概率论第八章 置信区间
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概率统计是一门研究随机现象的学科,它运用数学的方法对随机数据进行分析和处理。
在概率统计中,置信水平与置信区间是两个重要概念,它们被广泛应用于实证研究、市场调查、医学研究等领域。
本文将详细介绍置信水平与置信区间的概念及其在实际应用中的作用。
首先,我们来了解一下置信水平的概念。
置信水平是指在统计推断中,对一个特定参数的估计结果所具有的可靠程度。
通常以α表示,常见的置信水平有90%、95%、99%等。
以95%的置信水平为例,表示在统计推断中,我们有95%的置信度认为真实参数在置信区间内。
接下来,我们来介绍一下置信区间的概念。
置信区间是指在一定置信水平下,对一个未知参数的估计范围。
置信区间通常由一个下限和一个上限组成,表示估计值在该范围内的可能性。
以某种特定结果的95%置信区间为例,表示有95%的置信度认为未知参数在该区间内。
在概率统计中,确定置信水平与置信区间需要使用统计方法。
通常使用正态分布或t分布来进行统计推断。
对于大样本量和已知总体标准差的情况,使用正态分布进行推断;对于小样本量和未知总体标准差的情况,使用t分布进行推断。
一般情况下,置信水平越高,置信区间越宽,即估计的可靠性越高。
概率统计中的置信水平与置信区间在实际应用中具有重要的作用。
首先,置信水平与置信区间可以帮助研究者对未知参数做出合理的估计与推断。
比如在医学研究中,研究人员可以通过置信区间对一种新药物的疗效进行估计,从而为临床实践提供科学依据。
其次,置信水平与置信区间可以用于比较实验结果的显著性。
通过比较两个实验结果的置信区间,可以判断它们是否具有显著差异。
比如在市场调查中,调查人员可以通过置信区间判断两个广告效果的显著性,从而决定是否需要调整广告策略。
此外,置信水平与置信区间还可以帮助研究者确定样本量大小。
根据预先确定的置信水平和置信区间宽度,可以计算出所需的最小样本量。
通过合理地确定样本量大小,可以提高统计推断的准确性和可靠性。
总之,概率统计中的置信水平与置信区间是进行统计推断的重要工具。
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本,假设X服从参数为兄的指数分布,⼏未知,给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵",使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F": (2/1)) => (/2 > /; (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z;(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶):,,,,,。
设零件尺⼨服从正态分布,问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设:“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘,即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下,能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件,要求其使⽤寿命不低于1000⼩时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950⼩时,已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布,问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“,IO。
概率密度估计置信区间
概率密度估计的置信区间是用来描述对真实概率密度函数进行估计时的不确定性范围。
一般情况下,我们使用统计方法对数据进行分析,并根据样本数据来估计概率密度函数。
常用的概率密度估计方法包括核密度估计和参数估计。
在进行概率密度估计时,我们可以得到一个估计的概率密度函数。
然而,由于样本数据的有限性以及估计方法的不确定性,估计的概率密度函数可能与真实概率密度函数存在一定的偏差。
为了描述估计结果的不确定性,我们可以计算概率密度估计的置信区间。
置信区间是指对于给定置信水平(通常选择95%或99%),在重复抽样下,包含真实概率密度函数的区间的概率。
计算概率密度估计的置信区间需要考虑估计方法的方差以及样本数据的大小。
常见的计算方法包括基于正态分布近似的方法(如渐进法和Bootstrap法)以及基于非参数统计的方法(如Jackknife法和交叉验证法)。
总之,概率密度估计的置信区间提供了对估计结果的不确定性进行量化的方法,可以帮助我们评估概率密度估计的可靠性和稳定性。
1。
数理统计中的置信区间数理统计作为应用数学的一部分,研究的是随机现象的数量特征及其规律。
其中的置信区间是统计分析中的一个重要概念,用于描述样本所包含总体参数的可信程度。
本文将从置信区间的定义、构建方法和应用实例三个方面来探讨置信区间在数理统计中的意义和作用。
一、置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下,总体参数的一个区间估计值。
在进行样本调查或者实验研究时,我们通常无法获得整个总体数据,而仅仅是获得了一个样本数据。
这时,我们需要通过从样本中获得一定的统计量,如样本均值、标准差等,来对总体的未知参数进行概率推断。
而置信区间是一种用来评估样本统计量对总体参数的估计精度的方法。
在这个过程中,我们需要先给出一个置信水平,也就是一个事件发生的概率。
例如,我们可以以95%的置信水平来估计总体参数。
这样,我们就可以根据样本数据计算出一个置信区间,其意义是:在一百次样本调查中,有95次会得到的置信区间会覆盖总体参数真实值。
二、置信区间的构建方法置信区间的构建方法有很多种,通常使用的有以下三种方法:1. 正态分布法:当总体服从正态分布时,我们可以采用正态分布来估计总体参数,并据此构建置信区间。
具体方法是:根据样本数据计算出样本均值和标准差,使用正态分布的双侧临界值来限定置信区间。
2. 学生t分布法:当总体的方差未知时,我们需要使用学生t分布来对样本均值进行估计,并据此构建置信区间。
具体方法是:根据样本数据计算出样本均值和标准差,然后根据置信水平和样本容量来查找t分布表,并据此来构建置信区间。
3. 二项分布法:当研究对象为二项分布时,我们需要使用二项分布来估计总体参数,并据此构建置信区间。
具体方法是:根据样本数据计算出样本成功率和样本容量,使用二项分布的双侧临界值来限定置信区间。
三、置信区间的应用实例置信区间在实际应用中有很多场景。
下面就以一些常见的例子来说明:1. 产品质量检验在产品生产过程中,需要对生产线上的产品进行质量检验。
《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1.设12,,,n X X X 是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布,λ未知,给定00λ>和显著性水平(01)αα<<,试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑则22~(2)n χχ,对于给定的显著性水平α,查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使22((2))P n αχχα≥=因 22χχ>,所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥,从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2.某种零件的尺寸方差为21.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05α=).解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =,因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ,即不能认为平均尺寸是32.5毫米。
