华师版九年级数学下册课件27.1.1 圆的基本元素

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281 圆的基本元素(华东师大版九年级下)ppt--初中数学

心O，我们把经过
圆心的弦叫结圆上任意两点可以得到一条弦，同时这两个点分圆成两部分，
⌒AB 我们把每一部分叫做圆弧，即圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称为“弧”，用符号
“⌒” 表示，如以A、B为端点的弧，记作
观察会进一步发现，直径AB的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆，
28.1.1 圆的基本元素
创设情境，引入新课
在小学，我们已经学过一些圆的知识，并且知道，圆不仅在几何学中占有极重要的地位，而且圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用。你能举例说明我们周围哪些物体是圆形的吗？
实际生活中，圆形物体的例子很多。比如说：车辆的轮子是圆的，各种管道的截面是圆的，就连大多数的锅沿、碗口、盆边也都是圆的……。
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. ？不是端点行吗？强调端点意在说明：圆上各点到圆心O（定点）的距离都等于线段OA的长（定长）。如果不是“定长”，就可能得到一个别的图形。
（5）反过来，平面内所有到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？
O●
都在圆上（可举反例说明，如图2所示的图形都不是圆）
（i）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）。（ii）到定点的距离等于定长的点都在圆上。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
思考：类比圆的定义，用集合的思想定义圆的内部和圆的外部：
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合；圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
从圆、圆的内部和圆的外部的定义可以看出，圆上、圆内、圆外这三类点分类的条件是由一个点到圆心的距离与半径的大小关系－－－相等、小于或大于而决定的，也就是说，点和圆的位置关系与点到圆心的距离的数量关系是相互对应的，这种对应关系启发学生自己得出：

27.1.1 圆的基本元素++课件+2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

27.1 圆的认识
27.1.1 圆的基本元素
1.圆的定义
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋
转一周 ,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定
的端点O叫做圆心 ,线段OA叫做
半径.
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的
距离
等于定长r的点的集合.
注意:①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半
证明:∵OA、OB为☉O的半径,
∴OA=OB.
∵M、N分别为OA、OB的中点,
∴OM=ON.
在△MOC和△NOC中,
MO=NO,∠MOC=∠NOC,OC=OC,
∴△MOC≌△NOC.∴MC=NC.
圆周的圆弧叫做劣弧,大于半圆周的圆弧叫做优弧.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条
弧都叫做半圆.
(3)等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
(4)圆心角:顶点在圆心 ,并且两边都与圆相交的角.
圆的相关概念
在以下所给的命题中,正确的有 ( B )
(
B)
A.3 5 B.4 5 C.13 D.2 10
5.(2024·绵阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.若∠A=25°,则
40°
∠DCE=
.
6.如图,已知OA、OB、OC是☉O的三条半径,∠AOC=∠BOC,
M、N分别为OA、OB的中点.求证:MC=NC.
①直径是弦,并且是同一个圆中最长的弦;②弦是直径;
③半圆是弧,但弧不一定是半圆;
④半径相等的两个半圆是等弧;
⑤长度相等的弧是等弧;

九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识27.1.1圆的基本元素课件新版华东师大版

编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
解：AC 与 BD 相等．理由如下：如答图，连结 OC、OD. ∵OA＝OB，AE＝BF， ∴OE＝OF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠OEC＝∠OFD＝90°. 在Rt△OEC和Rt△OFD中， OE＝OF， OC＝OD， ∴Rt△OEC≌Rt△OFD(HL)， ∴∠COE＝∠DOF，
2．圆的有关概念等圆：_半__径___相等的两个圆称为等圆．弦与直径：连结圆上任意两点的线段是弦，经过圆心的弦是直径．
注意：(1)直径是最长的弦；(2)直径是弦，但弦不一定是直径．如图所示，弦 AB 是直径，而弦 CD 不是直径．
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧．半圆：一条直径把圆分成的两条弧，是两个半圆．
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。

