函数周期性的五类经典题型.doc

函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的对应关系。

在数学中，周期性函数是一类特殊的函数，它们具有周期性的特征。

本文将为大家介绍一些与函数周期性相关的练习题，以帮助大家更好地理解和应用函数的周期性。

练习题1：正弦函数的周期性考虑函数y = sin(x)。

我们知道正弦函数是一个周期为2π的函数，即在区间[0, 2π]内完整地重复自身。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，sin(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，sin(x)的取值范围是多少？练习题2：余弦函数的周期性考虑函数y = cos(x)。

余弦函数也是一个周期为2π的函数，它与正弦函数在图像上有类似的特点。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，cos(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，cos(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，cos(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，cos(x)的取值范围是多少？练习题3：周期性函数的图像变换现在考虑函数y = sin(x) + 1。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的平移。

请回答以下问题：1. 在区间[0, 2π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？2. 在区间[0, 4π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？3. 在区间[0, 8π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？练习题4：周期性函数的复合考虑函数y = sin(2x)。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的压缩。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(2x)的取值范围是多少？2. 在区间[0, 2π]内，sin(2x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(2x)的取值范围是多少？练习题5：周期性函数的复合和平移考虑函数y = cos(2x - π)。

函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。

证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。

函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。

在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。

一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。

在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。

二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。

比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。

三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。

作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。

四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。

如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

函数的周期性及题型一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．基本结论： 1、设函数y=f(x)的定义域为D ，x ∈D,存在非0常数T ，有f(x+T)=f(x) →f(x)为周期函数，T 为f(x)的一个周期；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 正弦、余弦函数的最小正周期为2π，函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T = 2π/|ω| ；9、 正切、余切函数的最小正周期为π，函数y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω| ；10、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；11、 一般地，sin ωx 和cos ωx 类函数加绝对值或平方后周期减半，tan ωx 和cot ωx 类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ，y=|cotx|的周期是π．【经典例题赏析】例1、设f(x)是（-∞，+∞）上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x,求f(7.5)［解析］：由题意可知，f(2+x) = f(x)∴ f(7.5) ＝f(8-0.5) ＝f(-0.5) ＝－f(0.5) ＝－０.５例2.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.解：设1211212),12,12(<-<-⇒+<<-∴+-∈k x k x k k k x0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.例3．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f 又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f例4.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.针对性课堂练习1、在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数2、()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ）个不同的值.A.165B.177C.183D.1993、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为（ ）。

函数周期性分类解析X,使f(X T) f (x)恒成立一.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二.重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期3、若函数fxa f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ——(a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周f x期。

