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武昌区2019届高三元月调研考试数学理 试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i 1i -+=+（ ） A ．i B ．2iC ．13i -D ．13i +2．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．(,3]-∞3．已知向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，且满足()()2a b a b +⊥-，则x =（ ） A ．12-B ．12C ．1或12-D ．1或124．函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26 B ．102 C ．410 D ．5126．设,x y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12]7．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦开始1,0n s ==2n s s=-2n n =+n ≥8?输出s结束是否C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8．已知a b 、是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（ ） A ．18B ．38C ．58D ．789．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A ．323B ．483C ．32D ．4810．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O 的表面积为（ ） A ．10πB ．25πC ．100πD ．125π11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 12．已知函数3211()232f x x a x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的零点个数可能有（ ） A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或2个或3个 D ．2个或3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．3(1)(2)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．（用数字填写答案）14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭．。
湖北武昌2019高三元月调研测试--数学（理）数学〔理〕试题本试卷共150分，考试用时120分钟、★祝考试顺利★本卷须知1、本卷1一10题为选择题，共50分；1l 一21题为非选择题，共100分，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回、2、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考征号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置、3、选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答在试题卷上无效、4、非选择题的作答：用0、5毫米黑色墨水的签字笔直截了当答在答题卷上的每题所对应的答题区域内、答在指定区域外无效、 参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕P 〔B 〕、 假如事件A 、B 相互独立，那么P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕、台体的体积公式1()3V S S h=+下上，其中S 上、S 下分别是台体的上、下底面面积，h 是台体的高、【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1、复数21i i+的共轭复数为〔〕A 、1i +B 、1i -C 、1i -+D 、1i --2、集合21{|,,1},{|230},1M y y x x R x N x x x x ==+∈≠=--≤-集合那么 〔〕 A 、M N φ⋂= B 、RM C N ⊆C 、RM C M ⊆D 、M N R ⋃= 3、||1,||()a b a a b ==⊥-且，那么向量a 与向量b 的夹角为〔〕A 、30°B 、45°C 、90°D 、135°4依照上表可得回归直线方程9.1y bx a a =+中为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为〔〕 A 、63.6万元B 、65.5万元 C 、67.7万元D 、72.0万元5、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为〔〕 A 、1311B 、2113C 、813D 、1386、在区间[—1，1]上随机取一个数k ，使直线y=k 〔x+2〕 与圆221x y +=相交的概率为〔〕A 、12B 、13C、3D、27、假设4821201212(3)(2)(2)(2),x x a a x a x a x +=+++++++那么21311log ()a a a +++等于〔〕 A 、27B 、28C 、7D 、88、公差不为零的等差数列{na }的前n 项和为nS ，点〔n ，nS 〕都 在二次函数()y f x =的图象上〔如右图〕、函数y=f 〔x 〕的图 象的对称轴方程是x=3.2假设点〔n ，na 〕在函数y=g 〔x 〕的图象上，那么函数y=g 〔x 〕的图象可能是〔〕9、双曲线22221x y a b-=〔a>0，b>0〕的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是 〔〕 A 、〔1,2〕 B 、〔1,2] C 、[2,+∞〕D 、〔2,+∞〕10、函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-、当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，那么()f x 的单调递减区间是〔〕A 、[2,21]()k k k Z +∈B 、[21,2]()k k k Z -∈C 、[2,22]()k k k Z +∈D 、[22,2]()k k k Z -∈【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分，11、如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，那么那个几何体的 表面积是。
武昌区2019届高三年级元月调研考试理科综合试卷第I卷(选择题共126分)可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 C1-35.5一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关细胞中元素和化合物的叙述，正确的是A.淀粉和纤维素与糖原的基本组成单位是有差别的B.氨基酸脱水缩合产生水，水中的氧来自氨基酸的羧基C.脂肪分子中含氢比糖类分子中含氢多，是主要的能源物质D.组成RNA和DNA的元素种类不同、碱基种类也不完全相同2.下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是A.如某植物细胞内染色体数与核DNA数的比值为1︰2，则此时细胞内核膜将重新出现B.细胞的分化导致基因选择性表达，产生新的蛋白质，细胞具有新的功能C.人体内被自然更新的细胞内，部分酶的活性和自由水含量可能会减弱或降低D.细胞癌变后，细胞中的原癌基因和抑癌基因将不再发生突变3.右图表示某人在安静状态下，单位时间内流经其单位面积皮肤血管内血液的相对含量。
