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弦切角(二)九年级数学教案教学目标1、使学生熟练掌握弦切角定理及其应用．2、通过对具体习题的解答培养学生的分析问题能力；3、培养学生的综合运用能力．教学重点：使学生较熟练运用弦切角定理证明有关几何问题．教学难点：学生不能准确地找到解题思路将弦切角定理及其推论灵活运用．教学过程：一、新课引入：上一节我们已经学习了弦切角定理及其推论，这一节我们来学习将定理和推论熟练应用于解题之中．弦切角也是圆的一个重要的角，它同圆心角、圆周角相互关联，是证明或计算几何综合性习题一个重要途径．当我们从题目中看到圆的切线时，不光想到切线的性质、切线长，还要想到弦切角，同学们将从下面的习题中感悟到这一点．二、新课讲解：练习一，如图7-75，ac是⊙o的弦，ad是切线，cb⊥ad于b，cb交⊙o于e．如果ea平分∠bac，那么∠c=______．(答案30°)练习二，p是直径ab的延长线上一点，pc为⊙o的切线，c为切点，若∠pcb=25°，则∠p=______(答案40°)练习三，bc是⊙o的弦，p是bc延长线上一点，pa与⊙o相切于点a，∠abc=25°，∠acb=80°，求∠p的度数．(答案63°)练习四，弦切角的弦分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数．(答案79°、101°．为什么是两种？教师指导学生弄清楚．)练习五，ab 是⊙o的弦，pa切⊙o于a，c为⊙o上除a、b外任意一点，若∠pab=42°，则∠acb的度数为______．p．124 例2已知：如图7-76，⊙o和⊙o′都经过a、b两点，ac是⊙o′的切线，交⊙o于点c，ad是⊙o的切线⊙o′于点d求证：ab2=bc·bd．学生在教师的指导下完成分析过程．△abd∽△abc即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证．注意，例题证明过程板书时，应参照教材改成推出法．练习六，p．124练习1．如图7-77，ab是⊙的弦，cd是经过⊙o上一点m的切线，求证：(1)ab∥cd时，am=mb．(2)am=mb 时，ab∥cd．提醒学生注意到，本题目的两个结论，正好是互逆，在处理这类问题时，只要把其中一个问题分析透彻即可．练习七，p．124中2．在△abc中，∠a的平分线ad交bc于d，⊙o过点a，且和bc切于d，和ab、ac分别交于e、f．求证：ef∥bc．教师指导学生分析，要证ef∥bc，如果从角相等来考虑，同位角比较困难，可连结de(或df)证内错角相等．弦切角定理∠1=∠3，圆周角定理推论∠2=∠4，而∠3=∠4，从而∠1=∠2，命题得证．想一想，本题还可以怎样证？你能就这个图形，编绘出另外一道题吗？1．另外一个证法是连结od，运用垂径定理和切线性质定理来证．2．另编题：如图7-78，bc切△aef的外接圆o于d，且ef∥bc．求证：ad平分∠bac．。
§10 直线与圆的位置关系（二）---------弦切角定理及切线长定理◆导学目标：1、 了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理2、 了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系 ◆课前预习：通过预习，解决下列问题：1、弦切角是指2、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的3、 叫切线长，过圆外一点向圆只能作 条 切线，这点与切点之间的线段长◆课堂导学：例1 如图，已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5．连结AD ，AB ．（1）证明：△CAD ∽△CBA ； （2）求线段DC 的长.例2、如图所示,AB 是⊙O 的直径,CB,CE 分别切⊙O 于点B 、D,CE 与BA 的延长线交于点E,连接OC,OD.（1）求证: ⊿OBC ≌⊿ODC;（2）已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后,选用以上适当的数,设计出计算⊙O 的半径的一种方案: ①你选用的已知数是________ ;②写出求解过程.（结果用字母表示.）◆当堂导练：1、 如图，如图，直线AP 是⊙O 的切线，点P 为切点，∠APQ=∠CPQ，则图中与CQ 相等的线段是( )A 、PQB ．PBC ．PCD ．BQc baO E D C B A右手栏A B DO C2、 如图，△ABC 内接于⊙O ，DE 是⊙O 的切线，切点为A ，如果∠ABC ＝50°，那么 ∠CAE 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．130°3、 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，过点D 的切线交BA 的延长线于点E ，若∠A DE=25°，则∠C=__________度．◆课后练习：基础练习1、 如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则 ∠BAC 度数是（ ） A ．70° B ．40° C ．50° D ．20°2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切 于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，试求线段BD 的长。
四弦切角的性质
预习导航
1．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
思考1 你对弦切角是怎样理解的？
提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．
弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．
2．弦切角定理
证明两个角相等
提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到： ①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半； ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE 切⊙O 于点A ，若AB ＝
AC ，则∠BAD ＝∠CAE .
温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.
AOB 的度数＝AB 度数
ACB 的度数＝12
AB
的度数
ACB 的度数＝1
2
AC
的度数。
弦切角与圆心角的关系
弦切角=（1/2）圆心角（圆心角等于弦切角的2倍。
）
扩展资料：
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
4、切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
6、切割线定理：圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A、B两点，则有pC²=pA·pB。
7、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
8、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
9、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
（弦切角就是切线与弦所夹的角）
10、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
11、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
12、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
弦切角
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．
难点：弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．
2、教学建议
（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；
（2）学习时应注意：（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．
教学目标：
1、理解弦切角的概念；
2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；
3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．
教学重点：弦切角定理及其应用是重点．
教学难点：弦切角定理的证明是难点．
教学活动设计：
（一）创设情境，以旧探新
1、复习：什么样的角是圆周角?
2、弦切角的概念：
电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE．
引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：
(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
弦切角的定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：
判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
以下各图中的角都不是弦切角．
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；
图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；
图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．
通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。
（二）观察、猜想
1、观察：（电脑动画，使C点变动）
观察∠P与∠BAC的关系．
2、猜想：∠P=∠BAC
（三）类比联想、论证
1、首先让学生回忆联想：
(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?
2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切
点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．
如图．由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部；
(2)圆心在角的一边上；
(3)圆心在角的内部．
3、迁移圆周角定理的证明方法
先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．
组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．
如图 (1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l ＝∠APQ-∠2＝∠APC．
如图 (2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB 十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，
（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)
回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
4．深化结论．
练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧．
练习2 如图，DE切⊙O于A，AB，AC
是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和
∠EAC是否相等?为什么?
分析：由于和分别是两
个弦切角∠OAB和∠EAC所夹的弧．而＝．连结B，C，易证∠B
＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．
由此得出：
推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
（四）应用
例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE
和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D
求证：AC平分∠BAD．
思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角
三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．
证明：(学生板书)
组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结．
思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。
思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．
练习题
1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC
＝56°，则∠ECA＝______度．
2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比
为3:1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________
3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相
交于点C．
求证：∠ATC＝∠TBC．
(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．)
（五）归纳小结
教师组织学生归纳：
(1)这节课我们主要学习的知识；
(2)在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？
（六）作业：教材P13l习题7．4A组l(2)，5，6，7题．
探究活动
一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．
提示：是圆周角（它是弦切角定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．。
