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2、垂直平分线与角平分线

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第1页共1页第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。典型例题1．如图，点D，E分别在△ABC的边AC、BC上，∠ABD：∠A：∠C＝2：6：5，若DE垂直平分BC，则∠BDE＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△ABC边AB、AC的垂直平分线DM、EN相交于O，M、N在BC边上，若∠MAN＝20°，则∠BAC的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°

第2页共2页4．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点M，交BC于点N，若AB＝3，BC＝13．那么△ABN的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．1

第3页共3页8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝5，BC＝4，CA＝3，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足，若BD＝2CD，AB＝6，则AC的长为（）

第4页共4

页A．3B．6C．9D．1212．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠AGH＝∠BAE+∠ACB；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）若△DAF的周长为10，求BC的长．14．如图，AB垂直平分线段CD（AB＞CD），点E是线段CD延长线上的一点，且BE＝AB，连接AC，过点D作DG⊥AC于点G，交AE的延长线与点F．

第5页共5页（1）若∠CAB＝α，则∠AFG＝（用α的代数式表示）；（2）线段AC与线段DF相等吗？为什么？（3）若CD＝6，求EF的长．15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．16．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．17．如图，AD∥BC，∠D＝90°．如图，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？

第6页共6页课后作业1．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（

）

第7页共7

页A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4

第8页共8页二．解答题（共2小题）9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．10．△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，求AB的长．

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角平分线与线段的垂直平分线测试题

角平分线与线段的垂直平分线测试题

DCAEBl2l1l3第10题 角平分线与垂直平分线单元测试题

一、填空题（每题3分）

1．ΔABC中，AB－AC＝2，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14，则AB＝_____，AC_____.

2．ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；若AB＝5 cm，BC＝3

cm，则ΔPBC的周长＝_____．

3．∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．

4．在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

5．在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

6． 已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .

7．∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

8．在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.

9.CD为Rt△ABC的高，∠BAC的平分线分交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.

10.△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=______

二、选择题（每题3分）

11．若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是 （ ）

A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC

12．在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（ ）

角平分线与线段垂直平分线测试题

角平分线与线段垂直平分线测试题

l2l1l3DCAEB一、填空题（每题3分）

1．ΔABC中，AB－AC＝2，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14，则AB＝_____，AC_____.

2．ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．

3．∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．

4．在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．

5．在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．

6． 已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .

7．∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

8．在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.

9.CD为Rt△ABC的高，∠BAC的平分线分交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.

10.△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF=______

二、选择题（每题3分）

11．若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是 （ ）

A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC

12．在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（ ） A．mn31 B．mn21 C．mn D．2mn

角平分线与垂直平分线基础

角平分线与垂直平分线基础

早规划、早行动、努力多一天！！！ 1

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教师 学科 数学 课时

教学内容 垂直平分线、角平分线的运用

教学重点、难点

垂直平分线与角平分线性质

1.回顾垂直平分线与角平分线的尺规作图方法。

2.村庄铺水管问题，到两个村庄和两条路距离距离相等问题（垂直平分线、角平分线的尺规作图运用）。

（教案垂直平分线部分的第11题）

3.垂直平分线与角平分线的性质。

基础巩固

角平分线部分

一、填空题

1．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .

2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．

3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.

4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.

6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.

7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.

8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．

9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为 . 第4题 第5题 第6题 第7题

奥数-垂直平分线与角平分线-线段专题

奥数-垂直平分线与角平分线-线段专题

线段垂直平分线专题

一、知识准备：

线段垂直平分线的性质：

。

线段垂直平分线的判定： 。

二、对应练习：

（一）选择题

1、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）

A、7 B、14 C、17 D、20

2、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）

A、6 B、4 C、6 D、4

3、（2009•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）

A、30° B、40° C、50° D、60°

4、（2008•眉山）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=a，DC=b，DC边的垂直平分线EF交BC边于E，且E为BC边的中点，又DE∥AB，则梯形ABCD的周长等于（ ）

A、2a+2b B、3a+b C、4a+b D、5a+b

5、（2007•日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）

A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm

6、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）