在A 时刻，所处环境温度由15℃突升至40℃；在B时刻，所处环境温度又突降至15℃，下列说法正确的是A.在AB段时间内，因环境温度高于人体温度，所以人体不散热B.在A时刻环境温度突变后，皮肤血管收缩，立毛肌舒张C.体内酶的活性在AB段时间内比BC段时间内明显升高D.在BC段时间内，体内肾上腺素分泌量会有所增加4.某精原细胞(2N=8)的DNA分子双链均用15N标记后置于含14N的培养基中培养，该精原细胞经过连续两次分裂后，检测子细胞中的情况。
下列推断错误的是A.若进行的是有丝分裂，则含15N染色体的子细胞所占比例至少有50%B.若进行的是减数分裂，则第二次分裂后期每个细胞中含15N的染色体有8条C.若子细胞中部分染色体含15N，则分裂过程中可能会发生同源染色体的分离D.若子细胞中染色体都含15N，则分裂过程中可能会发生非同源染色体自由组合5.生长素对植物生长的作用具有两重性，既可以促进生长，也可以抑制生长。
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，∴S阴影S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i 1i -+=+（ ） A ．i B ．2iC ．13i -D ．13i +1．答案：B解析：21i (1i)2i 3i 3i 3i i 3i 2i 1i (1i)(1i)2---+=+=+=-+=++-．2．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3) B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．(,3]-∞2．答案：B解析：2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{|2}B x x a =-<={|22}{|22}x x a x a x a -<-<=-<<+，因为A B ⊆，所以2123a a -⎧⎨+⎩≤≥，解得13a ≤≤．3．已知向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，且满足()()2a b a b +⊥-，则x =（ ） A ．12-B ．12C ．1或12-D ．1或123．答案：A解析：因为向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，所以1x ≠，2(6,12),(0,1)a b x a b x +=+-=-， 因为()()2a b a b +⊥-，所以()()2(12)(1)0a b a b x x +⋅-=+-=，又因为1x ≠，所以12x =-． 4．函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）4．答案：A解析：函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且2()0xx e f x x=>恒成立，排除C ，D ，当0x >时，()x f x xe =，当0x →时，()0f x →，排除B ，选A ． 5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26B ．102C ．410D ．5125．答案：B解析：1,02,3n s s n ==→==→否3226,5s n →=-==→否52626,7s n →=-==→否7226102,9s n →=-==→是，输出102s =．6．设,x y 满足约束条件430290x y x y -+⎧⎪+-⎨≤≤，则2z x y =+的取值范围为（ ），（ ）C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7．答案：B解析：()cos 2sin 6πωωωf x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，最小正周期22,1ππωωT ==∴=，()2sin 6πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22,262k x k k Z πππππ--+∈≤≤，得222,33ππππ≤≤k x k k Z -+∈． 所以()f x 的单调递增区间是22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 8．已知a b 、是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为 （ ）9．答案：A解析：该几何体为如图所示的三棱锥D ABC -，则1132444323D ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭A BCD10．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为长为O 的表面积为（ ） A ．10π B ．25πC ．100πD ．125π10．答案：B解析：正ABC △外接圆的半径2r ==，设ABC △的中心为M，则2,MA SA ==4SM ==，设球O 的半径为R ，在AOM △中，由勾股定理得222AM OM OA +=，即224(4)R R +-=，解得52R =，则球O 的表面积为2425ππR =．S11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 11．答案：B解析：为方便运算，不妨设1a =，则(1,0),(,0)A F c -，因为AFM △是正三角形，2(1)3(1)144(1)c c c -+-=-，3=，） 2个或3个解析：当0a =时，函数()f x 只有1个零点；当0a ≠时，由3211()2032f x x a x x ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，显然0x ≠，则23231216332123x x a x x x x ++==++， 设1t x=，则3213()632g t t t t a ==++，23()186,361087202g t t t '=++∆=-=-<，则()0g t '>恒成立，所以函数()g t 单调递增，且()g t 可取遍(,)-∞+∞，所以1()g t a=有且只有1个解，即()f x 只有1个零点．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．3(1)(2)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．（用数字填写答案） 13．答案：6解析：332(1)(2)(1)(6128)x x x x x x -+=-+++，所以展开式中2x 的系数为1266-=．14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 14．答案：18-解析：()f x 关于(0,0)对称，关于直线1x =-对称，所以35511122228f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ． 15．答案：21n a n =-解析：设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则12452,103,202S d S d S d =-=-=-，因为2214S S S =⋅，所以2(103)(52)(202)d d d -=--，整理得25100,0,2d d d d -=≠∴=，3(3)52(3)21n a a n d n n =+-=+-=-．16．过点(,0)M m 作直线12l l 、与抛物线2:4E y x =相交，其中1l 与E 交于A B 、两点，2l 与E 交于C D 、两点，AD 过E 的焦点F ．