概率论第八章 置信区间

表2.1 的显著性水平为 的检验一览表
检验 法 条件 H0 H1 检验统计量 H0的拒绝域W
0 >0
Z z
X 0
Z检验 已知 0 <0 Z
=0 0 0 >0 T检验 未知 0 <0 =0 0

n
Z z
Z z
故Z
0.5112 0.5 0.015 / 9
2.24 1.96
所以拒绝原假设 , 认为机器工作不正常。
四、小结
假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.
假设检验的两类错误
真实情况 (未知) H0 为真 H0 不真
所 接受 H0 正确
作
决
策 拒绝 H0
犯第I类错误 正确
犯第II类错误
五、 单个正态总体参数的假设检 验
第八章
8.1
假设检验
假设检验的基本概念
8.2
正态总体参数的假设检验
第一节
假设检验的基本概念
一、假设检验的基本原理 二、假设检验的相关概念 三、假设检验的一般步骤
一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数只知其形式、但不知其参 数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些 关于总体的假设.
例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
于是可以选定一个适当的正数k,
x 0 当观察值 x 满足 k时, 拒绝假设H 0 , / n x 0 反之, 当观察值 x 满足 k时, 接受假设H 0 . / n X 0 因为当H 0为真时 Z ~ N (0,1), / n
由标准正态分布分位点的定义得 k z / 2 ,
于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.
以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.
由于通常总是取得很小, 一般取 0.01, 0.05,
| X 0 | 因而当H 0 为真, 即 0时, z / 2 是一个 / n 小概率事件 , 可以认为如果 H 0 为真, 由一次试验得到满足不 等式 的观察值x , 几乎是不会发生的 . x 0
即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.
பைடு நூலகம்
由于要检验的假设是总体均值, 故可借助于样本均 值来判断.
因为 X 是 的无偏估计量,
所以若 H 0 为真, 则 | x 0 | 不应太大, X 0 当H 0为真时, ~ N (0,1), / n | x 0 | 衡量 | x 0 | 的大小可归结为衡量 的大小, / n
H0:0 H0: 0 H 0: = 0
vs vs vs
H 1: > 0 H 1: < 0 H1: 0
1. 已知方差σ2 时的Z检验
H0: =0 vs H1: 0 1)提出假设 H 0 : 0 ; H1 : 0 ;
2)给定显著性水平 ？ , 样本容量 n ？
不显著的, 则我们接受 H 0 ,
上述关于 x 与 0 有无显著差异的判断是在显 著性水平 之下作出的.
三、假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设 H 0 及备择 假设 H1 ;
2. 给定显著性水平 以及样本容量 n ;
3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;
4. 按 P{ H 0 为真拒绝 H 0 } 求出拒绝域;
试问机器是否正常 (给定显著性水平 0.05)
解 : 设X ~ N ( ， ), 此是在 0.015已知条件下 ,
2
判断均值 0.5
还是 0.5的问题, 为此
1)提出假设 H 0 : 0.5; H1 : 0.5;
2)显著性水平 0.05, 样本容量 n9
前两个称之参数假设检 验, 后一个称为分布
拟合检验 .i )为双边假设检验 , ii)为单边假设检验。
2. 检验统计量 X 0 统计量 Z 称为检验统计量. / n 3. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域中的值时, 我们拒 绝原假设H0, 则称区域W为拒绝域, 拒绝域的边 界点称为临界点. 如在前面实例中, 拒绝域为 | z | z / 2 ,
装糖重总体 X 的均值和标准差, 已知 0.015, 则 X ~ N ( , 0.0152 ), 其中 未知.
问题: 根据样本值判断 0.5 还是 0.5 .
提出两个对立假设H 0 : 0 0.5 和 H1 : 0 . 再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒绝 假设 H1 ) , 还是拒绝假设 H0 (接受假设 H1 ). 如果作出的判断是接受 H0, 则 0 ,
3)选择Z统计量 :
X Z , / n
在H 0真时,
Z
X 0
/ n
~ N (0,1)
4)由P | Z | z /2 , z /2 ?(查表）
确定H 0的拒绝域为：
W {( X1, X 2 ,
, X n ) : Z z /2}
5)由所得样本观察值得 X ?(计算), 并计算Z 值， H 0 ; 拒绝备择假设 H1。 若 Z z /2，则接受原假设
下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当 机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015 千克.由长期实践可知, 标准差较稳定某日开工 后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装 的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析: 用 和 分别表示这一天袋
临界点为 z z / 2 , z z / 2 .
4. 两类错误及记号
在对原假设 H 0的真伪进行判断时 ,由于样 本的随机性可能产生两 类错误:
, 拒绝 第I类错误: 在假设H 0实际上为真时 H 0的错误, 谓之" 弃真" 错误, 其概率记为
P 拒绝H 0 H 0 真
第II类错误:
又如, 对于正态总体提出数学期望等于 0 的 假设等. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作 出判断: 是接受, 还是拒绝.
假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?
通常借助于直观分析和理论分析相结合 的做法,其基本原理就是人们在实际问题中经 常采用的所谓实际推断原理:“一个小概率事 件在一次试验中几乎是不可能发生的”.
若 Z z /2，则拒绝原假设 H 0 ; 接受备择假设 H1。
2. σ未知时的 t 检验
设样本X 1 , X 2 , , X n来自正态总体 N ( , ),
2
其中 2为未知参数， n为样本容量，给定显 著性水平 ，考虑三种关于 的检验问题：
H0:0
vs
H 1: > 0
/ n
z / 2
x 0 在一次试验中, 得到了满足不等式 z / 2 / n 的观察值 x , 则我们有理由怀疑原来的假设H 0的 正确性, 因而拒绝H 0 .
x 0 若出现观察值 x 满足不等式 z / 2 , 则 / n 没有理由拒绝假设H 0 , 因而只能接受H 0 .
P 拒绝H 0 H 0真
称 为显著性水平，相应的假设检验称为显著性 检验.


