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f (x)]dxc b), x 轴及一条曲线 yf ( x)(不妨设在区间 [a,c] 上f(x) 0，在区间 [c,b]上 f (x) 0 )围成的图形的面积：定积分的简单应用【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲2.如图，由三条直线 x a ， x b (a b)， x 轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲线f 1(x) y 2 f 2(x) f 1(x) f 2(x)及直线x a ， x b (a b)围成图形的面积：S a f (x)dx a [ f (x) g(x)]dx aay f(x)( f (x) 0 )围成的曲边梯形的面积：ba [g(x)3．由三条直线 x a,x b(acb f (x)dx ＋ f (x)dx .ac4. 如图，由曲线 y 1b b bS [ f1(x) f2(x)]dx f1( x)dx f2(x)dxa a a要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义：① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数(或绝对值) ；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤( 1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；( 4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用① 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v v(t)(v(t) 0) 在时间区间b[a,b] 上的定积分，即S v(t)dt .a②变力作功物体在变力F(x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F ( x)相同的方向从x a移动b到x b (a b) ，那么变力F(x) 所作的功W F(x)dx.a要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。
一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。
例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。
首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。
最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。
因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。
1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。
通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。
2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。
假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。
工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。
功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。
§6.7 定积分的应用-----2教学目的：熟练运用定积分知识，在已知经济函数的边际函数条件下计算其相应原函数或函数值． 重点：1.弄清常用经济函数的实际问题的意义，正确列出相关定积分表达式．2.利用积分概念与性质简化计算．难点：收益流的现值和将来值教学方法：讲练结合教学过程：五、由边际函数求原函数经济函数 ⎰'+=xdt t u u x u 0 )()0()(. 例1 生产某产品的边际成本函数为2()314100C x x x '=-+,固定成本10000)0(=C ,求生产x 个产品的总成本函数．解: 0()(0)()x C x C C t dt '=+⎰ 2010000(314100)xt t dt =+-+⎰32010000[37100]x t t t =+-+ 323710010000x x x =-++．提问：平均成本如何求？练习1： 生产某产品的边际成本为x x C 2.0150)(-=',当产量由200增加到300时,需增加成本多少？解: 需增加成本为300300 200 200()(1500.2)C C x dx x dx '==-⎰⎰2300200[1000.1]10000x x =-=．例2 已知边际收益为()782R x x '=-,设(0)0R =,求收益函数()R x ．解: 00()(0)()0(782)xxR x R R t dt x dt '=+=+-⎰⎰220[78100]78x t t t x x =-+=-． 练习2： 某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为t t x 12100)(+='(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．解: 两小时的总产量为272]6100[)12100()(42242 4 2 =+=+='=⎰⎰t t dt t dt t x Q ． 练习3：某工厂生产某商品在时刻t 的总产量变化率为2()100120.6f t t t =+-(单位/小时)求由2=t 到4=t 这两小时的总产量．解: 两小时的总产量为4 42 2 2()(100120.6)Q f t dt t t dt ==+-⎰⎰ 2342[10060.2]206.8t t t =+-=（单位）．练习4.已知某产品总产量的变化率是时间t (单位:年)的函数52)(+=t t f ,)0(≥t ,求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?解 50d )52(501=+=⎰t t Q , 100d )52(1052=+=⎰t t Q .例3. 已知某产品生产x 个单位时,总收益R 的变化率(边际收益)为100200)(x x R R -='=', 0≥x ,(1)求生产了50个单位时的总收益;(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收 益.解 5.9987d )100200(500=-=⎰x x R , 19850d )100200(200100=-=⎰x x R . 例4 设某种商品每天生产x 单位时固定成本为20元,边际成本函数为()0.42C x x '=+(元/单位),求总成本函数()C x .若该商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数()L x ，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解：总成本函数00()()(0)(0.42)20x xC x C x dx C x dx '=+=++⎰⎰ 220[0.22]200.2220x x x x x =++=++.总利润函数 ()()()L x R x C x =-2218(0.2220)0.21620x x x x x =-++=-+-由()0.416040L x x x '=-+=⇒=，又(40)0.40L ''=-<所以每天生产 40x =单位时，总利润()L x 最大，且2max 40(40)[0.21620]300x L L x x ===-+-=（元）.练习5：某产品的总成本C (万元)的变化率(边际成本)1='C ,总收益R (万元)的变化率(边际收益)为生产量x (百台)的函数x x R R -='='5)(,(1)求生产量等于多少时,总利润C R L -=为最大.