6 f(x a) 1 f(x)，则f x是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)吃，则fx是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1一型(x € R, a>0)则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a都对称，则f(x)为周期函数且2(b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R的图象关于两点A a,y0、B b,y0 a b都对称，则函数f(x)是以2 b a为周期的周期函数；11、函数y f(x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)a>0)则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(xXx € R, T M 0),则f(T)=0.函数的周期性练习题高一一•选择题(共15小题)1 .定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (- x ) = - f (x ), f (x - 2) =f (x+2)且 x € (-1, 0)时，f (x ) =2x + ,则 f (Iog 220)=()5 52. 设偶函数f (x )对任意x€R ,都有f (x+3) = - ■，且当x €[ - 3,- 2]f ⑴时，f (x ) =4x ，则 f (107.5) = () A . 10 B .丄 C .- 10 D .-丄10 103.设偶函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-- 且当x €[ - 3,- 2]时ff 3J(x ) =4x ，则 f (119.5) = () A . 10 B .- 10 C.丄 D .—丄10 104. 若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =3,则f (8) -f (4)的值为( )A . - 1 B . 1 C .- 2 D . 25. 已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x €( 0, 2]时，f (x ) =2x +log 2x ,则 f (2015) = () A . - 2 B . - C . 2 D . 5 6 .设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(- 2, 1］上的图象，贝U f (2014) +f (2015) = ()A . 3B . 2C . 1D . 07.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足： —'一一f (我)二-一 ,当 2 強 W, f (x ) =x ,则 f (5.5)' r =f一 J —一一一. ()A . 5.5B . - 5.5 C . - 2.5 D . 2.5------ --------------8. 奇函数 f (x )满足 f (x+2) =-f (x ),当 x € (0, 1)时，f (x ) =3x 4，则 A . -2 B .-舟C . + D . 2 & 69. 定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0,且周期是4,若f (1)A . 1B .C . - 1D .-f (log 354)=()=5,则f (2015) ( ) A . 5 B . - 5 C . 0 D . 310 . f (x)对于任意实数x满足条件f (x+2) = 1，若f (1) =-5,贝Uf IxJf (f (5)) = ( ) A . - 5 B .-_ 15C二D . 511 .已知定义在R上的函数f (x) 满足f(x+5) =f (x - 5), 且0強屿时，f (x) =4 - x，则f (1003)=( ) A.- 1 B . 0 C . 1 D . 212 •函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0喊V 2时f (x) =x2- x, 则函数y=f (x)的图象在区间［0, 6］上与x轴的交点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 913. 已知函数f (x)是定义在(-3 +〜上的奇函数，若对于任意的实数x刃, 都有f (x+2) =f (x),且当x €［0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),则f (2014) +f(-2015) +f (2016)的值为( )A . - 1 B.- 2 C . 2 D. 114. 已知f (x)是定义在R上且周期为3的函数，当x €［0, 3)时，f (x) =|2x2 -4x+1|,则方程 f (x)=丄在［-3, 4］解的个数( )A . 4B. 8C. 9 D . 1015. 已知最小正周期为2的函数f (x)在区间［-1, 1］上的解析式是f (x) =x2, 则函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数是( )A. 3 B.4 C.5 D. 6二 .填空题(共10小题)16. 已知定义在R上的函数f (x),满足f (1)二，且对任意的x都有f (x+3)= -，则f (2014) = ______________ .- f (真丿17 .若y=f (x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f (x)是偶函数，当x €［0,1］时，f (x) =2x- 1,则函数g (x) =f (x)- Iog5|x|的零点个数为 _______________ .T logo (8 - x) ,18 .定义在R上的函数f (x)满足f (x)，则［£(x-O -f (M-2),K>0f (2013)的值为______________ .19. 