(完整版)初中数学九大几何模型
- 格式：doc
- 大小：727.50 KB
- 文档页数：11
(完满版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型
一、手拉手模型 ----旋转型全等 D
（1）等边三角形
O O
C E
C
A 图 1 B A 图 2
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等边三角形；
【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=60°；③ OE均分∠ AED D
（2）等腰直角三角形
O C E
A B A
图 1
D
E
B
D
O
E C
B
图 2
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△ OAC≌△ OBD；②∠ AEB=90°；③ OE均分∠ AED
（3）顶角相等的两任意等腰三角形 D
O O
C
【条件】：△ OAB和△ OCD均为等腰三角形； D E
且∠ COD=∠AOB E
【结论】：①△ OAC≌△ OBD； C
②∠ AEB=∠AOB；
③OE均分∠ AED A 图 1 BA 图 2 B (完满版)初中数学九大几何模型
O O
二、模型二：手拉手模型 ----旋转型相似
（1）一般情况 D
【条件】： CD∥ AB， C D
将△ OCD旋转至右图的地址
A B
【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；
②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA
O
（2）特别情况
C D
【条件】：CD∥ AB，∠ AOB=90°
将△ OCD旋转至右图的地址 A B
【结论】：①右图中△ OCD∽△ OAB→→→△ OAC∽△ OBD；
②延长 AC交 BD于点 E，必有∠ BEC=∠ BOA；
③ BD OD OB tan ∠ OCD；④ BD⊥AC；
AC OC OA
⑤连接 AD、 BC，必有 AD 2 BC 2 2 2 ；⑥ S△BCD ABCD
三、模型三、对角互补模型
（1）全等型 -90 °
【条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC均分∠ AOB
E
C
A B
D
O C E
A B
1 AC BD 2
A
C
D
O E B
图 1
【结论】：① CD=CE；② OD+OE= 2 OC；③ S△DCE S△OCD S△OCE 1 OC2
A 2
证明提示：
C
M
①作垂直，如图 2，证明△ CDM≌△ CEN D
②过点 C 作 CF⊥ OC，如图 3，证明△ ODC≌△ FEC
※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如图 4）： O N E B
图 2
以上三个结论：① CD=CE；② OE-OD= 2 OC； A
1 OC2 A M C ③ S△OCES△OCD
2 C
D O
N B
E
O 图 3 E F B D 图 4
(完满版)初中数学九大几何模型
（ 2）全等型 -120 °
【条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC均分∠ AOB
【结论】：① CD=CE；② OD+OE=OC；③ S△DCES△OCD S△OCE 3 OC 2
4
证明提示：①可参照“全等型 -90 °”证法一；
②如右以下图：在 OB上取一点 F，使 OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。
A C A C
F F
O E B
O E F B
（3）全等型 - 任意角ɑ
【条件】：①∠ AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【结论】：① OC均分∠ AOB；② OD+OE=2OC·cos ɑ；
③ S△DCE S△OCD S△OCE OC 2 sin α cosα
※当∠ DCE的一边交 AO的延长线于 D 时（如右以下图） ：
原结论变成：① ；
② ；
③ 。
可参照上述第②种方法进行证明。请思虑初始条件的变化对模型的影响。
A
C D
A
O E B C
O
E B
D (完满版)初中数学九大几何模型
对角互补模型总结：
①常有初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角均分线”与“两边相等”的差异； A
③注意 OC均分∠ AOB时， C
∠CDE=∠ CED=∠ COA=∠ COB如何引导？ D
O
四、模型四：角含半角模型 90°
（1）角含半角模型 90° ---1
【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45°；
【结论】：① EF=DF+BE；②△ CEF的周长为正方形 ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：①正方形 ABCD；② EF=DF+BE；
【结论】：①∠ EAF=45°； A D A
F
B E C G B E
（2）角含半角模型 90° ---2
【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45°；
【结论】：① EF=DF-BE；
A D A D A
C C
E B E B E B
E B
D
F
C
D
C
F F F (完满版)初中数学九大几何模型
（3）角含半角模型 90° ---3
【条件】：① Rt △ ABC；②∠ DAE=45°；
【结论】： BD 2 CE 2 DE 2 （如图 1）
若∠ DAE旋转到△ ABC外面时，结论 BD 2 CE 2 DE 2 依旧建立（如图
A A
F
B D E C B D F E C
A A
D B E C D B E
（4）角含半角模型 90°变形 A D A
【条件】：①正方形 ABCD；②∠ EAF=45°； H
F
【结论】：△ AHE为等腰直角三角形；
证明：连接 AC（方法不唯一） G
∵∠ DAC=∠EAF=45°，
B
C B E
∴∠ DAH=∠CAE，又∵∠ ACB=∠ ADB=45°；
∴△ DAH∽△ CAE，∴ DA AC
AH AE
∴△ AHE∽△ ADC，∴△ AHE为等腰直角三角形
2）
C
D H F
G
E C
模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型 ---1
【条件】：①矩形 ABCD；② BD=BE；
③ DF=EF；
A D A D
F F
B C E H B E H
【结论】： AF⊥ CF
模型提取：①有平行线 AD∥ BE；②平行线间线段有中点 DF=EF；可以构造“ 8”字全等△ ADF≌△ HEF。 (完满版)初中数学九大几何模型
（2）倍长中线类模型 ---2
【条件】：①平行四边形 ABCD；② BC=2AB；③ AM=DM；④ CE⊥ AB；
【结论】：∠ EMD=3∠MEA
辅助线：有平行 AB∥ CD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造△ AME≌△ DMF，连接 CM构造
等腰△ EMC，等腰△ MCF。（经过构造 8 字全等线段数量及地址关系，角的大小转变）
F
A M A M D D
E E
B C B C
模型六：相似三角形 360°旋转模型
（ 1）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 --- 倍长中线法【条件】：①△ ADE、△ ABC均为等腰直角三角形；② EF=CF；【结论】：① DF=BF；② DF⊥ BF
辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、 BG、 BD，证明△ BDG为等腰直角三角形；
打破点：△ ABD≌△ CBG； C
C
难点：证明∠ BAO=∠ BCG
F G
F
D
D
A
B
A B
E
（2）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 --- 补全法 C
【条件】：①△ ADE、△ ABC均为等腰直角三角形；② EF=CF； C
G 【结论】：① DF=BF；② DF⊥ BF
辅助线：构造等腰直角△ AEG、△ AHC； F
辅助线思路：将 DF与 BF 转变到 CG与 EF。
F D
D A B
A B E
E
H
