材料力学13

如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。
5．如下图刚架受一对平衡力F作用，各段的EI相同且等于常量，试用图乘法求两端A、B间的相对转角。
解：应用图乘法，在A、B点加一对单位力偶。它们的内力图如下图。
6．图示刚架，各段的抗弯刚度均为EI。试计算B截面的水平位移和C截面的转角。
解：应用图乘法，在B截面加一水平单位力，在C截面加一单位力偶，它们的内力图如下图。
第十三章能量法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其〔A〕。
A应变能相同，自由端扭转角不同；
B应变能不同，自由端扭转角相同；
C应变能和自由端扭转角均相同；
D应变能和自由端扭转角均不同。
〔图1〕
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ，假设先加力偶M，后加F，那么在加F的过程中，力偶M〔C〕。
A不做功；B做正功；
C做负功，其值为 ；D做负功，其值为 。
3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种为先加F，后加M；第三种为先加M，后加F。在线弹性范围内，它们的变形能应为〔D〕。
A第一种大；B第二种大；
C第三种大；D一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。假设杆的拉压刚度为EA，材料的泊松比为μ，那么由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为 ，l为杆件长度。〔提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。〕
A 0；B ；
C ；D无法确定。
〔图2〕〔图3〕
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA相等。试求节点C的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。

2. 计算梁内最大静应力 最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
1 M st max = FN st × 4 qst × 6 2 = 6qst = 6 × 165.62 = 993.7 N m 2
σ st max =
M st max 993.7 N m = = 61.7 MPa Wz 16.1×106 m 3
d(l d ) = ε d ( x)dx =
于是, 于是,杆的总伸长量为
σ d ( x)
E
2
dx
l d = ∫ d (l d ) = ∫
0
l
l
γω 2
2 Eg
0
(l x )dx =
2
γω 2 l 3
3Eg
材料力学
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20
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
一,冲击现象
下落重物冲击梁
Vεd = V +T
材料力学
1 应变能 Vε d = F d d 2 1 Fd d = W d + T 2
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线弹性 范围内
F d d σd = = = Kd W st σst
冲击动荷系数
F = KdW, d = Kd st d
2 d
1 F d = Wd +T d 2
2T =0 K 2Kd Wst
Fd = KdW, d = Kd st
v
W
线弹性 范围内 水平冲击 动荷系数
冲击点
v2 Kd = gst
冲击点作用大小等于W st ——冲击点作用大小等于 的水平 冲击点作用大小等于 静载荷时引起该点的静变形. 静载荷时引起该点的静变形.
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材料力学(金忠谋)第六版答案第14章第十三章 动载荷13－1 铸铁杆AB 长m l 8.1=，以等角速度绕垂直轴O －O 旋转如图示。

已知铸铁的比重3/74m kN =γ，许用拉应力[]MPa 40=σ，材料的弹性模量E ＝160 Gpa 。

试求此杆的极限转速，并计算此杆在转速m r n /100=时的绝对伸长。

解： （1） 极限转速m rn s s l g l g A A Ndl gA dr r qd r Nd x r gAdr ma r qd x r a jx dl n n 1092260137.114175.130799.010*******.92)2(][2][)2(21][)2(21)()()()()(235222222222====⨯⨯⨯⨯⨯=≤≤≤======⎰πωωγσωσωγσσωγωγω（2） 当n ＝1000m rcm m Eg l r EA r Nd l s n l 0252.01052.28.91016039.072.104107423)2(2)(2172.1046010002602492233220=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===∆=⨯==-⎰ωππω（2）吊索： MPa A P d d 55.2105276.14max=⨯==-σ13－3 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。

若轴与盘以s140=ω的匀角速度旋转，论求轴内由这一圆孔引起的最大正应力。

解：23max max 22225.1212.021*********.01060041411060064003.03.047800640404.0mMN W M mN L P N Na gA ma P s m r a z d d d d n n d n =⨯⨯==⋅=⨯⋅===⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯==πσπδγω13－4 飞轮轮缘的平均直径D ＝1.2m ，材料比重3/72m kN =γ，弹性模量GPa E 200=，轮缘与轮幅装配时的过盈量mmD2.0=∆，若不计轮相的影响，求飞轮允许的最大转速。

1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =


13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P