设总体 X ~ N ( , ), 为已知, X 1 , X 2 ,, X n
2
是来自总体 X 的样本, 给定显著性水平 ,
H 0 : 0 ; H 1 : 0
当样本容量固定时 , 选定后, 数 k (如前k z ） 就
在假设H 0实际上不真时 , 接受H 0的错误, 谓之" 取伪" 错误, 其概率记为
P接受H 0 H 0 不真
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误 的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.反之 亦然。
5. 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制,即给定 一个较小的数 (0 1) 使得犯第一类错误的概 率不超过 ， 即
对实际中需作出判断的 问题, 提出适当的 统计假设, 根据来自总体的样本 X 1 , X 2 , , X n , 选择适当的统计量 , 此统计量需服从熟知的 分 布, 据此分布由小概率原理 可以确定原假设的 拒绝域, 若样本值落入此拒绝域 中, 则拒绝原假 设, 否则接受原假设。
二、假设检验的相关概念
1. 为已知, 关于 的检验 ( Z 检验)
2
2. 为未知, 关于 的检验( t 检验)
2
3. 关于总体方差 的检验( 检验)
2 2
一 均值的假设检验
设样本X 1 , X 2 , , X n来自正态总体 N ( , ),
2
其中 , 2为未知参数， n为样本容量，给定显 著性水平 ，考虑三种关于 的检验问题：
1. 原假设和备择假设 常用H 0表示原假设 , H1表示备择假设 ,
i ) H 0 : 0 ; H1 : 0
ii) H 0 : ; H 1 :
2 2 0 2
2 0
iii) H 0 : F ( x ) F0 ( x ); H 1 : F ( x ) F0 ( x )
2
著性水平，则在不同条件下 的显著性检验
2
见下一览表：
表2.3 的显著性水平为 的检验一览表
2
检验法 条件
H0
H1
检验统计量
n
H0的拒绝域

2
2 02 2 02
5. 取样, 根据样本观察值确定接受还是拒绝H 0 .