若AD BC 、的斜率12k k 、满足122k k =，则实数m 的值为 ． 16．答案：2解析：设222211223344(,2),(,2),(,2),(,2)A t t B t t C t t D t t ，则4112241142()2t t k t t t t -==-+，同理2232k t t =+， 因为122k k =，所以23142()t t t t +=+ ① 直线211142:2()AD y t x t t t -=-+，将(1,0)F 代入得141t t =-， ② 直线211122:2()AB y t x t t t -=-+，将(,0)M m 代入得12t t m =-， ③ 同理可得34t t m =- ④ 由②③④可得1,,m t t t mt =-=-=，将其代入①，得4112,2m t t m t ⎛⎫⎛⎫-=-∴=⎪⎭．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin sin cos2CA B =，()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-．（1）求A ∠和B ∠的大小；（2）若ABC △BC 边上中线AM 的长．17．（1）因为()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-，所以()()()c c a b a b =+-，所以222a b c =+，即cos A =，所以30A =︒， 因为2sin sin cos2C A B =，所以1cos sin sin 2C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，即()1sin sin 60122B B B +=+︒=，所以30B =︒． ……………………6分 （2）,120a bC ==︒，因为21sin 2ABC S ab C ===△2a b ==， 在ACM △中，22212cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AM 12分ABCM18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,AB AC AA BC ACA BC ====∠=︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．ABCA 1B 1C 1（1）记11AC AC O =，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．由题意知1ACC △为正三角形，求得CO =，在1ABC △中求得BO =，又BC = 所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1COAC O =，所以BO ⊥平面11AAC C ．因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(1A C C B --，1(0,2,0),(3,AC AB =-=-．因为BO ⊥平面11AACC ，所以平面11AAC C 的法向量为m =．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-．所以cos ,3m n m n m n⋅-===⨯⋅ 所以所求二面角11B AC C --的余弦值为12分 C19．（本小题满分12分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位：cm ），先从中随机抽取100件，测量已知该批产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本的平均数x ，2σ近似为样本方差2s （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．（1）求(132.2144.4)P l <<；（2）公司规定：当115l ≥时，产品为正品；当115l <时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．12.2≈．若2(,)X N μσ～，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=≤≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，抽取产品质量指标值的方差为：29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150σ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为(120,150),12.2σl N =≈～，1()(120132.2)0.68260.3413,21(2)(120144.4)0.95440.4772,2μμσμμσ≤≤≤≤P l P l P l P l ∴<+=<=⨯=<+=<=⨯=(132.2144.4)(120144.4)(120132.2)0.1359≤≤P l P l P l <<=<-<=．………………6分（2）由频数分布表得：(115)0.020.090.220.33,(115)10.330.67≥P l p l <=++==-=． 随机变量ξ的取值为90,30-，且(90)0.67,(30)0.33ξξP P ====． 则随机变量ξ的分布列为：所以900.67300.3350.4E ξ=⨯-⨯=． ……………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）设12F F 、分别为椭圆22:12x E y +=的左、右焦点，动点0000(,)(0,1)P x y y y ≠≠±在E 上．12F PF ∠的平分线交x 轴于点(,0)M m ，交y 轴于点N ，过1F N 、的直线l 交E 于C D 、两点．（1）若12m =，求0x 的值； （2）研究发现0xm始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求2F CD △面积的取值范围．20．解析：（1）由题意知12(1,0),(1,0)F F -．直线1PF 的方程为0000(1)1y y x x --=++，即000(1)0y x x y y -++=， 直线2PF 的方程为0000(1)1y y x x --=--，即000(1)0y x x y y ---=． 由点1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到1PF 和2PF=（*）02=+，02==-，且022x -<<．所以（*）式可化为003122x x =+-，解得01x =．……………………………………………………4分 （2）定值为2，即2x m=． 直线PM 的方程为0000()y y x m x m--=--，令0x =，并考虑02x m =，得0y y =-． 所以点N 的坐标为0(0,)y -，从而过1F N 、的直线l 的方程为000(1)10y y x +-=+--，即0(1)y y x =-+， 代入2212x y +=，消去x ，得222000(12)20y y y y y ++-=．设1122(,),(,)C x y D x y ， 则200121222002,1212y y y y y y y y --+==++．所以12y y -===所以2121212F CDS F F y y =⋅-=△ 因为22220002222220008(1)2[(12)1]121(12)(12)(12)y y y y y y ⎡⎤++-==-⎢⎥+++⎣⎦，其中000,1y y ≠≠±， 所以22022011601,1123,021(12)9y y y ⎡⎤<<<+<<-<⎢⎥+⎣⎦，所以2403F CD S <<△， 所以2F CD △面积的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………12分121212124x x -21．