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2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）文科数学试卷（一）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0},B ＝{x|y 则A ∩B ＝ (A)[0,34] (B)∅ (C)[0,12] (D) [12,34] (2)设复数4273i z i-=-,则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况,研究人员在A 学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.23y x =±D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图,若判断框中的条件为n<2019,则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。
2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．2786．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )ABC ．D ．7．已知α 为第二象限角，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 112．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）设{}n a 是等比数列 ，其前n 项的和为n S ，且22a =, 2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.18．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）求点1B 到平面11ACC A 的距离.19．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分.（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率． 20．(12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．(12分）已知()()21x f x ax e x =-+.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0b a <<，则11a b <成立，所以p 是q 的充分条件,若11a b<，则当00b a <<，时成立，不满足0b a <<，所以p 不是q 的必要条件,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】执行如图程序框图：当n=1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,故选C.5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选C. 6．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )A BC ．D ．【答案】C【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：-+20x y =，圆2240x y +-=的圆心到公共弦的距离为dl 故选C.7．已知α为第二象限角，sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 则：1sin cos 5αα+=，据此有：2222222sincoscos sin 2tantan 111222222,55sin cos tan 1222ααααααααα+--+==++， 解得：tan22α=或1tan23α=-，α 为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2.故选C. 8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 【答案】C【解析】试题分析：因为 21e e a +=，2124e e b +-=，所以2212121122()(42)422a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=--⋅+r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，而012121cos602e e e e ⋅==u r u u r u r u u r ，所以2211224224123a b e e e e ⋅=--⋅+=--+=-r r u r u r u u r u u r，而12a e e =+===r u r u u r1242b e e =-+===r u r u u r ，所以与的夹角的余弦值为1cos 2a b a bθ→→⋅===-r r ，所以与的夹角为120o ，故选C ．9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos235cos212cos2222x f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 10．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF【答案】A【解析】由题意：SG FG ⊥，SG EG ⊥，FG EG G =I ，FG EG ⊂，平面EFG ,所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥EF ，由平面图形可知显然不成立；同理 GF ⊥平面 SEF 不正确；故选A.11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==.∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=.故选D.12．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42【答案】B【解析】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1.而()h x 恒过定点(1,0)-， 两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 【答案】2【解析】因为ln y x x =，所以'ln 1y x =+，所以它在x e =处的切线的斜率ln 12k e =+=.14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立，所以1sin a x ≥，因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<，所以a 的取值范围是[2,)+∞. 15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】(),P a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c =+--，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.【答案】24【解析】学校受到噪音影响。
2020年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷01（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i )2 B ．i 2(1-i ) C ．i (1+i )2 D ．i (1+i )【答案】A【解析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．设全集U =R ，集合{}{}|21,|15xA xB x x =>=-≤≤，则()U A B =I ð ( )A ．[)1,0-B ．(]0,5C ．[]1,0-D ．[]0,5【答案】C【解析】因为{}{}|21|0,xA x x x =>=>所以{}|0U A x x =≤ð，又因为{}|15B x x =-≤≤，所以()UA B =Ið{}|10x x -≤≤=[]1,0-，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合B 且不属于集合A 的元素的集合. 3．已知,x y R ∈，则“22(2)8x y +-≤”是“60x y -+>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】D【解析】不等式()2228x y +-≤表示圆内和圆上，不等式60x y -+>表示直线的右下方.画出图像如下图所示，由图可知，A 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.4．