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高中数学选修(理科)常用公式-精选教学文档

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高中（理科）数学选修部分常用公式（全国卷版）一、常用逻辑用语 1．四种命题：（1）原命题：若p 则q （2）逆命题： 若q 则p（3）否命题：若p ⌝则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假） 2．如果p q ⇒，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件注意：（1）小范围⇒大范围，大范围⇒小范围，（2）“p 的充分不必要条件是q ”⇔“q 是p 的充分不必要条件” 3．复合命题p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假性（p ⌝即命题的否定）：（1）当p 和q 为一真一假时，p q ∧为假，p q ∨为真； （2）p 和p ⌝的真假性相反 4．全称命题与特称命题. 若p ：,()x M q x ∀∈成立，则p ⌝：00,()x M q x ∃∈⌝成立 二、圆锥曲线22221x y a b +=(0)a b >> a x a -≤≤，b y b -≤≤(,0)c ±2c 2．双曲线12AB x x =-= 快速公式：AB =12AB y y =-= 快速公式：AB = （其中A 是指消去y 或x 后得到一元二次方程中的二次项系数） 3．抛物线1. 概念：)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 瞬时速度()v s t '=. 瞬时加速度()a v t '=.（注意这个物理意义）2. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-.3. 几种常见函数的导数（1）0='C （C 为常数）.（2）1()nn x nx -'=.（3）x x cos )(sin ='.（4）x x sin )(cos -='.（5）x x 1)(ln ='；1(log )ln a x x a'=. （6）x x e e =')(；a a a xx ln )(='. 最好记住这三条常用的公式：211()x x '=- '= (l n )1l n x x x '=+4. 导数的运算法则：（1）[()]()Cf x Cf x ''= （2）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+ （4）2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''-'= 5. 复合函数的求导法则：若)(g ),(x u u f y ==，则()()x y f u g x '''=6. 函数的单调性：设函数)(x f y =在某个区间(,)a b 可导，若()0f x '>，则)(x f y =在(,)a b 上单调递增；若()0f x '<，则)(x f y =在(,)a b 上单调递减． 逆命题：若()f x 在(,)a b 上是增函数，则'()0f x ≥； 在(,)a b 上是减函数，则'()0f x ≤. 7. 求函数)(x f y =极值的方法与步骤：（1）求导数()f x '； （2）求方程()0f x '=的根；（3）画出x 、()f x '、()f x 的分布表格，并判断极大值、极小值四、推理与证明 1. 推理（1）合情推理：包含归纳推理（由特殊到一般的推理）和类比推理（由特殊到特殊的推理）. （2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一般到特殊的推理. （3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情况下）. 2. 证明（1）直接证明：综合法（条件⇒结论）与分析法（结论⇒条件（恒成立）） （2）间接证明：反证法（反设⇒矛盾⇒推翻反设） （3）数学归纳法：① 证明当n 取第一个值0n （0n ∈*N ）时结论成立.② 假设当n k =（k ∈*N ，且0k n ≥）时结论成立，证明当1n k =+时结论也成立.由①②可知，对任意0n n ≥，且n ∈*N 时，结论都成立. 五、计数原理1. 排列数：!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=-2. 组合数：(1)(2)(1)!!!()!mn n n n n m n C m m n m ---+==-3. 组合数的性质：（1）m n mn n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+ （3）0122n n n n n n C C C C ++++=； 13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=（4）11mm n n n C C m --=； 1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅（5）1121r r r r r r r r n n C C C C C ++++++++=；4. 二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++（1）展开式中的通项（第1r +项）：1r n r rr n T C a b -+=（2）二项式系数：rn C （1,2,,r n =）， 若n 为偶数，则展开式的中间一项12n T +的二项式系数最大；若n 为奇数，则展开式的中间两项12n T +与112n T ++的二项式系数最大；（3）二项式系数和与各项系数和二项式系数和：2n各项系数和的计算方法：令()na b +中的变量等于1例如：41(2)x+的二项式系数和为4216=，各项系数和为441(2)3811+==（令1x =）六、概率1. 