定义在R上的函数f (x)的图象关于点(-三，0)对称，且满足f (x)=4-f (x+土), f (1) =1, f (0) =- 2,则 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2010) 的值为= .20. 定义在R上的函数f (x)满足:f (对¥，当x€ (0, 4)时，1+f I K Jf (x) =x2- 1,则f (2011) = _____________ .21 .定义在R上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3喊V- 1时，f (x)= -(x+2) 2,当-1 強V3 时，f (x) =x .贝Uf (1) +f (2) +f (3) +-+f (2012) = _______________ .22 .若函数f (x)是周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =2，则f (8) -f (14) =.23 .设f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f (2)> 1, f (2014)则实数a的取值范围是24.设f (x )是周期为2的奇函数，当0喊勻时，f (x) =2x (1 - x),则…Ifsinx, nn TT25•若f(x+2 )= ’，、一，则f(斗+2)?f(- 14)= .log2\ - s) p 尺QL 4三.解答题(共5小题)26. 设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f (x+2) = - f (x), 当x q0，2］时，f (x) =2x - x2(1)求证：f (x)是周期函数；(2)当x €［2，4］时，求f (x)的解析式；(3)计算:f (0) +f (1) +f (2) + --+f (2004).27. 函数f (x)是以2为周期的偶函数，且当x如，1］时，f (x) =3x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0］上的解析式；(2)求f 的值.328. 已知定义域为R的函数f (x)为奇函数，且满足f (x+4) =f (x)，当x q0，1］时，f (x) =2x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)求 f ［24)的值.I29. 已知函数f (x)既是奇函数又是周期函数，周期为=x2- 3,且x €［0，1］时，f (x)x+2，求f (-2014)的值.30•定义在R上的奇函数f (x)有最小正周期2, 且当x € (0, 1)时，f (x) =2x+2「x.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)判断f (x)在(-2,- 1) 上的单调性，并给予证明.函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一•选择题(共15小题)1.【解答】解：•••定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) =-f (x ), •••函数f (x )为奇函数又••• f (x - 2) =f (x+2)•••函数f (x )为周期为4是周期函数 又 T Iog 232> Iog 220> Iog 2l6 ••• 4v Iog 220v 5••• f (Iog 220) =f (Iog 220 - 4) =f (logQ ) = - f (-logQ ) = - f (logi )2【解答】解：因为 f( x+3) = -.「，故有 f(x+6 ) = -. • =- 「 =ff IxJf t - £一 f G)(x ).函数f (x )是以6为周期的函数.(6X 17+5.5) =f (5.5)=-=-1 .1 4X i £5) '10f (107.5) =f 故选B3.【解答】解：•••函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-1 f (x-3),• f (x+3)则 f (x+6) 即函数f (x )的周期为6,• f (119.5) =f (20X5-0.5) =f (- 0.5)=-又•••偶函数f (x ), 当 x € - 3,- 2］时，有 f (x ) =4x , 1 • f (119.5)=- f (2.5)~ f ( - 2. 5)11 f ( - 0.訐3)f (2.5)111 i.故选： 4X ( -2. 5)=1C .4.【解答】解：f (x )是R 上周期为5的奇函数，f (- x ) = - f (x ), ••• f (1)= - f (- 1),可得 f (- 1) =-f (1) =- 1, 因为 f (2) =-f (2),可得 f (- 2) = - f (2) =-3,• f (8) =f (8- 5) =f (3) =f (3- 5) =f (-2) =-3, f (4) =f (4 - 5) =f (- 1) = - 1, • f (8)- f (4) =- 3-( - 1) =-2,故选 C ; 5.【解答】解：T f (x )的周期为4, 2015=4X504- 1, • f (2015) =f (- 1),又••• x € (- 1, 0)时，f (x ) • f (険)=1故 f (Iog 220) = - 1故选 C又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以 f (2015) =-f (1) =-21 - log 2l=- 2,故选:A . 6•【解答】解：由图象知f (1) =1, f (- 1) =2, ••• f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数， ••• f (2014) +f (2015) =f (1) +f (- 1) =1+2=3, 故选：A 7. 