实数综合应用(讲义及答案).

实数1、一组按一定规律排列的式子如下： 2a ， 5a—?28 11a a34 …，（a 0），则第n 个式子是2、已知数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示, 化简 |a 2b | |c 2b |的结果是。

答案：a+c3、观察下面一列数，1,2, 3,4, 5,6, 7L 将这列数排成下列形式，按照上述规律排下去，那么第 11行从左边第7个数是 ______________ 。

答案：—10725、（ 8）的立方根是（ ） A 、一 2答案：C 6、若 b 是a 的立方根，那么下面结论正确的是（）A b 也是 a 的立方根B 、b 是 a 的立方根C b 也是 a 的立方根 D答案：C8、已知mn0且1m 1 n 0 m n1,那么n, m, 1n1 ,n m的大小关系是（ ）A 111 1 1 1 1 1A m - n — nB 、m n — nC 、 n — m nD 、m n n — n mm nm nm n10、 已知一个正数 x 的平方根是3a 2与2 5a ，则a = _________ , x 的立方根为 ________ 。

4、下列说法错误的是（A 2是8的立方根B 、答案：B）4是 64的立方根 C 、1 1 _____________________3是9的平方根D 、4是''256的算术平方根7、点A B 分别是数3、 -在数轴上对应的点，把线段2AB 沿数轴向右移动到 A'B'，且线段 A'B'的中点对应的数是 3,则点A 对应的数是（)A 0B、1C、13D2 4答案：C4丄49、 , 16的算术平方根是 _____________ ,呵的平方根是___________________11、若a,b均为正整数，且a ,1?,b 3 9，则a b的最小值是（）A 6 B、7 C 、8 D 、9答案：B12、已知：x 2的平方根是2，2x y 7的立方根是3，则x2 y2的算术平方根为____________________413、已知实数x, y满足J2x 16 |x 2y 4| 0,则2x - y的立方根为。

【3.1 平方根】1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，x 叫做a 的平方根。

2、平方根的性质与表示 ⑴ 表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。

⑵ 1、一个正数有两个平方根：a ± （根指数２省略）2、０有一个平方根，为０，记作00=3、负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2=⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2（0≥a ）⑷ a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） Eg ：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸ 如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

拓展：两次根式的运算区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4= ４开平方后，得____【典型例题】1、 25的平方根是 ，算术平方根是 ．=+412_________ ． 2、已知2x =100，则x= ． 已知2+x =2，则2)2(+x =______．3、如果一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个数是________．4、下列说法中，正确的个数是 （ ）① ±5是25的平方根 ② 49的平方根是－7 ③ 8是16的算术平方根 ④ －3是9的平方根A ．1B ．2C ．3D ．45、已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.6、若12112--+-=x x y ，求x ，y 的值。