古典概型与几何概型（1）古典概型的概率()mP A n=，基本事件有限，每个基本事件出现的可能性相同. m 表示事件A 包含的基本事件数，n 表示所有基本事件数.（2）几何概型的概率()AP A μμ=，基本事件无限，每个基本事件出现的可能性相同. A μ表示事件A 发生区域的几何度量，μ表示总区域的几何度量（如长度、面积、体积）2. 互斥事件与对立事件（1）概念理解：互斥事件——A B =∅； 对立事件——A B =∅且()()1P A P B +=. （2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立. （3）概率加法公式：若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+. 3. 相互独立事件,A B 及其同时发生的概率：()()()P AB P A P B =. 4. 条件概率：设A 与B 为两个事件，且()0P A >，则()(|)()P AB P B A P A =， 其中(|)P B A 表示事件A 发生的条件下事件B 发生的概率.5. 离散型随机变量及其分布列 （1）分布列性质：0i p ≥，1211nin i pp p p ==+++=∑.（2）随机变量X 的数学期望（均值）：11221ni in n i EX x px p x p x p ===+++∑.（3）随机变量X 的方差：21()ni i i DX x EX p ==-∑2221122()()()n n x EX p x EX p x EX p =-+-++-.（4）随机变量X 的均值与方差的性质：()E aX b aEX b +=+； 2()D aX b a DX +=. （5）二项分布（独立重复实验）：~(,)X B n p ，EX np =，(1)DX np p =-在n 次试验中恰好成功k 次的概率()(1)k k n kn P X k C p p -==-，0,1,,k n =注意：X 表示试验成功的次数（6）超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则()k n k M N MnNC C P X k C --==，其中,n N M N ≤≤ 6. 正态分布：2~(,)X N μσ，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差 （1）正态总体函数()22()2x f x μσ--=　，(),x ∈-∞+∞ ①在正态分布中，当0μ=，1=时，叫做标准正态分布，记作~(0,1)X N .②函数()f x 的图象关于x μ=对称，()0f x >，()max f x =③函数()f x 的图象与x 轴围成的总面积为1，()()0.5P X P X μμ≤=>=④σ越大，函数()f x 的图象越“矮肥”；σ越小，函数()f x 的图象越“高瘦”（2）几个重要的概率：七、数系的扩充与复数的引入 1. 数系：*N N Z Q R C ⊆⊆⊆⊆⊆2. 复数的概念：形如a bi +(,)a b R ∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，21i =-，a 与b 分别叫做复数a bi +的实部和虚部.3. 复数a bi c di +=+的充要条件是a c =且b d =. 特例0a bi +=⇔0a b ==.4. 对于复数a bi +，当0b =时，它是实数；当0a =且0b ≠时，它是纯虚数.5. 复数的模：向量OZ 的模，叫做复数z a bi =+的模，即z a bi =+=6. 复数所在象限的确定：z a bi =+对应点(,)a b ，判断点(,)a b 所在的象限.7. 共轭复数：z a bi =+的共轭复数为z a bi =-.8. 复数加、减法法则：(a bi +)±(c di +)=()()a c b d i ±+±. 9. 复数乘、除法法则：(a bi +)(c di +)=()()ac bd bc ad i -++. 八、统计案例1. 回归直线方程为ˆˆˆybx a =+用最小二乘法求得的线性回归方程系数公式： 1122211()()ˆˆˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yba y bx x x xnx====---==---∑∑∑∑=，（ˆˆˆy bx a =+必过样本中心点(),x y ）2. 残差公式：ˆˆi i i ey y =-；衡量模型拟合效果的一个指标：相关指数22121ˆ)1)niii nii y yR y y ==-=--∑∑((残差平方和21ˆ)nii i yy=-∑(越小，2R （201R ≤≤）越接近于1，回归效果越好. 2R 与r 的区别：2R 为相关指数，r 为相关系数，0r <时为负相关，0r >时为正相关， 11r -≤≤，r 越接近于1，变量间的相关性就越强.3. 独立性检验的解题步骤： （1）写出列联表；（2）据公式代数求解2K 的值；（3）根据观测值2K 查表，如果20K k ≥，就推断两变量有关系，犯错误概率不超过P （即有1P -的把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误的概率不超过P 的前提下不能推断两变量有关系2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++，（上表中的概率P 是指犯错误．．．