【解答】解:(x )f (x+4) =f (x ),即函数f (x )的一个周期为4 ••• f (5.5) =f (1.5+4) =f (1.5) ••• f (x )是定义在R 上的偶函数••• f (5.5) =f (1.5) =f (- 1.5) =f (- 1.5+4) =f (2.5) ■/ 当 2^x <3, f (x ) =x ••• f (2.5) =2.5 ••• f (5.5) =2.5 故选 D 8. 【解答】解：T f[ (x+2) +2]=- f (x+2) =f (x ), ••• f (x )是以4为周期的奇函数， 又f (log 354) =f (log^3) =f (4+1 堆誇)=f ( log 3|) =f (- log 3|)二-f ( log 3|)9. 【解答】解：在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0 则：f (- x ) = - f (x )所以函数是奇函数 由于函数周期是4,所以 f (2015) =f (504X4- 1) =f (- 1) =- f (1) = - 5 10. 【解答】解：：f (x+2) =f (：) • f (x+2+2) =「： { =f (x )• f (x )是以4为周期的函数 • f (5) =f (1+4) =f (1) = - 5••• f (log 354) = — 2,故选:A .= 1 - 1 =1 f (- 1+25 ] f ⑴f (f (5)) =f (- 5) =f (- 5+4) =f (- 1)又••• f (- 1)故选：B f (工+4)=- ---------- ---f 〔戒)=f则函数f (x )是周期为10的周期函数，则 f (1003) =f (1000+3) =f (3) =4 - 3=1, 故选: 12. 【解答】解：当v 2时，f (x ) =x 2- x=0解得x=0或x=1, 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 故f (x ) =0在区间［0, 6)上解的个数为6,又因为f (6) =f (0) =0,故f (x ) =0在区间［0, 6］上解的个数为7, 即函数y=f (x )的图象在区间［0, 6］上与x 轴的交点的个数为7,故选：B .13. 【解答】 解：T f (x+2) =f (x ), • f (2014) =f (2016) =f (0) =log 21=0, ••• f (x )为 R 上的奇函数，• f (- 2015) =-f (2015) =-f (1) =- 1. • f (2014) +f (- 2015) +f (2016) =0 - 1+0= - 1 .故选 A .14. 【解答】解：由题意知，f (x )是定义在R 上且周期为3的函数, 当 x q 0, 3)时,f (x ) =|2x 2- 4x+1|,由图象可知：函数y=f (x )与y==在区间［-3, 4］上有10个交点(互不相同)，所以方程f (x ) — 在［ - 3, 4］解的个数是10个，故选：D . 15. 【解答】解：•••函数f (x )的最小正周期为2, • f (x+2) =f (x ),••• f (x ) =x , y=g (x ) =|log 5x| •作图如下：二f (f (5)) =-* 故选B11.【解答】解：T f(x+5) =f (x - 5), ••• f (x+10) =f (x ),C . 在同一坐标系中画出函数 f (x )与、七的图象如下图:•函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数为5,故选：C二•填空题(共10小题)16. 【解答】解：•••对任意的x都有f (x+3)=-f1f (x+6)= =f (x),-f C K+3)•函数f (x)为周期函数，且周期T=6 , • f (2014) =f (335>6+4) =f (4)=f (1+3) =----------- = - 5 故答案为：-517【解答】解：当x €[0, 1]时，f (x) =2x- 1,函数y=f (x)的周期为2,x €[ - 1, 0]时，f (x) =2-x- 1,可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g (x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x >5时，y=log5|x|> 1,此时函数图象无交点，如图：又两函数在x >0上有4个交点，由对称性知它们在x v 0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g (x) =f (x) - log5|x|的零点个数为8；故答案为8；f (x+1) =f (x ) - f (x — 1) =f (x - 1)- f (x - 2)- f (x - 1), ••• f (x+1) =- f (x -2), 即 f (x+3) = - f (x ),• f (x+6) =f (x ),即当x >0时，函数的周期是6.• f (2013) =f (335>6+3) =f (3) =-f (0) =- log 2 (8-0) =- log 28=- 3, 故答案为：-3.19.【解答】解：由f (x ) =- f (x+一)得f=f (x ).所以可得f (x )是最小正周期T=3的周期函数；由f (x )的图象关于点(-仝，0)对称，知(x , y )的对称点是(-卫-x ,- 4 2y ).即若 y=f (x ),则必-y=f (-弓-x )，或 y= - f (-专-x ). (-x ) =f (x ),故知f (x )又是R 上的偶函数. 于是有：f (1) =f (- 1)=1; f (2) =f (2-3) =f (- 1) =1; f (3) =f (0+3)=f (0) = - 2 ；• f (1) +f (2) +f (3) =0，以下每连续3项之和为0. 而 2010=3>670,于是 f (2010) =0;•函数f (x )是周期函数且T=4 , • f (2011) =f (4 >502+3) =f (3),•••当 x € (0, 4)时，f (x ) =x 2- 1, • f (3) =8.即 f (2011) =8.故答案为: 8. 21. 