13种常见的统计分布

一、长青树种1、樟子松【形态特征】常绿乔木，最高 30 米。

最大胸径1 米左右。

树冠卵形至广卵形，老树皮较厚有纵裂，黑褐色，常鳞片状开裂：树干上部树皮很薄，褐黄色或淡黄色，薄皮脱落。

叶两针一束。

稀有三针，粗硬，稍扁扭曲，长 5 — 8 厘米。

【生长习性】樟子松适应性强。

林内缺少侧方光照时树干天然整枝快.辽宁南部地区，对松梢螟危害与油松相比亦有较强的抵抗力. 樟子松是阳性树种，树冠稀疏，针叶多集中在树的表面，在林内缺少侧方光照时树干天然整枝快，孤立或侧方光照充足时，侧枝及针叶繁茂，幼树在树冠下生长不良。

樟子松适应性强。

在养分贫瘠的风沙土上及土层很薄的山地石砾土上均能生长良好。

【园林用途】由于具有耐寒，抗旱、耐瘠薄及抗风等特性，可作三北地区防护林及固沙造林的主要树种。

2、油松【别名】短叶松、短叶马尾松、红皮松、东北黑松等，拉丁学名：Pinus tabuliformis.为松科、松属常绿乔木，原产中国。

【形态特征】油松（红皮松、短叶松）Pinus tabulaeformis Carr.，为松科松属针叶常绿乔木，高达30米，胸径可达1米。

树皮下部灰褐色，裂成不规则鳞块，裂缝及上部树皮红褐色；大枝平展或斜向上，老树平顶；小枝粗壮，黄褐色，有光泽，无白粉；冬芽长圆形，顶端尖，微具树脂，芽鳞红褐色。

针叶2针一束，暗绿色，较粗硬，长10-15(20)厘米，直径1.3-1.5毫米，边缘有细锯齿，两面均有气孔线，横切面半圆形，皮下细胞为间断型两层，树脂道3-8(11)，边生，角部和背部偶有中生；叶鞘初呈淡褐色，后为淡黑褐色。

雄球花柱形，长1.2-1.8厘米，聚生于新枝下部呈穗状；当年生幼球果卵球形，黄褐色或黄绿色，直立。

球果卵形或卵圆形，长4-7厘米，有短柄，与枝几乎成直角，成熟后黄褐色，常宿存几年；中部种鳞近长圆状倒卵形，长1.6-2厘米，宽1.2-1.6厘米，鳞盾肥厚、有光泽，扁菱形或扁菱状多角形，横脊明显，纵脊几乎无，鳞脐明显，有刺尖。

数据分析-分布类别数据分析是一门应用统计学和信息技术手段来对数据进行分析、解释和预测的学科。

数据分析可以帮助我们发现数据中的规律和趋势，从而支持决策和解决问题。

在数据分析中，分布是一种重要的统计概念。

分布描述了数据的频率分布情况，可以用来揭示数据的集中趋势和离散程度。

本文将从不同类型的分布入手，讨论它们的特点和应用。

首先，我们来讨论常见的离散分布。

离散分布主要用于描述离散型数据的频率分布情况。

其中最常见的是二项分布和泊松分布。

二项分布是描述二分类试验的结果，比如抛硬币、投骰子等。

它的特点是结果只能是成功或失败，并且每次试验的成功概率相同。

泊松分布则常用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布，比如一天内接到的电话数量、网站每小时的访问量等。

