2006年数学三试题分析、详解和评注
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n
n n n -→∞
+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()
e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=
（3
微分(1,2d z
（4） （5）{P （6）的简（7）0处的(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]
（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22
lim
1h f h h
→=，则
(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在
(C) ()()000f f +'=且存在 (D) ()()010f f +'=且存在 [ ]
（9）若级数
1n
n a
∞
=∑收敛，则级数
(A)
1n
n a
∞
=∑收敛 . （B ）
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛.
(C)
11
n n n a a
∞
+=∑收敛. (D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑
收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常
数，则该方程的通解是
（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.
（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.
(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是
(A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.
(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2
列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则
（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1
C PAP -=.
（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T
C PAP =. ［ ］ （14）设随机变量X 服从正态分布2
11(,)N μσ，Y 服从正态分布2
22(,)N μσ，且
{}{}
1211P X P Y μμ-<>-< 则必有
] 三 （15((（16.
（17 （18((3
（19）（本题满分10分）
求幂级数()()
1
211121n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）
设
4
维向量组
()()()T T T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()T
44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T
121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.
(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T
Q AQ =Λ；
（Ⅲ）求A 及6
3
A E ⎛
⎫-，其中E 为3阶单位矩阵.
（22令Y (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) （23其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计
1…… 【分析】将其对数恒等化ln e
N
N =求解.
【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e
e
n
n
n n n n n n n n n n -→∞
-++⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
→∞
→∞
+⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞
+⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.
()1n
- 【
2…. 【 【 ，《数
3….. 【 所以 ()()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x
y
⎡⎤∂∂=+
=-⎢
⎥∂∂⎣⎦
. 方法二：对()2
2
4z f x y
=-微分得
()222222
d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，
故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.
