

2、一阶变化率：求导数时，有时可以利用函数的一阶变化率来
求出该函数的求导式，在函数围绕某点的变化量有限的情况下，可以将函数的一阶变化率求出来，用变化率/自变量的变化量来求出求导式。

3、极限方法：求导数时，也可以利用极限的方法，将函数的变
化量求取一定的极限，两边取极限，再求出极限，即可得到求导式。

三、求导数的例题
例1、求以下函数的求导式：y=x^2+x
解：用基本函数求导法：
y=2x+1
例2、求以下函数的求导式：y=3x^4-4x^3+5x^2
解：用基本函数求导法：
y=12x^3-12x^2+10x
例3、求以下函数的求导式：y=sin(x)
解：用基本函数求导法：
y=cos(x)
四、总结
以上是求导数的基本方法和一些例题的解答，求导数的方法有基本函数求导法、一阶变化率法、极限法等，了解基本的求导规律，解决问题时可以根据具体情况灵活运用各种求导方法，从而更准确的求解求导数。

导数的应用与极值例题和知识点总结导数是微积分中的重要概念，它在数学、物理学、工程学等众多领域都有着广泛的应用。

特别是在研究函数的性质、求解极值问题方面，导数发挥着关键作用。

下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨导数的应用与极值，并对相关知识点进行总结。

一、导数的定义和基本公式导数的定义为函数在某一点的瞬时变化率，即函数的导数值等于函数在该点的切线斜率。

常见函数的导数公式有：1、常数函数的导数为0，即若\（f(x) ＝C\）（＼（C\）为常数），则\（f'（x) ＝ 0\）。

2、幂函数的导数，若\（f(x) ＝ x^n\），则\（f'（x) ＝ nx^｛n 1}＼）。

3、正弦函数和余弦函数的导数，＼（（sin x)＇＝ cos x\），＼（（cos x)＇＝ sin x\）。

4、指数函数的导数，若\（f(x) ＝ e^x\），则\（f'（x) ＝ e^x\）。

5、对数函数的导数，若\（f(x) ＝ ln x\），则\（f'（x) ＝＼frac{1}｛x}＼）。

二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。

通过求导，可以得到函数图像在某一点的斜率，从而能够判断函数的单调性和极值情况。

例如，对于函数\（f(x) ＝ x^2\），其导数为\（f'（x) ＝ 2x\）。

当\（x ＝ 1\）时，导数\（f'（1) ＝ 2\），这意味着函数在\（x ＝ 1\）处的切线斜率为 2。

三、导数与函数的单调性若函数的导数在某个区间内大于零，则函数在该区间单调递增；若导数小于零，则函数在该区间单调递减。

例 1：求函数\（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2\）的单调区间。

首先求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令\（f'（x) ＞ 0\），即\（3x^2 6x ＞ 0\），解得\（x ＜ 0\）或\（x＞ 2\）。

令\（f'（x) ＜ 0\），即\（3x^2 6x ＜ 0\），解得\（0 ＜ x ＜ 2\）。

高中数学导数应用知识点精讲在高中数学的学习中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为解决实际问题提供了有力的工具。

接下来，让我们深入探讨一下高中数学中导数的应用知识点。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率。

如果函数 y ＝ f(x) 在点x ＝ x₀处的导数存在，那么其定义式为：f'（x₀) ＝ lim （Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。

通俗地说，导数表示了函数在某一点处的切线斜率。

例如，对于函数 f(x) ＝ x²，我们来求它在 x ＝ 1 处的导数。

f(1 ＋Δx) ＝（1 ＋Δx)² ＝ 1 ＋2Δx ＋（Δx)² ，f(1) ＝ 1 。

那么 f'（1) ＝ lim （Δx→0) （1 ＋2Δx ＋（Δx)² 1) ／Δx ＝ lim （Δx→0) （2 ＋Δx) ＝2 ，所以函数 f(x) ＝ x²在 x ＝ 1 处的导数为 2 ，意味着在 x ＝ 1 处的切线斜率为 2 。

二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图象在某一点处的切线斜率。

如果函数在某点处的导数存在，那么该点处的切线方程可以通过点斜式来求得。

比如，已知函数 f(x) ＝ 2x 3 ，其导数为 f'（x) ＝ 2 。

在点（2, 1) 处，切线的斜率为 2 ，所以切线方程为 y 1 ＝ 2(x 2) ，即 y ＝ 2x 3 。

三、导数与函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性。

若函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间单调递增；若导数小于零，则函数在该区间单调递减。

以函数 f(x) ＝ x³ 3x²为例，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x 。

令 f'（x) ＞0 ，解得 x ＜ 0 或 x ＞ 2 ，所以函数在（∞， 0) 和（2, ＋∞）上单调递增；令 f'（x) ＜ 0 ，解得 0 ＜ x ＜ 2 ，所以函数在（0, 2) 上单调递减。

函数导数知识点总结导数是微积分中一个非常重要的概念，它可以用来描述函数在某一点上的变化率。

函数导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪共同发现，它是微积分学的基础，对于理解函数的性质和求解实际问题中的最优解都有非常重要的作用。

本文将对函数导数的定义、性质、常用求导法则、高阶导数以及一些实际应用进行总结，希望能够对读者有所帮助。

一、导数的定义和基本概念1.导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处的函数值为f(x0)，如果极限lim┬(Δx→0)⁡(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx存在，那么这个极限就是函数在点x0处的导数，记为f'(x0)或者dy/dx|x=x0。

在几何意义上，函数在点x0处的导数就是函数曲线在该点处的切线的斜率。

换言之，导数就是函数在某一点上的变化率。

2. 导数的图形性质（1）当函数y=f(x)在点x0处可导时，函数曲线在该点处的切线与x轴的交点就是点(x0, f(x0))。

（2）函数在某一点的导数可以为零，正数，负数或者不存在。

对应着函数在该点处的增减性和凹凸性质。

3. 导数的意义导数可以用来描述函数在某一点上的变化率，这个概念可以应用到很多实际生活和工程问题中，比如经济学中的边际成本、物理学中的速度和加速度、和工程中的最优化问题等。

二、常用的求导法则1. 常数函数的导数对于常数函数y=k，它的导数就是零，即y'=0。

2. 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，它的导数为y'=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数对于指数函数y=a^x（a>0且不等于1），它的导数为y'=a^xln(a)。

4. 对数函数的导数对于对数函数y=log_a(x)（a>0且不等于1），它的导数为y'=1/(xlna)。

5. 三角函数的导数对于三角函数，常用的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x；cotx的导数为-csc^2x；secx的导数为secxtanx；cscx的导数为-cscxcotx。

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。

2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。

因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。

3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。

对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。