【解答】解：•••当-3喊V- 1 时，f (x ) =-(x+2) 2,••• f (- 3) =- 1, f (- 2) =0, •••当—1 <X V 3 时，f (x ) =x ,-f (X - 2),(x+E ),故 f (-呂-x ) =f而已知f (x ) =-f今以x 代x+一，得f 故答案为0.20.【解答】解：由题意知,则令x=x+2代入得,=f (x - 1) (x+3) =f[-f ( (x),--'j 1+f (Q ，••• f (- 1) =- 1, f (0) =0, f (1) =1, f (2) =2,又■/ f (x+6) =f (x).故 f (3) =- 1, f (4) =0, f (5) =- 1, f (6) =0,又••• 2012=335^3+2,故f (1) +f (2) +f (3) +・・+f (2 012) =335>{f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) ]+f (1) +f (2) =335+1+2=338,故答案为：33822. 【解答】解：由题意可得，f (8) =f (8- 10) =f (- 2) =-f (2) =-2,f (14) =f (14 - 15) =f (- 1) = - f (1) = - 1, 故有f (8)- f (14) =-2-( - 1) =- 1,故答案为-1.23. 【解答】解：解：由f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则 f (x+3) =f (x), f (- x) = - f (x),••• f (2014) =f (3 >672 - 2) =f (- 2) =-f (2),又 f (2)> 1 ,••• f (2014)V- 1 ,即—1V- 1,即为「计V 0 ,a+1 a+1即有(3a- 2) (a+1)v 0,解得,-1V avg ,故答案为：- !<a<^."-1324. 【解答】解：T f (x)是周期为2的奇函数,当0喊<1时，f( x) =2x (1-x), •••f〔-鲁)=f (£) =-f 垮)=-2> (1,)=退,故答案为：-言.25. 【解答】解：由题意可得f ( +2) =sin二J 4=sin (6n-色、=-si=-渥,4 4 2同理可得 f (- 14) =f (- 16+2) =log216=4 ,•f (二^+2) ?f (- 14)=-省>=一也,故答案为：三.解答题(共5小题)26. 【解答】(1)证明::f (x+2) =-f (x),•f (x+4) =- f (x+2) =f (x),•f (x )是周期为4的周期函数；(2)解：当x€[ - 2 , 0]时，-x €[0 , 2],由已知得 f (- x) =2 (- x)-( - x) 2=- 2x - x2, 又f (x)是奇函数，•f (- x) = - f (x) = - 2x - x2,•f (x) =x2+2x ,又当x €[2 , 4]时，x - 4q - 2 , 0],• f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4), 又f (x)是周期为4的周期函数，•f (x) =f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4) =x2- 6x+8 , 从而求得x 耳2, 4]时，f (x) =x2- 6x+8;(3)解：f (0) =0, f (2) =0, f (1) =1, f (3) =- 1,又f (x)是周期为4的周期函数，••• f (0) +f (1) +f (2) +f (3) =f (4) +f (5) +f (6) +f (7) = -=f (2 000) +f (2 001) +f (2 002) +f (2 003) =0.••• f (0) +f (1) +f (2) +-+f (2 004) =0+f (2004) =0.27. 【解答】解：(1)当x €[ - 1, 0]时，-x€[0, 1]，又f (x)是偶函数则F 4)二f (-J 二3 = 二诘厂- 1，x €[ - 1, 0].(2)logj^ - lo g36= -1 - la g32 f (lo gl6) =f (-l-la g32) =f (l-log32) 33•••1- Iog32€[0, 1],go 唧)即f (lo S16)斗28. 【解答】解：(1) 令x €[ - 1, 0),则-x€ (0, 1], ••• f (- x) =2-x- 1.又• f (x)是奇函数，••• f (- x) =- f (x),/• - f (x) =f (- x) =2 x- 1,f 二-〔*) *十1, xE [- 1. 0).(2) • f (x+4) =f (x), • f (x)是以4为周期的周期函数,Lag124= - lo ( - 5, - 4),2 lo S124+^6 ( - 1, 0),f (ld gl24)=f (1O£124H)=-(|) 1H-l=- 24X^1=1 229. 【解答】解：••函数f (x)的周期为3,•f (- 2014) =f (- 671X3 - 1) =f (- 1),••函数f (x)是奇函数，•f (- 1) =- f (1) = -( 12- 1+2) =- 2,•f (- 2014) =- 2.30. 【解答】解；(1)因为奇函数f (x)的定义域为R,周期为2 ,所以 f (- 1) =f (- 1+2) =f (1),且 f (- 1) =-f (1),于是 f (- 1) =0.… (2分)当x € ( - 1 , 0)时,-x € (0 , 1), f (x) = - f (- x) =-( 2-x+2x) =-2x- 2 乂.…(5分)❻（x= -所以f（ x）在［-1,0）上的解析式为f（K）二¥- 厂巴（-1<K<O）f 7分）f2）f fx）在（-2,- 1）上是单调增函数.•••（9分）先讨论f f x）在（0, 1）上的单调性.设0V X1V X2V 1,则-f （七）=小十厂」小十厂2二（小-尹）（1-^7^）2 1 2因为0v X1< X2V1，所以- - ■ ■-，于是2叭_ 2H2<Q, 1 - ——>0 ,从而f f X1）- f f X2）< 0,所以f f x）在（0, 1）上是单调增函数.…f 12分）因为f f x）的周期为2,所以f f x）在（-2,- 1）上亦为单调增函数.•••（14 分）。

