函数的周期性练习题兼答案

高中数学 函数的周期性练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( ) A.−4 B.−2 C.2 D.42. 若f(x)是R 上周期为3的偶函数，且当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，则f(−132)=( ) A.−2 B.2 C.−12D.123. 已知函数f (x )满足f (1+x )=f (1−x )，且f (−x )=f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )=2x −1，则f (2021)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−14. 已知函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，当1≤x ≤2时，f(x)=2x −1，求f(2017)=( ) A.−1 B.0 C.1 D.25. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.66. 已知函数y =f (x )对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )且f (4−x )+f (x )=0成立，若f (0)=1，则f (2019)+f (2020)+f (2021)的值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−27. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈(−1,0]时，f (x )=tan πx 3，则f (194)=（ ）A.−1B.−2C.0D.18. 已知f (x )是R 上的偶函数且满足f (x +3)=−f (x )，若f (1)>7，f (2021)=4+3a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1)9. 已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (−x )=−f (x )，f (2−x )=f (2+x )，且在区间[0,2]上，f (x )=x 22+cos x −1 ，m =f(√3)，n =f (7)，t =f (10)，则( )A.m <n <tB.n <m <tC.m <t <nD.n <t <m10. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )={e x −1,0≤x ≤1,x 2−4x +4,1<x ≤2. 若关于x 的不等式m|x|≤f (x )的整数解有且仅有9个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(e−17,e−15] B.[e−17,e−15] C.(e−19,e−17] D.[e−19,e−17]11. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2，当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=( ) A.809 B.811 C.1011 D.101312. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ⋅(1+x)，则f(−92)=________．13. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f (2016)=________.14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝−f(x +2)，若当x ∈[0, 2)时，f(x)＝3x ，则f(2019)＝________15. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 均有f (x +4)=−f (x )+2√2，若函数f (x −2)的图象关于直线x =2对称，则f (2018)=________．16. 已知函数f (x )为R 上的奇函数，且f (−x )=f (2+x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x +a 2x，则f (101)+f (105)的值为________.17. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )．当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1，x,−1≤x <3，则f (4)=________；f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=________．18. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2+2x，则f(2021)=________．19. 已知函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x≤2时，f(x)=−x2+kx+2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[2,4]上的最大值．．20. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0, 2)时，f(x)=e xx(1)求f(x)在[−2, 2]上的解析式；(2)若|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．22. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2．求证：f(x)是周期函数；当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)．23. 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0, 1)时，f(x)=2x．4x+1（1）证明f(x)在(0, 1)上为减函数；（2）求函数f(x)在[−1, 1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f(x)＝λ在R上有实数解．参考答案与试题解析高中数学 函数的周期性练习题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】 函数的求值函数奇偶性的性质 函数的周期性【解析】根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)， 又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)， 即f(x −1)=f(1−x)=f(1+x)， 所以f(x)=f(2+x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数， 故f(10)=f(0)=2. 故选C . 2.【答案】 C【考点】 函数的周期性 偶函数 【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−132)=f(−12)=f(12)，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】解：由题意得f(x)是R 上周期为3的偶函数， 则f(−132)=f(−12)=f(12).因为当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，所以f(12)=log 412=−12， 所以f(−132)=−12. 故选C .3. 【答案】 B【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1)．从而得到|f(x+4)=f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，能求出f(2021)的值．【解答】解：∵f(1+x)=f(1−x)，且f(−x)=f(x)，则f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]，即f(2+x)=f(−x)=f(x).∵ f(x)是以2为周期的周期函数，当1≤x≤2时，f(x)=2x−1∴f(2021)=f(2×1010+1)=f(1)=21−1=1.故选B．4.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)＝−f(1−x)＝−f(x−1)，从而得到f(x+4)＝f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)＝2x−1，能求出f(2017)的值．【解答】解：∵f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，∴f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1).令x−1=t，得f(t+2)=−f(t)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)以4为周期的周期函数.∵当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21−1=1．故选C．5.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(1+x)=f(1−x)，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以有f(1+x)=f(1−x)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，函数f(x)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.又因为g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)关于x=1对称，所以f(x)与g(x)的图象一共有四个交点，交点的横坐标之和为2+2=4.故选B.6.【答案】A【考点】函数的求值函数的周期性【解析】由题意，根据f(x+2)=f(−x)以及f(4−x)=−f(x)可推导y=f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2019)=f(3)，f(2021)=f(1)，代入f(4−x)=−f(x)可计算结果，又f(2020)=f(0)=0，代入计算即可．【解答】解：已知f(x+2)=f(−x)，则f(2−x)=f(x).又f(4−x)=−f(x)，可得f(4−x)+f(2−x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(3)，f(2020)=f(0)，f(2021)=f(1).因为f(4−x)+f(x)=0，所以f(4−1)+f(1)=0，即f(3)+f(1)=0，可得f(2019)+f(2020)+f(2021)=0+1=1.故选A．7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，则f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的偶函数，故f(194)=f(34)=f(−34)=tan[π3×(−34)]=−1．故选A．8.【答案】B函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】【解答】解：因为f(x+3)=−f(x)，所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2021)=f(6×337−1)=f(−1)=f(1)．因为f(1)>7，所以f(2021)=4+3a>7，解得a>1．故选B．9.【答案】B【考点】函数的周期性利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】由f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性．再将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小．【解答】解：∵f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)，∴f(x)为奇函数，∴f[2−(x+2)]=f(2+x+2)，即f(−x)=f(x+4)=−f(x)，∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为8，∴f(7)=f(8−1)=f(−1)=−f(1)，f(10)=f(8+2)=f(2)，当x∈[0,2]时，f(x)=x 22+cos x−1,f′(x)=x−sin x，f′′(x)=1−cos x≥0，∴f′(x)=x−sin x为单调递增函数，f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)=x22+cos x−1为单调递增函数，即当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)=0，∴−f(1)<0，0<f(1)<f(√3)<f(2)，∴f(7)<f(√3)<f(10)，即n<m<t．故选B．10.C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合． 【解答】解：∵ f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (2+x )，∴ f(2+x)=f(−x −2)=f(−x +2)，∴ f (x +4)=f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，作出函数f (x )的图象如图所示．令g (x )=m|x|，将g (x )的图象绕坐标原点旋转可得 {7m ≤e −1,9m >e −1,即{m ≤e−17,m >e−19 则实数m 的取值范围为(e−19,e−17]．故选C ． 11.【答案】 A【考点】 函数的周期性 函数的求值【解析】【解答】解：由f (x )=f (x +5)可知f (x )周期为5， 因为当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2； 当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，所以f (−2)+f (−1)+f (0)+f (1)+f (2)=2. 又因为f (x )周期为5，所以f (x )+f (x +1)+f (x +2)+f (x +3)+f (x +4)=2， 因此f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+⋯+f (2021) =f (1)+2×404 =809. 故选A ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.−34【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】由奇函数的性质可得，f(−92)=−f(92)，由周期性可得f(92)=f(92−4)=f(12)，进而得解． 【解答】解：由题意可得，f(−92)=−f(92)=−f(92−4)=−f(12)=−12×(1+12)=−12×32=−34． 故答案为：−34. 13.【答案】 0【考点】 函数的求值 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】由f (x +2)=−f (x )可得f (x )是周期为4的函数，把f (2016)转化成f (0)）求解即可． 【解答】解：对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f(x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f(x)， 所以f (x )是周期为4的函数， 所以f (2016)=f (0)，又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)=0， 所以f (2016)=0. 故答案为：0. 14.【答案】 −3【考点】 求函数的值 函数的周期性 函数的求值【解析】推导出f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，从而f(2019)＝f(3)＝−f(1)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝−f(x+2)，∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，∴f(2019)＝f(3)＝−f(1)＝−(3)故答案为：−(3)15.【答案】√2【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】由已知条件推导出f(−x)=f(x)，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：由函数f(x−2)的图象关于直线x=2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，又f(2)=−f(−2)+2√2，f(−2)=f(2)，所以f(2)=√2．故答案为：√2．16.【答案】3【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】暂无【解答】解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=1+a=0，所以a=−1，(0≤x≤1)，所以f(x)=2x−12x.则f(1)=32又因为f (x )为奇函数，所以f (−x )=f (2+x )=−f (x )，则f (x +4)=f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (101)+f (105)=2f (1)=32×2=3. 故答案为：3.17.【答案】0,337【考点】函数的求值函数的周期性【解析】先由f (x +6)=f (x )判断周期为6，直接计算f (4)；然后计算2017=6×36+1，把f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)转化为=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017) ，即可求解．【解答】解：因为f (x +6)=f (x )，所以函数f (x )的周期为6的周期函数，当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1,x,x −1≤x <3,所以f (4)=f (−2)=−(−2+2)2=0，因为2017=6×336+1，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=f (−3)=−(−3+2)2=−1， f (4)=0，f (5)=f (−1)=−1，f (6)=f (0)=0，所以f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017)=36×(1+2−1+0−1+0)+1=337．故答案为：0；337．18.【答案】1【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为f (x )是奇函数，所以f (x +2)=f (−x )=−f (x )，所以f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x )，所以f (x )的周期为4.所以f (x +4)=f (x )，故f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[(−1)2−2]=1．故答案为：1．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）19.【答案】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f (x )max =f (4)=2；当8−k 2≤2，即k ≥4时，f (x )在[2,4]上单调递减，则f (x )max =f (2)=2k −2；当2<8−k 2<4，即0<k <4时，f (x )max =f (8−k 2)=k 2+84． 综上所述，f (x )max ={ 2，k ≤0,k 2+84，0<k <4,2k −2，k ≥4.【考点】函数的周期性二次函数在闭区间上的最值分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f(x)max=f(4)=2；当8−k2≤2，即k≥4时，f(x)在[2,4]上单调递减，则f(x)max=f(2)=2k−2；当2<8−k2<4，即0<k<4时，f(x)max=f(8−k2)=k2+84．综上所述，f(x)max={2，k≤0,k2+84，0<k<4,2k−2，k≥4.20.【答案】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．【考点】函数恒成立问题函数的周期性奇函数【解析】（1）由f(x)是x∈R上的奇函数，得f(0)=0．再由最小正周期为4，得到②和f(−2)的值．然后求(−2, 0)上的解析式，通过在(−2, 0)上取变量，转化到(0, 2)上，即可得到结论．（2）|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ，由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由（1）易求；【解答】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．21.【答案】函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．∵f(x)=f[2+(x−2)]=f[2−(x−2)]=f(4−x)，f(x)=f[7+(x−7)]=f(7−(x−7))=f(14−x)，∴f(14−x)=f(4−x)，即f[10+(4−x)]=f(4−x)，∴f(x+10)=f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根．由−2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±201，共403个；由−2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±200,−201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上的根共有805个．【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(2−(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(−0)=−f(0)，∴f(0)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．略22.【答案】证明∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．1【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】思维启迪：只需证明f(x+T)=f(x)，即可说明f(x)是周期函数；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵x∈[2,4]，∴−x∈[−4,−2]，∴4−x∈[0,2]，∴f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8，又f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[−2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=−1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=⋯=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0．∴f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)=f(0)+f(1)=1．思维启迪：由周期性求和．探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．23.【答案】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f(x)的值域即可．【解答】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分。