已知函数()2f x x ln x =-，则函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意()()2ln f x x x f x -=-=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C 、D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B ．故选A ．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 5．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为( ) A ．2- B ．2C ．e -D ．e【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的导数为()'ln 1f x x =+， 设切点为(),m n ，则n mlnm =， 可得切线的斜率为1ln k m =+，所以ln 1ln n e m m em m m+++==， 解得m e =，1ln 2k e =+=，故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.6．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，则cos2θ=（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】D【解析】∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，∴OP =sin θ=则224cos212sin 125θθ=-=-⨯=⎝⎭.故选D ． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 7．在数列{a n }=，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝2（n +1）2 B ．a n ＝4（n +1）C ．a n ＝8n 2D ．a n ＝4n （n +1）【答案】A=,-=所以==的等差数列,(1)n =+-(n =+,所以22(1)n a n =+.故选A.【点睛】本题考查了等差数列的定义以及通项公式,属于基础题.8．过点（0，1）的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】A【解析】点()0,1在()2214x y -+=圆内，要使得过点()0,1的直线l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短，则该弦以()0,1为中点，与圆心和()0,1连线垂直，而圆心和()0,1连线的斜率为01110-=--，所以所求直线斜率为1，故选择A ．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．63π+ B ．6πC D ．163π【答案】B【解析】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥 半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯=四棱锥体积为：2114333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：126V V V π=+= 本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-【答案】C【解析】13=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r =.所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C 。
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、已知函数))((b x a x f y ≤≤=，则集合⋂≥≤=}),(|),{(b x a x f y y x }0|),{(=x y x 中含有元素的个数为（ ）A 、0B 、1或0C 、1D 、1或22、已知函数11|,lg |)(>>>=b a cx x f ，则（ ） A 、)()()(c f b f a f >> B 、)()()(b f a f c f >> C 、)()()(a f b f c f >>D 、)()()(c f a f b f >>3、设P=},|),{(R x k y y x ∈=，Q=R x a a a y y x x ∈≠>+=,1,0,1|),{(}，已知Q ∩P 只有一个子集，那么实数k 的取值范围是（ ）A 、)1,(-∞B 、]1,(-∞C 、),1(+∞D 、),(+∞-∞4、已知函数)(1x f y -=的图象过点（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）A 、（0，2）B 、（2，0）C 、（2，1）D 、（1，2）5、已知)(x f y =的图象如右图所示，则x x f y sin )2(-=π在区间[0，π]上大致图象是（ ）Ay6、设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF ，则△F 1PF 2的面积是（ ）A 、1B 、25 C 、2 D 、57、16666101192111011111-++++C C C Λ被8除所得余数是（ ） A 、0 B 、2 C 、3 D 、58、某省举行的一次民歌大奖赛中，全省六个地区各送了一对歌手参赛，现从这12名选手中选出4名优胜者，则选出的4名优胜者中，恰有两人是同一地区来的歌手的概率是（ ）O2π πxBDCA 、338 B 、16564 C 、3316 D 、116 9、设0,0≠<k k ，则二次曲线1322=--k y k x 与12522=+y x 必有（ ） A 、不同的顶点 B 、不同的准线 C 、相同的焦点D 、相同的离心率10、若三棱锥的顶点S 在底面上的射影H 恰好是底面三角形的三条高的交点，则三棱锥必有（ ）A 、三条侧棱长相等B 、三个侧面与底在所成的二面角相等C 、三条侧棱分别与它相对的棱垂直D 、一定是正三棱锥二、填空题（每小题4分，5小题，共20分）11、若函数],0[,cos 4sin 3)(π∈-=x x x x f ，则函数)(x f 的最大值 ，最小值 。
绝密★启用前2020年高考数学(文科)冲刺卷全国卷（一）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B ⋂中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5 2.若12i z =+，则4i 1zz =-() A.1 B.-1 C.i D.-i3.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y =B.y =±C.y =D.y =±4.已知3cos sin 8αα⋅=，且ππ42α<<，则cos sin αα-的值是（） A.12- B.12 C.14- D.145.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为()A ．12 B ．13 C ．14 D ．256.已知,,A B C 是圆O 上的三点，若OA OB OC =+，则BAC ∠=()A.60°B.90°C.120°D.150°7.把1x 输入程序框图可得()A.1B.0C.不存在D.18.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为14圆周，则该几何体的体积为()A.16πB.6416π-C.32π643-D.16π643- 9.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是()A.11a b <B.2ab b <C.2ab a -<-D.11a b-<- 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线20bx cy bc -+=相切，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D 3 11.设函数()()()32sin 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，且其图象关于直线0x =对称，则()A ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 12.若函数2()e x f x mx -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为()A.(1,e)B.1(,1)eC.1(,)e +∞D.(e,)+∞13.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________.14.若,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.15.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0n d S ≠，为其前n 项和，若125a a a ，，成等比数列，则8S = .16.已知,,,P A B C 是球O 的球面上的四点，PAPB PC ,,两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为__________. 17.在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=. (1)求sin C 的值；(2)若7a =，求ABC △的面积.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,,222AD BC AB AD AD AB BC ⊥===，PCD △是正三角形，,PC AC E ⊥是PA 的中点.⊥.（1）证明：AC PD（2）求三棱锥P BDE-的体积.19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量频数10(1).根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；(2).若该店这款新面包每日出炉数设定为24个①.求日需求量为18个时的当日利润；②.求这30天的日均利润.。