离散分布的研究可以帮助我们预测和规划未来的事件发生。

接下来，我们讨论连续分布。

连续分布用于描述连续型数据的概率分布情况。

最常见的连续分布是正态分布。

正态分布是自然界和社会现象中最常见的一种分布，例如身高、体重、考试成绩等。

正态分布的特点是呈钟形曲线，均值和标准差可以完全决定分布的形态。

正态分布的研究可以帮助我们了解各种现象的普遍规律。

除了常见的分布类型，还有其他一些特殊的分布。

例如，指数分布用于描述连续事件的间隔时间，如等待的时间、失效的时间等。

对数正态分布用于描述正态分布取对数后的分布情况，例如收入、房价等。

这些特殊的分布在实际问题中也有重要的应用，可以帮助我们更好地理解和分析现象。

在实际应用中，分布的分析对于数据的合理解读和判断至关重要。

通过对某一现象的分布分析，我们可以了解其集中趋势、离散程度、对称性等特征。

在决策和解决问题时，我们可以根据分布的特点采取相应的措施。

例如，对于一个右偏分布（即正态分布的尾部向右延伸），我们可以采取措施加强对极端值的防范和管理。

因此，掌握各种分布的特点和应用，对于数据分析工作至关重要。

最后，我们需要注意数据分析中对于分布的合理假设和验证。

五个数据分布类型及实例-回复数据分布是指数据在整体上呈现出的规律或特征。

不同的数据集可能呈现出不同的分布类型，而了解和理解这些分布类型可以帮助我们更好地分析和解释数据。

本文将介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例来帮助读者更好地理解这些概念。

第一种数据分布类型是正态分布，也被称为高斯分布。

正态分布是统计学中最常见的分布类型之一，它的形状呈现出钟形曲线。

在正态分布中，平均值、中位数和众数都是相等的，且曲线关于平均值对称。

一个典型的正态分布的例子是身高分布。

在一个大样本中，大多数人的身高都聚集在平均值附近，然后逐渐减少，直到达到极端的身高。

这个分布通常受到遗传、环境和营养等多种因素的影响。

第二种数据分布类型是偏态分布，也被称为斜态分布。

在偏态分布中，数据的分布形成一个长尾，其中一个尾部更长或更重，使曲线形状不对称。

一个例子是收入分布。

在许多国家和地区，大多数人的收入聚集在较低的水平上，而只有少数人的收入非常高。

这导致了偏态分布，其中大部分数据集中在左侧，右侧的数据则呈现出较长的尾巴。

第三种数据分布类型是均匀分布，也被称为矩形分布。

在均匀分布中，数据在整个范围内的出现频率是相等的，没有明显的高点或低点。

一个例子是掷骰子的结果。

假设我们投掷一个公正的六面骰子，每个面的结果出现的概率相等。

在大量的掷骰子试验后，每个面的出现频率将趋近于相等，这意味着结果呈现出均匀分布。

第四种数据分布类型是二项分布，用于描述在一系列独立的是/非实验中的成功次数。

二项分布是离散性的，其形状由两个参数决定：成功的概率和试验次数。

一个实例是硬币的正面朝上概率。

假设我们有一个公正的硬币，进行了10次独立投掷的实验，我们想知道正面朝上的次数。

这种情况下，我们可以使用二项分布来描述正面朝上次数的分布。

第五种数据分布类型是泊松分布，用于描述一段时间或空间内某事件发生的次数。

泊松分布是离散分布，它的形状由一个参数决定，即事件的平均发生率。

一个例子是某地区每小时发生的交通事故次数。

第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次讲授内容。

第二节几种常见的理论分布重点：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。

难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。

一、二 项 分 布一）、贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行n 次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。

对于n 次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A 与A 之一，在每次试验中出现A 的概率是常数p (0<p <1),因而出现对立事件A 的概率是1-p=q ，则称这一串重复的独立试验为n 重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。

在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n 枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。

在n 重贝努利试验中，事件A 可能发生0，1，2，…，n 次，现在我们来求事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率P n (k)。

先取n =4，k =2来讨论。

在4次试验中，事件A 发生2次的方式有以下24C 种： 21A A 43A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A其中A k (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验发生；k A (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验不发生。

由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P (21A A 43A A )=P (4321A A A A )=…= P (4321A A A A )= P (1A )·P (2A )·P (3A )·P (4A )=242-qp又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A 恰好发生2次的概率为)2(4P = P (21A A 43A A )+P (4321A A A A )+…+ P (4321A A A A )=24C 242-qp一般，在n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n)次的概率为)(k P n =kn C kn k qp - k =0,1,2…，n (3-14)若把(4-14)式与二项展开式∑=-=+nk kn k k n nqp C p q 0)(相比较就可以发现，在n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率恰好等于np q )(+ 展开式中的第k +1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。

数学分布类型
1. 均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。

均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。

2. 正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

3. t分布
在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。

如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。

与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。

第26讲数据的应用－－直方图、统计图1、频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

也称次数。

在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目，即落在各类别(分组)中的数据个数。

2、频率：频数与数据总数的比为频率。

用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。

3、频率：频数与数据总数的比为频率。

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n(A)称为事件A发生的频数。

比值n(A)/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A).用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。

1、组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数；每一组两个端点的差叫做组距。

2、列频数分布表的注意事项运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中有几个常用的公式：各组频数之和等于抽样数据总数;各组频率之和等于1;数据总数×各组的频率=相应组的频数。

3、画频数分布直方图的目的，是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来，其中组距、组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中;分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分布的特征，当数据在100以内时，一般分5~12组。

4、直方图的特点通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比(因为比是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数)，这样的统计图称为频数分布直方图。