函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。

证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。

函数周期要过关就做这50道题一、多选题1．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（）A ．()11f -=B ．(0)0f =C ．(4)2f =D ．(10)2f =2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x -=，则下列说法正确的是（）A ．(8)()f x f x +=B ．()f x 在区间(2,2)-上单调递增C ．(2019)(2020)(2021)0f f f ++=D ．()cos()42f x x ππ=+是满足条件的一个函数3．已知(2)y f x =+为奇函数，且(3)(3)f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，4()2log (1)1x f x x =++-，则（）A ．()f x 的图象关于(2,0)-对称B ．()f x 的图象关于(2,0)对称C ．4(2021)3log 3f =+D ．3(2021)2f =4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x 都有(3)()f x f x +=-，且(5)2f =-，对任意的1x ，2[0,3]x ∈，且12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则（）A ．3的一个周期B ．(29)2f =-C ．()f x 在[810],上是减函数D ．方程()20f x +=在(7,7)-上有4个实根5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，()()20f x f x +-=，且当[]0,1x ∈时，()()221f x x =--，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,∞+上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称B ．当[]4,5x ∈时，()()225f x x =--C ．当[]2,3x ∈时，()f x 单调递减D ．a 的取值范围是0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且(0,1]x ∈时，()2f x x =-，则关于()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 是周期为4的周期函数B ．()f x 所有零点的集合为{}2,x x k k Z =∈C ．(3,1)x ∈--时，()26f x x =+D ．()y f x =的图像关于直线1x =对称7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点二、单选题8．已知函数()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，若(1)1f =，则(2)f ，(7)f 的值分别为（）A ．1，1B ．1-，1C ．0，1D ．0，1-9．已知函数(4),0()3,0xf x x f x x --≥⎧=⎨<⎩则(99)f =（）A ．13B ．9C ．3D ．1910．设()f x 为奇函数，对任意x ∈R 均有()()4f x f x +=，已知()13f -=则()3f -等于（）A ．-3B ．3C ．4D ．-411．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．14-B ．12-C ．14D ．1212．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，当(0,2)x ∈时，()2f x x =，则(2015)(2012)f f +的值为（）A ．2-B ．1-C ．12D ．3213．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则()f x 在区间[]0,2021上的零点个数为（）A ．1011B ．1010C ．2021D ．202214．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()2,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()()20202021f f +的值等于（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-15．设函数()f x 为定义在R 上的奇函数且周期为4，当20x -<<时，()2axf x =-且44(1log 580)f +=，则a =（）A ．1-B ．2-C ．1．D ．216．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x R ∀∈，恒有()(2)0f x f x ++=，且当(0x ∈，1]时，()21x f x =+，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++ =（）A ．1B ．2C ．3D ．417．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=--．当[1,0]x ∈-时，()1x f x e =-，则()()4ln 2f e =（）A ．12B ．12-C ．1D ．3-18．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足：①对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-；②(1)y f x =+是奇函数；③(1)=-y f x 为偶函数.则（）A ．(2021)(22)(3)f f f >>B ．(22)(3)(2021)f f f >>C ．(3)(22)(2021)f f f >>D ．(22)(2021)(3)f f f >>19．已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．220．已知函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(4)f x f x =+，若(1)6f =，则()()22log 128log 16f f +=（）A ．6B ．0C ．6-D ．12-21．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，当(]0,1x ∈时，()11f x x=-.若函数()()sin F x f x x π=+，则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是（）A ．108B ．109C ．144D ．14522．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ∀∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则有（）A ．()()()192120211978f f f =<B ．()()()192119782021f f f <<C ．()()()192120211978f f f <<D ．()()()202119781921f f f <<23．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．624．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭25．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20fx af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．13ln 6,ln 234⎛⎫--⎪⎝⎭D ．13ln 6,ln 234⎛⎤--⎥⎝⎦26．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数()[],f x x x x R =-∈，则对函数()f x 描述正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域为[)0,1C ．()f x 是奇函数D ．()f x 不是周期函数27．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()42,f x f x f +=+且[]0,2x ∈时有()sin()2sin()f x x x ππ=+，而()()7log 2a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]3,3-上至多有10个零点，至少有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．134,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．134,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]2,5D ．[]5,628．已知函数()()y f x x =∈R 满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，()||f x x =，函数()()21log 2,02,0x x x g x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[2,5]-上的零点的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．729．已知定义在R 的函数()y f x =对任意的x 满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<，3()f x x =，函数log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(7,)7⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．11,[7,9)97⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦C ．11,(7,9]97⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭D ．1,1(1,9]9⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭30．函数()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，且当[]3,1x ∈--时，()()22f x x =+，则函数()11log 5x y f x -=-的零点个数为（）A ．6B ．8C ．10D ．1231．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()2f x -是偶函数，给出下列结论：①()y f x =的图象关于直线2x =对称②()y f x =的图象关于点()4,0-对称③()f x 是周期为4的函数其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．332．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()53f x f x -=+，且()224,012ln ,14x x x f x x x x ⎧-+≤<=⎨-≤≤⎩，若关于x 的不等式()()()210f x a f x a +++<在[]20,20-上有且仅有15个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,ln 22--B ．[)2ln 33,2ln 22--C ．(]2ln 33,2ln 22--D ．[)22ln 2,32ln 3--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题33．已知函数()f x 是周期函数，10是()f x 的一个周期，且()2f =，则(22)f =________.34．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，则()2021f =___________.35．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2xf x =，则()2log 9f 等于___________.36．在R 上函数()f x 满足()1()f x f x +=-，且2,10()3,01x a x f x x x +-≤<⎧=⎨-≤<⎩，其中a R ∈，若()()5 4.5f f -=，则a =_________.37．已知()f x 是定义在R 上的函数，且()()12()12f x f x f x +-=--，若(1)2f =+，则(2025)f =______．38．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______．39．已知函数()y f x =，对任意x ∈R ，都有()()1f x f x a ⋅+=（a 为非零实数），且当[)0,1x ∈时，()2xf x =，则()2021f =___________.40．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()11f =，则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________．41．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()1232021f f f f ++++= ________．42．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=；②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________.43．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.44．定义在R 上函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()()2f x f x +=-且()f x 在[]1,0-上是增函数，给出下列几个命题：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于1x =对称；③()f x 在[]1,2上是增函数；④()()20f f =．其中正确命题的序号是______．45．偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________．四、双空题46．已知函数()f x 是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，若(1)2f =，则(2)f =___________；(2019)f =__________．47．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++= __________．48．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +π)=-f (x )，当[0,2x π∈时，()f x =则7()2f π=_________，方程(x -π)f (x )=1在区间[,3]ππ-上所有的实数解之和为________．五、解答题49．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =-（1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+.50．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()1()11()f x f x f x -+=+.（1）若1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明：2是函数()f x 的周期；（3）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)()21,21x k k k Z ∈-+∈时的解析式.答案第1页，总39页参考答案1．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值.【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =，因为()12f =，则()()4102f f ==.故选：CD 2．ACD 【分析】由已知结合函数的周期性，奇偶性分别检验各选项即可判断.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，又(4)()f x f x -=，所以(4)()f x f x -=--，即(4)()f x f x +=-，所以(8)()f x f x +=，故A 正确；题目无法得出()f x 在区间(2,2)-上单调递增，故B 错误；因为函数的周期为8，所以(2019)(2020)(2021)f f f ++(3)(4)(5)(1)(0)(1)0f f f f f f =++=----=，故C 正确；因为()cos()sin()424f x x x πππ=+=-，由(4)()f x f x -=可得()f x 对称轴为2x =，()sin()4f x x π=-满足对称轴为2x =()sin(())sin()()44f x x x f x ππ-=--==-，满足奇函数，故D 正确.故选：ACD ．3．ABD 【分析】首先根据(2)y f x =+为奇函数，可得()f x 的图象关于(2,0)对称．再根据已知条件计算()f x 的周期，可判断选项ACD ，进而可得正确选项【详解】因为(2)f x +为奇函数，所以(2)(2)f x f x -+=-+即(2)(2)f x f x +=--，，所以()f x 的图象关于(2,0)对称．故选项B 正确，由(2)(2)f x f x +=--可得(4)()f x f x +=--，由(3)(3)f x f x +=-可得()(6)f x f x -=+，所以(4)(6)f x f x -+=+，可得(2)()f x f x +=-，所以()2(()4)f x f x f x -+=+=，所以()f x 周期为4，所以()f x 的图象关于(2,0)-对称，故选项A 正确，43(2021)(45051)(1)2log 212f f f =⨯+==+-=.