J例—设/(x)是定义在虫上的奇函数，/( %• 4- f (Afi /(3) - 5 ,则/(- 2 T -------------------------- ，7(200 5) = -------------------------例2：设/\x)是定义在R上的偶函数，且满足/(X - 2) - -^―,当OWxWl, /(x) - 2x, fW则Z(7.5) = _______________例3=设/(x)是定义在人上的奇函数，且/(x- 2)= /(x - 2) > /(I) = 2 »则/(2>/ ______________________ 练习1、函数对于任意实数*満足条件八：—打=广：，若门1)=一5贝」/(/(5))- --------------------2、已知定义在R上的奇函数f (x)满定f仗+2) =-f (x),则,f⑹的值为(A)-l (B) 0 (C) 1 (D)23、已知函数y = /(x)杲一个以4为最小正周期的奇函数，则/(2)= ()A. 0B. —4C. 4D.不能确定4、设/(x)是(-30,7)上的奇函数，/(x・ 2) - -/(x),当OSxSl 时，/(x) - x ,则/(47.5)等于 ______5、定义在尺上的偶函数/⑴満足./(x ・2)・/(x),且在［-3,-2］上是减函数，若zQ是锐角二角彫的两个内角，则/(sin a), /(cos P)的大小关系为______________6、已知/(X；是偶函数，且/(I) =993, g(x) = /(x-l)是奇函数，求/(2005)的值7、已知定义在R上的函数/(x)杲以2为周期的奇函数，则方程/(X)- 0在［-2,2］上至少有_________ 个实数根8、已知/(对杲定义在*上的函数，/(10^x)= /(10-x)且/Q0-x) = -/(20-x),则r(x).<()A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的哥函数D.周期为40的偶函数1.定义在R上的函数人x）是奇函数又是以2为周期的周期函麹则人1）+用）+刃）等于（）A. -1B. 0C. 1D. 42.已知函数Xx）是定义域为R的偶函埶且Xv+2）=X.x）,若HQ在［一1，0］上是减函瓠那么兀）在［2, 3］上是（）A.増函数B.减函数C.先増后减的函数D.先减后増的函数3.加）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且几2）=0,则方程夬x）=0在区间（一6,6）內解的个数的最小值杲（）A. 10B. 8C. 6D. 45. （2009年深勿训研）设爪）=］_］又记/Kx）=Xx）,尼心尸厲怠）］，^=12,…，则上血（x）6.（2009年山东卷）已知定义在R上的奇函数爪），满足Hx—4）=Tx）,且在区间［0,2］±是増函数，则（）A. /（-25）＜AH）＜/（80）B. 口80）勺11）勺一25）C. /（11）＜/＜80）＜/＜-25）D. X-25）＜7（SO）＜/（11）7.（2009 山东卷）已知定义在R上的奇函数用），满足人x—4丿=一金），且在区间［02］上是増函数，若方程加）=«（加＞0疮区间［—8,8］上有四个不同的槻Xi，X：, X4，则Xl+x：+xs+忌= ________ .S.已知函数人x）的定义域为&且满定爪+2）= —朋）.⑴求证：介丿是周期函数；⑵若血为奇函数，且当00勿时，用）=冬，求使金）=二在［0』009］上的所有x的个数.9.设函数介）在（一8, +8）上满足X2-x）=/（2+x＞人7—x）=/（7+x）,且在闭区间［0：7］上, 只有八1）=几3）=0.⑴试判断函数_）=几）的奇偶性；（2）试求方程朋）=0在闭区间［-2009,2009］上吊根的个数，并证明你的结论.—、选环题1.已知定义在R上的奇函数㈱淹足心-2A-f(Q贝J贞6)笊值対(A. -1B. 0C. 1D. 22・已知函数>=/(x)是一个以4为眾小正司期的奇函数卩则/(2)= ()A. 0B. -4C. 4D.不能确定3. (29CO江阿已知跚：/(x)是(ax)上的偶刃数，若对干30, 2)-/(x),且当xu [0,2)时，/(x) - tcg：(x +1),则/(-2008)-/(200$)的值为( 〉A. -2B. -1C. 1D. 24函^f(i)对干仟意买敷x满尼圣件f(x・ 2) = — .若：(1)・-5・则f(f(、))等于() f(x)1 1A. 5 B -5 C - D ——5 55 /(“)杲定义在W上的曲数./(10-r) = /(10-r)且/(：0")=一/(“士巧・则/⑴是() A 周用为？0的奇压儼B周手为？0的渦冈费C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶躅6 •偶函数fg是以2为周期的函数,且当Je 0,1)时，/ x)= 2X-1 ,则/(log:10)的值为(4 3 3. - C.-- D.-5 5 87 •已知•禺函数v =f(x)满足f(x -1) = f(x_l),且当x € [-1,0]时，f(x) = 3x + -, 9 则片(心门)的值等于()50 45S.设八x)是定义在人上以6为周期的函数，f (x)在03)内单调谨减，且y=/3的图象关于直逵对称.则下面正确的結论是()A. /(1.5)</(3.5)</(«5)B. /(3.5)</(1.5)</(6.5)C・.・：「—\)<八1二 D. /(3.5)</-6.5)</(1.5)9 (07安釵)定义在R上函数/ x；既是苛鹹，又是周播函驗I是它的一个正盾期若得方程/(x) - 0 在囲区「叫-八门上的根的个荻记为"，则4可能为( )A.OB.l C3 D510・/(x)是定义在K二的以3为匮期的苛匪数，且/〔2).0衣区间(0,0)内解的个荻的就小追()A. 6B. 7C. 4D. 511.已知定义在*上的函較八)的图象关于成中心对称，且满；.7(-1 -1.4 2/(0) = -2.则/⑴〒/(2)・・・・*(2010)的童为( )C. 0D. 1【答累】BACDC二、蝮空题1.函数门・1对丁任意实数，荷足金件八一!—，若/|1)■・5则/(/| 5)］■ __________________________ 2虫丄的函数/⑴是収2为周軀的奇函数，贝烧程八x)=J 在］-2.2］丄至少有 ______________ 个实数根. 3 fCO 为 R 上的奇因敢•对 eR.5) - /(x) = 0 S/(2) = b /(200S) - ____________ 4. 设函数y = /(x)定义在R 上笊奇函数，且)=/仗)图像关于直纭“:对称，皿 F(l) + f(2) + f(3) + F(4) + f(5) = __________________ ・5设画数F(J 為R 上的奇因数.且f(翼) 心 3)-0.若f( 1)・f(2)<lo a 2 •則a 的取信范1围是 ___________6 定义在(-X,- X )上的I 禺因数f(x)荷足f(x ・l) = - f(x),且在［-1,0］上是增画瓠 下面是关于f(x)的判断^①f(x)是周期函数' ③f(X)在［0, 1］上定増鹹； 具中正碉的判断罡_____________ 7.设函敦/")是定义在;?上的奇函数.对于任意的"八 都有一门“儿 1T(K )当 0 < r < 1 时，/(w)・2x,则/(11.5)-【答宾】1. ： 2. 5： 3 "1： 4 0： 5.0cd€—.a>l ：6 (D ①④：7.・1・5 2 【.碱/(门定义在R 上.目満足/(x.2)[l-/；r)]=1-/(x).八1) = 12.求/(2DH)的洎.*)2.已知函数/'(X )的图象关于点--:0 I 对称，且wR/(x) = -/(X+^-),又/(T 4，/(0)=-2> 求 f(l)-/(2)-/•⑶一 ...-/(200G)的值。