中档大题保分练(1) (推荐时间：50分钟)1．已知函数f(x)＝32sin 2x－12(cos2x－sin2x)－1，x∈R，将函数f(x)向左平移π6个单位后得到函数g(x)，设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若c＝7，f(C)＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B)＝0且m＝(cos A，cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B)，求m·n的取值范围．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x(2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？(3)树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．3．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．4．已知n∈N*，数列{d n}满足d n＝3＋(－1)n2，数列{a n}满足a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n；又知数列{b n}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，b m n＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．1.解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a .由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3.∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3. (2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π，∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6.∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6，∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株，∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.3.(1)证明 ∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ， SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 结合SE ∩CE ＝E ，得BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC . (2)解 如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF . 由BC ⊥SE ，SE 和EF 相交， 得BC ⊥平面SEF .由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC . 过E 作EG ⊥SF 于点G ， 则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高． 由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3， 所以SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝SE ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32. 4.解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n . ＝3×2n2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n. 若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ， ∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n .由b m n ＝b nm 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ， ∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019 ＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018) ＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.中档大题保分练(2)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．2． 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．3． 如图1，在等腰△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，现将△ACD 沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图2)(1)求证：AB ∥平面DEF ； (2)求证：BD ⊥AC ；(3)设三棱锥A －BCD 的体积为V 1，多面体ABFED 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．4． 已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n .1.解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6.(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24， 所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 2.解 (1)共包含12个基本事件．Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y ， 则A ＝{(0,0)，(2,1)}，含2个基本事件， 则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角， 可得a ·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则P (B )＝S B S Ω＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13.3.(1)证明 在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)证明 ∵平面ACD ⊥平面BCD ， 平面ACD ∩平面BCD ＝CD ， AD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD ， ∴AD ⊥平面BCD .又BD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥BD .又∵CD ⊥BD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥平面ACD .又AC ⊂平面ACD ，∴BD ⊥AC . (3)解 由(2)可知AD ⊥平面BCD ， ∴AD 是三棱锥A －BCD 的高， ∴V 1＝13·AD ·S △BCD ，又∵E ，F 分别是AC ，BC 边的中点，∴三棱锥E －CDF 的高是三棱锥A －BCD 高的一半， 三棱锥E －CDF 的底面积是三棱锥A －BCD 底面积的一半， ∴三棱锥E －CDF 的体积V E －CDF ＝14V 1，∴V 2＝V 1－V E －CDF ＝V 1－14V 1＝34V 1，∴V 1∶V 2＝4∶3.4.