故选项D 正确，选项C 不正确，故选:ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是根据已知条件求出()f x 的周期性和对称性，根据周期性可计算函数值.4．BD【分析】由()()3f x f x +=-，得到()()6f x f x +=，可判定A 不正确；根函数的周期性和(5)f 的值，可判定B 正确；根据函数的单调性和奇偶性、周期性，可判定C 不正确；根据题意求得()()152f f ±=±=-，进而求得方程()20f x +=的根，可判定D 正确，即可求解.【详解】由()()3f x f x +=-，可得()()6f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，所以A 不正确；因为(5)2f =-，可得(29)(465)(5)2f f f =⨯+==-，所以B 正确；因为对任意的12,[03]x x ∈，，且12x x ≠时，1212()()0f x f x x x ->-恒成立，所以函数()f x 在[0,3]上为单调递增函数，又由函数()f x 为偶函数，所以[30]-，上为单调递减函数，所以函数在[6,9]上单调递增，在区间[912]，上单调递减，所以函数()f x 在区间[810],先增后减，所以C 不正确；由(5)2f =-，可得(16)2f -+=-，所以()()12,52f f ±=-±=-，可得在区间(7,7)-内，方程()20f x +=，可得()2f x =-的实根为1,5x x =±=±，故D 正确.故选：BD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.5．AB【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意得：()()0f x f x --=知()f x 是偶函数，由()()20f x f x +-=知()f x 是周期为2的周期函数，因为当[]0,1x ∈时，()()221f x x =--，所以有如图的函数图象，故对于A 选项，由图可知()f x 图象关于1x =-对称，所以A 正确；对于B 选项，当[]4,5x ∈时，()()()2425f x f x x =-=--，所以B 正确；对于C 选项，当[]2,3x ∈时，由周期为2可知()f x 单调性与[]0,1x ∈时()f x 的单调性相同，易知当[]2,3x ∈时，()f x 单调递增，所以C 错误；对于D 选项，设()()log 1a g x x =+，则函数()()log 1a y f x x =-+在()0,∞+上至少有三个不同的零点，等价于函数()f x 与()g x 图象在()0,∞+上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有()()22g f >，即()log 212a +>-，解得03a <<，所以D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查函数的零点，周期性，奇偶性等函数性质，考查数形结合思想和运算求解能力，解题的关键在于根据题意做出函数图象，利用数形结合思想求解，是中档题.6．ABD【分析】A.(1)(1)f x f x -=+和()f x 为奇函数即可得出结论；B.解出函数在一个周期内的零点：在[2,2]-内的零点为2,0,2-即可得出所有零点满足{}2,x x k k Z =∈；C.()f x 是周期为4的周期函数，所以(2.5)1f -=-，若(3,1)x ∈--时，()26f x x =+则(2.5)11f -=≠-即可判定解析式错误；D.由(1)(1)f x f x -=+得()y f x =的图像关于直线1x =对称成立.【详解】解：对于A.由(1)(1)f x f x -=+得()(11)(2)f x f x f x -=++=+，又()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，故A 正确.对于B.由()f x 为定义在R 上的奇函数得(0)0f =，由A 可得(2)()f x f x +=-，令0,(2)(0)0x f f ==-=，又由A ：()f x 是周期为4的周期函数，得(2)(2)0f f -==，所以在[2,2]-内的零点为2,0,2-，()f x 是周期为4的周期函数，所以()f x 所有零点的集合为{}2,x x k k Z =∈，故B 正确.对于C.由(1)(1)f x f x -=+得得()y f x =的图像关于直线1x =对称，结合A ：()f x 是周期为4的周期函数，所以(2.5)(1.5)(10.5)(10.5)(0.5)1f f f f f -==+=-==-，若(3,1)x ∈--时，()26f x x =+则(2.5)2(2.5)611f -=⨯-+=≠-，故C 不正确.对于D.由(1)(1)f x f x -=+得()y f x =的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：ABD【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．7．BCD【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得，(4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f = ，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.8．D【分析】直接利用周期性、结合奇偶性求解即可.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且(1)1f =，所以()()()(2)2220f f f f =-=-⇒=；()()()(7)3111f f f f ==-=-=-，故选：D.9．C【分析】由题意可知，当0x ≥时，函数()f x 是周期为4的周期函数，可得(99)(4251)(1)f f f =⨯-=-，由此即可求出结果.【详解】当0x ≥时，()(4)f x f x =-，所以()(4)f x f x =+，所以当0x ≥时，函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(99)(4251)(1)f f f =⨯-=-；又(1)=3f -，所以(99)3f =.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和分段函数的概念，属于基础题.10．A【分析】由题可得()()()1331f f f ==--=--.【详解】()f x 为奇函数，对任意x ∈R 均有()()4f x f x +=，()()()1133f f f ==--∴=--.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.11．C【分析】根据函数奇偶性与周期性，得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由已知区间对应的解析式，即可得出结果.【详解】因为()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又当01x <<时，()2f x x x =-，所以5111122424f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型.12．A【分析】先求得()0f ，然后判断出()f x 是周期函数，由此求得所求表达式的值.【详解】依题意得函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可知(0)0f =，由于对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()(2015)(2012)503435034(3)(0)f f f f f f +=⨯++⨯=+(34)(1)(1)2f f f =-=-=-=-.故选：A【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.13．D【分析】首先可得()f x 是以4为周期的周期函数，又()f x 为定义在R 的奇函数，所以()00f =，从而得到()0f n =，n Z ∈，即可得解；【详解】解：因为定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以()00f =，()f x 是以4为周期的周期函数，当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，所以()10f =，因为()()()2422f f f -+=-=-，所以()20f =，()()()14110f f f -+=-=-=，即()30f =，又()()0400f f +==，所以()00f =，()10f =，()20f =，()30f =，()40f =，……，()0f n =，n Z ∈，所以()f x 在区间[]0,2021上由2022个零点；故选：D14．D【分析】由()()()12,0f x f x f x x =--->可得函数的局部周期性，从而可求()()20202021f f +的值.【详解】因为()()()12,0f x f x f x x =--->，故()()()11f x f x f x +=--，故()()()120f x f x x +=-->，所以()()()()632f x f x f x x +=-+=>-，所以()()()()()()20206336441011f f f f f f =⨯+==-=-+-=-，()()()()202163365511f f f f =⨯+==-=-，故()()202020212f f +=-，故选：D.15．D【分析】由函数()f x 为定义在R 上的奇函数且周期为4，结合对数的运算性质可得24(1log 5f -=-，而21log (2,0)--，从而有()1log 425a --=-，进而可求出a 的值【详解】解：因为4444log 80log 16log 52log 5=+=+，所以44(1log 580)f +=可化为44(3log 55)f +=，因为函数()f x 的周期为4，所以44(1log 5)5f -+=，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以44(1log 5)5f -=-，即24(1log 5f -=-因为21log (2,0)--，所以(1log 425a --=-，即45a=，解得2a =，故选：D16．C【分析】令2x x =+代入(2)()f x f x +=-即可得出(4)()f x f x +=；根据周期可得(0)(1)f f +(2)f +(2019)0f +⋯+=．由此可得结论．【详解】解：(2)()f x f x +=- ，(22)(2)f x f x ∴-+=--，即()(2)f x f x =--，又()(2)f x f x =-+，(2)(2)f x f x ∴+=-，()(4)f x f x ∴=+．()f x ∴的最小正周期是4．(0)0f = ，f (1)3=，f (2)0=，f (3)f =-(1)3=-．又()f x 是周期为4的周期函数，(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++=+++==(2016)(2017)(2018)(2019)0f f f f +++=．∴(0)(1)(2)(2021)(2020)(2021)(0)(1)033f f f f f f f f ++++=+=+=+= ，故选：C ．17．A【分析】利用函数的周期性和奇偶性求值即可．【详解】因为(1)(1)f x f x +=--，所以()(2)(4)f x f x f x =-+=+，所以()f x 是以4为周期的函数，则()()4ln 2(ln 24)(ln 2)f e f f =+=．因为12e <<，所以0ln 21<<，所以1ln 20-<-<，故()ln 211(ln 2)(ln 2)1122f f e -=--=--=-+=．故选：A18．D【分析】由已知不等式得函数的单调性，由奇偶性得函数的周期性，再利用周期性和单调性可比较函数值的大小．【详解】由对任意的1x ，()212[5,1]x x x ∈--≠，都有()()21210f x f x x x ->-，可得()f x 在[5,1]--上单调递增.由(1)y f x =+是奇函数，可得(1)(1)f x f x -+=-+，从而()(2)f x f x =--①.由(1)=-y f x 为偶函数，可得(1)(1)f x f x --=-，从而()(2)f x f x =--②.由①②得(2)(2)f x f x --=--，设2t x =-，则()(4)(8)f t f t f t =--=-，得()(8)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为8，所以(2021)(82525)(5)(3)f f f f =⨯+==-，(3)(38)(5)f f f =-=-，(22)(832)(2)f f f =⨯-=-，因为532-<-<-，()f x 在[5,1]--上单调递增，所以(5)(3)(2)f f f -<-<-，即(3)(2021)(22)f f f <<，故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是，根据(1)y f x =+是奇函数，(1)=-y f x 为偶函数，得到(2)(2)f x f x --=--，进而得到()(8)f x f x =+，从而得到函数()f x 的周期为8.实际上就是函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称，关于直线x b =（a b ¹）成轴对称，则函数为周期函数，4T a b =-是函数的一个周期．19．C 【分析】由()00f =得1a =，()1y f x =+为偶函数得()f x 关于1x =对称，故周期为4，则问题可解．【详解】()f x 为奇函数，()00f =且()f x 关于原点对称①∵[]0,1x ∈时()()2log a f x x =+，∴()2log 00a +=，∴1a =∴[]0,1x ∈时()()2log 1f x x =+，∵()1y f x =+为偶函数关于y 轴对称．则()f x 关于1x =对称②由①②可知()()()()2f x f x f x f x ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩∴()()()22f x f x f x =-=--，∴()()2f x f x +=-．∴()()()()()42f x f x f f x f x +=-+=--=，∴()f x 周期为4，()()220211log 21f f ===，故选：C ．【点睛】关键点点睛：根据函数的对称性来求周期是本题的关键点．20．C 【分析】根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质可求得结果.【详解】因为()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期4T=，因为函数()f x 的定义域为R 且满足()()f x f x -=-，所以(0)0f =，(1)(1)6f f -=-=-，所以()()22log 128log 16f f +=7422(log 2)(log 2)f f +(7)(4)f f =+()()870f f =-++(1)(0)f f =-+(1)(0)f f =-+60=-+6=-.故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性和奇偶性以及对数的运算性质求解是解题关键.21．D 【分析】由题可得()f x 是周期为2的函数，进而判断()F x 是周期为2的函数，可求得()0=0F ，102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10F =，利用周期性即可求出零点个数.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，()00f ∴=，()()()111f x f x f x +=--+=-，()f x ∴是周期为2的函数，sin y x π= 的周期为2，∴()()sin F x f x x π=+是周期为2的函数，()()00sin 00=F f ∴+=，11sin 0222F f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11sin 0F f π=+=，则在区间[]1949,2021上，()()()111949194919501950202122F F F F F ⎛⎫⎛⎫=+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是()2021194921145-⨯+=个.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出()F x 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.22．B 【分析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.【详解】()()22f x f x -=-+ ，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=，()f x ∴的周期8T =，由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，()()()1921240811f f f =⨯+=，()()()()()202125285533f f f f f =⨯+==-=，()()()1978247822f f f =⨯+=，函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<，即()()()192119782021f f f <<.故选：B 【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或()()1f x a f x +=，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +.23．