特点：①清楚显示各组频数分布情况; ②易于显示各组之间频数的差别。

5、制作频数分布直方图的步骤(1)找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差。

(2)决定组距和组数。

(3)确定分点。

(4)列出频数分布表。

(5)画频数分布直方图。

1、表示数据的两种基本方法：一是统计表，通过表格可以找出数据分布的规律；二是统计图，利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据的规律。

数的概率分布概率分布是概率论中重要的概念之一，用于描述一个随机变量取值的可能性。

在数学和统计学领域里，数的概率分布研究了在特定情况下数值出现的概率。

本文将介绍数的概率分布的基本含义、常见的概率分布类型以及其在实际应用中的重要性。

一、概率分布的基本定义概率分布是随机变量的可能取值及其对应概率的描述。

随机变量可以是离散型变量或连续型变量。

离散型变量的取值有限且可数，如掷骰子的点数；连续型变量的取值为无限个且不可数，如人的身高。

概率分布描述了随机变量每个取值的概率。

二、常见的概率分布类型1. 离散型概率分布离散型概率分布用于描述随机变量为离散型的情况。

以下是几种常见的离散型概率分布：（1）伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，常用于描述试验只有两个可能结果的情况，如硬币的正反面。

（2）二项分布二项分布是描述n次成功失败试验的离散型分布，例如n次掷硬币中正面朝上的次数。

（3）泊松分布泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。

2. 连续型概率分布连续型概率分布用于描述随机变量为连续型的情况。

以下是几种常见的连续型概率分布：（1）均匀分布均匀分布描述了在一个区间内随机取值时，每个取值的概率相等，如抛硬币的落点在一个平面上的坐标。

（2）正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。

它以钟形曲线为特征，广泛应用于自然和社会科学领域，如身高、体重等。

（3）指数分布指数分布用于描述事件发生的时间间隔或等待时间，如设备故障发生的时间间隔、用户等待的响应时间等。

三、概率分布在实际应用中的重要性概率分布在实际应用中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 预测和决策通过分析和建模某个事件或现象的概率分布，可以对未来可能的结果进行预测。

例如，在金融领域中，通过对股票收益率的概率分析，可以帮助投资者做出决策。

2. 风险评估概率分布可以用于评估风险。

在保险行业中，通过对保险索赔次数或大小的概率分析，可以估算保险公司的风险，并确定合理的保费。

16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。

常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。

以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。

1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。

2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。

3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。

4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。

5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。

6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。

目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

数据分析-分布类别数据分析是通过收集、整理、分析和解释数据以及探索数据背后的模式和趋势来帮助我们做出明智决策的过程。

在数据分析的过程中，我们经常需要考虑的一个重要问题是如何识别和理解数据的分布类别。

分布类别是指数据的分布情况，可以帮助我们了解数据的特征及其可能的含义和应用。

在数据分析中，分布类别主要有以下几种类型：均匀分布、正态分布、偏态分布和离散分布。

均匀分布是指数据在某一区间内出现的概率相对均等的分布。

例如，考虑一个投掷一个均匀骰子的情况，每个面出现的概率相同。

在这种情况下，数据的分布是均匀的。

正态分布是指数据围绕平均值呈对称分布的情况。

正态分布也称为高斯分布或钟形曲线。

在正态分布中，平均值、中位数和众数相等，大部分的数据集中在平均值附近，并且随着离平均值的距离逐渐减小。

正态分布在自然界和社会现象中常常出现，例如身高、体重等。

偏态分布是指数据分布具有偏向一侧的情况。

如果数据集的尾部朝向左侧，我们称之为左偏态分布；如果数据集的尾部朝向右侧，我们称之为右偏态分布。

偏态分布可能出现在许多现实生活中的数据集中，例如收入分布、房价分布等。

离散分布是指数据具有离散值的情况。

在离散分布中，数据只能取特定的数值，而不能取连续的值。

离散分布广泛应用于计算机科学、金融和工程等领域中。

了解数据的分布类别对数据分析至关重要。

通过分析数据的分布类别，我们可以推断出数据的特征和可能的含义。

例如，如果我们发现数据呈现出正态分布，我们可以使用统计学中的一些方法来进一步分析数据的特征和趋势。

另外，分布类别还可以通过数据可视化的方式来呈现，例如通过绘制直方图、箱线图等。

总结起来，数据分析中的分布类别是指数据的分布情况，包括均匀分布、正态分布、偏态分布和离散分布。

通过了解数据的分布类别，我们可以更好地理解数据的特征和含义，并做出相应的决策。

在数据分析的过程中，我们应该结合实际情况和统计学方法，对分布类别进行合理的分析和解释。

数据分析的目的是为了帮助我们更好地认识数据、了解数据的规律，并为我们的决策提供有效的参考。

有趣的大素数分布统计素数，飘忽不定、乱云飞渡。

素数，普遍认为的分布规律是没有规律。

素数，时而连续，时而相隔很远。

有远亲、有近邻。

人们已经习惯了小区间的素数分布情况，并认可其为真理，比如以下几点：1、统计10以内有4个素数，素数占40%，100以内有25个素数，素数占25%，1000以内有168个素数，素数占16.8%。

