四校自招-数学复附卷

⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。

（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。

4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。

如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。

x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。

（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。

a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。

上海市四校自招考试数学试卷时间：120 分钟总分：150 分注意事项：1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 11 页。

2. 请将答案书写在答题纸上，用黑色签字笔或圆珠笔书写。

3. 请仔细检查试卷，确认试卷所有页面齐全。

第 I 卷（选择题）一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分）1. 下列函数中，奇函数的是（）(A)(B)(C)(D)2. 若，则的值是（）(A)(B)(C)(D)3. 已知集合，，则是（）(A)(B)(C)(D)4. 已知，则的值为（）(A)(B)(C)(D)5. 下列命题中，真命题是（）(A) 三个角的和大于的三角形是钝角三角形(B) 若两个三角形两边分别相等，那么这两个三角形全等(C) 若，则(D) 若，则6. 已知点在圆上，则的最大值为（）(A) 3(B) 4(C) 5(D) 67. 函数的最小值为（）(A) -2(B) -1(C) 0(D) 18. 已知数列，则的值为（）(A) 120(B) 130(C) 140(D) 1509. 下列说法中，正确的是（）(A) 任何一个集合都是有限集(B) 任何一个非空集合都至少有一个元素(C) 两个集合的交集一定包含这两个集合中的所有元素(D) 两个集合的并集一定包含这两个集合中的所有元素10. 已知向量，，则的值为（）(A) -5(B) -3(C) 3(D) 5二、多项选择题（每题 4 分，共 20 分）11. 下列说法中，正确的是（）(A) 是有理数(B) 是无理数(C) 是有理数(D) 是无理数12. 下列函数中，周期为的是（）(A)(B)(C)(D)13. 下列命题中，真命题是（）(A) 若，，则(B) 若，，则(C) 若，，则(D) 若，，则14. 已知点，分别在抛物线上，且的中点为，则的值为（）(A)(B)(C)(D)15. 下列说法中，正确的是（）(A) 线性方程组的解集一定是有限集(B) 线性方程组的解集一定包含整数解(C) 线性方程组的解集一定包含有理数解(D) 线性方程组的解集一定包含实数解第 II 卷（非选择题）一、填空题（每题 5 分，共 25 分）16. 已知为实数，且，则_________.17. 已知三角形的三边长分别为，，，且，则三角形的形状为_________.18. 已知数列的首项为，公差为，则的值为_________.19. 已知函数，则_________.20. 已知直线与圆相切，则_________.二、解答题（共 75 分）21. （15 分）解不等式：22. （10 分）已知函数，求函数的最小值和最大值。

第一套：满分150分2020-2021年遵义市第四中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=． 【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=， 即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是． 【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是 ．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为． 【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<； 若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________． 【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________． 【答案】133t -≤≤-． 【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