A 【分析】根据条件可得出()f x 的图象关于1x =对称，()f x 的周期为4，从而可考虑()f x 的一个周期，利用[]1,3-，根据()f x 在[)0,1上是减函数可得出()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在()1,0-上是减函数，在[)2,3上是增函数，然后根据()1f x =-在[)0,1上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断()1f x =-在一个周期[]1,3-内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出()1f x =-在区间[]1,11-这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数，∴()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()4f x f x +=，∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=，当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=，方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数，在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根，从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=，当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .【点睛】本题考查了由()()2f a x f x -=可判断()f x 关于x a =对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题.24．C 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()f x f x =-,又()()22f x f x -=+，所以函数关于x=2轴对称,即()()4f x f x =-,()()4f x f x ∴-=-,函数的周期为4,且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，分别画出y=f(x)和g(x)=()log 2 (01)a x a +<<的图象,使其恰有三个交点,则需满足()()()()2266g f g f ⎧>⎪⎨<⎪⎩,即log 424log 824a a >-⎧⎨<-⎩,解得a ∈21,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,故选C.25．D 【分析】根据()f x 的周期和对称性得出不等式在(0,4]上的整数解的个数为3,计算()(1,2,3,4)f k k =的值得出a 的范围.【详解】因为偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,所以(4)(4)(4)f x f x f x +=-=-,所以()f x 的周期为8且()f x 的图象关于直线4x =对称,由于[200,200]-上含有50个周期,且()f x 在每个周期内都是轴对称图形,所以关于x 的不等式2()()0f x af x +>在(0,4]上有3个整数解,当(0,4]x ∈时,21ln 2'()xf x x -=,由'()0f x >,得02e x <<,由'()0f x <,得42ex <<,所以函数()f x 在(0,)2e 上单调递增,在(,4)2e 上单调递减,因为(1)ln 2f =,ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>,所以当(1,2,3,4)x k k ==时,()0f x >,所以当0a ≥时,2()()0f x af x +>在(0,4]上有4个整数解,不符合题意,所以0a <,由2()()0f x af x +>可得()0f x <或()f x a >-,显然()0f x <在(0,4]上无整数解,故而()f x a >-在(0,4]上有3个整数解,分别为1,2,3,所以3(4)ln 24a f -≥=,ln 6(3)3a f -<=,(1)ln 2a f -<=,所以ln 63ln 234a -<≤-.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.26．B 【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.【详解】由于[]2,211,100,011,122,23x x x x x x ⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎩ ，所以()[]2,211,10,011,122,23x x x x f x x x x x x x x x ⎧⎪+-≤<-⎪⎪+-≤<⎪=-=≤<⎨⎪-≤<⎪-≤<⎪⎪⎩，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，()f x 是非奇非偶函数，是周期为1的周期函数，且值域为[)0,1.故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.27．D 【分析】有已知条件可得()f x 函数周期为4，由()f x 为偶函数即可得sin()2sin(),[0,2]sin()2sin(),[2)),(0x x x x x f x x ππππ+∈-⎧-=+∈⎪⎨⎪⎩，由题意知在区间[]3,3-上零点问题可转化为函数()f x 与7log (2a y x =+有交点且零点个数即为函数图象交点的个数，结合函数图像分析即可求a 的取值范围【详解】由[]0,2x ∈时有()sin()2sin()f x x x ππ=+，知：(2)0f =∴()()()42f x f x f +=+⇒(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4∵在R 上()f x 为偶函数，令[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈∴()()sin()2|sin()|f x f x x x ππ=-=-+综上，周期为4的函数sin()2sin(),[0,2]sin()2sin(),[2)),(0x x x x x f x x ππππ+∈-⎧-=+∈⎪⎨⎪⎩()()7log 2a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[]3,3-上有零点，则()0g x =有7()log ()2a f x x =+，即可转化为函数()f x 与7log ()2a y x =+有交点，因为7log ()2a y x =+图象必过5(,0)2-，在[]3,3-上至多有10个交点，至少有8个交点，即可得到如下函数图象由图知：有8个交点时，7log ()2a y x =+必过3(,1)2，即5a =由图知：有10个交点时，7log ()2a y x =+必过5(,1)2，即6a =∴56a ≤≤故选：D【点睛】本题考查了函数的零点，根据函数零点的个数，并结合函数图象分析零点最多、最少时函数图象的交点情况，即可求参数范围28．C 【分析】根据()f x 的周期性和()f x 在[]1,1-上的解析式可画出()f x 在[2,5]-上的图象，再画出()g x 在[2,5]-上的图象后可得()h x 的零点的个数.【详解】因为(2)()f x f x +=，故()f x 为周期函数，且周期为2，结合[1,1]x ∈-时()||f x x =可得()f x 在[2,5]-上的图象（如图所示），又()g x 在[2,5]-上的图象如图所示，则()(),f x g x 在[2,0]-上的图象有2个交点，在[]2,5上有3个交点，下面证明：当()1,2x ∈时，总有122x x ->-．令()122xs x x -=+-，则()12ln 21x s x -'=-+，因为()1,2x ∈，故()11,0x -∈-，故11122x--<-<-，又0ln 21<<，所以112ln 0x x --<-<，所以()0s x '>，所以()s x 在()1,2为增函数，所以()1,2x ∈时，()()10s x s >=即122x x ->-总成立．又当1x =时，()()1f x g x ==，()(),f x g x 在()0,2上的图象有1个交点所以()()0f x g x -=在[2,5]-上有6个不同的解，即()h x 在[2,5]-上有6个不同的零点.故选：C ．【点睛】本题考查函数的零点的个数，对于较为复杂的函数的零点个数问题，可以转化为简单函数图象的交点个数问题，刻画简单函数图象时，注意利用周期性、奇偶性等简化图象刻画的过程，注意利用导数精准刻画图象是否有交点．29．C【分析】由(2)()f x f x +=可知周期为2，根据当11x -≤<，3()f x x =画出()f x 图象，再画出()g x 图象，由()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点得到()f x 与()g x 在[6,)-+∞上要有且仅有6个交点，根据图象得到关于a 的不等式，解出a 的范围.【详解】因为函数()y f x =对任意的x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 周期为2，因为当11x -≤<，3()f x x =，画出()f x 的图象以及log ,0()1,0a x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图象，因为函数()()()h x f x g x =-在[6,)-+∞上有6个零点，所以()f x 与()g x 在[6,)-+∞上要有且仅有6个交点，由图象可得，在y 轴左侧有2个交点，只要在y 轴右侧有且仅有4个交点，则log 71log 91a a ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，由log 71a <解得7a >或107a <<，由log 91a ≥解得19a <≤或119a ≤<，所以79a <≤或1197a ≤<，∴实数a 的取值范围是11,(7,9]97⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的图象，函数的周期性，函数的图象的应用，函数与方程，属于综合题.30．B【分析】方程()11log 50x f x --=变形为()11log 5x f x -=，()511log 1f x x =-，得()5log 1f x x =-，()0f x ≠，10x ->且11x -≠，由此作求函数()()()()0h x f x f x =≠与()5log 1g x x =-(10x ->且11)x -≠的图象，由图象交点个数得所求零点个数．【详解】由()11log 50x y f x -=-=，得()11log 5x f x -=，由换底公式，得()511log 1f x x =-，得()5log 1f x x =-，因此，求函数()11log 5x y f x -=-的零点个数，即可以转化为求函数()()()()0h x f x f x =≠与()5log 1g x x =-(10x ->且11)x -≠的图象的交点个数．另外，由函数()f x 的周期为2，可知()2x k k ≠∈Z ；函数()5log 1g x x =-需满足10x ->且11x -≠，所以0,1,2x ≠，所以函数()h x 的定义域是{}2,x R x k k Z ∈≠∈，函数()5log 1g x x =-的定义域是{}0,1,2x R x ∈≠．为此，先在同一坐标系中作出函数()()()2y h x x k k =≠∈Z 与()()5log 10,1,2g x x x =-≠的图象（如图所示），由图象可知，函数()()()()0h x f x f x =≠与()()5log 10,1,2g x x x =-≠的图象一共有8个交点，即函数()11log 5x y f x -=-的零点个数为8．故选：B ．【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是是函数零点转化为方程的根，再转化这函数图象交点个数，由数形结合思想易得结论．31．C【分析】根据函数奇偶性，以及对称性，周期性等，逐项判定，即可得出结果.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()22f x f x -+=--，又()2f x -是偶函数，所以()()22f x f x --=-，因此()()22f x f x -+=--，即()()22f x f x +=-；所以()y f x =的图象关于直线2x =对称，①正确；②要使函数()y f x =的图象关于点()4,0-对称，必须满足()4(4)0f x f x -++--=，即()4(4)0f x f x --+=，即()(8)f x f x =+，即函数()y f x =以8为周期；由①知()()22f x f x +=-，所以()()()4f x f x f x +=-=-，因此()()4()8x x f f f x =-=++，满足函数()y f x =以8为周期，故②正确；③由②知，()()4f x f x +=-，而()f x -与()f x 不一定相等，即函数()f x 不一定为零函数，因此()f x 的周期不一定是4，即③错误.故选：C.【点睛】本题主要考查函数基本性质的应用，熟记函数奇偶性与对称性，周期性等即可，属于常考题型.32．B【分析】由()()53f x f x -=+得函数图象关于直线4x =对称，又函数为偶函数，得函数是周期函数，且周期为8，区间[20,20]-含有5个周期，因此题中不等式在一个周期内有3个整数解，通过研究函数()f x 在[0,4]的性质，结合图象可得结论．【详解】∵()()53f x f x -=+，∴函数图象关于直线4x =对称，又函数为偶函数，∴函数是周期函数，且周期为8，区间[20,20]-含有5个周期，关于x 的不等式()()()210f x a f x a +++<在[4,4]-上有3个整数解．[0,1)x ∈时，2()24f x x x =-+是增函数，[1,4]x ∈时，()2ln f x x x =-，2()1f x x '=-，12x ≤<时，()0f x '<，()f x 递减，24x <≤时，()0f x '>，()f x 递增，2x =时，()f x 取得极小值(2)22ln 2f =-，(1)1f =，(3)32ln 31f =-<，利用偶函数性质，作出()f x 在[4,4]-上的图象，如图．由()()()210f x a f x a +++<得[()1][()]0f x f x a ++<，若0a -≤，则原不等式无解，故0a ->，1()f x a -<<-，要使得不等式1()f x a -<<-在[4,4]-上有3个整数解，则22ln 232ln 3a -<-≤-，即2ln 332ln 22a -≤<-．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的整数解问题，考查了函数的奇偶性、对称性、周期性，用导数研究函数的单调性、极值等，考查的知识点较多，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，属于难题．33【分析】直接利用函数的周期性可得()(22)2f f =，从而可得答案．【详解】因为10是函数()y f x =的周期，所以()(22)(1210)(12)(102)2f f f f f =+==+==．．34．1【分析】依据题意可知函数的周期，然后简单计算即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 是以4为周期的周期函数，则()()()()()245051202111121f f f f ⎡⎤===--=---=⎣⎦⨯+.故答案为：135．89【分析】根据题意，得出()()2f x f x +=，得到()f x 是最小正周期为2的周期函数，从而算出()229log 9log 4f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由(]0,1x ∈时，()2x f x =，结合()()11f x f x +=，算出22918log 949log 8f f ⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭，即可得到所求的函数值.【详解】()()11f x f x += ，()()()121f x f x f x ∴+==+，可得()f x 是最小正周期为2的周期函数，8916,21<<> ，222log 8log 9log 16∴<<，即()2log 93,4∈，因此()()2229log 9log 92log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，222911log 994log 1log 48f f f ⎛⎫== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，而29log 8299log 288f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()222918log 9log 949log 8f f f ⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭，故答案为：89.36．4.5【分析】由()1()f x f x +=-，可知函数()f x 的周期为2，所以()()51f f -=-，()()4.50.5f f =，再根据函数表达式将(1)(0.5)f f -，计算出来，根据()()5 4.5f f -=求得 4.5a =.【详解】因为()1()f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2；又因为()()512f f a -=-=-，()()4.50.5 2.5f f ==，()()5 4.5f f -=，所以2 2.5a -=，即 4.5a =.故答案为：4.5.【点睛】若()()f x a f x +=-说明函数的周期为2a ，若()()f x a f x +=说明函数的周期为a ，若()()f a x f x -=说明函数图像关于直线2a x =对称，若()()f a x f x -=-说明函数图像关于点(,0)2a 对称.37．2+【分析】由1()(4)=--f x f x 得()f x 的周期为8，根据周期可得()()20251=f f 即可得结果．【详解】∵1(2)()1(2)f x f x f x +-=--∴1(4)(2)1(4)f x f x f x +--=--．代入得1(4)1211(4)()1(4)2(4)(4)11(4)f x f x f x f x f x f x f x +-+--===-+-------．∴()()8f x f x =-，即()f x 的周期为8．∴()()()20252538112f f f =⨯+==故答案为：2+【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由1()(4)=--f x f x 得周期，再结合周期性质即可．38．(2019,2021)。

