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第十一次作业一．填空题：1．设随机变量(,)X Y 的概率密度为()0,(,)0x y ae x y f x y -+⎧<<+∞=⎨⎩，，其他，则a =1 ，(2,1)P X Y ≤≤ 1231e e e -----+ 。
2．若二维随机变量(,)X Y 的联合分布列为则随机变量(,X Y 的联合分布函数为0,001/6,01,01(,)5/12,01,11/2,1,011,1,1x o r y x y F x y x y x y x y <<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≥⎨⎪≥≤<⎪≥≥⎪⎩ 二. 计算题1. 设二维随机向量(,)ξη仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求(,)ξη的联合分布列。
解：2. 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件，现在从中随机抽取一件，记11,230i i X i ⎧==⎨⎩抽到等品（，，）其他试求随机变量12X X 和的联合分布。
解：令"1,2,3i A i i ==抽到等品"，,则123,,A A A 两两不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A === 123(0,0)()0.1P X X P A ==== 122(0,1)()0.1P X X P A ==== 121(1,0)()0.8P X X P A ==== 12(1,1)()0P X X P φ====3． 将一硬币抛掷3次，X 表示3次中出现正面的次数，Y 表示3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值，求X 和Y 的联合分布率。
解：当连抛三次出现三次反面时，),(Y X 的取值为)3,0(；出现一次正面两次反面时，),(Y X 的取值为)1,1(； 出现两次正面一次反面时，),(Y X 的取值为)1,2(； 出现三次正面时，),(Y X 的取值为)3,3(。
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
华东理工大学概率论答案-2 华东理工大学概率论答案-2概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科。
它广泛应用于各个领域，如金融、保险、统计学等。
华东理工大学概率论是一门重要的数学课程，对于培养学生的数学思维能力和分析问题的能力有着重要的作用。
本文将对华东理工大学概率论的一些典型题目进行解答，以帮助学生更好地理解和掌握概率论的相关知识。
1.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，求P(A∪B)和P(A∩B)。
解：根据概率的定义，P(A∪B)表示事件A或者事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
由于A、B为两个事件，所以有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，代入上式可得P(A∪B)=0.6+0.3-P(A∩B)。
又因为P(A∪B)的取值范围为[0,1]，所以有0 ≤ P(A∪B) ≤ 1。
将已知数据代入上式，可得0 ≤ 0.6+0.3-P(A∩B) ≤ 1。
化简得0.3 ≤ P(A∩B) ≤ 0.9。
所以P(A∩B)的取值范围为[0.3,0.9]。
2.设A、B两个事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.2，求P(A|B)和P(B|A)。
解：P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
已知P(A∩B)=0.2，P(B)=0.5，代入上式可得P(A|B)=0.2/0.5=0.4。
同理，根据条件概率的定义，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
已知P(A∩B)=0.2，P(A)=0.4，代入上式可得P(B|A)=0.2/0.4=0.5。
所以P(A|B)=0.4，P(B|A)=0.5。
3.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，且A、B相互独立，求P(A∩B)和P(A∪B)。
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第一册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第一次作业一． 填空题：1．设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各事件： B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者，B A =S ，B A =B ，AB =A 。
2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）事件ABC 表示A 、B 、C 都发生； (2) 事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生； （3）事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生；（4）事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生；（5）事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。
二． 选择题：1．设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,4,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，则事件=-BC A ( A )。
