初中数学九大几何模型
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初中数学九大几何模型
一、手拉手模型 ----旋转型全等
D （1）等边三角形
O
O
C
D
E
E
C
A B
图1 A B
图2
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形；
【结论】：①△ OAC≌ △ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE平分∠ AED
D
（2）等腰直角三角形
D
O
O
C
E
E
C
A B
图1 A B
图2
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△ OAC≌ △ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE平分∠ AED
D （3）顶角相等的两任意等腰三角形
O
O C
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形；
D
E
且∠ COD=∠AOB
E
【结论】：①△ OAC≌ △ OBD；
C
②∠ AEB=∠AOB；
③OE平分∠ AED A B
A B
图1图2 O O 二、模型二：手拉手模型 ----旋转型相似
（1）一般情况
D
【条件】：CD∥AB， C D E
C
将△ OCD旋转至右图的位置
A B A B
D 【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；
②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA
O
O
C
（2）特殊情况
【条件】：CD AB
AOB=90
∥ ，∠ °
C D E
将△ OCD旋转至右图的位置
A B
A B
【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；
②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA；
③ BD
AC OD
OC OB
OA tan ∠OCD；④ BD⊥AC；
1 2
⑤连接AD、BC，必有 2 2
2 BC AB CD
AD ；⑥ S AC BD
△BCD
2
A
C
三、模型三、对角互补模型
D （1）全等型 -90 °
【条件】：①∠ AOB=∠DCE=90°；② OC平分∠ AOB
O E B
1
【结论】：① CD=CE；② OD+OE= 2 OC；③ 2
S S S
△DCE OC
△OCD △OCE
2
A 证明提示：
C
M
①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌ △ CEN
D 图 1
②过点 C作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌ △ FEC
O N E B ※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D时（如图 4）：
图 2
A 以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC；
③ 1
S
△OCE S OC
△OCD 2
A
C M C 2
D O B
N
E
O E F B
图 3 D 图 4 （2）全等型 -120 °
【条件】：①∠ AOB=2∠DCE=120° ；② OC平分∠ AOB
3
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=O；C③ 2
S△DCE S S OC
△OCD △OCE
4
证明提示：①可参考“全等型 -90 ° ”证法一；
②如右下图：在 OB上取一点 F，使 OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。
A A
C
C
F
F
O B
E
O B
E F
（3）全等型 - 任意角ɑ
【条件】：①∠ AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=C；E
【结论】：①OC平分∠ AOB；②OD+OE=2O·C cos ɑ；
③S S S OC2 sin α cosα
△DCE △OCD △OCE
※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D时（如右下图） ：
原结论变成：① ；
② ；
③ 。
可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
A
C D
A
O E B C
O
B
E
D对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；
A
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③注意 OC平分∠ AOB时，
C
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？
D
E
O B
四、模型四：角含半角模型 90°
（1）角含半角模型 90° ---1
【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45° ；
【结论】：①EF=DF+BE；②△ CEF的周长为正方形 ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：①正方形 ABCD；②EF=DF+BE；
D D A
【结论】：①∠ EAF=45° ； A
F F
B C
E G B C
E
（2）角含半角模型 90° ---2
【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45° ；
【结论】：①EF=DF-BE；
A A A
D D
D
C C C
E
E B B E
B F F
F（3）角含半角模型 90° ---3
【条件】：① Rt△ABC；②∠ DAE=45°；
【结论】： 2 CE DE
2 2
BD （如图1）
若∠ DAE旋转到△ ABC外部时，结论BD 2 CE 2 DE 2 仍然成立（如图2）
A A
F
B D E C B D E C
F
A A
B C
D E B C
D E
A D A D
（4）角含半角模型 90°变形
H H 【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45°；
F
F
【结论】：△ AHE为等腰直角三角形；
G G 证明：连接AC（方法不唯一）
∵∠ DAC=∠EAF=45°， B C
E B C
E
∴∠ DAH=∠CAE，又∵∠ ACB=∠ADB=45°；
∴△ DAH∽△ CAE，∴ DA
AH AC
AE
∴△ AHE∽△ ADC，∴△ AHE为等腰直角三角形
模型五：倍长中线类模型
A D A D
（1）倍长中线类模型 ---1
F F
【条件】：①矩形 ABCD；② BD=BE；
③ DF=EF；
B C E H B E
H【结论】：AF⊥CF
模型提取：①有平行线 AD∥BE；②平行线间线段有中点 DF=EF；
可以构造“ 8”字全等△ ADF≌ △ HEF。
（2）倍长中线类模型 ---2
【条件】：①平行四边形 ABCD；② BC=2AB；③ AM=D；M④ CE⊥AB；
【结论】：∠ EMD=3∠MEA
辅助线：有平行 AB∥CD，有中点 AM=D，M延长 EM，构造△ AME≌ △ DMF，连接CM构造
等腰△ EMC，等腰△ MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）
F
A A
M M D D
E E
B C B C
模型六：相似三角形 360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 --- 倍长中线法
【条件】：①△ ADE、△ ABC均为等腰直角三角形；② EF=CF；
【结论】：① DF=BF；② DF⊥BF
辅助线：延长 DF到点 G，使 FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△ BDG为等腰直角三角形；
C
突破点：△ ABD≌ △ CBG；
C
难点：证明∠ BAO=∠BCG
G
F
F
D
D
A
B
A B
E
（2）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 --- 补全法
C
【条件】：①△ ADE、△ ABC均为等腰直角三角形；② EF=CF；
C
G 【结论】：① DF=BF；② DF⊥BF
F
辅助线：构造等腰直角△ AEG、△ AHC；
D
F 辅助线思路：将DF与 BF 转化到 CG与 EF。
A
D B A
B
E
E
H