这种观念和方法可以说是根深蒂固。

当然“素数越来越稀少”这个结论更是牢不可破。

2、以10倍增长来考察素数分布规律。

几乎所有关于素数个数统计的文章中都是按照10，100，1000，10000等10倍增长来统计相应自然数内的素数个数。

而在大区间情况又是怎样的呢？它和我们头脑中的素数观一致吗？还是列举一些实例吧，体会一下也许与上述小区间素数观念不一样的素数观。

先列出10000附近的素数来体会，虽然数字太小，但也许还是可以发现一些端倪的。

这里将相邻两个区间按照排列顺序简称为前区和后区。

首先展示自然数10000左右的素数分布情况。

以10000为中心，以100为区间大小。

也就是说9900-10000为前区，10000-10100为后区。

在前区素数个数为9个，后区为11个，前后区个数比值为0.82。

两者结果相差18%。

而若以1000为区间大小，前区为112个后区为106个，前后区个数比值为1.06。

相差还是有些大的。

如果非常认真的人一定会认为两区间所含素数个数相差很大，而一些马马虎虎的人就可能认为两者差不多吧。

相同的统计结果在不同的人群中还是可能有些认知差别的。

那还是看一下大数字下的素数统计分布情况。

以下统计都是以100亿为中心，以100亿的1%为区间大小，也就是说个前后两个区间长度各为1亿。

下面按素数、孪生素数、三胞胎素数、四胞胎素数分述如下：一、素数的分布前后区分别包含4343734和4341930个素数，前后区个数比值为1.0004，仅仅相差0.04%。