3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-,其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-,所以接受0H ,即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4.一种元件,要求其使用寿命不低于1000小时,现在从这批元件中任取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布,问这批元件是否合格?(0.05α=)解 设元件寿命为X ,则2~(,100)X N μ,问题是检验假设0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-,其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ,即元件不合格.5.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X : 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=?解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.6.糖厂用自动打包机打包,每包标准重量为100公斤,每天开工后要检验一次打包机工作是否正常,某日开工后测得9包重量(单位:公斤)如下: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常(0.05α=;已知包重服从正态分布)?解 99.98X =,92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑, 1.21S =,问题是检验假设0:100H μ=0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ,即该日打包机工作正常.7.按照规定,每100克罐头番茄汁中,维生素C 的含量不得少于21毫克,现从某厂生产的一批罐头中抽取17个,测得维生素C 的含量(单位:毫克)如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布,试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
概率统计中的假设检验与置信区间——概率论知识要点概率统计是一门研究随机事件发生概率和统计规律的学科。
在实际应用中,我们经常需要通过一定的样本数据来对总体进行推断。
假设检验与置信区间是概率统计中常用的两种方法,用于对总体参数进行推断和判断。
本文将介绍假设检验与置信区间的概念、原理和应用。
一、假设检验假设检验是比较样本数据与某个假设之间的差异是否显著的统计方法。
在进行假设检验时,我们首先需要建立原假设(H0)和备择假设(H1)。
原假设通常是我们要证伪的假设,备择假设则是原假设的对立假设。
在假设检验中,我们需要选择一个适当的检验统计量(test statistic),该统计量的取值与样本数据相关,可以用来判断原假设的真假。
常见的检验统计量有z统计量和t统计量。
以z统计量为例,当样本数据服从正态分布,并且总体参数的值已知时,可以使用z统计量进行假设检验。
z统计量的计算公式为:z = (x - μ) / (σ / √n)其中,x为样本均值,μ为总体均值,σ为总体标准差,n为样本容量。
在进行假设检验时,我们需要设定显著性水平(significance level),常见的有0.05和0.01。
显著性水平表示在原假设为真的情况下,出现拒绝原假设的概率。
如果计算得到的检验统计量的值小于或大于临界值(critical value),则可以拒绝原假设。
二、置信区间置信区间是对总体参数的一个区间估计,用于表示我们对总体参数的估计范围。
置信区间的计算是基于样本数据的统计量,常见的有均值、比例和方差等。
以均值的置信区间为例,当样本数据服从正态分布,并且总体标准差已知时,可以使用z分布来计算置信区间。
置信区间的计算公式为:CI = x ± z * (σ / √n)其中,CI表示置信区间,x为样本均值,z为分位数,σ为总体标准差,n为样本容量。
在进行置信区间估计时,我们需要设定置信水平(confidence level),常见的有0.95和0.99。
4. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。
每袋的平均重量标准为克、标准差为克。
监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋,并对每袋重量进行测量。
现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量。
(1) 描述的抽样分布,并给出和的值,以及概率分布的形状;服从正太分布,其均值10.1406,6μσ==== 1.68。
平均重量概率分布形状为高斯分布。
400.8406(x 400.8)(x )( 3.089)(3)1.683P Z -≤=≤=Φ-≈Φ-= 1(3)0.0013-Φ=(3) 假设某一天技术人员观察到,这是否意味着装袋过程出现问题了呢,为什么?不能,因为当均值为400.8出现时,属于小概率事件,可是实际情况上小概率事件可能会发生。
5. 某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时):3.33.1 6.2 5.8 2.34.15.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.66.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.71.41.22.93.52.40.53.62.5求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90%、95%和99%。
(数据见练习1数据.xls-练习1.5)答:使用Excel 自带的软件可以分别得到下面的表: 当置信水平为90%时,列1平均3.316667 标准误差 0.268225中位数 3.25 众数 5.4 标准差 1.609348方差 2.59 峰度 -0.8877 偏度 0.211009区域 5.9 最小值 0.5 最大值 6.4 求和119.4406=μ1.10=σx x x μx σxx 8.400=x观测数36最大(1) 6.4最小(1) 0.5置信度(90.0%) 0.453185所以置信水平为90%时,其置信区间为(3.316667-0.453185,3.316667+0.453185)当置信水平为95%时,可以得到下面的表:列1平均 3.316667标准误差0.268225中位数 3.25众数 5.4标准差 1.609348方差 2.59峰度-0.8877偏度0.211009区域 5.9最小值0.5最大值 6.4求和119.4观测数36最大(1) 6.4最小(1) 0.5置信度(95.0%) 0.544525所以置信水平为95%时,其置信区间为(3.316667-0.544525,3.316667+0.544525)当置信水平为99%时,可以得到下面的表:列1平均 3.316667标准误差0.268225中位数 3.25众数 5.4标准差 1.609348方差 2.59峰度-0.8877偏度0.211009区域 5.9最小值0.5最大值 6.4求和119.4观测数36最大(1) 6.4最小(1) 0.5置信度(99.0%) 0.730592所以置信水平为99%时,其置信区间为(3.316667-0.730592,3.316667+0.730592)。