最优化模型与算法共37页文档

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法

5. 创建DOE分析时，Controlled factors中的DOE Class选择Run Matrix，并相应选择先前得到 的.txt文件。
第14页，共37页。
Size Optimization 尺寸优化
一 在excel表格基础上进行优化
B： 在excel表格中输入设计变量，同时(tóngshí)有响应的计算方法，以此作为优化的依据。
HyperStudy的输出文件
针对不同求解器输出结果所支持的文件类型
Solver
Result
File
Remarks
Model volume（模型体积）， Mass（质量），
Frequency（模态频率(pínlǜ)），
Buckling factor（屈曲因子）
OptiStruct
Radioss
（Bulk format）
设计变量的定义
一 通过hypermesh可以定义为设计变量(biànliàng)的参数:
可为设计变量的参数名称
Shell thickness （壳单元料厚） Spring stiffness （弹簧刚度）
Concentrated mass （集中质量） Composite ply thickness （复合结构的组成结构板厚） Composite ply angle（复合结构中各组成结构间的角度）
Nodal position（节点位置） reaction force（反作用力）
Keyword file Vector contains x,y or z component of the node.
spcforc
SPC反作用力。该文件存放力、力矩。
第11页，共37页。
运行控制
Solver（求解器）

26
29
32
里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000
运价(万元) 37
44
50
55
60
• 1000km以上每增加1至100km运价增加5 • 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足
整公里部分按整公里计算）。
SST
• 钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到 点，而是管道全线）。
• （1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划， 使总费用最小（给出总费用)。
• （2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢 厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用 的影响最大，并给出相应的数字结果。
• （3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树 形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更 一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1） 的要求给出模型和结果。
SST
i 1234567 si 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 pi 160 155 155 160 155 150 160 • 1单位钢管的铁路运价如下表：
里程(km) 运价(万元)
≤300 20
301～350 351～400 401～450 451～500
23
平均值 c [c1, c2,, cn ]T，协方差矩阵 V 。
希望利润期望值最大且方差最小，建立多目标优化模型：
v - min [ - c T x, xTVx ]
s. t. Ax b
x0
SST
• 问题扩展 b. 风险投资问题（参考98全国建模赛题）
将前面的产品换成投资项目，考虑投资 Aj 风险损失qj 。

典型优化问题的模型与算法一、引言优化问题在各种领域中都有着广泛的应用，如生产管理、物流配送、资源分配、财务预算等。

为了解决这些实际问题，我们需要建立合适的数学模型，并设计有效的算法来求解。

本文将介绍一些典型的优化问题的模型与算法。

二、线性规划问题线性规划问题是一种常见的优化问题，用于求解一组线性目标函数和线性约束条件的最优解。

常用的算法包括单纯形法、分支定界法等。

模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量x的值，使得目标函数的值最大（或最小），同时满足一系列线性不等式约束条件。

算法：根据目标函数和约束条件，构建线性规划问题的数学模型；采用合适的算法（如单纯形法）求解该模型，得到最优解。

三、整数规划问题整数规划问题是一种特殊的优化问题，要求变量必须是整数。

常用的算法包括分支定界法、割平面法等。

模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量的整数值，使得目标函数的值最大（或最小），同时满足一系列不等式约束条件，且某些变量必须取整数值。

算法：根据目标函数和约束条件，构建整数规划问题的数学模型；采用分支定界法等算法，将整数规划问题分解为一系列子问题，并逐步求解，最终得到最优解。

四、非线性优化问题非线性优化问题是最常见的优化问题之一，要求目标函数和约束条件均为非线性形式。

常用的算法包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。

模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量的值，使得目标函数的值最小（或最大），同时满足一系列非线性不等式约束条件。