1. 在1~1000中，数字“1”有 个2. 方程组21731423142172x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为3. 在3×3的方格中填上1~9，使行、列、对角线上各数和均相等4.=5. 计算：111112233420132014+++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯ 6. 直径为10cm 的圆柱体，长l cm 的纸片，可以绕圆柱体缠绕80圈，求l .（不计纸的厚度） 7. 360的正因数有 个8. 已知0a >，则1a a +的最小值为 9. 已知：2262412x x x x-=--，则22x x -=10. 4本不同的书发给4个人，每个人都有的概率为 11. 如图，在ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，AB a =，AC b =，则PB =12. .13. 在ABC 中，1AC BC ==，36C ︒∠=，求面积ABCS.14. 2y ax bx c =++过(3,0)A -、(1,0)B ，顶点(,4)M t . （1）求a 、b 、c 的值；（2）若(4,6)C --、(1,1)D -，P 在抛物线上位于x 轴上方，当CDP S 最大时，求P 点坐标.参考答案1. 2722. 2531x y == 3. 5在中间，24为肩，答案不唯一 4. 5+5. 201320146. 800π7. 248. 29. 32 10. 33211.2133a b - 12. 略 13.14.（1）223y x x =--+；（2）315(,)24P -.一. 填空题1. A 的算术平方根为B ，则A B +=2. 设x 、y 为实数，则代数式22245425x xy y x y ++-++的最小值为3. 方程：3456x x x x ++=的解有 个4. 已知两质数p 、q 之和为2019，则1(1)q p --（p q >）的值为5. 在直角三角形ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高、 中线，BC a =，3AC =（3a >），若1tan 3DCE ∠=，则 a =6. 在平面直角坐标系内，已知四个定点(3,0)A -，(1,1)B -，(0,3)C ，(1,3)D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为7. 已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，max{,}p q 表示p 、q 中的较大值，min{,}p q 表示p 、q 中的较小值，记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -= 8. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题： 设a 、b 为整数，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤成立，则a b +=二. 解答题9. 已知关于x 的方程248320x nx n ---=①和22(3)220x n x n -+-+=②，问是否存在这样的n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的n 值，若不存在，请说明理由.10. 对于数对序列11(,)P a b ，22(,)a b ，⋅⋅⋅，(,)n n a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}k k k k T P b T P a a a -=+++⋅⋅⋅+（2k n ≤≤），其中112max{(),}k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示1()k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（1）对于数对序列:(2,5)P ，(4,1)，求1()T P 、2()T P 的值；（2）记m 为a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于由两个数对(,)a b 、(,)c d 组成的数对序列:(,)P a b ，(,)c d 和:(,)P c d '，(,)a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较2()T P 和2()T P '的大小.参考答案一. 填空题1. 2. 0 3. 1 4. 20165. 36. +7. 12-8. 3二. 解答题 9. 0n =.10.（1）1()7T P =，2()8T P =；（2）22()()T P T P '≤.2016年复旦附中自招数学试卷1. 已知a b cx b c a c a b===+++，则x = 2. 已知函数22(5)3y x a x =-+-+(23)b x b ≤≤+图像关于y 轴对称，则a b += 3. 已知函数2(2)2(1)y k x kx k =--++的图像与x 轴只有一个交点，则k =4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx =与函数28,32,3324,3x x y x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB >，设E 、F 分别是AC 、BD 的中点，AC 与 BD 交于点O ，已知OEF 是边长为1的正三角形，BOC，则梯形ABCD 的面积为6. 已知矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，若在边BC 上存在点Q ，满足AQ ⊥QD ，则a 的 取值范围是7. 已知锐角三角形ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA >>，若BC 边上的高为AD ，则BD DC -=8. 已知实数m 、n （其中1mn ≠）分别满足：2199910m m ++=，299190n n ++=，则41mn m n++=9. 若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则m 的取值范围是10. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B '处，当CEB '为直角三角形时，BE 的长为11. 如图，OA 、OD 是圆O 的半径，延长OA 至B ，使OA AB =，C 是OA 的中点，∠AOD为锐角α，连接CD 、BD ，且CD a =，则BD =12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是13. 设n （10n ≥）个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为 14. 