7、已知325y 2+--=x ,求x 取何值时，y 有最大值。

【学生练习1】1、522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。

2、若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。

中考数学第六章 实数(讲义及答案)含答案一、选择题 1．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．62．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（ ）A ．14B ．﹣14C ．74D ．﹣743．下列选项中的计算，不正确的是( )A ．42=±B ．382-=-C ．93±=±D ．164= 4．下列数中π、227，﹣3，3343，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中，无理数的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9 6．下列计算正确的是（ ） A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-= C ．42=± D ．()515-=- 7．下列命题中，真命题的个数有（ ）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（ ）A ．x +yB ．2+yC ．x ﹣2D ．2+x 9．在实数：3.14159364，1.010010001....，4.21••，π，227中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<< B ．334455432<< C ．553344243<<D ．443355342<< 二、填空题11．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．12．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___13．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．14．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．15．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.16．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 17．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．18．将2π93-272这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳22．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．23．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．（1）3与 互为特征数；（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．24．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．25．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，点P 是数轴上的一个动点．（1）求出A 、B 之间的距离；（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；（3）数轴上一点C 距A 点36c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．26．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= .（2）计算：2320191333...3+++++（3）计算：101102103200555...5++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．【详解】解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8) 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和．故本题选B ．【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．2．A解析：A【分析】()230y -=可得：34030x y +=⎧⎨-=⎩，据此求出x 、y 的值，然后把求出的x 、y 的值代入axy-3x=y ，求出实数a 的值即可．【详解】()230y -=，∴34030xy+=⎧⎨-=⎩，解得433xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵axy-3x=y，∴a(﹣43)·3-3×(﹣43)＝3，∴﹣4a+4＝3，解得a＝14．故选：A．【点睛】本题考查了算数平方根平方数的非负性，利用非负数性质求x、y的值是解决问题的关键．3．A解析：A【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可．【详解】解：2=2=±错误，本选项符合题意；2=-，本选项不符合题意；C. 3=±，本选项不符合题意；D. 4=，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可.【详解】解:在π、2273.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中,无理数是: π3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个，故选C.【点睛】本题考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.是有理数中的整数.5．C解析：C【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.【详解】由题意得：23522x -=，∴29x =，∵2(39)±=，∴3x =±，故选：C .【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键. 6．B解析：B【分析】根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案．【详解】解：A.211525⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，选项A 运算错误，不符合题意； B.()239-=，正确，符合题意；2=，所以，选项C 运算错误，不符合题意；D.()511-=-，所以，选项D 运算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 7．A解析：A【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；0.1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.8．C解析：C【分析】根据点E，F，M，N表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．【详解】解：∵﹣2＜0＜x＜2＜y，∴x+y＞0，2+y＞0，x﹣2＜0，2+x＞0，故选：C．【点睛】本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．9．B解析：B【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【详解】解：因为3.14159，227是有限小数，4.21是无限循环小数，所以它们都是有理数；=4，4是有理数；因为1.010010001…，π=3.14159265…，所以1.010010001…，π，都是无理数．综上，可得无理数有2个：1.010010001…，π．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．10．C解析：C【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可【详解】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．二、填空题11．．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=．“ 解析：12++n n ． 【解析】【详解】 根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．12．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列解析：【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，÷=……，即1中第三个数∵1994493故答案为．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．13．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由解析：39【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27、43＝64339．故答案为：39【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．15．【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小解析：2a-【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据,0,0a aaa a≥⎧=⎨-<⎩，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 16．【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．17．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是 ；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．18．＜＜【分析】先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．【详解】==，==，∵＞3＞2，∴＜＜，即＜＜，故答案为：＜＜【点睛】本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解解析：3＜2π先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可． 【详解】33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，∴22＜32＜2π＜2π，＜2π 【点睛】的值是解题关键． 19．－0.0433【分析】 三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6<<479<<<<23∴的整数部分是2，即2b=ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB2＝12+12＝2，∴OB，∴OA＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．22．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<， 6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义． 23．（1）32；（2）1n n -；（3）13 【分析】（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．【详解】解：（1）设3的特征数为b ，由题意知，33b b +=，解得，32b =， ∴3与32互为特征数， 故答案为：32 （2）设n 的特征数为m ，由题意知，n ＋m ＝nm ，解得，1n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1n n -， 故答案为：1n n - （3）∵ m ，n 互为特征数，∴ m ＋n ＝mn ，又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②，①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1，∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1，∴ m ＋n ＝13． 【点睛】本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．24．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b -=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A （0，6），C （8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t ，PC=2t ，∴OP=8-2t ，∵D （4，3）， ∴114222ODQ D S OQ x t t =⨯=⨯=△， 1182312322ODP D S OP y t t =⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.25．（1）12；（2）-4；（3）226--或1466-【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.【详解】解：（1）∵2110|2|0 2ab a⎛⎫++-=⎪⎝⎭，∴11002ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；（2）∵P 到A 和B 的距离相等，∴此时点P 所对应的数为：()21042+-=-；（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，∴c ＜0，又|AC|=∴c=2-BC=12-∵2PB PC =，①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+⨯-=--②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+⨯-=-∴点P 表示的数为：2--或14-【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．26．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-， ∴201514S -=即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (5)4-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。