算法：根据目标函数和约束条件，构建非线性优化问题的数学模型；采用梯度下降法、牛顿法等算法，逐步迭代优化目标函数，直到满足终止条件（如迭代次数或误差阈值）为止。

五、动态规划问题动态规划问题是一种特殊的优化问题，用于求解一系列决策过程中的最优解。

常用的算法包括记忆化搜索、最优子结构等。

模型：在给定的决策过程中，要求根据当前状态和可选动作选择最优动作，以最大化（或最小化）某一指标的值。

优化求解一般步骤
针对具体工程问题建立 优化设计的数学模型 建立目标函数文件 建立约束函数文件 建立调用优化工具函数 的M文件或命令文件 运行优化工具函数的M文 件或命令文件求解
min f (x1, x2, …, xn) s.t. g(x) ≤ 0
不等式约束条件 表示成g(X) ≤ 0的 形式
无约束非线性规划问题的MATLAB函数
设置优化选项参数
初始点
目标函数 返回最优设计变量 返回目标函数值
例 求y=2x13 +4x1x23-10x1x2+x22 的最小值点. 解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^310*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0]) 结果为: X= 1.0016 0.8335 或在MATLAB编辑器中建立函数文件. function f=myfun(x) f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2; 保存为myfun.m，在命令窗口键入 >> X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0]) 结果为： X= 1.0016 0.8335
5
MATLAB优化工具箱
常用的优化功能函数

求解线性规划问题的主要函数是linprog。 求解二次规划问题的主要函数是quadprog。 求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc和
fminsearch。Fra bibliotek 求解约束非线性规划问题的函数是 fmincon 。 多目标优化问题的MATLAB函数有fgoalattain和fminimax。

• 飞机飞行的方向角调整幅度不应超过30 ； • （因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行 速度 v 均为800km/h;

• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时

最优化模型与算法.
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
36
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇

!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
最优化模型与算法4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END

用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）

问题） 动态规划（求解多阶段决策问题的最优化方法）
线性规划
线性规划
运筹学中应用最广泛的方法之一
运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 整数规划，目标规划和多目标规划都是 以线性规划为基础的
解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大
研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如 何合理安排使用，效益最高
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省
例1、生产问题
A 煤1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
B 备用资源
2
30
2
60
2
24
50
A, B各生产多少, 可获最大利润?
解:设产品A, B产量分别为变量x1 ， x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
线性规划的一般式
max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn
a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2
……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量 与决策变量改变量成正比
可加性：每个决策变量对目标和约束的影 响独立于其它变量
连续性：每个决策变量取连续值
确定性：线性规划中的参数aij , bi , ci为
确定值
线性规划的求解软件
LINDO LINGO () Matlab Excel

最优化模型与算法
最优化模型和算法是求解优化问题的基本工具，随着人工智能和机器
学习的发展，最优化模型和算法从物理、工程和管理等多个领域被广泛应用。

最优化模型通常是一种特殊的抽象模型，它可以用来把实际问题以数
学模型的形式表示出来，并依据一定的目标函数对这个模型的参数进行优化。

而最优化算法是根据最优化模型寻找最优解的一种算法。

从计算上来讲，最优化模型可分为精确求解和近似求解。

精确求解是
指找到原问题的最优解，它通常采用解析法，比如利用简单x法、线法等
简单算法求解；而近似求解是指通过迭代的过程找到最优解的近似值，它
通常需要采用启发式算法，比如梯度下降法、牛顿法等更复杂的算法求解。

优化过程中，选择合适的算法非常重要。

线性规划若是精确求解，可
以采用简单x法，比如简单的罗伯特－普林斯顿极值法；若是近似求解，
常用的有梯度优化算法、模拟退火算法等。

优化模型与算法总结第1篇梯度类算法，其本质是仅仅使用函数的一阶导数信息选取下降方向。

最基本的算法是梯度下降法，即直接选择负梯度作为下降方向。

梯度下降法的方向选取非常直观，实际应用范围非常广，因此它在优化算法中的地位可相当于高斯消元法在线性方程组算法中的地位。

将辅助函数式(3)，泰勒展开为 \phi(\alpha) = f(x^k)+\alpha \triangledownf(x^k)^Td^k+\mathcal{O}(\alpha ^2||d^k||^2)\tag{12}根据柯西不等式，当步长足够小时，下降方向选择负梯度方向函数下降最快，得到梯度下降方法的迭代方程如下： x^{k+1}=x^k-\alpha_k \triangledown f(x^k)\tag{13}步长的选取依赖于线性搜索方法算法，也可以直接固定步长。