关于x 的方程22(21)20x m x m m --++=的两个根分别为1x 、2x . （1）若12||x x -=m 的值；（2）若1x 、2x 均为整数，求m 的值.15. 如图，ABC 中，5AB BC ==，6AC =，过点A 作AD ∥BC ，点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP BQ =，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于点O ，联结PQ ，记A P x =，POQ 面积为y .（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）联结QE ，若PQE 与POQ 相似，求AP 的长.16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？ （有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作[]x ，如[1.2]1=，[3]3=，[ 1.3]2-=-.（1）222111(10111)(11121)(201620171)[][][]1011111220162017S =++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯，求[90]S ； （2）解关于x 的方程：212312[]2x x x ---=.参考答案1.12或1- 2. 4 3. 2± 4. 223k << 5. 6. 2a ≥ 7. 4 8. 5- 9. 34m <≤ 10. 32或3 11. 2a 12. 2 13. 5 14.（1）1-；（2）2-、32-、12-、0. 15.（1）22412255y x x =-+，502x ≤<；（2）5 16. 第27层，最小值31617.（1）9；（2）1或1+.2015年上海中学自招数学试卷一. 填空题1. 1a 、2a 、⋅⋅⋅、7a 是{1,2,3,,7}⋅⋅⋅的一个排列，12233471||||||||a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-的最大值为2. 已知a 、b 为正整数，满足5374a b <<，当b 最小时，a b += 3. 已知53x y z xy yz zx ++=⎧⎨++=⎩，x 、y 、z 均为实数，则z 的最大值为4. 已知25370x x --=，求22(2)(1)1(1)(2)x x x x -+--=-- 5. 交流会，两两相互送礼，校方准备礼物，增加n 个人，原有m 个人(17)m <，增加34 份礼物，则m =6. 正ABC 的内切圆半径为1，P 为圆上一点，则12BP CP + 的最小值为二. 解答题7.（1）{1,2,3,,10}⋅⋅⋅，求其中任意两个元素乘积之和； （2）111{1,,,,}2310⋅⋅⋅，求其中任意偶数个元素乘积之和.8. ABCD 为梯形，EP PQ QF ==，EF 不平行AB . （1）求证：BDFCDFACECDESSSS⨯=⨯；（2）求:AB CD 的值.参考答案1. 242. 193.1334. 25. 86.27.（1）1320；（2）92. 8.（1）略；（2）12.2014年上海中学自招数学试卷一. 填空题 1. 已知111a b a b +=+，则b aa b+= 2. 有 个实数x为整数 3. 如图，ABC 中，AB AC =，CD BF =，BD CE =， 用含A ∠的式子表示EDF ∠，则EDF ∠=4. 在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两 点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足1123OB OA -=，则m =5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆 A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有 个可能的值6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有 一船不空也不满，则学生共有 人7. 对于各数互不相等的正整数组12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在i j <时有i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123(,,,a a a456,,)a a a 的逆序数为2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的逆序数为8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<+有唯一的整数解的n 的最大值为二. 选择题9. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积， 则符合条件的整数a 的个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 810. 如图，D 、E 分别为ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设ABM 面积为1S ，ACN 面积为2S ，则 （ ）A. 12S S >B. 12S S =C. 12S S <D. 无法确定11. 设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则（ ）A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12. 设222212310071352013a =+++⋅⋅⋅+，222212310073572015b =+++⋅⋅⋅+，则以下四个选项中最 接近a b -的整数为（ ）A. 252B. 504C. 1007D. 2013三. 解答题13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.（1）线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；（2）若30BAC ︒∠=，45CAD ︒∠=，4AC =，求MN 的长.14. 是否存在m 个不全相等的正数1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a (7)m ≥，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 1-2. 113. 1902A ︒-∠ 4. 25. 116. 447. 138. 220二. 填空题9. C 10. B 11. C 12. B二. 解答题13.（1）垂直；（2.14. 6m k =，2k ≥，k 为正整数.2014年七宝中学自招数学试卷1. 3238b b x y --与32a b a ax y ---的差为单项式，求a b +.2. 