解析：当1a =-时，2113()ln 424f x x x x =--+，(1)0f =． 21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x+-+-'=--=-=-． 当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>．在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．………………………………………………4分（2）因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112()222ax x f x ax x x-+'=+-=． 因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根． 所以0180a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212,x x x x a a +==． 因为22121212121212121211(ln ln )()()()()ln ln 1424x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==----． 要证1212()()124f x f x a x x ->--，只需证121212ln ln 22x x a x x x x ->=-+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．令121x t x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln ,(1)01t g t t g t -=-=+，所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增，因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)ln 01t t t -->+． 所以，1212()()124f x f x a x x ->--． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求OAB △的面积．22．解析：（1）1C 的普通方程为30x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）原点O 到直线30x y +-=的距离d =，2C 的标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为 2(2,0)C ，半径2r =的圆．2C 到直线30x y +-=的距离2d =AB ==10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()11f x x ax a =++-+．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1x ≥时，不等式()2f x x +≥恒成立，求a 的取值范围．23．解析：（1）当1a =时，不等式()3f x ≥化为13x x ++≥．当1x <-时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤；当10x -≤≤时，13,13x x +-≥≥，无解；当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．所以，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．…………………………………………………4分（2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即11ax a -+≥． 由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥，即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥． 当x ≥1时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．…………………………………………………………10分。
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合{|3,}x A y y x R ==∈，{|}B y x R ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2]B ．(0,)+∞C ．(0,2]D ．[0,2)3.函数||2()3x e f x x =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知等边ABC ∆内接于O ，D 为线段OA 的中点，则BD =（ ） A ．2136BA BC + B ．4136BA BC - C. 2536BA BC -+ D ．2133BA BC + 5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A ．283π- B ．82π- C. 883π-D ．88π-6.若()sin f x x x =在[,](0)m m m ->上是增函数，则m 的最大值为（ ） A ．56π B ．23π C.6π D ．3π 7.如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A8.如图，点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）A 9.已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数(1)f x -为奇函数；④函数(3)f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．410.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 2c a B b A -=，则cos cos cos a A b B a B+的最小值为（ ）A11.如图，在等腰Rt ABC ∆中，斜边AB =，D 为直角边BC 上的一点，将ACD ∆沿直线AD 折叠至1AC D ∆的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．(,1)2C. 1(2 D ．(0,1)12.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）A．||||OM ON +≥．以MN 为直径的圆的面积大于4π C.直线MN 过抛物线2y x =的焦点 D ．O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为 ．14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为 ．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =已知ABC ∆满足(sin sin )(sin sin )A B A B -+2sin sin sin A C C =-.且2AB BC ==ABC ∆的面积为 ．16.设函数2()ln ||(0)2ax f x ax a e=->，若函数()f x 有4个零点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17. 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和为n T .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且22PC BC AD CD ====2PA =.