解 (1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55 ①2a 1＋7d ＝16 ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220， 即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1， 当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2， 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2) ＝2b n －2b n －1， ∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．即b n ＝2n . (2)c n ＝a n b n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋…＋2n －12n12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1 ∴③－④得，12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n ＋32n .中档大题保分练(3)(推荐时间：50分钟)1． 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围． 2． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.3．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？(3)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．4．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F 分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝5，PC＝27.(1)求证：EF∥平面PDC；(2)若∠CDP＝90°，求证：BE⊥DP；(3)若∠CDP＝120°，求该多面体的体积．1.解(1)由m∥n，可得3sin x＝－cos x，于是tan x＝－13，∴sin x＋cos x3sin x－2cos x＝tan x＋13tan x－2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sin C，由正弦定理知：3sin C＝2sin A sin C，∵sin C≠0，∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3，于是π6<B<π2.∵f(x)＝(m＋n)·m ＝(sin x＋cos x,2)·(sin x，－1)＝sin2x＋sin x cos x－2 ＝1－cos 2x2＋12sin 2x－2 ＝22sin⎝⎛⎭⎫2x－π4－32，∴f⎝⎛⎭⎫B＋π8＝22sin⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B＋π8－π4－32＝22sin 2B－32. 由π6<B<π2得π3<2B<π，∴0<sin 2B≤1，－32<22sin 2B－32≤22－32，即f⎝⎛⎭⎫B＋π8∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32.2. 解 (1)∵a n ＝3n －1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列， 设等差数列{b n }的公差为d ，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1， ① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)·3n ，②①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ， ∴T n ＝n ·3n .3.解 (1)由x900＝0.16，解得x ＝144.(2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200， 设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54900，解得m ＝12，所以应在第三批次中抽取12名．(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y ，z )．由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个． 所以，所求概率为P (A )＝49.4.(1)证明 取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点， 所以FO ∥BC ，且FO ＝12BC .又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点， 所以ED ∥BC ，且ED ＝12BC ，所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ， 所以EF ∥平面PDC .(2)解 若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ， 又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP . (3)解 连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等， 所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等， 即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍． 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ， 由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2，所以三棱锥P －ADC 的体积V P －ADC ＝V A －CDP ＝13×12×2×4×sin 120°×3＝23，所以该五面体的体积为4 3.。
数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+p(B)。
如果事件A、B相互独立，那么P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P(k)=C k p k(1-p)n-kn n一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给γ β n n出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合 U={0，1，2，3，4，5}，集合 M={0，3，5}，N={1，4，5}，则 M I ( N )u（A ）{5} （B ）{0，3} （C ）{0，2，3，5} （D ） {0，1，3，4，5}2．函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + 3x - 9 ，已知 f ( x ) 在 x = -3 时取得极值，则a =（A ）4（B ）3 （C ）5 （D ）23．已知θ 是锐角，那么下列各值中，sin θ + cos θ 能取到的值是（A ） 43（B ） 34（C ） 53（D ） 124．若命题甲的逆命题是乙，命题甲的否命题是丙，则命题乙是命题丙的（A ）逆命题 （B ）逆否命题（C ）否命题 （D ）否定5．函数 f ( x ) =1的定义域为log (- x 2 + 4 x - 3)2（A ） (1,2) U (2,3)（B ） (-∞,1) U (3, +∞)（C ）（1，3）（D ）[1，3]6．已知直线 m 、n ，平面α 、β 、 ，则α ⊥ β 的一个充分不必要条件为（A ） α ⊥ γ ， ⊥ γ （B ）α I β = m ， ⊥ m ， ⊂ β（C ） m // α ，m ⊥ β（D ） m // α ，m // β2x+π⎪⎝12,0⎫⎪成中心对称（D）关于直线x=π成轴对称1247．设a>0，不等式|ax+b|<c的解集是{x|-2<x<1}，则a:b:c等于（A）1:2:3（B）2:1:3（C）3:1:2（D）3:2:18．等差数列{a}中，若an4+a+a+a+a=120，则S68101215的值为：（A）180（B）240（C）360（D）7209．y=2sin⎛⎫的图象是：⎝3⎭（A）关于原点成中心对称（B）关于y轴成轴对称（C）关于点⎛π⎭1210．在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1－y).若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则（A）－1<a<1（B）0<a<2（C）-1<a<322（D）-3<a<12211．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A）C12A4A414128（B）C12C4C414128（C）C14C12C84A33（D）C12C4C4A314128312.