与前文自然数10000时“相差16%”的统计结果中可以说是天壤之别了。

易错点13 统计易错点1.看不懂图，分辨不清数据的表示方法(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布直方图 ①作频率分布直方图的步骤(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差； (ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组； (ⅲ)整理数据：逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间； (ⅳ)作出有关图示：根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.②频率分布折线图作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异.易错点2.数据特征的相关概念没有理解 1.数据的数字特征 (1)最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. (2)平均数①定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n ).这一公式在数学中常简记为x －＝1n ∑n i ＝1x i ， ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x －＋b . (3)中位数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋12为这组数的中位数. (4)百分位数①定义：一组数的p %(p ∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p %的数据不大于该值，且至少有(100－p )%的数据不小于该值.②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取x i ＋x i ＋12为p %分位数. (5)众数一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.(6)极差、方差与标准差①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这组数的离散程度. ②方差定义：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则方差可用求和符号表示为s 2＝1n ∑n i ＝1(x i－x －)2＝1n ∑n i ＝1x 2i－x －2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2. ③标准差定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s 表示，即样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差为s ＝1n ∑n i ＝1（x i －x ）2. 性质：如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的标准差为|a |s . 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. 易错点3.两个统计模型理解错误 1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)相关关系的分类：正相关和负相关.(3)线性相关：如果变量x 与变量y 之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x 与y 线性相关. 2.相关系数(1)r ＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2∑n i ＝1（y i －y －）2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－（∑ni ＝1x 2i －n x －2）（∑n i ＝1y 2i －ny 2）.(2)当r >0时，成对样本数据正相关；当r <0时，成对样本数据负相关.(3)|r |≤1；当|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r |越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型(1)我们将y ^＝b^x ＋a ^称为y 关于x 的回归直线方程，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑n i ＝1（x i －x －）2＝∑n i ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y ^－b ^x －.(2)残差：观测值减去预测值，称为残差. 4.2×2列联表和χ2如果随机事件A 与B 的样本数据的2×2列联表如下.记n ＝a ＋b ＋χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.5.独立性检验统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k 如下表所示.要推断“(1)作2×2列联表.(2)根据2×2列联表计算χ2的值.(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B 有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验.1．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A．甲乙两班同学身高的极差不相等B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多对于D ，甲班同学身高在175cm 以上的有3人，乙班同学身高在175cm 以上的有4人，所以甲班同学身高在175cm 以上的人数较少，故D 错误． 故选：A ．2．2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[)1213，，第二组[)1314，，⋯，第六组[]1718，，得到如下频率分布直方图．则该100名考生的成绩的平均数和中位数(保留一位小数)分别是（ ）A ．15.2 15.3B ．15.1 15.4C ．15.1 15.3D ．15.2 15.3【答案】C【详解】100名考生成绩的平均数12.50.1013.50.1514.50.1515.50.3016.50.2517.50.0515.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为前三组频率直方图面积和为0.100.150.150.4++=，前四组频率直方图面积和为0.100.150.150.300.7+++=，所以中位数位于第四组内，设中位数为a ，则()150.300.1a -⨯=， 解得:15.3a ≈， 故选：C ．3．某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表： 某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（ ）A ．8月每天最高气温的平均数低于35℃B ．8月每天最高气温的中位数高于40℃C ．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D ．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差 【答案】D【详解】由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，对于A ，8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃，25日至28日的每天最高气温的平均数大于35℃，29日至31日每天最高气温大于20℃小于25℃，与35℃相差总和小于45℃，而每天最高气温不低于40℃的有7天，大于37℃小于40℃的有8天，它们与35℃相差总和超过45℃，因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃，A 不正确；对于B ，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月每天最高气温的中位数低于40℃，B 不正确；对于C ，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C 不正确； 对于D ，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D 正确. 故选：D4．两个具有线性相关关系的变量的一组数据()()1122x y x y ，，，，()n n x y ，，下列说法错误的是（ ）A ．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好B ．相关系数r 越接近1，变量x ，y 相关性越强C ．相关指数2R 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D ．若x 表示女大学生的身高，y 表示体重，则20.65R ≈表示女大学生的身高解释了65%的体重变化对于C ：相关指数2R 越小，残差平方和越大，效果越差，故正确；对于D ：根据2R 的实际意义可得，20.65R ≈表示女大学生的身高解释了65%的体重变化，故正确； 故选：A ．5．下列说法正确的序号是（ ）℃在回归直线方程ˆ0.812y x =-中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.8个单位；℃利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得12()i i i n y bx a =--∑最小的原理；℃已知X ，Y 是两个分类变量，若它们的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小；℃在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本(),(1,2,)i i x y i n =都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-.A ．℃℃B ．℃℃C ．℃℃D ．℃℃【答案】B【详解】对于℃，在回归直线方程 ˆ0.812y x =- 中， 当解释变量 x 每增加一个单位时, 预报变量ˆy平均增加 0.8个单位，故℃正确； 对于℃，用离差的平方和，即:()()2211ˆnni i i i i i Q y yy a bx ===-=--∑∑作为总离差, 并使之达到最小；这样回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条。

五个数据分布类型及实例-回复标题：五个数据分布类型及实例详解在统计学中，数据分布是描述一组数据如何分散或集中的方式。

理解不同的数据分布类型对于数据分析、预测和决策制定至关重要。

以下将详细介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例进行说明。

1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布，也称为高斯分布，是最常见和最重要的数据分布类型之一。

其特征是呈现出对称的钟形曲线，其中大部分数据集中在均值附近，而极端值较少。

正态分布有两个重要参数：均值（μ）和标准差（σ），它们决定了曲线的形状和位置。

实例：人的身高是一个典型的正态分布的例子。

在全球范围内，成年男性的平均身高约为175厘米，标准差约为7厘米。

这意味着大多数男性的身高集中在175厘米左右，而极高或极矮的身高则相对较少。

2. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指所有可能的结果具有相等的概率。

这种分布的数据在一定区间内是均匀分布的，没有特定的集中趋势。

实例：抛硬币的结果就是一个均匀分布的例子。

硬币的两面分别是正面和反面，每次抛硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，没有任何一面更可能出现。

3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布用于描述在n次独立的是/非试验中成功的次数。

每个试验的成功概率为p，失败的概率为q=1-p。

二项分布有两个参数：n和p。

实例：在一项医学研究中，研究人员想要了解某种新药治疗某种疾病的疗效。

他们对100名患者进行了试验，该药物的有效率为80。

那么，在这100名患者中，成功治愈的患者数量就符合二项分布。

4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生的次数。

它只有一个参数λ，表示单位时间（或单位面积、单位体积等）内事件发生的平均次数。

实例：在某个呼叫中心，平均每小时接到的电话数量为10个。

那么，在任意一个小时内，实际接到的电话数量就符合泊松分布。