（1）PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由.19. 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣. （1）试完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20. 已知椭圆22'22:1(0)x y I a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，上顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆Γ于B 、C 两点，若2FOA COB S S ∆∆=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线l 和直线2x =于M 、N 两点，试求||||MF NF 的值.21. 已知函数22()ln 1()f x ax x x ax a a R =--++∈. （1）试讨论函数()f x 的导函数'()f x 的零点个数；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，关于x 的不等式'()()2f x f x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线22cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线1cos :sin x t l y t ββ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 与直线l 的极坐标方程（极径用ρ表示，极角用θ表示）；（2）若直线l 与曲线C 相交，交点为A 、B ，直线l 与x 轴也相交，交点为Q ，求||||QA QB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）画出函数()f x 的图象；（2）若关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCAAA 6-10: CCABD 11、12：BD二、填空题(1,)+∞三、解答题17.【解析】（1）对于数列{}n a ，4291111111()2()5n n na q a q a q a q a q-+⎧=⎪⎨+=⎪⎩*1(0,)a q n N ≠∈ 即1122a qq =⎧⎪⎨=⎪⎩或 注意到{}n a 为递增数列 则122a q =⎧⎨=⎩ ∴2n n a =对于数列{}n b ，由141n n n b b S +=-得1141n n n b b S --=- 相减得11()4n n n n b b b b +--=又∵0n b ≠ ∴114n n b b +--=为定值∴数列21{}n b -和2{}n b 都是以4为公差的等差数列 又∵11b = ∴在141n n n b b S +=-中令1n =得23b =∴211(1)42(21)1n b n n -=+-⨯=--，23(1)42(2)1n b n n =+-⨯=- ∴2nn a =，21n b n =-（2）由（1）得n T =23123252(21)2n n ⨯+⨯+⨯++-⨯∴2n T =231232⨯+⨯++1(23)2(21)2n n n n +-⨯+-⨯∴n T =23122222-⨯-⨯-⨯-122(21)2n n n +-⨯+-⨯3112(12)2(21)212n n n -+-=--+-⨯-1(23)26n n +=-⨯+18.【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，BC =AB AC ⊥ 又∵AB PC ⊥，ACPC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC∴AB ⊥平面PAC 又∵PA ⊂平面PAC ∴AB PA ⊥∵2PA AC ==，PC =∴PA AC ⊥ 又∵PA AB ⊥，AB AC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴PA ⊥平面ABCD（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND = 则MN PA ∥ 又由（1）得PA ⊥平面ABCD ∴MN ⊥平面ABCD 又∵AC ⊂平面ABCD ∴MN AC ⊥ 作NO AC ⊥于O 又∵MNNO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO∴AC ⊥平面MNO 又∵MO ⊂平面MNO ∴AC MO ⊥ 又∵AC NO ⊥ ∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角设PM x PD = 则(1)22MN x AP x =-=-，22ON AN xAD x == 这样，二面角M AC D --的大小为60︒即tan MON ∠=22tan 60MN xON x-==︒=即4PMx PD==-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 且由（1）知(0,0,2)AP =是平面ACD 的一个法向量 设(0,1)PMx PD=∈ 则(1)22MN x AP x =-=-，AN xAD ==∴,22)AM x =-，(2,AC = 设(,,)AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量则2(22)020AQAM xb x c AQ AC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩∴22a b c b x =-⎧⎪⎨=⎪-⎩令22b x =-，则(22,2)AQ x x =-+-，它背向二面角 又∵平面ACD 的法向量(0,0,2)AP =，它指向二面角 这样，二面角M AC D --的大小为60︒即cos ,APAQ =||||AP AQAP AQ ⋅=⋅1cos 602=︒= 即4x =-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-19.【解析】（1）由题得如下的列联表∴22()()()()()n ad bc k K a b c d a c b d -==++++2100(50152510)60407525⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.556 6.635≈< ∴没有（2）记事件i A =从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i = 则23A A +=从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且2A 与3A 互斥∴所求概率2323()()()P P A A P A P A =+=+213033333366101202C C C C C C =+== （3）由题意，可知ξ所有可能取值有0，1，2，3223422559(0)50C C P C C ξ===1122123434225512(1)25C C C C C P C C ξ+===221112432422553(2)10C C C C C P C C ξ+=== 212422551(3)25C C P C C ξ===所以ξ的分布列是∴()E ξ=92415260123505050505⨯+⨯+⨯+⨯= 20.