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α,β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（A）f(sinα)>f(cosβ)（C）f(cosα)>f(cosβ)（B）f(cosα)<f(cosβ)（D）f(sinα)<f(cosβ)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2020年高考数学（文科）模拟冲刺卷（一）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,0]-B ．[1,2)-C ．[1,2)D ．(1,2]2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ） A ．32-B ．1-C ．32D ．744．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2 C． D．8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y -+-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 2x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3411．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ，若OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）A．B． C．D．12．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．212a -<<B ．11a -<<C．a >或a <D．a <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，E 是BC 的中点，3AC =，AE =2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=．（1）求AB ； （2）求C ．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =．（1）求证：AB CG ⊥；（2）若ABC △和梯形BCGF的面积都等于G ABE -的体积．20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线相交于点2(3． （1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C 和点B ，D ，且12l l ⊥， 设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ．（1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且点,A B 均异于坐标原点O，AB =，求α的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()f x x =．（1）解关于x 的不等式(2)(1)2f x f x --+<；（2）存在0x ∈R ，使得不等式00(2)()(1)2f x f x a f a -++<--，求实数a 的取值范围．。
大题组合练, 中档大题满分练一 )1. (2019湖南八市重点中学联盟第五次测评)已知等差数列{a n }中,a 3＝3,a 2＋2,a 4,a 6－2顺次成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1,{b n }的前n 项和为S n ,求S 2n .1．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2＋2,a 4,a 6－2顺次成等比数列,∴a 24＝(a 2＋2)(a 6－2),∴(a 3＋d )2＝(a 3－d ＋2)(a 3＋3d －2)．又a 3＝3,∴(3＋d )2＝(5－d )(1＋3d ),化简得d 2－2d ＋1＝0, 解得d ＝1,∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝（－1）na 2n ＋1a n a n ＋1＝(－1)n ·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1,∴S 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1.2. (2019四川自贡第一次诊断性考试)已知向量m ＝(－cos x ,1),n ＝(3,2sin x )． (1)当m ⊥n 时,求3cos x sin x1＋cos 2x的值； (2)已知钝角△ABC 中,角B 为钝角,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且c ＝2b sin(A ＋B ),若函数f (x )＝4m 2－n 2,求f (B )的值．2．解：(1)∵m ⊥n ,∴3cos x ＝2sin x ,即tan x ＝32, ∴3cos x sin x 1＋cos 2x ＝3tan x 2＋tan 2x ＝611. (2)∵c ＝2b sin(A ＋B ),∴sin C ＝2sin B sin C .∵sin C ≠0,∴sin B ＝12.由角B 为钝角知B ＝5π6.∵f (x )＝4m 2－n 2＝4cos 2x ＋1,∴f (B )＝4cos 53π＋1＝3.3. (2019山东德州二模)某高校共有10 000人,其中男生 7 500人,女生2 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．调查部分结果如下2×2列联表：为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；(2)已知在被调查的男生中,有5名数学系的学生,其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）,其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .3．解：(1)收集女生人数为200×2 50010 000＝50,男生人数为200－50＝150,即应收集50位女生,150∴K 2＝150×50×145×55＝957≈5.22>3.841,∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． (2)设a i 表示每周平均体育运动时间超过4小时的学生,i ＝1,2, b j 表示每周平均体育运动时间不超过4小时的学生,j ＝1,2,3,从5名数学系学生中任取2人的可能结果构成的基本事件空间．Ω＝{(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 2,b 3)},共由10个基本事件组成,且这些基本事件是等可能的,设A 表示“2人中恰有一人每周平均体育运动时间超过4小时”,则A ＝{(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3)},故A 由6个基本事件组成．由古典概型概率公式得P (A )＝610＝35.4. (2019山西太原三模)如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB ⊥AD ,AD ＝2AB ＝2BC ＝2,△PCD 是正三角形,PC ⊥AC ,E 是PA 的中点．(1)求证：AC ⊥PD .(2)求三棱锥P －CDE 的体积．4．(1)证明：∵AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°. ∵AB ＝BC ＝1,∴∠CAD ＝45°,AC ＝ 2.由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD ＝2,∴AC 2＋CD 2＝4＝AD 2,∴AC ⊥CD . ∵PC ⊥AC ,∴AC ⊥平面PCD , ∴AC ⊥PD .(2)解：如图,连接CE .由(1)得AC ⊥平面PCD ,CD ＝ 2. ∵E 是PA 的中点,AD ∥BC ,∴V P －CDE ＝V C －PDE ＝12V C －ADP ＝12V A －CDP ＝16·S △CDP ·AC ＝16×34CD 2·AC ＝612.5．(2019山东省实验中学、淄博实验中学、烟台中学、莱芜一中四校联考)在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为{x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ (φ为参数),过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ,B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时,求|OA |＋|OB |的取值范围．5．