27.1.1 圆的基本元素++课件+2024—2025学年华东师大版数学九年级下册

如图，在Rt△ABC中，以C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交 AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝ .
【思路分析】根据“等边对等角”求得∠B的度数，进而求出∠A. 【自主解答】 20° 【名师支招】同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角．
【易错原因】不能正确分清圆的有关概念有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是
等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【自主解答】 C
知识点 1：圆的定义及有关概念 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是 A．以点 O 为圆心 B．以点 O 为圆心，5 cm 长为半径 C．以 2 cm 长为半径 D．半径为 2 cm，且经过点 A
12．(汉中第四中学期中)如图，射线OA经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点 A，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是射线OA上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点B.
(1)如图①，当点P在线段OA上，且满足BP＝OB时，求∠OCP的度数； (2)如图②，当点P在线段OA的延长线上，且满足BP＝OB 时，求∠OCP的度数．解：(1)当点P在线段OA上时，在△BOC中，OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB. 在△OPB中，BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO. 又∵∠BPO＝∠OCB＋∠AOC，∠AOC＝30°， ∠BOP＋∠BPO＋∠OBC＝180°， ∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°.
11．如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，A是DC延长线上的一点，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．
解：连接OB. ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝OB， ∴∠AOB＝∠A. ∵OB＝OE， ∴∠E＝∠OBE＝∠AOB＋∠A＝2∠A， ∴∠EOD＝∠E＋∠A＝3∠A. ∵∠EOD＝78°，∴∠A＝26°.

初三下数学课件(华东师大)-圆的基本元素

在圆中有长度不等的弦，
A
1.如图,弧有:___A⌒_B___B⌒_C______
B A⌒BC A⌒CB B⌒CA 它们一样么？
O●
2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
C
优弧有：
⌒
ACB
B⌒AC
你知道优弧与劣弧的区别么？
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
【归纳】(1)弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．
答案：A
例2：如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、 AC于点E、F，∠B＝∠C.
求证：CE＝BF.
解析：欲证CE＝BF，只须证明OE＝OF，而证明△BEO≌△CFO可得OE＝OF.
答案： ∵OB 、 OC 是 ⊙O 的半径， ∴OB ＝ OC ，又 ∵∠B ＝ ∠C ， ∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.
例3：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝18°，试求∠AOC的度数．
解析：欲求∠AOC的度数，只须求出∠C的度数，连接OD，可得∠OCD ＝∠ODC，从而可求得∠C 的度数．
答案：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，∴∠ODC＝2∠E＝ 2×18°＝36°，∠OCD＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠E＋∠OCD＝54°
27.1 圆的认识
（第1课时）
教学目标 1．理解圆、弦、弧、等弧、圆心角等概念． 2．弄清弦与直径的关系． 3．了解优弧、劣弧和半圆的关系．
教学重点和难点重点：圆中的基本概念的认识．难点：对等弧概念的理解．
一、课前预习阅读课本第36～37页内容，了解本节主要内容．

数学九年级下华东师大版28.1.1圆的基本元素课件

3. 根据圆心和半径画出圆。
总结词：已知圆心和半径可以确定一个唯一的圆
具体步骤
2. 选择一个长度作为半径，这个长度应该是已知的或者可以计算的。
01
02
03
04
05
06
已知圆心和半径的作圆
05
CHAPTER
圆的实际应用
车轮、摩天轮等交通工具的设计都利用了圆的特性，使得运动更加平稳和顺畅。
交通工具
建筑学
计算公式
圆心角 = 弧长 / (πr)。
圆心角
圆周长是指圆的边界长度，即圆的周长。
圆周长
圆周长 = 2πr，其中r为圆的半径。计算公式圆周长源自04CHAPTER
圆的作图
已知三点的作圆
三点确定一个圆
总结词
通过已知的三个点，可以确定一个唯一的圆。这三个点可以用来确定圆心和半径，从而画出这个圆。
详细描述
工程学
在物理学中，圆的应用也非常广泛，如磁场、电流等，都需要利用圆的性质和定理来解释和计算。
物理学
其他领域的应用
THANKS
感谢您的观看。
总结词
已知直线的作圆
具体步骤
1. 选择与已知直线垂直的线段，使其与已知直线等距。
2. 将这条线段的中点作为圆心。
已知直线的作圆
3. 使用线段长度的一半作为半径。
4. 根据圆心和半径画出圆。
已知直线的作圆
详细描述：如果已知一个圆的圆心和半径，那么可以确定这个圆的位置和大小。
1. 确定圆心的位置。
圆心与半径的性质
连接圆上任意两点的线段叫做弦。在同一个圆或等圆中，所有的弦都相等。
弦的性质
通过圆心并且两端点都在圆上的弦叫做直径。在同一个圆或等圆中，所有的直径都相等，并且直径是半径的两倍。

