2011年湖南普通高中学业水平考试数学试卷真题+答案
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2011湖南普通高中学业水平考试数学试卷
时量120分钟 满分100分
班次:________学号:______ 姓名:___________得分:_________
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.已知集合{1,2,3,4,5}=A ,{2,5,7,9}=B ,则A B 等于( ) A .{1,2,3,4,5} B .{2,5,7,9}
C .{2,5}
D .{1,2,3,4,5,7,9}
2.若函数()3=+f x x (6)f 等于( )
A .3
B .6
C .9
D 63.直线1:2100--=l x y 与直线2:3440+-=l x y 的交点坐标为( )
A .(4,2)-
B .(4,2)-
C .(2,4)-
D .(2,4)-
4.两个球的体积之比为8:27,那么这两个球的表面积之比为( ) A .2:3
B .4:9
C 23
D .233
5.已知函数()sin cos =f x x x ,则()f x 是( ) A .奇函数
B .偶函数
C .非奇非偶函数
D .既是奇函数又是偶函数
6.向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,则( ) A .//a b
B .⊥a b
C .a 与b 的夹角为60
D .a 与b 的夹角为30
7.等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是( ) A .15
B .30
C .31
D .64
8.阅读右边的流程图,若输入的a ,b ,c 分别是6,2,5。 则输出的a ,b ,c 分别是( ) A .6,5,2 B .5,2,6
C .2,5,6
D .6,2,5
9.已知函数2
()2=-+f x x x b 在区间(2,4)内有唯一零点, 则b 的取值范围是( ) A .R B .(,0)-∞ C .(8,)-+∞
D .(8,0)-
10.在ABC ∆中,已知120=A ,1=b ,2=c ,则a 等于( ) A 3
B 523+
C 7
D 523-二、填空题:(本大题共5小题,每小题4分,满分20分.)
11.某校有高级教师20人,中级教师30人,其他教师若干人,为了了解该校教师的工资收
入情况,拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人,则该校共有教师 人.
12
.3log 4
的值是 .
13.已知0m >,0n >,且4m n +=,则mn 的最大值是 . 14.若幂函数()y f x =的图像经过点1(9,)3
,则(25)f = .
15.已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-上的奇函数,当0x >时,
()f x 的图像如图所示,那么()f x 的值域是 .
一、 选择题: 本大题共10小题,每小题4分,满分40分
填空题: 本大题共5小题,每小题4分,满分20分.
9、 ; 10、 ; 11、 ; 12、 ; 13、 ; 14、 ;15、
三、解答题:本大题共5小题,满分40分. 16.(本小题满分6分)一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有1,2,3,4,5,6,将这
个玩具先后抛掷2次,求:
(1)朝上的一面数相等的概率; (2)朝上的一面数之和小于5的概率.
17.(本小题满分8分)如图,圆心C 的坐标为(1,1),圆C 与x 轴和y 轴都相切. (1)求圆C 的方程;
(2)求与圆C 相切,且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程.
18.(本小题满分8分)如图,在三棱锥P ABC -,PC ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,D 、E 分别是AB 、PB 的中点.
(1)求证://DE 平面PAC ; (2)求证:AB PB ⊥.
1
1 0 x y
19.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =+.
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若()
12
n
a n
b =,求数列{}n b 的前n 项和为n T .
20.(本小题满分10分)设函数()f x a b =⋅,其中向量(cos 21,1)a x =+,
(1,3sin 2)b x m =+.
(1)求()f x 的最小正周期;
(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,4()4f x -<<恒成立,求实数m 的取值范围.
湖南普通高中学业水平考试数学答卷
一.选择题:1, C 2,A 3,B 4,B 5,A 6,B 7,A 8,C 9,C 10,C 二.填空题11, 100 12, 2 13, 4 14,)2.0(5
1
或 15,]3,2()2,3[⋃--
三.解答题: 16.(本小题满分6分)一个均匀的正方体玩具,各个面上分别写有1,2,3,4,5,6,将这
个玩具先后抛掷2次,求:
(1)朝上的一面数相等的概率; (2)朝上的一面数之和小于5的概率. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1)朝上一面数相等的次数出现6种,故发生的概率为
6
66=⨯; (2)朝上朝上的一面数之和小于5的的情况共有6种,故发生的概率为
6
1666=⨯。 7.(本小题满分8分)如图,圆心C 的坐标为(1,1),圆C 与x 轴和y 轴都相切. (1)求圆C 的方程;
(2)求与圆C 相切,且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程. 解:(1)根据题意和图易知圆的半径为1,有圆心坐标为(1,1) 故圆C 的方程为:1)1()1(2
2
=-+-y x ; (2)根据题意可以设所求直线方程截距式为
1=+a
y a x 整理得0=-+a y x ,直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,故 r d =
12
|
11|=-+a 可得22±=a 。 18.(本小题满分8分)如图,在三棱锥P ABC -,PC ⊥底面ABC ,AB BC ⊥,D 、E 分别是AB 、PB 的中点.
(1)求证://DE 平面PAC ; (2)求证:AB PB ⊥. 证明:
(1) 在三角形ABP 中,D 、E 分别是AB 、PB 的中点
∴DE 是三角形ABP 的中位线,故DE//AP,
又PAC AP PAC DE ⊆⊄,,所以//DE 平面PAC ; (2) PC ⊥底面ABC ,ABC AB ⊆,∴PC ⊥AB,
又题目给定条件AB BC ⊥,且C BC PC = ,所以AB ⊥PBC 又 PB ⊆PBC ,所以AB PB ⊥。
1
1
0 x
y