为了直观地理解梯度法的迭代过程，以二次函数为例来展示该过程，其迭代示意图如下图所示。

当问题的条件数很大，也即问题病态时，梯度下降法的收敛性质会受到很大影响。

Bar zilai-Borwein (BB)方法是一种特殊的梯度法，经常比一般的梯度法有着更好的效果。

其下降方向仍为负梯度方向，但步长不是有线性搜索算法给出的，其迭代格式为 x^{k+1}=x^k -\alpha_{BB}^k \triangledown f(x^k)\tag{14} 其中步长可以用下式中的一个来计算：\alpha_{BB1}^k \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{(x^k-x^{k-1})^T(\triangledown f(x^k)-\triangledown f(x^{k-1}))}{(\triangledown f(x^k)-\triangledown f(x^{k-1}))^T(\triangledown f(x^k)-\triangledown f(x^{k-1}))}\tag{15}\alpha_{BB2}^k \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{(x^k-x^{k-1})^T(x^k-x^{k-1})}{(x^k-x^{k-1})^T(\triangledown f(x^k)-\triangledown f(x^{k-1}))}\tag{16}计算两种BB步长的任何一种仅仅需要函数相邻两步的梯度信息和迭代点信息，不需要任何线搜索算法即可选取算法步长。

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
最优化模型与算法.
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。

最优化模型与算法.
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢！Βιβλιοθήκη 36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

现代优化算法
——全局性优化理论的一般性描述

两种搜索方式：单点法和多点法。
单点法是一种串行方式，即从一个初始状态（单个个体）出发，按照某 种方式转移状态进行全局优化，这种方式通常要消耗较多机时； 多点法是一种并行方式，即从可行域的多个初始状态（多个个体）同时 进行搜索寻找全局最优解，但是空间开销大。 根据各态历经假设，理论上二者可以具有相同的搜索效果。事实上，单 CPU情况下的单点法和多点法并没有本质性的区别。
5
MATLAB优化工具箱
常用的优化功能函数

求解线性规划问题的主要函数是linprog。 求解二次规划问题的主要函数是quadprog。 求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc和
fminsearch。

求解约束非线性规划问题的函数是 fmincon 。 多目标优化问题的MATLAB函数有fgoalattain和fminimax。
参数说明： fun为目标函数，它可用前面的方法定义； nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等 约束和非线性等式约束分别在x处的估计C和Ceq，通 过指定函数名或函数名句柄来使用，如： >>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)， 先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m： function [C,Ceq] = mycon(x) C=… % 计算x处的非线性不等约束的函数值. Ceq = … % 计算x处的非线性等式约束的函数值. lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效. output输出优化信息； grad表示目标函数在x处的梯度； hessian表示目标函数在x处的Hessian值.

错误码 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
含义 模型中的括号不匹配 在电子表格文件中找不到指定的单元范围名称 运算所需的临时堆栈空间不够 找不到关系运算符（通常是丢了<,=或>） 输入输出时不同对象的大小不一样 集合元素的索引的内存堆栈空间不够 集合的内存堆栈空间不够 索引函数@INDEX使用不当 集合名使用不当 属性名使用不当
2、目标与约束段：这部分没有段的开始和结束标记， 但是一般要用到LINGO的内部函数，尤其是与集合相 关的函数
3、数据段：这部分以“data:”开始，以”enddata”结束， 作用在于对集合的属性输入必要的常数数据。
LINGO的运算符和函数 算术运算符有加、减、乘、除、乘幂 逻辑运算符有以下九种
用最优化方法解决决策问题包括两个基本步骤： 首先，我们需要把实际决策问题翻译、表述成 数学最优化的形式，即用数学建模方法建立决 策问题的优化模型，简称为优化建模；其次， 建立优化模型后，我们需要选择、利用优化方 法和工具求解模型。优化建模方法自然具有一 般的数学建模方法的共同特性，但优化模型又 是一类既重要、又特殊的数学模型，因此优化 建模方法又具有一定的特殊性和专业性。此外， 由于优化模型的种类很多，很多模型目前还没 有有效的求解方法，不同的算法用于求解不同 模型的效果可能差异很大，如何利用优化软件 求解优化模型也有一定的专业性和技巧性。
集合循环函数 集合函数是指对集合上的元素（下标） 进行循环操作的函数。一般用法如下：
@function(setname[(set_index_list)[ | condition]]: expression _list);其中 function是集合函数名，是 for，max,min,prod, sum五种之一 setname是集合名； set_index_list是集合索引列表(不需用时可省略) condition是用逻辑表达式描述的过滤条件， （通常含有索引，无条件时可以省略 ） expression_list是一个表达式，（对@for 函数可以是一组表达式）