【解析】（1）由题得22221120,0)1222c bca b a c b caa b c ⎧=⎪⎪⎪=>>>>⎨⎪⋅⋅⎪⎪=+⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆Γ的方程为2212x y += （2）方法一：由题知直线m 的斜率存在 ∴可设:m y kx t =+由22220y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得222(21)4(22)0k x ktx t +++-=∵直线m 与椭圆有且只有一个公共点∴222(4)4(21)(22)0kt k t ∆=-+-= 即2221t k =+∵直线:ml y kx t =+与直线1x =交于M ∴(1,)M k t + 同理(2,2)N k t +∴||||MF NF==2=为定值 方法二：设切点为000(,)(0)P x y y ≠ 则00:12x xm y y += 令1x =得0022x y y -=即002(1,)2x M y - 令2x =得001x y y -=即01(2,)x N y -∴||||MF NF===2=为定值 21.【解析】（1）解法一：由题得'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->∴''2()2()2(0)ax a f x x x x-=-=-> 1︒当0a <时，'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->是减函数且2222'()ln 22(1)0aaaaf e a e e e =-=->'(1)20f =-<∴此时'()f x 有且只有一个零点2︒当0a =时，'()0f x <，此时'()f x 没有零点3︒当0a >时∴''max [()]()(ln1)22a af x f a ==- （ⅰ）若02a e << 则'max [()](ln 1)02af x a =-<此时，函数'()f x 没有零点 （ⅱ）若2a e =则'max [()](ln 1)02af x a =-= 此时，函数'()f x 有且只有2ae =一个零点 （ⅲ）若2a e > 则'max [()](ln1)02af x a =->且'(1)20f =-<，下面证明存在(,)2a t ∈+∞使'()0f t <①取at e = 12aa e a >+>下面证明'2()ln 220a a a a f e a e e a e =-=-<，证明：设2()2x g x x e =- 则'()22x g x x e =-，()2(1)x g x e ''=- ∴()2(1)x g x e ''=-在[0,)+∞上恒负 ∴'()2()x g x x e =-在[0,)+∞上是减函数∴在[0,)+∞上，恒有'()2()x g x x e =-'(0)20g ≤=-< ∴2()2x g x x e =-在[0,)+∞上是减函数∴'2()ln 22a a a a f e a e e a e =-=-()(0)20g a g =<=-<，得证或②取2t a = 22a a >下面证明'222()ln 22(ln )0f a a a a a a a =-=-<， 证明：设()ln (1)g x x x x =-> 则'1()10(1)g x x x=-<> ∴'()g x 在(1,)+∞上是减函数∴'2()2(ln )2()f a a a a ag a =-=2(1)20ag a <=-<，得证∴此时，函数'()f x 有且只有两个零点综上，函数'()f x 的零点个数00210222a e a a e a e ≤<⎧⎪=<=⎨⎪>⎩或解法二 由题得'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->1︒当0a =时，'()0f x <，此时没有零点2︒当0a ≠时导函数'()f x 的零点个数等于函数1y a =与函数ln 2x y x=图象的交点个数 设ln ()2x g x x =则'21ln ()(0)2x g x x x-=> 当0x e <<时，'()0g x >；当x e >时，'()0g x < ∴()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减 ∴max 1[()]()2g x g e e==又∵当0x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →（即0lim ()x g x +→=-∞，0lim ()0x g x +→=） ∴图象如图∴当10a <即0a <时，有1个交点；当1102a e <<即2a e >时，有2个交点；当112a e=即2a e =时，有1个交点；当112a e>即02a e <<时，没有交点. 综上，函数'()f x 的零点个数00210222a e a a e a e≤<⎧⎪=<=⎨⎪>⎩或（2）设'()()()2h x f x f x =--=22(ln 1)ax x x ax a --++(ln 2)2a x x ---2ln (2)ax x x a =---21ln (1)x a a x x +--≥∴'1()(ln )h x a x ax x =+⋅12(2)x a a x ----⋅ln 22(1)aa x x x x=-+-> ∴21()2a h x a x x ''=⋅-+=211()2(1)a x x x+->1︒题设成立的一个必要条件是(1)(1)0h a a =-≤即01a ≤≤ 2︒当01a ≤≤时(1,)x ∀∈+∞，211()()h x a x x ''=+-2112()2011a <+-≤∴'()h x 在(1,)+∞上单调递减又∵'()h x 在1x =处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同） ∴(1,)x ∀∈+∞，''()(1)0h x h a <=≤ 从而()h x 在(1,)+∞上单调递减 ∴[1,)x ∀∈+∞，()(1)0h x h ≤≤ ∴实数a 的取值范围为[0,1]22.（1）曲线22:(2)4C x y -+=即224x y x +=即24cos ρρθ=即0ρ=或4cos ρθ=由于曲线4cos ρθ=过极点 ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ= 直线:(1)sin cos l x y ββ+=即sin cos sin 0x y βββ-+= 即cos sin sin cos sin 0ρθβρθββ-+=即sin()sin ρθββ-= 直线l 的极坐标方程为sin()sin ρθββ-= （2）由题得(1,0)Q -设M 为线段AB 的中点，圆心到直线l 的距离为(0,2)d ∈则||||2||QA QB QM +==它在(0,2)d ∈时是减函数∴||||QA QB +的取值范围=23. 解：（1）∵1(21)[(2)]21()(21)[(2)]22(21)(2)2x x x f x x x x x x x ⎧-+---<-⎪⎪⎪=+---≤≤⎨⎪+-->⎪⎪⎩ 1321312232x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩∴()f x 的图像如图（2）由（Ⅰ）得12321()212232x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩∴当12x =-时，min [()]2f x x -=- ∴题设等价于212m +≥-即32m ≥-。