的概率） 九、坐标系与参数方程选讲1. 极坐标系的公式：222cos ,sin ,,tan (0)yx y x y x xρθρθρθ===+=≠. （θ表示极点O 和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角） 2. 参数方程：（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程：cos sin x a r y b r αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）；（α表示圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程：cos sin x a y b αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）；*（3）抛物线22y px =的参数方程：222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数）；*（4）双曲线22221x y a b -=的参数方程：sec tan x a y b αα=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1sec cos αα=）；（5）直线00tan ()y y x x α-=-的参数方程：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（t 表示点()00,P x y 到直线l 上的任意一点(,)M x y 的有向距离） 圆心和曲线上的点的连线与x 轴的正方向所成的角）3. 空间直角坐标系：已知向量a =111(,,)x y z ，b =222(,,)x y z （1）空间向量的平行与垂直：a ∥b ⇔111222x y z x y z ==（222,,0x y z ≠） （2）空间向量的模、距离公式：a=AB =（3）点(,,)x y z 关于x 轴对称的点为(,,)x y z --，关于y 轴对称的点为(,,)x y z --关于z 轴对称的点为(,,)x y z --，关于原点(0,0)对称的点为(,,)x y z --- 关于平面xOy 对称的点为(,,)x y z -，关于平面yOz 对称的点为(,,)x y z -， 关于平面xOz 对称的点为(,,)x y z -，十、空间的角与空间的距离（向量法）：设直线a 与b 的方向向量分别为,a b ，平面α与β的法向量分别为12,n n （1）异面直线a 与b 所成的角θ：则cos θ⋅=⋅a b a b，(0,]2πθ∈（2）直线a 与平面α所成的角θ：111sin cos ,θ⋅=<>=⋅ a n a n a n ，[0,]2πθ∈ （3）二面角l αβ--的平面角θ：1212cos θ⋅=⋅n nn n ，[0,]θπ∈注意：二面角的平面角需要根据实际图形，判断“锐角”还是“钝角” （4）点P 到平面α的距离：11PA d ⋅=n n ，其中A α∈十一、补充公式与定理1. 斜率k 、比率λ、离心率e ，11e λλ-=+（焦点在x 轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y 轴，则改为11e λλ-=+ 2. 斜率12k k 为定值的两个定理：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是椭圆上的动点，直线PQ 交椭圆于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =-，22PQ ON b k k a=-；双曲线()222210,0x y a b a b-=>>关于原点对称的两定点为,A B ，点M 是双曲线上的动点，直线PQ 交双曲线于,P Q 两点，点N 是PQ 的中点，则22MA MB b k k a =，22PQ ON b k k a=.（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y 轴上，则,a b 的位置互换）3. 神奇的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线） （1）曲线上任意一点()11,P x y 的切线方程为：将原曲线方程按照以下方式“21x x x →，21y y y →，()()()21x a x a x a -→--，()()()21y b y b y b -→--，12x x x +→，12y y y +→”置换得到. （2）过曲线外任意一点()00,P x y 引曲线的两条切线，切点A ,B 所在的直线方程为：将原曲线方程按照以下方式“20x x x →，20y y y →，()()()20x a x a x a -→--，()()()20y b y b y b -→--，02x x x +→，02y y y +→”置换得到. 4. 求点A 关于直线0x y m ++=（0x y m -+=）的对称点A '可以用“x ,y 交叉置换法”快速求解. 例如求()3,2A 关于30x y -+=的对称点()00,A x y '，①把30x y -+=进行交叉置换0033x y y x =-⎧⎨=+⎩，②()3,2A 代入即可求得()00,A x y '为()1,6A '-.（注意：当对称轴的斜率1k =±时才可以用此绝技，否则只能用传统的解方程组的方法）. 5. 复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到整体函数()g x ，常见的()g x 有。