(2)从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少解 (1)x x C x R x L -='-'='4)()()(,由0)(='x L ,得4=x ,(4)10L ''=-<，所以4=x 时,总利润最大.(2)5.0d )4(54-=-=∆⎰x x L ,所以L 减少了5000元. 练习6：(92.4.6') 设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x 时 的边际成本函数为240203MC x x =-+,边际收入函数为3210MR x =-,试求(1)总利润函数;(2)使总利润最大的产量.解 (1)总成本函数为: 2230()10(40203)d 104010x C x t t t x x x =+-+=+-+⎰ 总收入函数为:20()(3210)325x R x t dt x x =-=-⎰总利润函数为 ()()()L x R x C x =-22332(325)(104010)5810x x x x x x x x =--+-+=-+--令()()()0L x R x C x MR MC '''=-=⇒= 即2124310802,3x x x x -+===解得 又4106,(2)0,()03L x L L ''''''=-<> ,所以2x =为极大值点,也是获得最大利润点故2x =时总利润最大.例5 在某地区当消费者个人收入为x 时,消费支出)(x W 的变化率 xx W 15)(=',当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多 少？解:消费支出增加 300]30[15)(16009000061 900 0061 900 ==='=⎰⎰x x d xdx x W W ． 练习7： 已知生产某产品x 单位时的边际收入为()1002R x x '=-( 元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产10个单位时所增加的总收入．解:因为 (0)0R =，所以生产40单位时的总收入为400(40)()R R x dx '=⎰402400 0(1002)[100]2400x dx x x =-=-=⎰（元）．生产40单位时的平均收入为(40)(40)6040R R ==（元）． 为在生产40单位后再增加生产10个单位时所增加的总收入50 40(50)(40)()R R R R x dx '∆=-=⎰5025040 40(1002)[100]100x dx x =-=-=⎰（元）．（生产50个单位产品时总收益最大）练习8:已知生产某商品x 单位时，边际收益函数为()20050x R x '=-（元/单位），试求生产x 单位时总收益()R x 以 及平均单位收益()R x ，并求生产这种产品2000单位时的总收益和平均单位收益. 解：总收益 00()()(200)50x x x R x R x dx dx '==-⎰⎰ 220[200]200100100x x x x x =-=-. 平均单位收益()()200100R x x R x x ==-； 当生产2000单位时，总收益 22000(2000)[200]360000100x x R x ==-=（元）； 平均单位收益 2000(2000)[200]180100x x R ==-=（元）. 例6 假设某产品的边际收入为()9R x x '=-( 万元/万台)，边际成 本为()44x C x '=+(万元/万台)，其中产量x 以万台为单位， （1）求产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；（2）当产量为多少利润最大？（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和总利润函数．解：（1）边际利润为5()()()(9)(4)544xx L x R x C x x '''=-=--+=-． 554455(5)(4)()(5)48x L L L L x dx dx '∆=-==-=-⎰⎰（万元） （２）由()0L x '=得唯一驻点4x =（万元），5(4)04L ''=-< 即当产量为4x =万元时利润最大．（３）由已知 (0)1C =，200()()(0)(4)14148x xt x C x C t dt C dt x '=+=++=++⎰⎰ 20055()()(0)(5)(0)5148x x x L x L t dt L t dt C x '=+=--=--⎰⎰． 三、收益流的现值和将来值1. 由第二章第五节 连续复利(时时刻刻在计息 )知识知道若以连 续复利率r 计息，将一笔P 元的人民币从现在起存银行，t 年后的 价值（将来值）为rt B Pe =若t 年后得到B 元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为rt P Be -=2.收益流(1)收益流)(t R ——随时间t 连续变化的收益．(2)收益流量)(t P ——收益流)(t R 对时间的变化率,)()(t R t P '=． 若收益以元为单位,时间t 以年为单位,收益流量单位为:元/年.3.现值和将来值(1)将来值——将收益流存入银行并加上利息之后的存款值．(2)现值——收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银 行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的银行存款值, 有相同的价值.总收益减去利息的所得。
3.计算公式假设连续复利率为r ,收益流的收益流量为)(t P (元/年),时间 段为从0=t 到T t =年,那么(1) 收益流的现值为: ⎰-=Trt dt e t P R 0 0)(．证明：取],0[T 中的任一小区间],[dt t t +,在],[dt t t +期间的收益为 dt t P )(,此收益可以近似看作在t 点的收益，其现值应为dt e t P rt -)(,所以收益流的总现值为: ⎰-=T rtdt e t P R 0 0)(．(2)收益流的将来值为: ⎰-=T t T r T dt e t P R 0 )()(． 证明：取],0[T 中的任一小区间],[dt t t +,在],[dt t t +期间的收益为 dt t P )(,其将来值应为dt e t P t T r )()(-,所以收益流的总将来值为:⎰-=Tt T r T dt e t P R 0 )()(． 例7 假设以连续复利率1.0=r 计息,(1)求收益流量为100元/年的收益在20年期间的现值和将来值；(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系．解：(1)收益在20年期间的现值 66.864)1(1000100202 0 1.00≈-==--⎰e dt e R t (元),将来值 06.6389)1(10001002202 0)20(1.020≈-==---⎰e e dt e R t (元);(2)0220R e R =.说明:将单独的一笔款项0R 存入银行,并以连续复利率1.0=r 计 息,那么这笔款项20年后的将来值为0.120200R e e R ⨯=,这个将来值正 好等于收益流在20年期间的将来值20R .结论 将来值和现值的关系 将来值rT e =现值.例8 设有一项计划现在(0=t )需要投入1000万元,在10年中每 年收益为200万元.若连续复利率为%5,求收益资本价值W .(设购 置的设备10年后完全失去价值).解：由于资本的价值＝收益流的现值－投入资金的现值,那么 100.05 02001000t W e dt -=-⎰ （200万元为每年的收益流量） 5400(1)1000573.88e -=--≈(万元).例9某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收 益流量为10万元,求内部利率μ.(注:内部利率是使收益价值等于 成本的利率).解：由于收益流的现值＝成本,那么1010 0108010(1)t e dt e μμμ--==-⎰1081e μμ-⇒=- （利用无穷级数0!nxn x e n ∞==∑取2n =）经过近似计算得046.0≈μ.小结：认真审题，根据实际意义及经济函数写出积分关系式进行计 算．课后记：易犯错误（1）审题有误（2）列不出正确积分关系式．（3）运算错误多．。