函数周期性练习题函数周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

而函数的周期性是函数理论中的一个重要概念，它在解决实际问题时起到了重要的作用。

本文将通过一些练习题来深入探讨函数的周期性。

1. 练习题一：给定函数f(x) = sin(x)，求解函数的周期。

解析：函数f(x) = sin(x)是一个三角函数，它的周期是2π。

这是因为sin(x)在区间[0, 2π]上的取值是一样的，即sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1等等。

2. 练习题二：给定函数g(x) = cos(2x)，求解函数的周期。

解析：函数g(x) = cos(2x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为cos(2x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即cos(0) = cos(π) = 1，cos(π/2) = cos(3π/2) = 0等等。

3. 练习题三：给定函数h(x) = tan(x)，求解函数的周期。

解析：函数h(x) = tan(x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为tan(x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即tan(0) = t an(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1等等。

4. 练习题四：给定函数k(x) = 2^x，求解函数的周期。

解析：函数k(x) = 2^x是一个指数函数，它的周期是无穷大。

这是因为指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，没有明显的周期性。

通过以上练习题，我们可以看出不同类型的函数具有不同的周期性。

三角函数的周期是有限的，而指数函数的周期是无穷大的。

这是因为三角函数的图像在一定区间内重复出现，而指数函数的图像则没有明显的重复特征。

函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物理学中，周期函数常常用来描述物体的周期性运动；在工程学中，周期函数可以用来分析电路中的交流信号；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等等。

函数的周期性知识梳理：都有()()x f T x f =+成立，那么就把()x f y =叫做周期函数，如果所有周期中存有一个最小的正数，则这个最小的正数叫最小正周期 方法突破：1、类比三角函数的图象得（1）若()x f y =的图象有两条对称轴a x =，b x =()b a ≠，则()x f y =必是周期函数且一个周期为b a T -=2；（2）若()x f y =的图象有两个对称中心()0，a A ，()0，b B ，()b a ≠则()x f y =必是周期函数，且一个周期b a T -=2；（3）若()x f y =的图象有一个对称中心()0，a A 和一条对称轴b x =，()b a ≠则()x f y =必是周期函数，且一个周期b a T -=42、由周期函数的定义得（1）()x f y =满足()()x f x a f -=+，则()x f y =是周期a T 2=的周期函数；（2）若()()x f a x f 1=+()0≠a 恒成立，则a T 2=；（3）()()x f a x f 1-=+恒成立，则a T 2= 典例导悟：例1、已知()x f 是定义在R 上的函数且()()()()x f x f x f +=-+112 （1）证明：()x f 为周期函数；（2）若()321+=f ，试求()2013f 与()2017f例2、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2且当10≤≤x 时()x x x f +=2.（1）求()x f y =的周期T ；（2）求()x f y =在[]01-，上的表达式；（3）求()=5.6f ？例3、已知()x f y =的定义域为R 且满足()()x f x f -=+2， （1）求证：()x f 是周期函数；（2）若()x f 为奇函数且当10≤≤x 时()x x f 21=，求使()21=x f 的所有x .例4、已知()x f y =的定义域为R 对任意R y x ∈，，等式()()()()y f x f y x f y x f 2=-++恒成立，且()00≠f （1）试判断()x f 的奇偶性；（2）若存有常数c 使得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，求证()()x f c x f -=+，并求()x f 的周期例5、设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，当[]10，∈x 时()x x f =， （1）求()πf ；（2）当[]44-，∈x 时，求()x f 的图象与x 轴所围成图形的面积； （3）写出()x f 的单调区间练习题：1、()x f 是定义在R 上以3为周期的奇函数，且()02=f ，则方程()0=x f 在区间()60，内解的个数为（ ）A 2B 3C 4D 5 2、设偶函数()x f 对任意R x ∈都有()()x f x f 13-=+，且当[]23--∈，x 时，()x x f 2=，则()=5.113f （ ）A 72-B 72C 51- D 513、设()x f 是定义在R 上且3=T 的奇函数，若()11>f ，()1122+-=m m f ，则m 的范围为（ ）A ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-3211，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321，D ()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∞-，，321 4、已知函数()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛=010121x x f x x f x ，，，若方程()a x x f +=有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A (]0，∞- B ()1，∞- C []10， D [)∞+，0 5、已知()x f y =的周期为2，当[]11，-∈x 时()2x x f =，那么()x f y =的图象与x y lg =的图象交点共（ ）个A 10B 9C 8D 16、已知定义在R 上的奇函数()x f 满足()()x f x f -=-4，且在[]2,0上为增函数，则（ ） A ()25-f <()11f <()80f B ()80f <()11f <()25-f C ()11f <()80f <()25-f D ()25-f <()80f <()11f7、已知()x f 满足()411=f ，且等式()()()()y x f y x f y f x f -++=4恒成立，()R y x ∈，，则()=2013f __________8、已知()x f y =满足()()x f x f =+2，且当[]11，-∈x 时()2x x f =，则()x f y =与x y ln =在()33，-上交点的个数为__________个 9、定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且()x f 在[]10，上为增函数，下列判断：①()x f 为周期函数；②()x f 的图象关于直线1=x 对称；③()x f 在[]11，-上为增函数；④()x f 在[]21，上为减函数，则准确命题的判断序号是______________ 10、设()x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈恒有()()11-=+x f x f ，已知当[]10，∈x 时()xx f -⎪⎭⎫⎝⎛=121，则①2=T 是()x f 的周期②()x f 在()21，上递减，在()32，上递增③()x f 的最大值为1，最小值为0④当()43，∈x 时()321-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f 其中准确命题为_______。