求22014||20150x x -+=的解的和.3. 22227x y z xy yz zx ++---=，求||y z -的最大值.4. 在平行四边形ABCD 中，60B ︒∠=，B ∠的平分线交AD 于E ，交CD 延长线于F ，O 为DEF 外心，下面哪些式子是正确的① OEDF 为菱形；② 三角形AOC 为正三角形；③ OAE ≌OCD .5. 2y ax bx c =++(0)a <，顶点(,3)b -，||0b c ac -=，求a 、b 、c .参考答案1. 2或32. 03. 64. ①②③5. 21125228y x x =-+-2014年华二附中自招数学试卷1. 已知14a a -+=，则44a a -+=2. ABC 外接圆，已知3R =，边长之比为3:4:5，则ABC S =3. 2222114a b a b +=+，20132014()()b a a b-= 4. 四个互不相等的整数A 、B 、C 、D ，满足下式的关系，则D 可能有 个取值 A B B CB B CA D A DB D D D+ 5. 有一个鱼缸它的底为100cm ×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水40cm ，将一个底为40cm ×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中，缸内水面上升了 cm6. 有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BECF ，GHIJ ，则BE =7. 一个正方体的表面积是242cm ，里面有个内切球，该内切球中还内接一个小正方体，则小正方体的表面积为8. 1393a b c +=+=+，求222a b c ab ac bc ++---=9. 甲手上有1~5号牌，乙手上有6~11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为10. 一辆计程车的速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，行程结束时里程表上的速度为cba ，其中1a ≥，7a b c ++≤，则222a b c ++=11. 有一个多项式，除以223x -，商式是74x -，余式是52x -+，多项式为12. 有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数为13. 有一个矩形ABCD ，2DC BC =，E 、F 在AB 边上，DE 、DF 将∠ADC 三等分，则:DEF S S =矩14. 直角坐标系xOy 内有一个OEF ，(4,2)E -，(2,2)F --，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E '，求E '坐标15. 若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与 ACD 全等的有（ ）A. BCEB. ADFC. ADED. CDE16. 有一种长方形纸片，其长为a ，宽为b （a b >），现将这种纸片按下右图的方式拼成矩 形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的 长改变时，S 不变，a 和b 满足（ ）A. 2a b =B. 3a b =C. 43a b = D. 4a b =17. 抛物线2y ax bx c =++，抛物线上两点1(5,)A y -，2(3,)B y ，抛物线顶点为00(,)x y ，当120y y y >≥，求0x 的取值范围.18. 1l 、2l 交于点O ，平面内有任意点M ，M 到1l 、2l 的距离分别为a 、b ，有序实数对(,)a b 为距离坐标，若有序实数对为(2,3)，这样的数有几个？19. 解关于x 的方程1|2|32x a --=.20. 某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元.（1）问该商场购进两种手机各多少台？（2）若现在进货资金不超过16万，且在（1）的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大？21. 如图所示，C 在圆O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点E .（1）求证：DE 是切线；（2）:2:3CE DE =，求cos ABC ∠的值.22.（1）设n 1-；（2）根据（1⋅⋅⋅+.23. 已知抛物线过点(3,0)A -、(0,3)B 、(1,0)C .（1）求抛物线解析式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB ，PF ⊥x 轴；① 当PDE C 最大时，求P 的坐标；② 以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标.参考答案1. 1942.216253. 0或2-4. 75. 26. 2-7. 88. 769. 715 10. 3711. 321482614x x x --+ 12. 35 13. 6 14. (2,1)-或(2,1)-15. C 16. B 17. 01x ≥- 18. 419. 当3a <-，无解；当3a =-，4x =；当3a >-，210x a =+或22x a =--20.（1）甲20台，乙30台；（2）甲15台，乙40台，最大毛利24500元.21. 略 22. （1）111n n -+；（2）9910. 23. 略.2013年上海中学自招数学试卷一. 填空题1.⋅⋅⋅+ 2. 设x 、y 、z 为整数且满足20122013||||1x y y z -+-=，则代数式333||||||x y y z z x -+-+- 的值为3. 若有理数a 、b a =+，则a b +=4. 如图，ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =，线段DE AB ⊥，且BDE 的面积是ABC 面积的三分之一，那么线段BD 长为5. 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点M 、N ，顶点为R ，若MNR 恰好是等边三角形，则24b ac -=6. 如图为25个小正方形组成的55⨯棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有 个7. 平面上有n 个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则n 的最大值为8. 若方程22(1)(4)x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 实数k =9. 一个老人有n 匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x 匹，小儿子得y 匹，1x y >≥， 并且满足x 是1n +的约数，y 也是1n +的约数，则正整数n 共有 种可能的取值？