解：(1)由题意可得,直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1,∵x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,x 2＋y 2＝ρ2,∴极坐标方程为ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＋1＝0. (2)设A (ρ1,α),B (ρ2,α),且ρ1,ρ2均为正数,将θ＝α代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0,得ρ2－2ρ(cos α＋sin α)＋1＝0.当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时,Δ＝8sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－4>0,∴ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)．根据极坐标的几何意义,|OA |,|OB |分别是点A ,B 的极径．从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2 (cos α＋sin α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时,α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2,故|OA |＋|OB |的取值范围是(2,22]．6．(2019安徽合肥第三次教学质量检测)设f (x )＝3|x －1|＋|x ＋1|的最小值为k . (1)求实数k 的值；(2)设m ,n ∈R ,m 2＋4n 2＝k ,求证：1m 2＋1n 2＋1≥32.6．(1)解：f (x )＝3|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋2，x ≤－1，－2x ＋4，－1<x <1，4x －2，x ≥1，当x ＝1时,f (x )取得最小值,即k ＝f (1)＝2.(2)证明：依题意,m 2＋4n 2＝2,则m 2＋4(n 2＋1)＝6.∴1m 2＋1n 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1n 2＋1[m 2＋4(n 2＋1)]×16＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4（n 2＋1）m 2＋m 2n 2＋1≥16(5＋24)＝32, 当且仅当4（n 2＋1）m 2＝m 2n 2＋1,即m 2＝2,n 2＝0时,等号成立． ∴1m 2＋1n 2＋1≥32.[70分] 解答题标准练(一)1.(2019·广州模拟)已知{a n }是等差数列,且lg a 1＝0,lg a 4＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项,求k 的值及数列{a n ＋b n }的前n 项和.解 (1)数列{a n }是等差数列,设公差为d , 且lg a 1＝0,lg a 4＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋3d ＝10，解得d ＝3,所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)若a 1,a k ,a 6是等比数列{b n }的前3项, 则a 2k ＝a 1·a 6,根据等差数列的通项公式得到a k ＝3k －2,代入上式解得k ＝2；a 1,a 2,a 6是等比数列{b n }的前3项,a 1＝1,a 2＝4, 所以等比数列{b n }的公比为q ＝4. 由等比数列的通项公式得到b n ＝4n －1. 则a n ＋b n ＝3n －2＋4n －1,故S n ＝(1＋1)＋(4＋41)＋…＋(3n －2＋4n －1) ＝n (3n －1)2＋4n －14－1＝32n 2－12n ＋13(4n －1). 2.(2019·马鞍山质检)如图,半圆柱O ′O 中,平面ABB ′A ′过上、下底面的圆心O ′,O ,点C ,D分别在半圆弧AB ,A ′B ′上,且»¼.AC B'D =(1)求证：CD∥平面ABB′A′；(2)若2AC＝AB＝AA′,求二面角C－AD－B的余弦值.(1)证明如图,取»AB的中点M,∵OO′⊥平面ABC,∴OA,OM,OO′两两垂直,以O为坐标原点,OA,OM,OO′所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O－xyz,连接OC,设OA＝1,AA′＝t,∠AOC＝θ(0<θ<π),则A(1,0,0),B(－1,0,0),C(cos θ,sin θ,0),D(－cos θ,sin θ,t),于是CD→＝(－2cos θ,0,t),而平面ABB′A′的一个法向量为OM→＝(0,1,0),由于CD →·OM →＝0,CD ⊄平面ABB ′A ′, 所以CD ∥平面ABB ′A ′.(2)解 设OA ＝1,∵2AC ＝AB ＝AA ′,则C ⎝⎛⎭⎫12，32，0,D ⎝⎛⎭⎫－12，32，2,CD →＝(－1,0,2),AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0,BD →＝⎝⎛⎭⎫12，32，2,设平面CAD 的法向量n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎨⎧CD →·n 1＝－x 1＋2z 1＝0，AC →·n 1＝－12x 1＋32y 1＝0，不妨设x 1＝23,得n 1＝(23,2,3), 设平面BAD 的法向量n 2＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎨⎧BD →·n 2＝12x 2＋32y 2＋2z 2＝0，BA→·n 2＝2x 2＝0，不妨设y 2＝4,得n 2＝(0,4,－3), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝519·19＝519, 又由图可知,二面角C －AD －B 为锐角, 故二面角C －AD －B 的余弦值为519.3.(2019·武邑调研)已知定点N (5,0),动点P 是圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36上的任意一点,线段NP 的垂直平分线与半径MP 相交于点Q .(1)求|QM |＋|QN |的值,并求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,求△AOB 面积的最大值. 解 (1)由已知条件得|QN |＝|QP |,又|QM |＋|QP |＝6,∴|QM |＋|QN |＝6>25,为定值.根据椭圆定义得,动点Q 的轨迹是以点M ,N 为焦点的椭圆. 且2a ＝6,即a ＝3,c ＝5,则b ＝2,∴动点Q 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)由题可知直线l 不可能与x 轴平行, 则可设切线方程为x ＝ty ＋m , 由直线与圆相切,得|m |1＋t 2＝2,∴m 2＝4(1＋t 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 29＋y 24＝1，消去x 得(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0, Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36) ＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝－8tm4t 2＋9,y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.∴|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t 2≤12545＝3, 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2,即t 2＝14时等号成立.此时|m |＝5,|AB |max ＝3,又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |≤3,∴当|m |＝5,|t |＝12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.4.(2019·山东师范大学附属中学模拟)某读书协会共有1 200人,现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间(分钟),其中某一周的数据记录如下：75,60,35,100,90,50,85,170,65,70,125,75,70,85,155,110,75,130,80,100.对这20个数据按组距30进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表(设阅读时间为x 分钟).