第三章 子空间，（有限）积空间，商空间一、教学目的与要求本章介绍构造拓扑空间的三种常用方法及它们的性质。
要求掌握的概念有：（集族的）限制、拓扑子空间、嵌入、积拓扑、积空间、投射、商拓扑、商映射、商空间、开（闭）映射。
在本章学生还应该掌握：拓扑子空间的性质、拓扑积空间的拓扑基和子基的性质、积拓扑的性质、商拓扑、商映射、开（闭）映射的性质、投射的性质。
二、教学重点与难点教学重点：是拓扑子空间、积拓扑、积空间、投射、商拓扑、商映射、商空间及主要性质。
教学难点：商拓扑、商映射等。
三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法3.1子空间 2/2 理论/讲授3.2(有限)积空间 2/2 理论/讲授3.3商空间、习题课 4/4 理论/讲授、讨论四、教学过程1121211{(,,,)|1n n n n i i S x x x x Rx +++===∈=∑"}n 维单位开、闭球体:2121{(,,,)|1nnnn i i D x x x x R x =}==∈∑"<2121{(,,,)|1nnnn i i E x x x x R x ===∈≤∑"}以及n 维单位开、闭方体(0和[0等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相,1)n ,1]n应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y 是度量空间X 的一个度量子空间．则Y 的子集U 是Y 中的一个开集当且仅当存在一个X 中的开集V 使得U ＝V ∩Y ．定义3.1.2 设A 是一个集族，Y 是一个集合．集族{A ∩Y |A ∈A }称为集族A 在集合Y 上的限制，记作A| Y引理3.1.2 设Y 是拓扑空间（X ，T )的一个子集．则集族T| Y 是Y 的一个拓扑．定义3.1.3 设Y 是拓扑空间（X ，T ）的一个子集．Y 的拓扑T|称为（相对于X 的 Y 拓扑T 而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y ，T|）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．Y 注：我们常说拓扑空间Y 是拓扑空间X 的一个子空间，意思就是指Y 是X 的一个子集，并且Y 的拓扑就是对于X 的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．问题1：假设Y 是度量空间X 的一个子空间．现在有两个途径得到Y 的拓扑：一是通过X 的度量诱导出Y 的度量，然后考虑Y 的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X 考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y 的拓扑为X 的拓扑在Y 上诱导出来的相对拓扑．这两种途径得到的Y 的两个拓扑是否一样？定理3.1.3 设Y 是度量空间X 的一个度量子空间．则X 与Y 都考虑作为拓扑空间时Y 是X 的一个（拓扑）子空间．定理3.1.4 设X ，Y ，Z 都是拓扑空间．如果Y 是X 的一个子空间，Z 是Y 的一个子空间，则Z 是X 的一个子空间．定理3.1.5 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，y ∈Y ．则（l ）分别记T 和T 为X 和Y 的拓扑，则T=T| ；Y （2）分别记F 和F 为X 和Y 的全体闭集构成的族，则F=F| ；Y （3）分别记U y 和U为点y 在X 和Y 中的邻域系，则． y |U U y y = Y 定理3.1.6 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，A 是Y 的一个子集．则 （1）A 在y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交； （2）A 在Y 中的闭包是A 在X 中的闭包与Y 的交． 定理3.1.7 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间，y ∈Y ．则容易验证ρ是X 的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz 引理）我们称ρ为笛卡儿积12n X X X X =×××"的积度量；称度量空间（X ，ρ）为n 个度量空间11(,)X ρ，22(,),,X ")(,n n X ρ的度量积空间．ρ注：n 维欧氏空间nR 就是n 个实数空间R 的度量积空间，定理3.2.1 设11(,)X ρ，22(,),,X ρ")(,n n X ρ是n ＞0个度量空间，（X ，ρ）是它们的积空间．又设和T 分别是由度量 T i i ρ和ρ所诱导出来的i X 和X 的拓扑，其中i ＝l ，2，…，n ．则X 的子集族:12{|,1, B T n i i U U U U i n =×××∈="2,,}"是X 的拓扑T 的一个基．在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念． 定理3.2.2 设，11(,) T X 22(,),,(, T X ") T n n X 是n ≥1个拓扑空间．则X 12n X X X =×××"有惟一的一个拓扑T 以X 的子集族B 为它的一个基． 12{|,1,2,,}T n i i U U U U i n =×××∈="" 定义3.2.2 设(,，11) T X 22(,), T X "),(, T n n X 是n ≥1个拓扑空间．则X 12n X X X =×××"的以子集族12{|,1,2,,} B T n i i U U U U i n =×××∈=""为它的一个基的那个惟一的拓扑T 称为拓扑12, T T 的积拓扑，,,T "n 拓扑空间（X ，T ）称为拓扑空间11(,) T X ，(,22),, T X "(,) T n X n 的（拓扑）积空间．问题2：设1X ，2,,X "n X 是n ≥1个度量空间．则笛卡儿积X 12n X X X =×××"可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X 作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X 的拓扑；另一是先用每一个i X 的度量诱导出i X 的拓扑，然后再将X 考虑作为诸拓扑空间i X 的拓扑积空间．请问这两种拓扑是否一致？定理3.2.3 设12n X X X X =×××"是n ≥1个度量空间1X ，2,,X "n X 的度量积空间．则将X 和i X 都考虑作为拓扑空间时，X 是1X ，2,,X "n X 的（拓扑）积空间．