函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数f (x )，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有f (x +T )=f (x )，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、f (x )=f (x +a )，则y =f (x )是以T =a 为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数f (x +a )=f (x -a )，则f (x )是以T =2a 为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=是它的一个周期。

6、f (x +a )=1-f (x )，则f (x )是以T =2a 为周期的周期函数.1+f (x )-1(a>0),则f (x )1f (x )(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一f(x)为周期函数且2a7、f (x +a )=-1+f (x )1-f (x )，则f (x )是以T =4a 为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数y =f (x )(x ∈R )的图象关于两点A (a ,y 0)、B (b ,y 0)(a <b )都对称，则函数f (x )是以2(b -a )为周期的周期函数；10、函数y =f (x )(x ∈R )的图象关于A (a ,y 0)和直线x =b (a <b )都对称，则函数f (x )是以4(b -a )为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。

1、给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题: ①()y f x =的定义域就是R ,值域就是11(,]22-; ②点(,0)k 就是()y f x =的图象的对称中心,其中k Z ∈; ③函数()y f x =的周期为1;④函数()y f x =在13(,]22-上就是增函数 上述命题中真命题的序号就是( ) A 、 ①② B 、 ②③ C 、 ①③D 、 ②④2、设()f x 就是(,)-∞+∞上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时有()2f x x =,则(2015)f =( )A 、 1-B 、 2-C 、 １D 、 23、函数21()(1cos 2)sin ,2f x x x x R =+∈就是( ) A 、 最小正周期为π的奇函数B 、 最小正周期为2π的奇函数 C 、 最小正周期为π的偶函数 D 、 最小正周期为2π的偶函数4、已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<,若()13f π=,则()f x 的最小正周期为( )A 、 πB 、32πC 、 2πD 、 4π 5、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,当[3,1)x ∈--时,2()(2)f x x =-+,当[1,3)x ∈-时,()f x x =,则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=( )A 、 336B 、 355C 、 1676D 、 20156、在数列{}n a 中,已知122,7a a ==,记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +,则2015a =_________.7、函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期就是_______.8、函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_______.9、函数()f x 就是定义在R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时,()2f x x =,若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围就是________.10、已知函数()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,若(1)1f =,则(8)(9)f f +=____.11、设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =就是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它就是周期为2的周期函数; ②函数()f x x =就是“似周期函数”; ③函数-()2xf x =就是“似周期函数”;④如果函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,那么“,k k Z ωπ=∈”. 其中就是真命题的序号就是_____、(写出所有满足条件的命题序号)12、已知函数21()sin 22f x x x =+,则()f x 的最小正周期就是_______;如果()f x 的导函数就是()f x ',则()6f π'=_______.答案与解析1、2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题 答案:C 分析:2、2015年广西省玉林市4月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题 答案:B分析:∵(2)()f x f x +=-,得(4)()f x f x +=,∴周期为4T =, 又∵函数为奇函数,(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-, 故选B .3、2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案:A 分析:4、2015年天津市与平区高三二模文科数学试题第4题 答案:A分析:因为函数()4cos sin()1,()2sin()1133f x x x f ππϕϕ=+-=+-=,所以sin()13πϕ+=,由0ϕπ<<可得333πππϕπ<+<+,∴,326πππϕϕ+=∴=,故:2()4cos sin()12sin cos 13f x x x x x x π=+-=+-sin 2212sin(2)13x x x π=+=+,则()f x 的最小正周期为22ππ=,故选A . 5、2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题 答案:A 分析:由题意得(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-==则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-,所以(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A .6、2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题 答案:2分析:122714a a =⨯=,所以34,4728a =⨯=,所以428,4832a =⨯=,所以52,2816a =⨯=,所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起, n a 的值成周期排列,周期数为6,201533565=⨯+ ,所以201552a a ==. 7、2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题 答案:π分析:利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为()cos 2f x x =-,所以最小正周期22T ππ==. 8、2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题 答案:2π 9、2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题 答案:2253a << 分析:因为函数()f x 为偶函数,且当[0,1]x ∈时,()2f x x =,所以当[1,0]x ∈-时,()2f x x =-,又因为函数()f x 为周期为2的周期函数,所以画出函数()f x 在[2,3]-上的图象如图所示,则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点,则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----,即2253a <<.10、2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案:1分析:因为()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,所以()f x 就是以4为周长的奇函数,所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=.11、2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题 答案:①③④分析:利用新定义逐一判断、若函数()y f x =的“似周期”为1-,则(1)()(1)f x f x f x -=-=+,即它就是周期为2的周期函数,所以①正确;若()f x x =就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==,显然不可能,所以②错误;若()2xf x -=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()2()2x T x f x T Tf x T -+-+===,即12()2T T T -==,而已知函数1(),2x y y x ==的图象有一个交点,即非零常数T 存在,所以③正确;若函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==,则1T =±,此时cos()cos x w x ωω±=±,所以,k k Z ωπ=∈,所以④正确,综上所述,真命题的序号就是①③④、12、2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题 答案:π,1- 分析:21()sin 22f x x x =1cos 2111sin 2)sin 22sin(2)2222232x x x x x π+=+=++=++ 所以()f x 的最小正周期为22ππ=,()f x 的导函数()2cos(2)3f x x π'=+,则()2cos(2)1663f πππ'=⨯+=-、。

函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。

证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。

1.给出定义：若m - 1x m + 1 (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作 22｛x ｝，即｛x ｝=m ，在此基础上给出下列关于函数 f (x ) = x -｛x ｝的四个命题：① y = f (x )的定义域是R ，值域是(- , ］； ② 点(k ,0)是y = f (x )的图象的对称中心，其中k Z ；③ 函数 y = f (x )的周期为1； ④ 函数 y = f (x )在(- 1, 3］上是增函数上述命题中真命题的序号是( )A. ①② D. ②④2.设 f (x )是(-,+)上的奇函数， f (x +2)=-f (x )，当0x 1时有 f (x )=2x ，则f (2015) = ()3.函数 f (x ) = 1 (1+cos2x )sin 2 x , x R 是(为(5.定义在R 上的函数 f (x )满足 f (x +6)=f (x )，当x［-3,-1)时，f (x )=-(x +2)2，当x [-1,3)时， f (x )=x ，则 f (1)+ f (2)+ f (3) +...+ f (2015)=( )6.在数列｛a n ｝中，已知a 1 = 2,a 2 = 7，记a n 与a n +1(n N +)的积的个位数为a n +2，则a 2015B. ②③C. ①③ A. -1B. -2C. １D. 2B.最小正周期为 的奇函数 2D.最小正周期为的偶函数2A. 最小正周期为 的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数4.已知函数 f (x )=4cos x sin(x +)-1(0)，若 f ()=1，则 f (x )的最小正周期A.B. 32C. 2D. 4A. 336B. 355C. 1676D. 20157.函数f (x) =sin2x -cos2x的最小正周期是 ______ ．8.函数f (x) = sin 2x - 4sin x cos3x( x R)的最小正周期为___ ．9.函数f (x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x)．当x［0,1］时，f(x)=2x，若在区间［-2,3］上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____ ．10.已知函数f (x)是R上的奇函数，且f (x + 2)为偶函数，若f(1)=1，则f(8)+f(9)=11.设函数y= f (x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x D，都有f(x+T)=T f (x) ，则称函数y = f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y= f(x)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数” y = f(x)的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f(x)= x是“似周期函数”；③函数f (x) = 2-x是“似周期函数”；④如果函数f (x) = cos x是“似周期函数”，那么“= k,k Z”．其中是真命题的序号是 __ .(写出所有满足条件的命题序号)12.___________________________________________________________ 已知函数f (x) = 1 sin 2x + 3 cos2x，则f (x)的最小正周期是_________________________ ；如果f(x)的导函数是f(x)，则f() = _ ．6答案和解析1.2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题答案：C 分析：2.2015年广西省玉林市4 月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第 5 题答案：B 分析：∵ f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x)，∴周期为T =4，又∵函数为奇函数，f (2015) = f(5044-1)= f(-1)=-f(1)=-2，故选B．3.2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9 题答案：A分析：4.2015年天津市和平区高三二模文科数学试题第4题答案：A分析：因为函数f (x) = 4cos x sin(x +) -1, f()=2sin(+)-1=1 ，所以sin(+) =1，由0 可得 ++ ，∴ += ,= ，故:3 3 3 3 2 6f (x) = 4cos x sin(x+)-1= 2sin x cos x +2 3cos2x-1= sin 2x + 3 cos 2x + 3 -1 = 2 sin(2x + ) + 3 -1，2则f (x)的最小正周期为2 =，故选A．5.2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7 题答案：A 分析：由题意得f(1)=1, f (2) = 2, f(3)= f(-3)=-1, f(4)= f(-2)=0, f(5)= f(-1)=-1, f(6)= f(0)=0, 则f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(5)+ f(6)=1,又因为2015=6336-1，所以f(1)+ f(2)+ f(3)+L + f (2015) = 3361- f (6) = 336,故选A．6.2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题答案：2分析：a1a2=27=14 ，所以a3 =4,47=28 ，所以a4 =28,48=32 ，所以a5=2,28=16，所以a6=6,a7=2,a8=2,a9= 4, a10= 8, a11= 2,所以从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6 ，2015 = 335 6 + 5 ，所以a2015=a5=2．7.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题答案：分析：利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期．因为f (x) =-cos2x，所以最小正2周期T =2=．28.2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题答案：答案：29.2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题22答案：a53分析：因为函数f (x)为偶函数，且当x［0,1］时，f(x)=2x，所以当x［-1,0］时，f (x) = -2x，又因为函数f (x)为周期为2的周期函数，所以画出函数f(x)在［-2,3］上的图象如图所示，则方程ax+2a- f(x)=0在［-2,3］上有4个不相等的实数根等价于函数f (x)的图象与直线y = ax + 2a = a(x + 2)在［-2, 3］上有4个交点，则图易得实数a应满足2-0 2-0 22a，即a．3- (-2) 1- (-2) 5310.2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案：1 分析：因为f (x)是R上的奇函数，且f (x + 2)为偶函数，所以f (x)是以4为周长的奇函数，所以f(8)+ f(9)= f(0)+ f(1)=1．11.2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题答案：①③④ 分析：利用新定义逐一判断 . 若函数y= f(x)的“ 似周期” 为-1 ，则f(x-1)=-f(x)= f(x+1)，即它是周期为2的周期函数，所以①正确；若f(x)=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f(x+T)=x+T = Tf (x) = Tx，显然不可能，所以②错误；若f(x)=2-x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f(x+T)=2-(x+T)=Tf(x)=T2-x，即2-T=(1)T=T，而已知函数y = (1)x, y = x的图象有一个交点，即非零常数T存在，所以③正确；若函数f (x) = cos x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x R满足f (x +T) = cos[(x +T)] = Tf (x) = T cos x，则T = 1，此时cos(x w) = cos x，所以= k, k Z，所以④正确，综上所述，真命题的序号是①③④.12.2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题答案：，-1分析：f(x)=1sin2x+3cos2x= 2sin2x+ 3( 2 )= 2sin2x+ 2 cos2x+ 2=sin(2x+ 3)+22所以f(x)的最小正周期为2=，f(x)的导函数f(x)=2cos(2x+) ，则f() = 2cos(2 + ) = -1.。

