圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

FAPHBQ 椭圆题型总结 (简单)

一、 椭圆的定义和方程问题

(一) 定义:

1. 命题甲:动点P到两点BA,的距离之和);,0(2常数aaPBPA命题乙: P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2. 已知1F、2F是两个定点，且421FF,若动点P满足421PFPF则动点P的轨迹是（ D ）

A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段

3. 已知1F、2F是椭圆的两个焦点, P是椭圆上的一个动点,如果延长PF1到Q,使得2PFPQ,那么动点Q的轨迹是( B )

A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点

4. 椭圆192522yx上一点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O是椭圆的中心，则ON的值是

4 。

5. 选做：F1是椭圆15922yx的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求||||1PFPA的最小值。

解：26||2||2||||||221AFaPFaPAPFPA

7. (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）

连PF，当A、P、F三点共线时，PFAPPHAP最小，此时AF的方程为)1(13024xy 即

y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（1,41）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=41，∴Q(1,41) F′FPHy0xA点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

8、F是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）PFPA的最小值为

（2）PFPA2的最小值为

分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-5

设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF

当P是FA的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。

（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，

∴PHPFPHPF2,21即

∴PHPAPFPA2

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca

(二) 标准方程求参数范围

1. 试讨论k的取值范围，使方程13522kykx表示圆，椭圆，双曲线。（略）

2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“ynymxnm1022( C )

A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 若方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（

A ）

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 方程231yx所表示的曲线是 椭圆的右半部分

.

5. 已知方程222kyx表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 k>1

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；

（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；

（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21PP,求椭圆方程.

2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1）32,8ec； （2）过（3，0）点，离心率为36e。

（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为

（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

3．过椭圆)0(12222babyax的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若6021PFF，则椭圆的离心率为_____33________________

（四）椭圆系————共焦点，相同离心率

1． 椭圆192522yx与)90(192522kkykx的关系为（ A ）

A．相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距

2、求与椭圆14922yx有相同焦点，且经过点23，的椭圆标准方程。

（五）焦点三角形4a

1. 已知1F、2F为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点。若1222BFAF，则AB 8 。

2. 已知1F、2F为椭圆192522yx的两个焦点，过2F且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则1ABF的周长是 20

。

3. 已知CAB的顶点B、C在椭圆1322yx上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则CAB的周长为

34 。

（六）焦点三角形的面积：

1. 已知点P是椭圆1422yx上的一点，1F、2F为焦点，021PFPF，求点P到x轴的距离。

解：设),(yxP则1432222yxyx解得33||y，所以求点P到x轴的距离为33||y

2. 设M是椭圆1162522yx上的一点，1F、2F为焦点，621MFF，求21MFF的面积。 解：||||2||||24||||24||||2|)||(|||||2||||||cos2121221221221212212221PFPFPFPFbPFPFcPFPFPFPFPFPFFFPFPF

当621MFF，S=)32(166sin||||2121PFPF

3. 已知点P是椭圆192522yx上的一点，1F、2F为焦点，若212121PFPFPFPF，则21FPF的面积为

33

。

4. 已知AB为经过椭圆)0(12222babyax的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积的最大值为 cb 。

（七）焦点三角形

1. 设椭圆14922yx的两焦点分别为1F和2F，P为椭圆上一点，求21PFPF的最大值，并求此时P点的坐标。

2. 椭圆12922yx的焦点为1F、2F，点P在椭圆上，若41PF，则2PF 2 ；21PFF

120O

。

3. 椭圆14922yx的焦点为1F、2F，P为其上一动点，当21PFF为钝角时，点P的横坐标的取值范围为

)553,553(

。

4. P为椭圆1162522yx上一点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点。（1）若1PF的中点是M，求证：1215PFMO；（2）若6021PFF，求21PFPF的值。

解：（1）MO为三角形PF1F2的中位线，||215|)|2(21||21||112PFPFaPFMO

（2）21PFPF=364

（八）与椭圆相关的轨迹方程

定义法：

1. 点M(x,y)满足10)3()3(2222yxyx，求点M的轨迹方程。

（1162522xy）

2. 已知动圆P过定点)0,3(A，并且在定圆64)3(:22yxB的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.

3. 已知圆4)3(:221yxC,圆100)3(:222yxC，动圆P与1C外切，与2C内切，求动圆圆心P的轨迹方程.

解：由题12102||||21rrPCPC

所以点P的轨迹是：以1C，2C为焦点的距离之和为12的椭圆。6,3ac，方程为1273622yx

4. 已知)0,21(A，B是圆4)21(:22yxF（F为圆心）上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 13422yx

5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则△ABC 的顶点C的轨迹方程是 14322yx 。

直接法

6. 若ABC的两个顶点坐标分别是)6,0(B和)6,0(C，另两边AB、AC的斜率的乘积是94，顶点A的轨迹方程为 1368122yx 。

相关点法

7. 已知圆922yx，从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段'PP，垂足为'P，点M在'PP上，并且'2MPPM，求点M的轨迹。

8. 已知圆122yx，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程是

1422yx 。

9. 已知椭圆1452222yx，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。

10. 一条线段AB的长为a2，两端点分别在x轴、y轴上滑动 ，点M在线段AB上，且2:1:MBAM,求点M的轨迹方程.

二、 直线和椭圆的位置关系

(一)判断位置关系

1． 当m为何值时,直线mxyl:和椭圆14416922yx (1)相交；(2)相切；(3)相离。

解：由14416922yxmxy消去y得014416322522mmxx，判别式：)25(5762m

所以，当55m时直线与椭圆相交；当5m时直线与椭圆相切；当5mm或5时直线与椭圆相离。

2． 若直线2kxy与椭圆63222yx有两个公共点，则实数k的取值范围为

。3636kk或

(二)弦长问题

1. 设椭圆)0(1:2222babyaxC的左右两个焦点分别为1F、2F，过右焦点2F且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为)1,2(M。