2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。

1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。

实数典型例题和解析
实数是数学中非常重要的概念，涉及到实数的典型例题和解析
有很多种，我会从不同的角度给出一些例题和解析。

1. 实数的基本性质：
例题，证明实数a和b满足交换律，即a + b = b + a。

解析，根据实数加法的定义，a + b = b + a恒成立。

因为实
数加法满足交换律，所以这个命题成立。

2. 实数的大小比较：
例题，已知a = 3和b = 5，求证a < b。

解析，根据实数大小比较的定义，当a和b是实数且a < b时，必有b a > 0。

所以，5 3 = 2 > 0，因此a < b成立。

3. 实数的运算性质：
例题，计算(√2 + 3)(√2 3)的值。

解析，利用实数的乘法分配律，展开式子得到(√2 + 3)(√2 3) = (√2)^2 3^2 = 2 9 = -7。

4. 实数的绝对值：
例题，求实数-5的绝对值。

解析，实数-5的绝对值记作|-5|，根据绝对值的定义，当x <
0时，|x| = -x。

所以|-5| = -(-5) = 5。

5. 实数的分段函数：
例题，设f(x) = |x 2|，求f(x)的图像。

解析，根据绝对值函数的图像特点，当x < 2时，f(x) = -(x 2)，当x ≥ 2时，f(x) = x 2。

因此，f(x)的图像在x = 2处有转
折点。

以上是一些关于实数的典型例题和解析，涉及到实数的基本性
质、大小比较、运算性质、绝对值和分段函数等方面。

希望这些例题和解析能够帮助你更好地理解实数的概念和性质。

实数综合运算（讲义）一、知识点睛1. 实数计算：（1）分部分：观察式子结构，以加、减法为标志，分部分，每部分一个模块；（2）做运算：辨析种类，依法则，做运算，不图一步到底，不跳步，平均使用精力；（3）巧检验：“抽查”、“普查”相结合，“横向”、“纵向”相结合．2. 含特殊角（15°的倍数）的三角形：利用三角形的高构造直角，把特殊角放在直角三角形中，使用三边关系来求解．二、精讲精练化简：1.)((2132+2.3.4. 175+27315.32-+-6. 212-⎛⎫- ⎪⎝⎭7. (2-8. (021+9.3--10. ))201220133112-+11. 解方程：（110=+ （21)x x =+12. 某片绿地形状如图所示，其中AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∠A =60°，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．13. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =1，AC=，求BC 的长．14. 在△ABC 中，∠A =150°，AB =AC =2，求BC的长． C BA15. 在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =1，BC =4，求AC 的长．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =75°，AC =1，求斜边AB 的长．（提示：作AB 的垂直平分线DE ，交CB A60°D CA B AAB 于点D ，交BC 于点E ）AC BDE三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】1．7- 2．3．45．-6．2 7．528．7-910．52- 11．（1）10x = （2）3x =-12．AD=(400m -；BC=()200m13．BC14．BC=15．AC16．AB实数综合运算（随堂测试）1. 化简：（1）（2）3180125--.÷（3(202-+(（4）20122013222)(2. 在△ABC 中，∠BAC =135°，AB =7，AC =BC 的长．BA【参考答案】1．（1） （2（3（432．BC =17实数综合运算（作业）化简：1. ((221+3+-2. (223. 1126-4.0 32-5.)216.(1-+7.213-⎛⎫-⎪⎝⎭8.201220131+9.在△ABC中，∠ABC=120°，ABBC=求AC的长．CBA【参考答案】1．11-2．5-345．67．11-8．9．AC=。

第1讲实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。

(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。

(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。

实数a的相反数是______0的相反数是________②性质：若a+b=0 则a与b互为______, 反之，若a与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。

②a 的倒数是________(a≠0)(4)绝对值：①定义：一般地数轴上表示数a的点到原点的_______, 叫数a的绝对值。

②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a的平方根，a的平方根表示为_________.（a≥0）(2)算术平方根：正数a的____的平方根叫做a的算术平方根，数a的算术平方根表示为为_____（a≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a的立方根，数a的立方根表示为______。

注意：负数_________平方根。

实数的运算1、有效数字、科学记数法（1）有效数字：从一个数的_____边第一个_____起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

（2）科学记数法：一个数M 可表示为a ⨯10n 或a ⨯10-n形式，其中1//10a ≤∠，n 为正整数，当/M/≥10时，可表示为__________形式，当/M/<1时，可表示为____________形式。

2、实数的运算：（1）运算顺序：在进行混合运算时，先算______,再算_______，在最后算_________;有括号时，先算括号里面的。

（2）零指数：0a =__________（a≠0），负指数：p a -=________（a≠0，p 是正整数）。

第六讲 实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ．2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解【例1】若a 、b 满足ba 53+3=7，则S ＝ba 32-的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题)思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值．思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：(1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．【例5】 已知在等式sdcx b ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答：(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r 1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数，96432=+-++y yx ，若yx axy=-3，则a= ．(2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程185=++-+y y x 的解是 ．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．(济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C所表示的数是( )A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-(江西省中考题) 6．已知x 是实数， 则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ．11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是 ．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ；③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a，那么代数式aa +1的值为( )A ．25 B ．25-C ．5-D ．5(重庆市竞赛题)15．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba b a -+的值为( )A ．3B ．6C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果a b=N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x=M ，a y＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM ，并说明理由．(泰州市中考题) 20．设dcx b ax y++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证：(1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．21.设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。