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完整版)高中数学公式大全完整版

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完整版)高中数学公式大全完整版高中数学常用公式及常用结论1.包含关系若集合A包含于集合B，则AB=B；若AB=B，则A为B 的子集；若C为A和B的并集，则B包含于C；若A和B的交集为∅，则AB=∅；若AB=R，则A和B互为补集。

2.集合的子集集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。

3.充要条件1）充分条件：若p→q，则p是q的充分条件。

2）必要条件：若q→p，则p是q的必要条件。

3）充要条件：若p→q，且q→p，则p是q的充要条件。

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

4.函数的单调性1)设x1≠x2，且x1,x2∈[a,b]，则有：f(x1)−f(x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)−f(x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数。

2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

5.函数的性质如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数。

6.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

7.函数的对称轴对于函数y=f(x)(x∈R)，若f(x+a)=f(b−x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b/2；函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=a+b/2对称。

8.几个函数方程的周期(约定a>0)1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；2）f(x+a)=−f(x)，或f(x+a)=f(−x)（f(x)≠0），则f(x)的周期T=2a。

数学公式高中理科

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数学公式高中理科在高中理科学习中，数学公式是必不可少的重要内容之一。

数学公式的掌握对于理科学生来说至关重要，因为它们是解决数学问题的关键工具。

下面将介绍一些高中理科中常见的数学公式及其应用。

1. 三角函数公式三角函数是高中数学中重要的内容之一，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们之间的关系可以用以下公式表示：•正弦函数公式：sin2A+cos2A=1；•余弦函数公式：cos2A=1−sin2A；•正切函数公式：tanA=sinA。

cosA这些三角函数公式在解决三角形相关问题时具有重要的作用，例如计算三角形的边长、角度等。

2. 初等代数公式在代数学习中，初等代数公式是基础而重要的内容。

常见的初等代数公式包括：•二次方程求根公式：x=−b±√b2−4ac；2a•因式分解公式：a2−b2=(a−b)(a+b)；•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2。

这些代数公式在解决方程、因式分解等代数问题时非常有效。

3. 几何公式几何学是高中数学中的另一个重要分支，而几何公式在解决空间和平面几何问题时起着至关重要的作用。

常见的几何公式包括：•长方形面积公式：S=l×w，其中S表示面积，l表示长，w表示宽；•圆的周长公式：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径；•三角形面积公式：S=1bℎ，其中S表示面积，b表示底边长，ℎ表示高。

2这些几何公式在计算几何图形的周长、面积等方面具有重要意义。

综上所述，数学公式在高中理科学习中扮演着不可或缺的角色。

掌握各种数学公式，熟练运用它们解决各类数学问题，对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。

希望同学们能够深入学习各种数学公式，并在实际问题中灵活运用，进一步提升数学水平。

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中数学公式及知识点总结大全(精华版)在高中数学学习中，掌握数学公式和知识点是至关重要的。

本文将为大家总结高中数学中常用的公式和知识点，旨在帮助同学们更好地学习和掌握数学知识，提高数学成绩。

一、基础知识点总结1. 直线与平面几何- 直线的方程：一般式、点斜式、两点式等- 直线与角的关系：平行线、垂直线等- 圆的性质：圆的方程、弧长、面积等2. 集合与不等关系- 集合的运算：并集、交集、差集等- 不等关系的性质：大于、小于、等于等3. 函数- 函数的性质：奇函数、偶函数、单调性等- 常用函数：一次函数、二次函数、指数函数等- 函数的图像及性质：拐点、极值点等二、常用公式总结1. 代数式与因式分解- (a+b)² = a²+2ab+b²- (a-b)² = a²-2ab+b²- a²-b² = (a+b)(a-b)2. 几何与三角函数- 三角函数基本关系：sin²θ+cos²θ=1- 角平分线定理：直角三角形中，垂直边上的高等于斜边上的高3. 二次函数与方程- 一元二次方程：ax²+bx+c=0- 二次函数顶点坐标：(-b/2a, -Δ/4a)三、高中数学实例应用1. 解析几何- 坐标系、直线、圆等的相关性质- 平面图形的运用：平行四边形、三角形、梯形等2. 统计与概率- 统计学基本概念：均值、方差、标准差等- 概率论基础知识：样本空间、事件的概率等通过本文的数学公式及知识点总结，希望能够帮助广大高中同学更深入地了解数学知识，提高学习成绩。

数学虽然有一定的难度，但只要勤奋学习、不断总结经验，相信大家一定能够在数学的道路上越走越远。

祝各位同学学习进步，取得优异成绩！。

人教版高中数学选修部分知识点总结理科

人教版高中数学选修部分知识点总结理科

高二数学选修2－1知识点第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．第二章 圆锥曲线与方程11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程 ()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>准线方程2a x c =± 2a y c =± 渐近线方程b y x a =± a y x b=± 17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+． 21、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p > 22y px =-()0p > 22x py =()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤第三章 空间向量与立体几何22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 31、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．32、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。