武昌区2019届高三元月调研考试数学理 试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i 1i -+=+（ ） A ．i B ．2iC ．13i -D ．13i +2．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3)B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．(,3]-∞3．已知向量(2,1),(2,)a b x ==不平行，且满足()()2a b a b +⊥-，则x =（ ） A ．12-B ．12C ．1或12-D ．1或124．函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26 B ．102 C ．410 D ．5126．设,x y 满足约束条件4302901x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的取值范围为（ ）A ．[2,6]B ．[3,6]C ．[3,12]D ．[6,12]7．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦开始1,0n s ==2n s s=-2n n =+n ≥8?输出s结束是否C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8．已知a b 、是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（ ） A ．18B ．38C ．58D ．789．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A ．323B ．483C ．32D ．4810．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为3侧棱长为25O 的表面积为（ ） A ．10πB ．25πC ．100πD ．125π11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2 12．已知函数3211()232f x x a x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的零点个数可能有（ ） A ．1个 B ．1个或2个 C ．1个或2个或3个 D ．2个或3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．3(1)(2)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．（用数字填写答案）14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫=⎪⎝⎭．15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．过点(,0)M m 作直线12l l 、与抛物线2:4E y x =相交，其中1l 与E 交于A B 、两点，2l 与E 交于C D 、两点，AD 过E 的焦点F ．若AD BC 、的斜率12k k 、满足122k k =，则实数m 的值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin sin cos2CA B =，()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-．（1）求A ∠和B ∠的大小；（2）若ABC △BC 边上中线AM 的长． 18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,AB AC AA BC ACA BC ====∠=︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．19．（本小题满分12分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位：cm ），先从中随机抽取100件，已知该批产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本的平均数x ，2σ近似为样本方差2s （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）． （1）求(132.2144.4)P l <<；A BCA 1B 1C 1（2）公司规定：当115l ≥时，产品为正品；当115l <时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．12.2≈．若2(,)X N μσ～，则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=≤≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．20．（本小题满分12分）设12F F 、分别为椭圆22:12x E y +=的左、右焦点，动点0000(,)(0,1)P x y y y ≠≠±在E 上．12F PF ∠的平分线交x 轴于点(,0)M m ，交y 轴于点N ，过1F N 、的直线l 交E 于C D 、两点．（1）若12m =，求0x 的值； （2）研究发现0xm始终为定值，写出该定值（不需要过程），并利用该结论求2F CD △面积的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数2113()ln 424f x x ax x =+-+． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：1212()()124f x f x a x x ->--．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3x ty t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 相交于A B 、两点，求OAB △的面积． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知()11f x x ax a =++-+．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1x ≥时，不等式()2f x x +≥恒成立，求a 的取值范围．武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案17．解析：（1）因为()sin ()(sin sin )c C a b A B =+-，所以()()()c c a b a b =+-，所以222a b c =+，即cos 2A =，所以30A =︒， 因为2sin sin cos2C A B =，所以1cos sin sin 2C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，即()1sin sin 6012B B B =+︒=，所以30B =︒． ……………………6分（2）,120a b C ==︒，因为21sin 24ABC S ab C a ===△2a b ==， 在ACM △中，22212cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AM =12分ABCM18．解析：（1）记11A CAC O =，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．由题意知1ACC △为正三角形，求得CO =，在1ABC △中求得BO =BC =所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1COAC O =，所以BO ⊥平面11AAC C ．因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(1A C C B --，1(0,2,0),(3,AC AB =-=-．因为BO ⊥平面11AAC C，所以平面11AAC C 的法向量为m =．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则120320n AC y n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-．所以cos ,23m n m n m n⋅-===-⨯⋅，因为所求二面角的平面角为钝角，所以所求二面角11B AC C --的余弦值为12分 C19．