函数周期性（拔尖）肖老师提醒：请同学们根据自己能力、时间合理安排好一、单选题1．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若,x y D ∈，则()()f x A f y ∈；（2）若,x y D ∈，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是（ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得()20212020f x =； ④对任意x D ∈，都有()2f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ） A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 3．已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，若数()f x 在区间[2,2]-上有5个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11b -<≤B ．1544b ≤≤ C ．11b -<≤或54b =D ．114b <≤或54b =4．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，对任意的实数x 都有()f x = 32f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且()11f -=，()01f =-，则()()()()1232019f f f f ++++的值为（ ） A ．0B ．1C ．-673D ．6735．给出定义：若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x ”亲密的整数”记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个说法： ①函数()y f x =在(0,1)是增函数； ②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数()y f x =在1(,)()2k k k Z +∈上单调递增④当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，其中说法正确的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,97．已知函数()f x 满足(1)1()f x x R +=∈，则()()12020f f +的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．48．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且满足f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，则方程f （x ）=281x x -+在（0，+∞）解的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论： 甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是． A ．甲，乙，丁B ．乙，丙C ．甲，乙，丙D ．甲，丁10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有(2)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()1f x x =-+.若2[()]()30a f x bf x -+=在[1,5]-上有5个根(1,2,3,4,5)i x i =，则12345x x x x x ++++的值是A ．10B ．9C ．8D ．7二、多选题11．已知函数f (x )满足：当-<3≤0x 时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（ ） A ．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B ．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C ．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D ．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数(5)()f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有16个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是______13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________① 对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =； ② 函数()f x 的值域是[0,)+∞；③ 存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④ “函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条 件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对m Z ∀∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219nf +=；15．已知偶函数()f x 是定义域为R 且最小正周期为2的周期函数.当[]2,3x ∈时，()()23f x x =-.若函数()()()()log 11a F x x f x a =+->在R 上恰有6个零点，则实数a的取值范围是________.16．函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示.函数()g x 是定义域为R 的偶函数，满足()()2g x g x +=，且当[]1,0x ∈-时，()()g x f x =.给出下列三个结论：①()112g =； ②不等式()0g x >的解集为R ；③函数()g x 的单调递增区间为[]2,21k k +，k ∈Z . 其中所有正确结论的序号是______.17．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=； ②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________. 18．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论： ①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.19．偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________． 20．已知函数12019()ln 112019x x a x f x a x-+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()2(1)log 25g f f ⎛=+ ⎝，则()2019g =___________.21．n ∈*N ，(){[()]}n n ff x f f f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，若2(1),01()1,12x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，则20198()9f =________.四、解答题22．已知函数2()log ()f x x a =+； （1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上的奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤，()()g x f x =，求()g x 在[1,0]-上的解析式；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式2321log 382x x t g +⎛⎫-≥- ⎪+⎝⎭在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.23．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立．（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[],a a -，证明：函数()f x 为周期函数． 24．设函数()f x 在R 上满足()()33f x f x +=-，()()88f x f x +=-，且 在闭区间[]0,8上只有()()()1570f f f ===．（1）求证函数()f x 是周期函数；（2）求函数()f x 在闭区间[]10,0-上的所有零点；（3）求函数()f x 在闭区间[]2012,2012-上的零点个数及所有零点的和．25．函数()f x 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x ，在定义域中存在12,x x 使()()1212,x x x f x f x =-≠，且满足以下3个条件. （1）12,x x 是()f x 定义域中的数，()()12f x f x ≠，则()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；（2）()1,(f a a =是一个正的常数）； （3）当02x a <<时，()0f x >. 证明：（I ）()f x 是奇函数；（II ）()f x 是周期函数，并求出其周期； （III ）()f x 在()0,4a 内为减函数.26．1已知函数()0)f x ax x =+≥，()g x =，,a b ∈R ,且(0)2g =，2f =（1）求()f x 、()g x 的解析式；（2）()h x 为定义在R 上的奇函数，且满足下列性质：①(2)()h x h x +=-对一切实数x 恒成立；②当01x ≤≤时[]21()()log ()2h x f x g x =-+. （ⅰ）求当13x -≤<时，函数()h x 的解析式； （ⅱ）求方程1()2h x =-在区间[0,2012]上的解的个数.参考答案1．B 【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数()f x 所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解. 【详解】解：对①：若()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=.令y x =-，由（2）知0A ∈， 而与（1）()0f x ≠矛盾，所以①错误. 对②：若()f x 为周期函数，则f x Tf x (其中T 为非零常数)，当()f x （比如()tan f x x =）值域()(),00,A =-∞⋃+∞时，令y x T =+，则（1）()()1f x A f y =∈成立；（2）()()()2f x f y f x A +=∈也成立，故②正确.对③：由②可知，存在x D ∈，使()f x 为任意非零常数，所以可使()20212020f x =，故③正确. 对④：令y x =，则由（1）知1A ∈，从而()1A f x ∈，所以()()()21f x f x A f x =∈， 所以④正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：牢牢抓住()f x 所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断. 2．D 【分析】根据条件判断函数周期为4，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为()f x 与直线y x b =+只有一个交点，结合函数图像，即可求解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数， ()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-，(2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x =[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像，如下图所示： 令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点， 同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点， 则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4， b 范围也表示为11544b <<， 所以所有b 的取值范围是11544,44k b k k Z +<<+∈. 故选:D.【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问题的关键，综合性较强，属于难题. 3．D 【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±2是函数()f x 的零点，将函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，转化为当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，由此构造关于b 的不等式组，解不等式组可得实数b 的取值范围. 【详解】解：由题意知，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即0是函数()f x 的零点，因为()f x 是定义在R 上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)f f -=，且(2)(2)f f -=-，则(2)(2)0f f -==， 即2±也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，且当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，所以当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，即214(1)=011122b b ∆=--⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩或2214(1)000102210b b b ∆=-->⎧⎪-+-≤⎨⎪-+->⎩， 解得114b <≤或54b =.故选：D. 【点睛】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大. 4．D 【分析】由()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，我们容易得出函数的最小正周期为3，进而由()()1101f f -==-，，我们求出一个周期内的函数值，进而利用分组求和法，得答案. 【详解】∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可知，∴()32f x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴()()33322f x f x f x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以，()f x 是周期为3的周期函数，则()()()21311f f f =-+=-=同理()()()30301f f f =+==-，∵3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，∴有()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∴()51122f f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()1212f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴()11f =综上，()11f =，()21f =，()31f =-，()()()1231f f f ++= ∴()()()201912201916733f f f +++=⨯= 故选：D 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用 5．B 【分析】由{}()||f x x x =-，可证(1)()f x f x +=，()f x 是周期为1的函数，求出11(,]22x ∈-的解析式，做出11(,]22x ∈-函数图像，利用周期性做出函数()f x 的图像，以及函数21|2|2y x =-图像，即可判断①②③④真假，得出结论.【详解】{}{}|(1)|)1||(111f f x x x x x x =-=+=+-++-，()f x ∴的周期为1，当0m =时，11(,]22x ∈-，102()102x x f x x x x ⎧--<≤⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩，先做出11(,]22x ∈-函数()f x 图像，利用周期做出()f x 图像如下图所示：()f x 在(0,1)不具有单调性，①错误；函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，②正确； 函数()y f x =在1(,),2k k k Z +∈上单调递增，③正确；当1(0,]2x ∈时，21(),()22f x xg x x x ==+-，令21()0,202g x x x =+-=，解得x =或x =， 当1(,1]2x ∈时，23()1,()22f x x g x x x =-+=--+，令23()0,202g x x x =+-=，解得xx =， (1,2]x ∈时，()g x 无零点，当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，④正确. 故答案为:B.【点睛】,本题考查新定义函数的性质，涉及到周期、单调性、对称性、零点，考查数形结合思想，属于较难题. 6．D 【分析】根据题意可知()f x 是在R 上的奇函数且关于x=1对称，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，等价于()f x 和log a x 有3个交点，当[]0,1x ∈时，函数()f x 的解析式已知，用数形结合的方法可求得a 的取值范围。

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

函数周期性1.设偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有)(1)3(x f x f -=+，且当[]2,3--∈x 时，x x f 2)(=,则)5.113(f 的值为( ) A.72- B.72 C.51- D.51 2.已知)(x f 是周期为4的偶函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，求)5.1(),5.6(-f f ，)5.5(f 3.是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)＞f(7)B.f(6)＞f(9)C.f(7)＞f(9)D.f(7)＞f(10)5.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)＝-f (x )，则f (6)的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)26.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－)(1x f ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.57.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝)(1)(1x f x f -+，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.139.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）A 、(25)(11)(80)f f f -<<B 、(80)(11)(25)f f f <<-C 、(11)(80)(25)f f f <<-D 、(25)(80)(11)f f f -<<10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++= 。

函数周期性分类解析X,使f(X T) f (x)恒成立一.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二.重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期3、若函数fxa f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ——(a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周f x期。