(1)写出m ,n 的值,请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长,以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(2)该读书协会拟发展新成员5人,记新成员中每周阅读时长在[60,90)之间的人数为X ,以上述统计数据为参考,求X 的分布列和期望；(3)以这20人为样本完成下面的2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).解 (1)m ＝4,n ＝2,该读书协会中人均每周的课外阅读时长为45×220＋75×1020＋105×420＋135×220＋165×220＝93(分钟),由样本估计总体,一周阅读时长不少于90分钟的人数为 1 200×4＋2＋220＝480.(2)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12, 由题意知,X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.且P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫125＝132,P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫125＝532, P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝1032＝516, P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫125＝532,P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132, 所以X 的分布列如下：E (X )＝5×12＝2.5.(3)2×2列联表如下：k ＝20(3×8－1×8)24×16×11×9≈0.808<2.706,所以没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”.5.设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1,＋∞)恒成立,求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小,并说明理由. 解 (1)当a ＝1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1),f ′(x )＝ln x ＋1x,设g (x )＝ln x ＋1x (x >0),则g ′(x )＝x －1x 2,当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增, g (x )min ＝g (1)＝1>0,∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增, 无单调递减区间.(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ,由(1)可知g (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 则g (x )≥g (1)＝1,即f ′(x )在区间[1,＋∞)上单调递增,且f ′(1)＝2－a , ①当a ≤2时,f ′(x )≥0, f (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时,设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1),则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1),∴h (x )在区间[1,＋∞)上单调递增, 且h (1)＝2－a <0,h (e a )＝1＋e －a >0, ∴∃x 0∈[1,e a ],使得h (x 0)＝0, ∴当x ∈[1,x 0)时,h (x )<0,f (x )单调递减, 即当x ∈[1,x 0)时,f (x )≤f (1)＝0,不满足题意. 综上所述,实数a 的取值范围为(－∞,2]. (3)由(2)可知,取a ＝2,当x >1时,f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0,即12ln x >x －1x ＋1, 当0<x <1时,1x >1,∴12ln 1x >1x －11x ＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1, 又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1,∴当0<θ<π4时,0<tan θ<1,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,tan θ＝1,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时,tan θ>1, 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上,当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时,12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时,12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时,12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若|P A |＝2|PB |,求|AB |的值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, ∴x 2＋y 2＝6y ,即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9, 点P 的直角坐标为(1,1).(2)设过点P 的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数), 将其代入x 2＋y 2＝6y ,得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0, 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2, ∴t 1t 2＝－4,∵|P A |＝2|PB |,∴t 1＝－2t 2,∴t 1＝22,t 2＝－2或t 1＝－22,t 2＝2, ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝3 2.7.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式：f (x )≤x ＋3；(2)若不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立,求x 的取值范围.解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3≤x ＋3，得2≤x ≤6；②由⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x ≤x ＋3，得1<x <2；③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ≤x ＋3，得0≤x ≤1.由①②③可得x ∈[0,6]. (2)①当m ＝0时,0≥0,∴x ∈R ； ②当m ≠0时,即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对∀m ∈R ,m ≠0恒成立, ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4, ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4, 当x ≥2时,2x －3≥4,解得x ≥72；当1<x <2时,x －1＋2－x ≥4,解得x ∈∅； 当x ≤1时,3－2x ≥4,解得x ≤－12,综上,x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.数学的核心素养引领复习一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ,满足f (x ＋1)＝2f (x ),且当x ∈(0,1]时,f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞,m ],都有f (x )≥－89,则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 答案 B解析 当－1<x ≤0时,0<x ＋1≤1,则f (x )＝12 f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时,0<x －1≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时,0<x －2≤1,则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3),…,由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…，12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象,如图所示.