中垂线和角平分线
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1线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相
交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等
（2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线
上.
定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交
于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
课堂笔记：
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三
个顶点的距离相等.
定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC,,ijk
三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一,,ijk
点O，且OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形
是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角
形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交
点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角
形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，
则该三角形是钝角三角形.
经典例题：
例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB
于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长
等于（ ）
A．6cm B．8cmC．10cm D．12cmm
图1DABC
m
图2DABC
jik
图3O
BCA
2课堂笔记：
例2、 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为
50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。
课堂笔记：
针对性练习：
1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，
则底角B的大小为________________。
例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，
且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.
证明：
课堂笔记：
课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）
A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，
那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线
两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，
过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线
段的中垂线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周
长是（ ）
A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，
求证：AO⊥BC.图8BCDA
36.
如图，在△
ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.
线段的垂直平分线与角平分线(2)知识要点详解
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平
分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于
点D，则CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何
作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
课堂笔记：
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个
角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内
部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P
在∠AOB的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线
是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到
三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别
是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那
么：
① AP、BQ、CR相交于一点I；
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.图4CD
OAB
FE
图5CD
OAB
P
图6EF
DI
PRQ
BCA
4APBF
EC7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；
（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
课堂笔记：
经典例题：
例1、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，
PB=PC，
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF
课堂笔记：
针对性练习：
1、已知： BE、CE分别是△ABC∠ABC和外角∠ACD平分线，它们交于E，
∠BEC=350，求∠CAE的度数？
2、已知，如图1，在四边形ABCD中，
BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
3、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC
于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
(!)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=BF；1
2
(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。
5