注： n 维欧氏空间nR 便是n 个实数空间R 的（拓扑）积空间．定理3.2.4 设12n X X X X =×××"是n ≥1个拓扑空间1X ，2,,X "n X 的积空间，对于每一个i ＝1，2，…，n ，拓扑空间i X 有一个基 B i ．则X 的子集族12,1,2,, B={|B }n i i B B B B i ×××∈= ""n 是拓扑空间X 的一个基．例3.2.1 由于实数空间R 有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n 维欧氏空间nR 中的所有开方体1122(,)(,)(,)n n a b a b a b ×××"构成nR 的一个基．特别地，欧氏平面2R 有一个基由所有的开矩形1122(,)(,)a b a b ×构成．定理3.2.5 设12n X X X X =×××"是n ≥1个拓扑空间1X ，2,,X "n X 的积空间．令T 为X 的拓扑，为 T i i X 的拓扑，i =1，2，…，n ．则X 以它的子集族1{()|} S T i i i i p U U −=∈为它的一个子基．其中，对于每一个i ，映射:i i p X X →是笛卡儿积X 到它的第i 个坐标集i X 的投射．定义3.2.3 设X 和Y 是两个拓扑空间，，映射:f X Y →称为一个开映射（闭映射），如果对于X 中任何一个开集（闭集），像集()f U 是Y 中的一个开集（闭集）.定理3.2.6 设12n X X X X =×××"是n ≥1个拓扑空间1X ，2,,X "n X 的积空间，则对于每一个i ＝l ，2，…，n ，笛卡儿积X 到它的第i 个坐标集i X 的投射:i i p X X →是一个满的连续开映射．例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．例如考虑欧氏平面2R 到它的第一个坐标空间R 的投射1:1p X X →．容易验证集合212{(,)|1}B x x R x x =∈=是2R 中的一个闭集，然而1(){0}p B R =−却不是R 中的闭集． 12定理3.2.7 设12n X X X X =×××"是n ≥1个拓扑空间1X ，2,,X "n X 的积空间，又设Y 也是一个拓扑空间．则映射f :Y →X 连续当且仅当对于每一个i ＝1，2，…，n ，复合映射:i i p f Y X →D 连续，其中:i i p X X →是积空间X 对于第i 个坐标空间i X 的投射．定理3.2.8 设12n X X X X =×××"是n ≥1个拓扑空间1X ，2,,X "n X 的积空间，T 是X 的积拓扑，设T 是X 的某一个拓扑满足条件：对于X 的拓扑而言，从X 到它的第i 个坐标空间i X 的投射:i i p X X →是连续映射，i=1，2，…，n ．则T T⊃ 注:积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑． 定理3.2.9 设1X ，2,,X "n X 是n ＞1个拓扑空间．则积空间X 12n X X ×××"同胚于积空间121()n n X X X −X ××××"．注1:若对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间是一样的．注2:对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义． 作业：p 108, 1；2；4（1）（2）；6（1）§3.3 商空间将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．定义3.3.1 设（X ，T ）是一个拓扑空间，Y 是一个集合，f :X →Y 是一个满射．容易验证Y 的子集族．T 1={T }1|()U Y fU −⊂∈是Y 的一个拓扑．我们称为Y 的（相对于满射f 而言的）商拓扑．定理3.3.1 且设（X ，T ）是一个拓扑空间，Y 是一个集合，f :X →Y 是一个满射．则 （1）如果T 1是Y 的商拓扑，则f :X →Y 是一个连续映射；（2）如果是Y 的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f 是连续的， i 1T则 T i 1T⊂1注：这也就是说商拓扑是使映射f 连续的最大的拓扑．定义3.3.2 设X 和Y 是两个拓扑空间，f ：X →Y ．我们称映射f 为一个商映射，如果它是一个满射并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑． 注：商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2 设X ，Y 和Z 都是拓扑空间，且f ：X →Y 是一个商映射．则映射g ：Y →Z 连续当且仅当映射g o f ：X →Z 连续．定义3.3.3 设X 和Y 是两个拓扑空间．映射f : X →Y 称为一个开映射（闭映射），如果对于X 中的任何一个开集（闭集）U ，象集f (U )是Y 中的一个开集（闭集）．定理3.3.3 设X 和Y 是两个拓扑空间．如果映射f : X →Y 是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y 的拓扑便是相对于满射f 而言的商拓扑．定义3.3.4 设（X ，T ）对是一个拓扑空间，R 是X 中的一个等价关系．商集X /R 的（相对于自然的投射P ：X →X /R 而言的）商拓扑称为X ／R 的（相对于等价关系R 而言的）商拓扑，拓扑空间（X /R ，）称为拓扑空间（X ，T ）的（相对于等价关系R 而言的）商空间． R T例3.3.1 在实数空间R 中给定一个等价关系～={（x ，y ）2R ∈或者x ，y ∈Q ；或者x ，y ∉Q }例3.3.2在单位闭区间I ＝[0,1]中给定一个等价关系：～={（x ，y ）2I ∈|或着x ＝y ，或者{x ，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l 中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I 中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x ）和（1，x ）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x ）和（1，1-x ）粘合得到的商空间通常叫做Mobius 带．数学中许多重要的对象如环面，Klein 瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．作业：p 108，2；3；5；6。
