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一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程阿西吧的f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取阿西吧的近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解阿西吧的线性方程组的迭代格式中求阿西吧的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
4、欧拉预报--校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.三、证明题（20分每题 10分）1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。
参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、< 13、 44、5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、 1 10、二阶方法二、计算题1、2、3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)4、y(0.2)≈0.01903三、证明题1、证明：当=1时，公式左边：公式右边：左边==右边当=x时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：故具有三次代数精度A卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共9×3＝27分）1、要使11的近似值的相对误差不超过0.1%，应取______________有效数字。
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
贵州大学2005年数学分析考研真题一、判断下列结论的正误，正确的简要说明理由，错误的给出反例（每小题5分，共30分）1、设有数列}{a n ，满足0)(lim 1=-+∞→n n n a a ，则极限n n a ∞→lim 存在.2、设)()(limx g x f x x →存在，)(lim 0x g x x →存在，则)(lim 0x f x x →必存在.3、若)(x f 在开区间),(b a 上连续，则)(x f 在),(b a 上一致连续.4、若可导函数)(x f 在],[b a 严格单调递增，则在),(b a 内必有0)('>x f .5、若)(x f 在0x x =处有定义，且)0()0-(00+=x f x f ，则)(x f 在0x x =处连续.6、若二元函数),(y x f 在),(00y x 处偏导数存在，则),(y x f 在),(00y x 连续.二、求解下列各题（每小题10分，共60分）1、求数列的极限nnn a a +∞→2lim ，（其中0||≠a ）.2、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=0),1ln(0,)(x x x chx x f ，试讨论)(x f 的可导性并在可导处求出')(x f .3、确定a,b 之值，使函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=00,0,)(x b x x a x e x f x ，当当当处处连续.4、在抛物线2x y =找出直线243=-y xk 的距离为最短的点.5、求由不等式33cos sin x y x ≤≤，40πx ≤≤所确定的区域的面积.6、求曲线222,1t t y t x -=+=与x 轴所围成的封闭图形绕x 轴旋转所得的立体的体积.三、证明题(每小题15分，共60分）1、)(x f 在],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ξξf =)(.2、函数),(y x z z =由方程)(z φy x z +=所确定，其中)(z φ具有连续导数，且0)(-1'≠z φy ，证明xzz φy z ∂∂=∂∂)(.3、设)(x f ，)(x g 都在],[b a 上连续，)}(),({max )(],[x g x f x M b a x ∈=，证明)(x M 在],[b a 上连续.4、设)}({x S n 在],[b a 上一致收敛于)(x S ，且每个)(x S n 在],[b a 上连续，则)(x S 连续.贵州大学2006年数学分析考研真题一、单项选择题（共六小题，每小题5分，满分30分）1.在以下格式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（）A.0sin lim x x x→ B.1lim(1)xx x →∞+ C.sin lim x x x x →∞+ D.lim axnx e x→∞2.设f(x)在[0,1]连续可导，不恒为常数，若f(0)=f(1)，则在开区间（0，1）内（）A.'()0f x = B.'()0f x >C.'()0f x < D.存在12ξξ≠，使得''12()()0f f ξξ<3.设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件4.设()f x 在区间[a,b]上非负，在（a,b ）内''()0f x >，'()0f x <，1(()())2b aI f b f a -=-，2()baI f x dx =⎰，1()()I b a f b =-，则123,,I I I 的大小关系（）A.213I I I ≤≤B.123I I I ≤≤C.132I I I ≤≤ D.321I I I ≤≤5.设函数()f x 在(,)-∞∞内连续，则导函数的图形如图1所示，则图1()f x 的图形为（）6.'00(,)0x Z x y =，'00(,)0y Z x y =是函数(,)Z f x y =在00(,)x y 取得极值的（）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件二、判断下列结论是否正确，请说明理由或举出反例（每小题5分，共25分）1.11limsin()lim lim sin()0lim sin()0n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=⨯=⨯=.2.函数()f x 在0x x =处可导，则|()|f x 在0x 处可导.3.设()f x 是在区间[a,b]上取0，1两值的函数，则()f x 在[a,b]必存在间断点.4.设()f x 是在区间[a,b]上可导且严格单调下降，则在区间（a,b ）上，'()0f x <.5.1nnn a x∞=∑在数域上必绝对收敛，三、解答题（共7小题，共95分）1.（16分）分别举出满足下列要求的函数（1）定义域为R ，值域为{-1，0，1}的递减函数.（2）定义在闭区间[0,1]上的无上界的函数.（3）定义在R 上的不是常数的周期函数，且无最小周期（在定义域（a,b ）内任意区间上都不是单调的.（4）定义在闭区间[0,1]上的函数，它有反函数，但在[0,1]的任意区间上都不单调.2.（10分）试给出lim n n a A →∞≠的N ε-定义，并由此证明lim cos 1n n π→∞=.3.（14分）1110,1,(1,2,...2n n naa x a x n x +>==+=，证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n x x →∞.4.（14分）试叙述罗尔中值定理，并证明罗尔中值定理与下面的命题等价：若()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，且存在0(,)x a b ∈，使得00(()())(()())0f x f a f x f b -->，则存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=5.