6 f(x a) 1 f(x)，则f x是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)吃，则fx是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1一型(x € R, a>0)则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a都对称，则f(x)为周期函数且2(b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R的图象关于两点A a,y0、B b,y0 a b都对称，则函数f(x)是以2 b a为周期的周期函数；11、函数y f(x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)a>0)则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(xXx € R, T M 0),则f(T)=0.函数的周期性练习题高一一•选择题(共15小题)1 .定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (- x ) = - f (x ), f (x - 2) =f (x+2)且 x € (-1, 0)时，f (x ) =2x + ,则 f (Iog 220)=()5 52. 设偶函数f (x )对任意x€R ,都有f (x+3) = - ■，且当x €[ - 3,- 2]f ⑴时，f (x ) =4x ，则 f (107.5) = () A . 10 B .丄 C .- 10 D .-丄10 103.设偶函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-- 且当x €[ - 3,- 2]时ff 3J(x ) =4x ，则 f (119.5) = () A . 10 B .- 10 C.丄 D .—丄10 104. 若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =3,则f (8) -f (4)的值为( )A . - 1 B . 1 C .- 2 D . 25. 已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x €( 0, 2]时，f (x ) =2x +log 2x ,则 f (2015) = () A . - 2 B . - C . 2 D . 5 6 .设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(- 2, 1］上的图象，贝U f (2014) +f (2015) = ()A . 3B . 2C . 1D . 07.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足： —'一一f (我)二-一 ,当 2 強 W, f (x ) =x ,则 f (5.5)' r =f一 J —一一一. ()A . 5.5B . - 5.5 C . - 2.5 D . 2.5------ --------------8. 奇函数 f (x )满足 f (x+2) =-f (x ),当 x € (0, 1)时，f (x ) =3x 4，则 A . -2 B .-舟C . + D . 2 & 69. 定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0,且周期是4,若f (1)A . 1B .C . - 1D .-f (log 354)=()=5,则f (2015) ( ) A . 5 B . - 5 C . 0 D . 310 . f (x)对于任意实数x满足条件f (x+2) = 1，若f (1) =-5,贝Uf IxJf (f (5)) = ( ) A . - 5 B .-_ 15C二D . 511 .已知定义在R上的函数f (x) 满足f(x+5) =f (x - 5), 且0強屿时，f (x) =4 - x，则f (1003)=( ) A.- 1 B . 0 C . 1 D . 212 •函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0喊V 2时f (x) =x2- x, 则函数y=f (x)的图象在区间［0, 6］上与x轴的交点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 913. 已知函数f (x)是定义在(-3 +〜上的奇函数，若对于任意的实数x刃, 都有f (x+2) =f (x),且当x €［0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),则f (2014) +f(-2015) +f (2016)的值为( )A . - 1 B.- 2 C . 2 D. 114. 已知f (x)是定义在R上且周期为3的函数，当x €［0, 3)时，f (x) =|2x2 -4x+1|,则方程 f (x)=丄在［-3, 4］解的个数( )A . 4B. 8C. 9 D . 1015. 已知最小正周期为2的函数f (x)在区间［-1, 1］上的解析式是f (x) =x2, 则函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数是( )A. 3 B.4 C.5 D. 6二 .填空题(共10小题)16. 已知定义在R上的函数f (x),满足f (1)二，且对任意的x都有f (x+3)= -，则f (2014) = ______________ .- f (真丿17 .若y=f (x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f (x)是偶函数，当x €［0,1］时，f (x) =2x- 1,则函数g (x) =f (x)- Iog5|x|的零点个数为 _______________ .T logo (8 - x) ,18 .定义在R上的函数f (x)满足f (x)，则［£(x-O -f (M-2),K>0f (2013)的值为______________ .19. 定义在R上的函数f (x)的图象关于点(-三，0)对称，且满足f (x)=4-f (x+土), f (1) =1, f (0) =- 2,则 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2010) 的值为= .20. 定义在R上的函数f (x)满足:f (对¥，当x€ (0, 4)时，1+f I K Jf (x) =x2- 1,则f (2011) = _____________ .21 .定义在R上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3喊V- 1时，f (x)= -(x+2) 2,当-1 強V3 时，f (x) =x .贝Uf (1) +f (2) +f (3) +-+f (2012) = _______________ .22 .若函数f (x)是周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =2，则f (8) -f (14) =.23 .设f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f (2)> 1, f (2014)则实数a的取值范围是24.设f (x )是周期为2的奇函数，当0喊勻时，f (x) =2x (1 - x),则…Ifsinx, nn TT25•若f(x+2 )= ’，、一，则f(斗+2)?f(- 14)= .log2\ - s) p 尺QL 4三.解答题(共5小题)26. 设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f (x+2) = - f (x), 当x q0，2］时，f (x) =2x - x2(1)求证：f (x)是周期函数；(2)当x €［2，4］时，求f (x)的解析式；(3)计算:f (0) +f (1) +f (2) + --+f (2004).27. 函数f (x)是以2为周期的偶函数，且当x如，1］时，f (x) =3x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0］上的解析式；(2)求f 的值.328. 已知定义域为R的函数f (x)为奇函数，且满足f (x+4) =f (x)，当x q0，1］时，f (x) =2x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)求 f ［24)的值.I29. 已知函数f (x)既是奇函数又是周期函数，周期为=x2- 3,且x €［0，1］时，f (x)x+2，求f (-2014)的值.30•定义在R上的奇函数f (x)有最小正周期2, 且当x € (0, 1)时，f (x) =2x+2「x.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)判断f (x)在(-2,- 1) 上的单调性，并给予证明.函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一•选择题(共15小题)1.【解答】解：•••定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) =-f (x ), •••函数f (x )为奇函数又••• f (x - 2) =f (x+2)•••函数f (x )为周期为4是周期函数 又 T Iog 232> Iog 220> Iog 2l6 ••• 4v Iog 220v 5••• f (Iog 220) =f (Iog 220 - 4) =f (logQ ) = - f (-logQ ) = - f (logi )2【解答】解：因为 f( x+3) = -.「，故有 f(x+6 ) = -. • =- 「 =ff IxJf t - £一 f G)(x ).函数f (x )是以6为周期的函数.(6X 17+5.5) =f (5.5)=-=-1 .1 4X i £5) '10f (107.5) =f 故选B3.【解答】解：•••函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-1 f (x-3),• f (x+3)则 f (x+6) 即函数f (x )的周期为6,• f (119.5) =f (20X5-0.5) =f (- 0.5)=-又•••偶函数f (x ), 当 x € - 3,- 2］时，有 f (x ) =4x , 1 • f (119.5)=- f (2.5)~ f ( - 2. 5)11 f ( - 0.訐3)f (2.5)111 i.故选： 4X ( -2. 5)=1C .4.【解答】解：f (x )是R 上周期为5的奇函数，f (- x ) = - f (x ), ••• f (1)= - f (- 1),可得 f (- 1) =-f (1) =- 1, 因为 f (2) =-f (2),可得 f (- 2) = - f (2) =-3,• f (8) =f (8- 5) =f (3) =f (3- 5) =f (-2) =-3, f (4) =f (4 - 5) =f (- 1) = - 1, • f (8)- f (4) =- 3-( - 1) =-2,故选 C ; 5.【解答】解：T f (x )的周期为4, 2015=4X504- 1, • f (2015) =f (- 1),又••• x € (- 1, 0)时，f (x ) • f (険)=1故 f (Iog 220) = - 1故选 C又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以 f (2015) =-f (1) =-21 - log 2l=- 2,故选:A . 6•【解答】解：由图象知f (1) =1, f (- 1) =2, ••• f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数， ••• f (2014) +f (2015) =f (1) +f (- 1) =1+2=3, 故选：A 7. 【解答】解:(x )f (x+4) =f (x ),即函数f (x )的一个周期为4 ••• f (5.5) =f (1.5+4) =f (1.5) ••• f (x )是定义在R 上的偶函数••• f (5.5) =f (1.5) =f (- 1.5) =f (- 1.5+4) =f (2.5) ■/ 当 2^x <3, f (x ) =x ••• f (2.5) =2.5 ••• f (5.5) =2.5 故选 D 8. 【解答】解：T f[ (x+2) +2]=- f (x+2) =f (x ), ••• f (x )是以4为周期的奇函数， 又f (log 354) =f (log^3) =f (4+1 堆誇)=f ( log 3|) =f (- log 3|)二-f ( log 3|)9. 【解答】解：在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0 则：f (- x ) = - f (x )所以函数是奇函数 由于函数周期是4,所以 f (2015) =f (504X4- 1) =f (- 1) =- f (1) = - 5 10. 【解答】解：：f (x+2) =f (：) • f (x+2+2) =「： { =f (x )• f (x )是以4为周期的函数 • f (5) =f (1+4) =f (1) = - 5••• f (log 354) = — 2,故选:A .= 1 - 1 =1 f (- 1+25 ] f ⑴f (f (5)) =f (- 5) =f (- 5+4) =f (- 1)又••• f (- 1)故选：B f (工+4)=- ---------- ---f 〔戒)=f则函数f (x )是周期为10的周期函数，则 f (1003) =f (1000+3) =f (3) =4 - 3=1, 故选: 12. 【解答】解：当v 2时，f (x ) =x 2- x=0解得x=0或x=1, 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 故f (x ) =0在区间［0, 6)上解的个数为6,又因为f (6) =f (0) =0,故f (x ) =0在区间［0, 6］上解的个数为7, 即函数y=f (x )的图象在区间［0, 6］上与x 轴的交点的个数为7,故选：B .13. 【解答】 解：T f (x+2) =f (x ), • f (2014) =f (2016) =f (0) =log 21=0, ••• f (x )为 R 上的奇函数，• f (- 2015) =-f (2015) =-f (1) =- 1. • f (2014) +f (- 2015) +f (2016) =0 - 1+0= - 1 .故选 A .14. 【解答】解：由题意知，f (x )是定义在R 上且周期为3的函数, 当 x q 0, 3)时,f (x ) =|2x 2- 4x+1|,由图象可知：函数y=f (x )与y==在区间［-3, 4］上有10个交点(互不相同)，所以方程f (x ) — 在［ - 3, 4］解的个数是10个，故选：D . 15. 【解答】解：•••函数f (x )的最小正周期为2, • f (x+2) =f (x ),••• f (x ) =x , y=g (x ) =|log 5x| •作图如下：二f (f (5)) =-* 故选B11.【解答】解：T f(x+5) =f (x - 5), ••• f (x+10) =f (x ),C . 在同一坐标系中画出函数 f (x )与、七的图象如下图:•函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数为5,故选：C二•填空题(共10小题)16. 【解答】解：•••对任意的x都有f (x+3)=-f1f (x+6)= =f (x),-f C K+3)•函数f (x)为周期函数，且周期T=6 , • f (2014) =f (335>6+4) =f (4)=f (1+3) =----------- = - 5 故答案为：-517【解答】解：当x €[0, 1]时，f (x) =2x- 1,函数y=f (x)的周期为2,x €[ - 1, 0]时，f (x) =2-x- 1,可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g (x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x >5时，y=log5|x|> 1,此时函数图象无交点，如图：又两函数在x >0上有4个交点，由对称性知它们在x v 0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g (x) =f (x) - log5|x|的零点个数为8；故答案为8；f (x+1) =f (x ) - f (x — 1) =f (x - 1)- f (x - 2)- f (x - 1), ••• f (x+1) =- f (x -2), 即 f (x+3) = - f (x ),• f (x+6) =f (x ),即当x >0时，函数的周期是6.• f (2013) =f (335>6+3) =f (3) =-f (0) =- log 2 (8-0) =- log 28=- 3, 故答案为：-3.19.【解答】解：由f (x ) =- f (x+一)得f=f (x ).所以可得f (x )是最小正周期T=3的周期函数；由f (x )的图象关于点(-仝，0)对称，知(x , y )的对称点是(-卫-x ,- 4 2y ).即若 y=f (x ),则必-y=f (-弓-x )，或 y= - f (-专-x ). (-x ) =f (x ),故知f (x )又是R 上的偶函数. 于是有：f (1) =f (- 1)=1; f (2) =f (2-3) =f (- 1) =1; f (3) =f (0+3)=f (0) = - 2 ；• f (1) +f (2) +f (3) =0，以下每连续3项之和为0. 而 2010=3>670,于是 f (2010) =0;•函数f (x )是周期函数且T=4 , • f (2011) =f (4 >502+3) =f (3),•••当 x € (0, 4)时，f (x ) =x 2- 1, • f (3) =8.即 f (2011) =8.故答案为: 8. 21. 【解答】解：•••当-3喊V- 1 时，f (x ) =-(x+2) 2,••• f (- 3) =- 1, f (- 2) =0, •••当—1 <X V 3 时，f (x ) =x ,-f (X - 2),(x+E ),故 f (-呂-x ) =f而已知f (x ) =-f今以x 代x+一，得f 故答案为0.20.【解答】解：由题意知,则令x=x+2代入得,=f (x - 1) (x+3) =f[-f ( (x),--'j 1+f (Q ，••• f (- 1) =- 1, f (0) =0, f (1) =1, f (2) =2,又■/ f (x+6) =f (x).故 f (3) =- 1, f (4) =0, f (5) =- 1, f (6) =0,又••• 2012=335^3+2,故f (1) +f (2) +f (3) +・・+f (2 012) =335>{f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) ]+f (1) +f (2) =335+1+2=338,故答案为：33822. 【解答】解：由题意可得，f (8) =f (8- 10) =f (- 2) =-f (2) =-2,f (14) =f (14 - 15) =f (- 1) = - f (1) = - 1, 故有f (8)- f (14) =-2-( - 1) =- 1,故答案为-1.23. 【解答】解：解：由f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则 f (x+3) =f (x), f (- x) = - f (x),••• f (2014) =f (3 >672 - 2) =f (- 2) =-f (2),又 f (2)> 1 ,••• f (2014)V- 1 ,即—1V- 1,即为「计V 0 ,a+1 a+1即有(3a- 2) (a+1)v 0,解得,-1V avg ,故答案为：- !<a<^."-1324. 【解答】解：T f (x)是周期为2的奇函数,当0喊<1时，f( x) =2x (1-x), •••f〔-鲁)=f (£) =-f 垮)=-2> (1,)=退,故答案为：-言.25. 【解答】解：由题意可得f ( +2) =sin二J 4=sin (6n-色、=-si=-渥,4 4 2同理可得 f (- 14) =f (- 16+2) =log216=4 ,•f (二^+2) ?f (- 14)=-省>=一也,故答案为：三.解答题(共5小题)26. 【解答】(1)证明::f (x+2) =-f (x),•f (x+4) =- f (x+2) =f (x),•f (x )是周期为4的周期函数；(2)解：当x€[ - 2 , 0]时，-x €[0 , 2],由已知得 f (- x) =2 (- x)-( - x) 2=- 2x - x2, 又f (x)是奇函数，•f (- x) = - f (x) = - 2x - x2,•f (x) =x2+2x ,又当x €[2 , 4]时，x - 4q - 2 , 0],• f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4), 又f (x)是周期为4的周期函数，•f (x) =f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4) =x2- 6x+8 , 从而求得x 耳2, 4]时，f (x) =x2- 6x+8;(3)解：f (0) =0, f (2) =0, f (1) =1, f (3) =- 1,又f (x)是周期为4的周期函数，••• f (0) +f (1) +f (2) +f (3) =f (4) +f (5) +f (6) +f (7) = -=f (2 000) +f (2 001) +f (2 002) +f (2 003) =0.••• f (0) +f (1) +f (2) +-+f (2 004) =0+f (2004) =0.27. 【解答】解：(1)当x €[ - 1, 0]时，-x€[0, 1]，又f (x)是偶函数则F 4)二f (-J 二3 = 二诘厂- 1，x €[ - 1, 0].(2)logj^ - lo g36= -1 - la g32 f (lo gl6) =f (-l-la g32) =f (l-log32) 33•••1- Iog32€[0, 1],go 唧)即f (lo S16)斗28. 【解答】解：(1) 令x €[ - 1, 0),则-x€ (0, 1], ••• f (- x) =2-x- 1.又• f (x)是奇函数，••• f (- x) =- f (x),/• - f (x) =f (- x) =2 x- 1,f 二-〔*) *十1, xE [- 1. 0).(2) • f (x+4) =f (x), • f (x)是以4为周期的周期函数,Lag124= - lo ( - 5, - 4),2 lo S124+^6 ( - 1, 0),f (ld gl24)=f (1O£124H)=-(|) 1H-l=- 24X^1=1 229. 【解答】解：••函数f (x)的周期为3,•f (- 2014) =f (- 671X3 - 1) =f (- 1),••函数f (x)是奇函数，•f (- 1) =- f (1) = -( 12- 1+2) =- 2,•f (- 2014) =- 2.30. 【解答】解；(1)因为奇函数f (x)的定义域为R,周期为2 ,所以 f (- 1) =f (- 1+2) =f (1),且 f (- 1) =-f (1),于是 f (- 1) =0.… (2分)当x € ( - 1 , 0)时,-x € (0 , 1), f (x) = - f (- x) =-( 2-x+2x) =-2x- 2 乂.…(5分)❻（x= -所以f（ x）在［-1,0）上的解析式为f（K）二¥- 厂巴（-1<K<O）f 7分）f2）f fx）在（-2,- 1）上是单调增函数.•••（9分）先讨论f f x）在（0, 1）上的单调性.设0V X1V X2V 1,则-f （七）=小十厂」小十厂2二（小-尹）（1-^7^）2 1 2因为0v X1< X2V1，所以- - ■ ■-，于是2叭_ 2H2<Q, 1 - ——>0 ,从而f f X1）- f f X2）< 0,所以f f x）在（0, 1）上是单调增函数.…f 12分）因为f f x）的周期为2,所以f f x）在（-2,- 1）上亦为单调增函数.•••（14 分）。