华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(圆的基本元素第1课时)》公开课课件

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
圆的基本元素
5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
A
O
B
讨论：
圆的定义
P
O
1、圆的描述性定义：
在同一平面内，一条线段OP绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点 P所经过的封闭曲线叫做圆。
定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径。以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 7:10:03 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
第27章圆
27.1 圆的认识
圆的基本元素
请你欣赏
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状。它最谐调、最匀称。
与圆，去了解圆的性质吧！
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意: 1、确定一个圆需要两个要素： ⑴圆心确定圆的位置； ⑵半径确定圆的大小。 2、圆是指“圆周”，而非“圆面”。 3、圆周上的每一个点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆周上。
圆的基本元素
1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

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劣弧： AF, AD, AC, AE. 优弧： AFE, AFC, ADE, ADC. (2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
D
F
O
B E
A
C
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 . AF
要点归纳
1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”． 2.直径是圆中最长的弦.
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
B M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
A
练一练判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
当堂练习
1.填空：
（1）___直__径_是圆中最长的弦，它是______的2半倍径．
（2）图中有
一条直径，
条非二直径的弦，
圆中以A为一个端点的优弧有
条，四
劣弧有
四条．
D
E
O
A
B
C F
2.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
3．一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
附图解释：
连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关系有 AO+OC>AC, 而AB=2OA,AO=OC,所以AB>AC.
A
·O
C
B
例3 如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC.
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形ABCD的边长为
.
45
A
D
？2x 10 Ⅱ
M
x B
O
C
图4
连OA,OD即可，同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中， AB2 + BO2 = AO2
即(2x)2 + x2 =102
变式：如图，在扇形MON中，
ÐM，O半N径=M4O5=° NO=10，,正方形
ABCD的顶点B、C、D在半径上，顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的
5m
参考答案：
55mm 44mm OO
课堂小结
同心圆
定义
圆
同圆
有关概念
等圆
等弧
能够互相重合的两段弧
旋转定义
要画一个确定的圆，
关
键
是
确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
弦（直径）
劣弧
弧
半圆
优弧
直径是圆中最长的弦
半圆是特殊的弧
圆心角
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角
D
r
A
rO·
C
r
r r
E
要点归纳
同圆半径相等.
•o
典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
B
C
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于．
定长r
（2）到定点的距离等于定长的点都在
同．一个圆上
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
((
B ·O
A
C
B
·O
A
C
等圆: 能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：等圆是两个半径相等的圆.
A
·O
C
等弧:
A
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
·O1
C
叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
观察A⌒D和B⌒C是否相等？
A
B
O
D
C
(
( (( (
( ( ((
例2 如图. (1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧;
边长.
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
N
A
D
xx
x
MB
x
C
O
图5
∴在Rt△ABO中,
∴DC=CO 设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10
AB2 + BO2 = AO2
即(x)2 +(2x)2 =102
\ AB = x = 2 5
三圆心角
概念学习
1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB .
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？
讲授新课
一探究圆的概念
合作探究
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
为了使游戏公平，
在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
第27章圆
27.1 圆的认识 1.圆的基本元素
九年级数学·华师
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.（难点） 3.掌握同圆中半径相等的性质并能运用.（难点）
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
二圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
·O
C
B
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
弧:
➢半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
➢劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
乙甲
丙丁
问题观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义
A
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作 “圆O”.
r做半径，一般用r表示．
确定一个圆的要素