2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学(理科)试题(解析版)
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第 1 页 共 17 页 2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试题
一、单选题
1．设全集，集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】全集，集合，，
.
故选C.
2．在复平面内复数、 (是虚数单位)对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数，对应的点为(4,-3)位于第四象限.
故选D.
3．向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量，，
若，则，解得.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
4．若实数，满足则的最大值是（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】作出不等式的可行域，如图所示. 第 2 页 共 17 页
即为，平移该直线至点A时最大.
，解得，即A(0,1)，此时.
故选C.
5．某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】有三视图可知，该几何体为高为，底面半径为的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.
剩余几何体的体积为，解得：.
故选B.
6．已知是各项均为正数的等比数列，为其前项和，若，，则（ ）
A. 65 B. 64 C. 63 D. 62 第 3 页 共 17 页 【答案】C
【解析】是各项均为正数的等比数列，设公比为.
,，解得.
.
故选C.
7．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形内的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图所示，正方形的边长为：，正方形的边长为：.
由题意知，解得，即. 第 4 页 共 17 页 该点恰好在正方形内的概率为.
故选D.
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
8．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.
圆，即，圆心为，半径为.
切线长为.
.
所以切线长的最小值为.
故选A.
9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（ ）
第 5 页 共 17 页 A. B. C. D.
【答案】B
【解析】执行程序框图：，是，输出(1,1)；
，是，输出(2,2)；
，是，输出(3,4)；
，否，结束循环.
根据题意函数经过点(1,1)，(2,2)，(3,4).
所以：,解得：.
.
故选B.
10．过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，点为坐标原点，若四边形的面积为4，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线（，）的渐近线为：.
焦点到的距离为：，则.
四边形的面积为，所以，又.
解得：，所以双曲线的离心率为.
故选D.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取第 6 页 共 17 页 值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
过点作交AB于点N，点作交PC于点F,过点作交CD于点E，连接EF. 第 7 页 共 17 页 则面平面，.
由平面，可得平面，平面与平面之间的距离为，且为直角梯形.
由，得，所以.
.
故选D.
12．对于任意，，不等式恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】不等式左侧的最小值的几何意义是函数上的点与函数上的点之间距离的最小值的平方，与直线平行且与函数相切的直线为，两直线之间距离的最下值为，所以，解得，所以的最大值为2.
故选B.
点睛：不等式的恒成立问题，往往是转化为研究最值问题，本题中涉及的变量较多，但是从代数式的结构不难发现，类似于两点的距离公式，从而可利用数形结合的思想求最值，即为曲线上的点与直线上的点的距离最小，平移直线与曲线相切时即为最小值.
二、填空题
13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)
【答案】-160
【解析】二项式的展开式通项为：
令，得，.
故答案为：-160.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数. 第 8 页 共 17 页 14．已知数列满足，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由,得，
∵，
∴
.
∴，
令,得，
∴当n取1,2,3时,减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大。
∵n=3时;n=4时,.
∴ann的最小值为.
故答案为：.
15．15．在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.
甲说：“礼物不在我这”；
乙说：“礼物在我这”；
丙说：“礼物不在乙处”.
如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.
【答案】甲
【解析】假设乙说的是对的，那么甲说的也对，所以假设不成立，即乙说的不对，所以礼物不在乙处，易知丙说对了，甲说的就应该是假的，即礼物在甲那里.
故答案为：甲.
16．抛物线的焦点为，过准线上一点作的垂线交轴于点，若抛物线上存在点，满足，则的面积为__________． 第 9 页 共 17 页 【答案】
【解析】由可得为的中点，准线方程，焦点，
不妨设点在第三象限，因为∠为直角，所以，
由抛物线的定义得轴，则可求得，
即，所以.
故答案为：.
三、解答题
17．中，三个内角的对边分别为，若，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求周长的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得，由正弦定理边化角得，从而得解；
（Ⅱ）根据余弦定理可知，进而得，再由两边之和大于第三边，即可得范围.
试题解析：
（Ⅰ）∵，则有，
∴
∴，
∴，∴. 第 10 页 共 17 页 （Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，
又∵，∴，∴，
则周长的取值范围是.
18．四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形是边长为2的菱形，，平面，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若与底面所成角的正切值为2，求二面角的余弦值.
【答案】（I）详见解析；（II）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）易证，，进而可得平面，从而证得；
（Ⅱ）与底面所成角为，从而可得，设,交于点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求解二面角即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵平面，∴.
在菱形中，，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（Ⅱ）∵平面
∴与底面所成角为，∴，∴ 第 11 页 共 17 页 设,交于点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则，，,.
，
同理，
，，
.
设平面的法向量，
∴则，
设平面的法向量，
则，
设二面角为，.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19．2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量 (单位：千万立方米)与年份 (单位：年)之间的关系.并且已知关于的线性回归方程是，