A.}10,9,8,6,1{B. }5,2{C. }10,9,8,6,2{D. }10,9,8,6,5,2,1{2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件=A “恰有一弹击中飞机”, 事件B = “至少有一弹击中飞机”，事件C =“两弹都击中飞机”, 事件=D “两弹都没击中飞机”，又设随机变量ξ为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不表示}1{=ξ。
A. 事件AB. 事件C B -C. 事件C B -D. 事件C D -3．设A 、B 是两个事件，且∅≠A ，∅≠B ，则()()B A B A ++表示（ D ）。
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与B 不能同时发生 D. A 与B 中恰有一个发生4．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ D ）。
第十五次作业一. 选择题：1. 设随机变量ξ密度函数为()p x ，则31ηξ=-的密度函数()p y η为（ A ）。
A 、11()33y p +B 、13()3y p +C 、1(3(1))3p y +D 、13()3y p -2. 设随机变量ξ和η相互独立，其分布函数分别为 )(x F ξ与)(y F η，则),max(ηξζ＝ 的分布函数 )(z F ζ等于 （ B ） A ．)}(),(max {z F z F ηξ B. )()(z F z F ηξC ．)]()([21z F z F ηξ+ D. )()()()(z F z F z F z F ηξηξ-+二. 填空：已知ξ～)1,0(N ,31ξη=, 则η的概率密度为=)(y ηϕ226e23y y-π。
三. 计算题1. 已知随机变量]2,0[~U ξ，求2ξη=的概率密度。
解: ⎩⎨⎧<≥--=⎩⎨⎧<≥≤≤-=≤=00)()(00}{}{)(2y y y F y F y y y y P y P y F ξξηξξ故()⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=000)()(21)(y y y p y p y y p ξξη＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤其他4041y y2. 设随机变量X 的概率分布为：求)2sin(X Y π=的概率分布。
解：由于⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-=34120141)2sin(k x k x k x x π Λ,2,1=k故随机变量Y 的可能取值为：-1，0，1。
随机变量Y 的∑∞=-==-=1}14{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==141415212118121k k ； ∑∞====1}2{}0{k k X P Y P ∑∞==-⨯==1223112114121k k； ∑∞=-===1}34{}1{k k X P Y P ∑∞=-=-⨯==143415812112121k k ， 于是随机变量Y 的分布律为：3．设~ξ)1,0(U ，求η =ξξln 的分布 。
解：对应于η =ξξln ，)(2)(ln ln x f ex y x x=== ，由于xx e x f x 1ln 2)(2)(ln '⋅⋅= 。
当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，ye yf x ln 1)(--==)(y ηϕ=yy e yy y f x yy f x 其它),1(,.,0ln 21|))((||)(ln '1)(1+∞∈⎪⎩⎪⎨⎧=--=-ξϕ其中当]1,(-∞∈y 时，)(y ηϕ=0是由)1,0(∈x 时),1(+∞∈y 而导出的。
4. 设ηξ、 是两个相互独立且均服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛21,0N 的随机变量，求|)(|ηξ-E 。
解: 由已知条件可得：)1,0(~N ηξ-，所以ππππηξ2e22d e22d e21|||)(|0222222=-==⋅=-+∞--∞+-∞+∞-⎰⎰x x x x x x x E5. 已知随机变量ηξ、 的概率分布分别为412141}{101i x P =-ξξ2121}{10j y P =ηη而且1}0{==ξηP 。
(1)求ηξ、 的联合概率分布；(2)问ηξ、 是否独立？ (3)求), max(ηξζ=的概率分布。
解: 由于(0)1P ξη==,可以得到(1,1)(1,1)0P P ξηξη=-=====,从而1(0,1)(1)2P P ξηη=====, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=-===-=, 1(1,0)(1)4P P ξηξ=====, (0,0)(0)(0,1)0P P P ξηξξη====-===,汇总到联合分布列,即(2)由于(,)()()P i j P i P j ξηξη==≠=⋅=,故,ξη不独立. (3)1(0)(1,0)(0,0)4P P P ζξηξη===-=+===,3(1)(1,1)(0,1)(1,0)(1,1)4P P P P P ζξηξηξηξη===-=+==+==+===6．设随机变量ηξ、 相互独立，其密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=⎩⎨⎧<<=-0)(,0101)(y y e y p x x p yηξ其他 求ηξ+ 的概率密度函数。
解: 由,ξη相互独立得联合密度函数为, 01,0,(,)0, ,y e x y p x y -⎧≤≤>=⎨⎩其他密度函数中非零部分对应的(,)x y 落在区域D 中,利用卷积公式,当1z ≥时,1()0()(1)z x z p z e dx e e ζ---==-⎰,当01z <<时,()0()1zz x z p z e dx e ζ---==-⎰,当0z ≤时,()0p z ζ=,故 (1), 1,()1, 01, 0, 0. z ze e z p z e z z ζ--⎧-≥⎪=-<<⎨⎪≤⎩7. 电子仪器由4个相互独立的部件)4,3,2,1(=i L i组成，连接方式如图所示。
设各个部件的使用寿命i ξ服从指数分布)1(E ，求仪器使用寿命ζ的概率密度。