10. 已知0a >，且不等式12ax <<恰有三个正数解，则当不等式23ax <<含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为二. 解答题11. 设方程210x x --=的两个根为a 、b ，求满足()f a b =，()f b a =，(1)1f =的二次函数()f x .12. 已知(1)1232n n n ++++⋅⋅⋅+=，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式332(1)231n n n n +=+++，推导出2222123n +++⋅⋅⋅+的计算公式.13. 解方程组2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14. 已知ABC ，5CA =，6AB =，7BC =，A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠，但A B C '''的大小和位置不定，当A '到BC 的距离为3，B '到AC 的距离为1（如图），问：C '到AB 的距离是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.参考答案一. 填空题1.1- 2. 2 3.32 4. 5. 12 6. 19 7. 4 8. 74 9. 2 10. 23710a <<二. 解答题 11. 2()2f x x =-+12.(1)(21)6n n n ++13. x =，y =z =x =，y =，z = 14. 不是定值2013年交大附中自招数学试卷1. 用两条直线分割一下图中两个正方形使其组成新的正方形2.=3. 在等边三角形ABC 中，重心为O ，1ABCS=，以O 为旋转中心旋转60°，得A B C '''，则A B C '''与ABC 重叠部分的面积为4. 已知：2a b +=，b c +=222233242a b c ab bc ac ++++-=5. 如图，有半径为2的圆A ，圆心(0,1)A ，直线y x k =+经过点A ，与圆相交于点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，且10y >.（1）求P 、Q 的坐标；（2）以点P 为顶点的抛物线过点A ，求解析式； （3）在抛物线的对称轴上有一点M ，使OQM 的周长最小，求M 的坐标.参考答案1. 弦图，略2.711+- 3. 234. 29-5.（1）1)P ，(1)Q ；（2）2(12y x =+；（3）13M .2013年华二附中自招数学试卷1. 在Rt ABC 中，90A ︒∠=，AB a =，AC b =，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，BE ⊥EF ，AE x =，EFCS y =，求y 与x 的函数关系.2. 定义：①111*=，②(1)111n n +*=*+，则1n *=3. 22(1)(3)28()(21)(1)4a x a x a f x a x a x a ++++-=-+++-定义域为D ，()0f x >在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围. 4. 已知2222114a b a b+=+，求20122013()()b a a b +=5. 如图，有棋子摆成这样，求第n 幅图有 颗棋子.6. 如图，在矩形ABCD 中，2AE BE =，将ABE 、DEC 分别沿BE 、EC 翻折，15D EA ︒''∠=，则ECB ∠=7. 1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、……，第2013个数是8. 已知x 、y x =+，求(,)x y =参考答案1. 22()2()ax b x y a bx -=+ 2. n 3. 1a =或157a +>或157a -< 4. 2或0 5. (2)n n + 6. 37.5︒ 7. 63 8. 3(,3)22012年华二附中自招数学试卷1. “帽子函数”的图像如图所示：（1）求此函数的解析式；（2）若有抛物线2y x a =-+3()4a <，求它与“帽子函数”图像的交点个数；（3）请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为2.5，3.5.2. 在一个88⨯的正方形方格纸中，一个角剪去一个22⨯的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型纸片（如图），若能剪，给出剪切 方法，若不能剪，请说明理由.3. n 为正整数，123S n =+++⋅⋅⋅+，S 为一个由同一个数字组成的三位数，求n 的值.4. 寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别 为3m/s ，9m/s ，当甲船听到第108声时，乙船只能听见第 声. （300V =声m/s ）5. 对于满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ，使xy最大，这个最大值为 6. 方程||2|1|x a --=有三个正数解，求a 的值.7. 若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围 8. 方程22222x y z w u +++=共有 组整数解9. 正方形ABCD 中有一点E ，使E 到A 、B 、C 边长.10. 9名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5票，“那英组”4票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为参考答案1.（1）,0.51,0.51x k x k y x k k x k ≤<+⎧=⎨-+++≤<+⎩；（2）0a <时，无交点；0a =时，一个交点；304a <<时，两个交点； （3）23(3)4y x =--+.2. 不能3. 364. 1055. 3+6. 17. 112a -<<-8. 无数9. 2 10.192011年华二附中自招数学试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y的方程组1x y x yx y-+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别 是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知PA 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.参考答案1. 402. 33. 60°4. 25.6. 69y ≥7.238. 16 9. 2n k （k 为[1,2]n 中的奇数） 10.11. 108A =，135B =，180C =，117D = 12.12。