解析：（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，抽取产品质量指标值的方差为：29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150σ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为(120,150),12.2σl N =≈～，1()(120132.2)0.68260.3413,21(2)(120144.4)0.95440.4772,2μμσμμσ≤≤≤≤P l P l P l P l ∴<+=<=⨯=<+=<=⨯=(132.2144.4)(120144.4)(120132.2)0.1359≤≤P l P l P l <<=<-<=．………………6分（2）由频数分布表得：(115)0.020.090.220.33,(115)10.330.67≥P l p l <=++==-=． 随机变量ξ的取值为90,30-，且(90)0.67,(30)0.33ξξP P ====． 则随机变量ξ的分布列为：所以900.67300.3350.4E ξ=⨯-⨯=． ……………………………………………………………12分20．解析：（1）由题意知12(1,0),(1,0)F F -． 直线1PF 的方程为0000(1)1y y x x --=++，即000(1)0y x x y y -++=， 直线2PF 的方程为0000(1)1y y x x --=--，即000(1)0y x x y y ---=． 由点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭到1PF 和2PF=． （*）2==+， 02==-，且022x -<<．所以（*）式可化为003122x x =+-，解得01x =．……………………………………………………4分（2）定值为2，即2x m=． 直线PM 的方程为0000()y y x m x m--=--，令0x =，并考虑02x m =，得0y y =-． 所以点N 的坐标为0(0,)y -，从而过1F N 、的直线l 的方程为000(1)10y y x +-=+--，即0(1)y y x =-+，代入2212x y +=，消去x ，得222000(12)20y y y y y ++-=．设1122(,),(,)C x y D x y ， 则200121222002,1212y y y y y y y y --+==++．所以12y y -===所以2121212F CDS F F y y =⋅-=△ 因为22220002222228(1)2[(12)1]121y y y ⎡⎤++-==-⎢⎥，其中000,1y y ≠≠±，21．解析：当1a =-时，2113()ln 424f x x x x =--+，(1)0f =． 21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x+-+-'=--=-=-．当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>．在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．………………………………………………4分（2）因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112()222ax x f x ax x x -+'=+-=．因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根． 所以0180a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212,x x x x a a +==．因为22121212121212121211(ln ln )()()()()ln ln 1424x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==----． 要证1212()()124f x f x a x x ->--，只需证121212ln ln 22x x a x x x x ->=-+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令121x t x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln ,(1)01t g t t g t -=-=+，所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增，因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)ln 01t t t -->+． 所以，1212()()124f x f x a x x ->--．22．解析：（1）1C 的普通方程为30x y +-=，由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．……………………4分（2）原点O 到直线30x y +-=的距离d =，2C 的标准方程为22(2)4x y -+=，表示圆心为2(2,0)C ，半径2r =的圆．2C 到直线30x y +-=的距离22d =，所以AB ==10当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．所以，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．…………………………………………………4分（2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即11ax a -+≥． 由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥，即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥． 当x ≥1时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．…………………………………………………………10分。
武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1i3i1i-+= +（）A．i B．2i C．13i-D．13i+答案：B考点：复数的运算。
解析：21i(1i)2i3i3i3i i3i2i1i(1i)(1i)2---+=+=+=-+=++-．2．已知集合2{|log(1)1},{|2}A x xB x x a=-<=-<，若A B⊆，则实数a的取值范围为（）A．(1,3)B．[1,3]C．[1,)+∞D．(,3]-∞答案：B考点：集合的运算，对数函数的性质，绝对值不等式。
解析：2{|log(1)1}{|012}{|13}A x x x x x x=-<=<-<=<<，{|2}B x x a=-<={|22}{|22}x x a x a x a-<-<=-<<+，因为A B⊆，所以2123aa-⎧⎨+⎩≤≥，解得13a≤≤．3．已知向量(2,1),(2,)a b x==rr不平行，且满足()()2a b a b+⊥-r rr r，则x=（）A．12-B．12C．1或12-D．1或12答案：A考点：平面向量的坐标运算。
解析：因为向量(2,1),(2,)a b x==rr不平行，所以1x≠，2(6,12),(0,1)a b x a b x+=+-=-r rr r，因为()()2a b a b+⊥-r rr r，所以()()2(12)(1)0a b a b x x+⋅-=+-=r rr r，又因为1x≠，所以12x=-．4．函数2()xx ef xx=的图象大致为（）答案：A考点：函数的图象，排除法解选择题的方法。
解析：函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且2()0xx e f x x=>恒成立，排除C ，D ，当0x >时，()xf x xe =，当0x →时，()0f x →，排除B ，选A ． 5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的s =（ ） A ．26 B ．102 C ．410D ．512答案：B考点：程序框图。