1L 3L2L 4L解: 设各并联组的使用寿命为)2,1(=j j η，则},m ax {},,m ax {},,m in{43221121ξξηξξηηηζ=== 由i ξ独立同分布知21,ηη也独立同分布。
现⎩⎨⎧≤>-=-0e 1)(x x x F xξ 所以 ⎩⎨⎧≤>-==-000)e 1()()(22y y y F y F y ξη 从而[][]⎩⎨⎧≤>--=⎪⎩⎪⎨⎧≤>---=--=---000)e 2(e 1000)e 1(11)(11)(22222z z z z z F z F z z z ηζ ⎩⎨⎧≤>--==∴---000)e 2)(e 1(e 4)(2z z z p z z z ζ。
8．某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 ξ（单位：吨）服从 ]5,0[ 上的均匀分布。
这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。
如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。
如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。
问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 a 应该定为多少吨？这时，平均每月利润是多少元？解：因为ξ～)5,0(U ,所以ξ的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0501)(x x ξϕ 。
设月产量为 a （50≤≤a ），每月的利润为 η，则)(ξηf =⎩⎨⎧>≤-=--=时当时当a a a a a ξξξξξ6410)(46 。
该厂平均每月利润为ηE ⎰+∞∞-==xx x f Ef d )()()(ϕξ⎰⎰+-=50d 56d 5410a ax a x a x 22265665a a a a a -=-+= 。
由=aE d d η026)6(d d2=-=-a a a a可解得 3=a （吨）。
可见，要使得每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量应该定为3吨。
这时，平均每月利润是9336622=-⨯=-=a a E ξ（万元）。
第十六次作业一． 计算题：1. 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算。
解: 设不合格得产品数为ξ.(1)4013940(2)1(0)(1)1(0.98)(0.02)(0.98)0.1905P P P C ξξξ≥=-=-==--≈. (2)利用二项分布的泊松定理近似,得400.020.8np λ==⨯=,(2)1(0)(1)P P P ξξξ≥=-=-=≈0.80.810.80.1912e e ----≈.2. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布(0.2)P ，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。
解: 设i ξ是第i 页印刷错误的个数，已知i ξ～)2.0(P ，1,2,,300i =L ，它们相互独立，由普阿松分布的可加性可知，300页书的错误总数∑==3001i i ξη～)60(P 。
直接用普阿松分布计算，则有{}{}70706000600700.909813!k k k P P k e k ηη-==≤≤===≈∑∑ 。
下面用独立同分布中心极限定理近似计算。
因为i ξ～)2.0(P ，300,,2,1Λ=i ，独立同分布，λξ=i E 2.0=，λξ=i D 2.0=，300,,2,1Λ=i ，根据独立同分布中心极限定理，可认为 ∑==3001i i ξη近似服从正态分布),(2σμn n N ,其中602.0300=⨯==i nE n ξμ,602.03002=⨯==i nD n ξσ。
所以}700{≤≤ηP ≈)60600()606070(-Φ--Φ)6060()6010(-Φ-Φ=≈)75.7()29.1(-Φ-Φ≈09015.0-9015.0= 。
3. 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从)5.0,5.0(-上的均匀分布。
现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？解: 设各个加数的取整误差为i ξ（1200,,2,1Λ=i ）。
因为 i ξ～)5.0,5.0(-U ，所以 025.05.0=+-==i E ξμ ，12112)5.05.0(22=+==i D ξσ （1200,,2,1Λ=i ）。
设取整误差的总和为 ∑==ni i 1ξη，因为n 1200=数值很大，由定理知，这时近似有 ∑==ni i 1ξη～),(2σμn n N ，其中，001200=⨯=μn ，10012112002=⨯=σn 。
所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为{}12>ηP {}12121≤≤--=ηP ≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ--Φ-)12()12(122σμσμn n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ--Φ-=)100012()100012(1)2.1()2.1(1-Φ+Φ-=)]2.1(1[2Φ-=2302.0)8849.01(2=-⨯= 。
4. 设2021,,,ξξξΛ是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(x x x ϕ 。
令2021ξξξη+++=Λ，用中心极限定理求}10{≤ηP 的近似值。
解: 因为 i ξ（20,,2,1Λ=i ）的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤=其他0102)(x x x ϕ ，所以32d 2d )(102===⎰⎰∞+∞-x x x x x E i ϕξ ，1819421)32(d 2)()(210322=-=-=-=⎰x x E E D i i i ξξξ。