由图可知当2<x ≤3时,令22(x －2)·(x －3)＝－89,整理,得(3x －7)(3x －8)＝0,解得x ＝73或x ＝83,将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞,m ]都有f (x )≥－89,必有m ≤73,即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73,故选B.1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h；②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中,正确信息的序号是________.答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故③正确,④错误.素养2直观想象例2(2019·全国Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM＝EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM＝EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案B解析取CD的中点O,连接ON,EO,因为△ECD为正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD＝CD,所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2,则EO＝3,ON＝1,所以EN2＝EO2＋ON2＝4,得EN＝2.过M作CD的垂线,垂足为P,连接BP,则MP＝32,CP＝32,所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7,得BM＝7,所以BM≠EN.连接BD,BE,因为四边形ABCD为正方形,所以N为BD的中点,即EN,MB均在平面BDE内,所以直线BM,EN是相交直线.2.(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三视图得到空间几何体,如图所示,则P A⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,P A＝AB＝AD＝2,BC＝1,所以P A⊥AD,P A⊥AB,P A⊥BC.又BC⊥AB,AB∩P A＝A,AB,P A⊂平面P AB,所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD＝22,PC＝3,CD＝5,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△P AB,△P AD,△PBC,共3个.故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理例3(2019·全国Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测也正确,与事实矛盾；若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |等于( ) A.32 B.3 C.2 3 D.4 答案 B解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x . 设两渐近线的夹角为2α,则有tan α＝13＝33, 所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN ⊥ON ,如图所示. 在Rt △ONF 中,|OF |＝2,则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中,|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.素养4 数学运算例4 (2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |＝2|b |,且(a －b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α,∵(a －b )⊥b ,∴(a －b )·b ＝0,∴a ·b ＝b 2,∴|a |·|b |cos α＝|b |2,又|a |＝2|b |,∴cos α＝12,∵α∈[0,π],∴α＝π3,故选B.4.(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<ab D.ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0, b ＝log 20.3<log 21＝0,∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4, ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0,∴0<a ＋b ab<1,∴ab <a ＋b <0.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (2019·全国Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm答案B解析若头顶至咽喉的长度为26 cm,则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618) ÷0.618≈178(cm),此人头顶至脖子下端的长度为26 cm,即头顶至咽喉的长度小于26 cm,所以其身高小于178 cm,同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm),故其身高可能是175 cm,故选B.5.(2019·北京)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元；(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 答案 130 15解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,总价为60＋80＝140(元),又140>120,所以优惠10元,顾客实际需要付款130元.(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元,由题意知,当0<m <120时,x ＝0,当m ≥120时,(m －x )×80%≥m ×70%,得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立,又m8≥15,所以x 的最大值为15.素养6 数据分析例6 (2019·全国Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组,每组100只,其中A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15,故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6.某市一水电站的年发电量y (单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x (单位：毫米)有如下统计数据：(1)若从统计的5年中任取2年,求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y ^＝0.004x ＋a ^,该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时,现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米,请你预测2019年能否完成发电任务？解 (1)从统计的5年发电量中任取2年,基本事件为{7.4,7.0},{7.4,9.2},{7.4,7.9},{7.4,10.0},{7.0,9.2},{7.0,7.9},{7.0,10.0},{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共10个；其中这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的基本事件为{9.2,7.9},{9.2,10.0},{7.9,10.0},共3个. 所以这2年发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率为P ＝310.(2)因为x ＝1 500＋1 400＋1 900＋1 600＋2 1005＝8 5005＝1 700,y ＝7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.05＝41.55＝8.3.又直线y ^＝0.004x ＋a ^过点(x ,y ), 所以8.3＝0.004×1 700＋a ^, 解得a ^＝1.5, 所以y ^＝0.004x ＋1.5.当x ＝1 800时,y ^＝0.004×1 800＋1.5＝8.7>8.6, 所以预测该水电站2019年能完成发电任务.。