函数的周期性--经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的周期性周期函数的定义：对于函数f X，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有f x T二f x，贝卩称的常数T为函数的周期。

周期函数的性质：1、f x二f x a，则y=f x是以T=a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

3、若函数f x v =f x-a，则f x是以T =2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a) = — (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个f(X )周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 一丄(a>0),则f(x)为周期函数且2a是f(X )它的一个周期。

6、f(x a)二匕卫，则fx是以T=2a为周期的周期函数.1 +f(x)7、f(x.a)—」0，则f x是以T=4a为周期的周期函数.1 -f(x)8若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 (b-a)是它的一个周期。

9、函数厂f(x) R的图象关于两点A a,y。

、B b,y。

a ：：： b都对称，贝恼数f(x)是以2 b-a为周期的周期函数；10、函数y = f (x) x R的图象关于A a, y°和直线x = b a : b都对称，则函数f(x)是以4 b—a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数，6a是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, T H 0),则f(T)=0.【试题举例】例1、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则,f(6)的值为(B)(A) - 1 (B) 0 (C) 1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。

函数周期性1. 定义：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期。

常见类型（不用背过，会推导证明）：T=2a ： )()(a x f a x f -=+ ()x f a x f -=+)(()()x f a x f 1=+ ()()x f a x f 1-=+例1：)(x f 为定义在R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，则()?6=f练习1：)x (f 1)2x (f =+，若5)1(f -=，则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C.51 D. 51-练习2：设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，0)()2(=++x f x f ，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 为练习3：已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则(119)f = ________综合型题目（函数单调性、奇偶性、周期性）：例2．设)x (f 为R 上的奇函数，且0)3x (f )x (f =++-，若1)1(f -=-，若 5)2(2-<a f 恒成立，则a 的取值范围是 .练习1：函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且2011)0(=f ，()()1g x f x =-是奇函数，则()2011f 的值为 .练习2：函数()f x 对于任意实数x 满足条件()1)(2=+x f x f ，若()15,f =-则 ()=-5f __________函数对称性1. 对称性是由奇偶性平移得到。

理解即可。

)()(x a f a x f -=+ 关于a x =轴对称)()(x b f a x f -=+ 关于2b a x +=轴对称 )()(x a f a x f --=+ 关于点()0,a 中心对称)()(x b f a x f --=+ 关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2b a 中心对称例1．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数练习：函数)x (f y =的图象为1C ，1C 关于直线1x =对称的图象为2C ，将2C 向左平移2个单位后得到图象3C ，则3C 对应函数为A. )x (f y -=B. )x 1(f y -=C. )x 2(f y -=D. )x 3(f y -=。

函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。

6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

函数的周期性经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数f X，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有f x T二f x，贝卩称的常数T为函数的周期。

周期函数的性质：1、f x二f x a，则y=f x是以T=a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数f x v =f x-a，则f x是以T =2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a) = —(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个f(X )周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 一丄(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是f(X )它的一个周期。

6、f(x a)二匕卫，则fx是以T=2a为周期的周期函数.1 +f(x)7、f(x.a)—」0，则f x是以T=4a为周期的周期函数.1 -f(x)8若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 (b-a)是它的一个周期。

9、函数厂f(x) R的图象关于两点A a,y。

、B b,y。

a ：：： b都对称，贝恼数f(x)是以2 b-a为周期的周期函数；10、函数y = f (x) x R的图象关于A a, y°和直线x = b a : b都对称，则函数f(x)是以4 b—a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数，6a是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, T H 0),则f(T)=0.【试题举例】例1、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则,f(6)的值为(B)(A) - 1 (B) 0 (C) 1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。