（18分）（1）110,0,,1,2,...n n n n n na b a b n a b ++>>≤=，试证：i ）1nn b∞=∑收敛，则1nn a∞=∑也收敛.Ii ）1nn a∞=∑发散，则1nn b∞=∑也发散.（2）幂级数1nnn a x∞=∑在2x =处收敛，试证1(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.6.（11分）设sin()(,xz xy x y ϕ=+，其中(,)u v ϕ具有二阶连续的偏导数，求：22z x ∂∂，2zxy∂∂7.计算累次积分2222yRy y y x I dy edx dy dx----=+⎰贵州大学2007年数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，满分40分）1.已知201cos 2lim 1ln (1)x x a x b →-=++，则a ，b 的值为____________.2.设vz u =，u x y =+，v x y =-，那么zy ∂∂______________.3.()sin sin sin(cos )f x x x x =+⋅在[,44ππ-上的定积分值是__________.4.已知曲线积分(,)Ly Q x y dy +⎰与积分路径无关，则(,)Q x y _______________.5.设)(x f是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则)(''x F ____________.6.使级数nn xx n )11(1211+--∑+∞=绝对收敛的x 的取值范围__________________.7.写出一个闭区间[0,1]的函数)(x f ，使得)(2x f 是Riemann 可积的，但)(x f 不是Riemann 可积的，例如__________________.8.关于数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理是________________________________________.二、计算题，每小题10分，满分40分1.求极限0lim x x +→2.讨论1()sin xf x e x =在开区间（0，1）内的一致连续性.3.按定义讨论级数1111()1n n n x x n n +∞+=-+∑在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.4.设(,)f x y =，按定义证明(,)f x y 在(0,0)处连续，(0,0)x f 与(0,0)y f 存在，但(,)f x y 在（0，0）处不可微.三、本题15分，设()ln(),(,)f x x x e x e =-+∈-+∞1.求()f x 在(,)e -+∞上的最小值2.令11,(),1n n x e x f x n +==≥，讨论数列{}n x 极限的存在性，若极限存在，求出此极限，若极限不存在，说明理由.四、本题12分，计算积分()()()I x y dydz y z dzdx z x dxdy =+++++∑⎰⎰，其中∑为中心在原点，边长为2的正方体：[1,1][1,1][1,1]-⨯-⨯-的表面，积分沿外侧.五、本题13分，设22(,),()(,)yf x y I y f x y dxx y +∞==+⎰1.证明()I y 在y=0处不连续2.证明()I y 在含有y=0的任何闭区间上连续六、本题15分，设()f x 在[0,2]连续，在（0，2）可导，(0)(2)0,(1)2f f f ===1.证明存在(1,2), ()c f c c∈=使2.证明存在'(0,),st ()[()]1c f c f ξξξξ∈--=七、本题15分，利用幂级数21!n n n x n +∞=∑的和函数S(x).证明212!n n e n +∞==∑，并求31!n n n +∞=∑的值贵州大学2008数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知1)1(ln 2cos 1lim2=++-→bx a x x ，则b a ,的值分别为___________________________________.2.设y x v y x u u z v -=+==,,，那么=∂∂yz__________________________________________.3.)sin(cos sin sin )(x x x x f +=在]4,4[ππ-上的定积分值是_____________________________.4.已知曲线积分⎰+Ldy y x Q dx x y ),(sin与积分路径无关，则=),(y x Q _________________.5.设)(x f 是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则=)(x F n ___________________________.6.级数∑∑∑+∞=+∞=+∞=--11111cos ,)1(,n 1n n n n n n 中收敛的有_______________________________________.二、（每小题9分，满分54分）按要求解答以下各题1.（1）给出区间[0,1]上函数)(x f 黎曼可积的两种不同类型的条件；（2）给出[0,1]上的一个函数)(x f ，使得|)(|x f 黎曼可积，但)(x f 非黎曼可积.2.叙述数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理，并且此原理讨论数列1,121122≥+++=n nx n 的敛散性.3.求极限11ln 11lim-+-+--→x x x e x x .4.讨论xe xf x 1sin)(=在开区间(0,1)内的已知连续性.5.按定义讨论级数∑+∞=++-11)111(n n n x n x n 在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.6.设||),(xy y x f =，按定义证明),(y x f 在(0,0)处连续，），（），（与0000||yfx f ∂∂∂∂存在但),(y x f 在(0,0)处不可微.三、（本题14分）设),(),ln()(+∞-∈+-=e x e x x x f 1.求)(x f 在),(+∞-e 上的最小值；2.令1),(11≥==+n x f x e x n n ，。
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式. 解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑(2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1］上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式.解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=,且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦再回代解该方程，得到14a =,0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()xf x e =,[0,1]x ∈，试求()f x 在［0， 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式. 解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样,有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =,1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