函数的周期性问题四、典型例题分析例1. 解：)()3(1]3)3[()6()(1)3(x f x f x f x f x f x f =+-=++=+∴-=+ 51)5.2(1)5.03(1)5.0()5.06()5.5(5.56185.1136)(=--=--=-=-==+⨯=∴=∴f f f f f f f T x f ）（）（为周期的周期函数是以变式1：解析：∵f（x+2）=-f （x ）.∴f（6）=f （4+2）=-f （4）=f （2）=-f （2）. 又-f （x ）为R 上的奇函数，∴f （2）=0 ∴f （6）=0.例2.解析：选B ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ＜6时，f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7.变式2：答案：D例3.解答：由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. 变式3：解答：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 例4.解析：选D 由f (x )在[－1,0]上是减函数，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数． 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期．结合以上性质，模拟画出f (x )部分图象的变化趋势，如下图．由图象可以观察出，f (x )在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．变式4解析：选C ∵－3<log 126<－2，∴－1<log 126＋2<0，即－1<log 1232<0.∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (log 126)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1232＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 1232＝－f ⎝⎛⎭⎫log 232＝－⎝⎛⎭⎫223log 2－1＝－12. 五、强化练习1、函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C. 51 D. 51- 2、已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件：① 对于任意的R x ∈，都有)x (f )4x (f =+；② 对于任意的2x x 021≤<≤，都有)x (f )x (f 21<；③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。

数学课程函数周期性练习题及答案本文将为大家提供一些数学课程中关于函数周期性的练习题及其答案。

函数周期性是数学中的一个重要概念，在数学中广泛应用于各种实际问题的建模和解决过程中。

通过这些练习题的训练，我们能够更好地理解和应用函数周期性的概念。

下面将为大家提供一些练习题及其答案，供大家学习参考。

1. 练习题：给定函数 f(x) = sin(2x)，请问这个函数的周期是多少？答案：根据三角函数的性质，sin函数的周期是2π，由于这里定义的函数中2x作为参数，所以周期缩短为π。

因此，这个函数的周期是π。

2. 练习题：给定函数g(x) = 3cos(4x)，请问这个函数的周期是多少？答案：同上，根据三角函数的性质，cos函数的周期是2π，由于这里定义的函数中4x作为参数，所以周期缩短为π/2。

因此，这个函数的周期是π/2。

3. 练习题：给定函数 h(x) = tan(x)，请问这个函数的周期是多少？答案：tan函数的周期是π，因此这个函数的周期是π。

4. 练习题：根据给定的函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数的最小正周期。

答案：根据三角函数的和差化积公式，sin(x) + cos(x)可以化简为sqrt(2)sin(x + π/4)，其中sqrt(2)是常数。

根据sin函数的周期是2π，因此这个函数的最小正周期是2π。

5. 练习题：根据给定的函数 g(x) = 2cos(3x) - sin(6x)，求函数的最小正周期。

答案：注意到函数中的3x和6x这两个参数，对应的周期分别为2π/3和2π/6，两者的最小公倍数是2π，因此这个函数的最小正周期是2π。

通过上述的练习题及其答案，我们可以加深对函数周期性的理解，并学会灵活应用周期性概念解决实际问题。

希望大家通过不断练习，掌握函数周期性的特点与应用，提高数学解题能力。

祝愿大家在学习数学的道路上取得更好的成绩！。

函数周期性练习题函数周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

而函数的周期性是函数理论中的一个重要概念，它在解决实际问题时起到了重要的作用。

本文将通过一些练习题来深入探讨函数的周期性。

1. 练习题一：给定函数f(x) = sin(x)，求解函数的周期。

解析：函数f(x) = sin(x)是一个三角函数，它的周期是2π。

这是因为sin(x)在区间[0, 2π]上的取值是一样的，即sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1等等。

2. 练习题二：给定函数g(x) = cos(2x)，求解函数的周期。

解析：函数g(x) = cos(2x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为cos(2x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即cos(0) = cos(π) = 1，cos(π/2) = cos(3π/2) = 0等等。

3. 练习题三：给定函数h(x) = tan(x)，求解函数的周期。

解析：函数h(x) = tan(x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为tan(x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即tan(0) = t an(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1等等。

4. 练习题四：给定函数k(x) = 2^x，求解函数的周期。

解析：函数k(x) = 2^x是一个指数函数，它的周期是无穷大。

这是因为指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，没有明显的周期性。

通过以上练习题，我们可以看出不同类型的函数具有不同的周期性。

三角函数的周期是有限的，而指数函数的周期是无穷大的。

这是因为三角函数的图像在一定区间内重复出现，而指数函数的图像则没有明显的重复特征。

函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物理学中，周期函数常常用来描述物体的周期性运动；在工程学中，周期函数可以用来分析电路中的交流信号；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等等。

函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。

函数周期性分类解析一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立)x?f(f(x?T)则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论??????xyf?x?faxf?是以1、为周期的周期函数；，则aT?2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

??????xf是以，则为周期的周期函数3、若函数a?f?fxx?a a?2T1 (a>0),则f(x)=为周期函数且2a是它的一个周期。

4、y=f(x)满足f(x+a)??xf1(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ???xf期。

1?f(x)??xf是以为周期的周期函数，则6、.?a)f(x?a2T?1?f(x)1?f(x)??xf是以为周期的周期函数.，则7、f(x?a)??aT?4 )x(1?f)x1?f(8f(x)a>0),则为周期函数且4a是它的、若函数y=f(x)满足f(x+a)=(x∈R，)f(x1?一个周期。

9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。

????????b,ya,yaB?bx?RA都对称，则、10、函数的图象关于两点)y?f(x00??ab2?为周期的周期函数；函数是以)f(x??????b?a,yax?RA都对称，则函、函数11的图象关于和直线bx?)y?fx(0??ab4?为周期的周期函数；是以数)(fx a是它2对称，则y=f(x)的图像关于直线x=af(x)为周期函数且若偶函数12、的一个周期。

a是它的一为周期函数且4对称，若奇函数13、y=f(x)的图像关于直线x=a则f(x)个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。

6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。