甘肃省高三数学第一次诊断考试试题 理(含解析)新人教A版
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1 数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数单位，复数231ii
A．-3－4i B．-3 +4i C．3－4i D．3+4i
【答案】A
【解析】22234338634121iiiiiiiiiii。
2．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2－x，则f（1）=
A．3 B．-1 C．1 D．-3
【答案】D
【解析】因为当x≤0时，f（x）=2x2－x，所以13f，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以13f。
3．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为
A．k>4？ B．k>5?
C．k>6？ D．k>7？
【答案】A
【解析】第一次循环：12,24kkSSk，此时应不满足条件，再次循环；
第二次循环：13,211kkSSk，此时应不满足条件，再次循环；
第三次循环：14,226kkSSk，此时应不满足条件，再次循环；
第四次循环：15,257kkSSk，此时应满足条件结束循环，输出S的值为57，所以判断框里的条件应该是k>4？。 2 4．设sin（4）=13，sin2=
A．79 B．19
D．19 D．79
【答案】A
【解析】因为sin（4）=13，即2212sincos,sincos=2233所以，两边平方，得：2+sincos=912，所以7sin2=-92。
5．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是
A．1564 B．15128 C．24125 D．48125
【答案】A
【解析】将5本不同的书全发给4名同学，共有54种分发。若每名同学至少有一本
书，其分发共有2454240CA种，所以其概率为524015=464。
6．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A．23 B．83
C．8－23 D．82
【答案】C
【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为：3212=2-12=8-33V。
7．（2一x）8展开式中不含．．x4项的系数的和为
A．-1 B．0
C．1 D．2
【答案】B
【解析】令x=1，得：（2一x）8展开式中所有项的系数为1，又88288212rrrrrrrCxCx，由4,82rr得，所以x4项的系数为8808121C，所以（2一x）8展开式中不含．．x4项的系数的和为1-1=0。 3 8．已知二次函数y= f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为
A．25 B．43 C．32 D．2
【答案】B
【解析】根据图像可得： 2()1yfxx，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33Sxdxxx.
9．已知点F是双曲线222xyab=1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
A．（1,+∞） B．（1,2） C．（1,l+2） D．（2,l+2）
【答案】B
【解析】要使△ABE是锐角三角形，，只需满足角∠AEB为锐角，只需满足∠AEF<450，在∆AEF中，2221,2t0anbAFaAEFcacaAEac即，两边同除以2a，得220ee，有e>1，所以离心率e的取值范围是（1,2）。
10．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=
mq－np，下面说法错误的是
A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2
【答案】B
【解析】由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，所以选项B错误；（a）⊙b=mqnp，(a⊙b)= ( mq－np)= mqnp所以对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b），选项C正确；
（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2= 22222222mqnpmpnq，|a|2|b|2=222222222222mnpqmqnpmpnq，所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。 4 11．已知函数f（x）=sin （2x+），其中为实数，若f（x）≤()6f对x∈R恒成立，且()()2ff，则f（x）的单调递增区间是
A．,()36kkkZ B．,()2kkkZ
C．2,()63kkkZ D．,()2kkkZ
【答案】C
【解析】若()()6fxf对xR恒成立，则()sin()163f，所以,32kkZ，,6kkZ.由()()2ff，（kZ），可知sin()sin(2)，即sin0，所以72,6kkZ，代入()sin(2)fxx，得7()sin(2)6fxx，由7222262kxk，得563kxk，故选C.
12．已知函数f（x）=|1|,010,16,10.2gxxxx若a，b，c互不相等，f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是
A． （1,10） B． （5,6） C． （10,12） D． （20,24）
【答案】C
【解析】因为a，b，c互不相等，不妨设abc，由fafb，得lglgab，即1ab，所以abcc，由图显然：1012c，因此选C。
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做 5 答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．设F为抛物线y2 =4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则FAFBFC 。
【答案】6
【解析】因为0FAFBFC，所以点F为∆ABC的重心，所以A、B、C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即3ABCxxx，所以1116ABCFAFBFCxxx。
14．已知变量x，y满足约束条件1122xyxyxy，则目标函数z= ax +2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 。
【答案】4,2
【解析】画出约束条件1122xyxyxy的可行域，由图像知：12,422aa即。
15．直三棱柱ABC－A1B1Cl的各顶点都在同一球面上，若AB =AC= AA1=2，∠BAC=120o，
则此球的表面积等于 ．
【答案】20
【解析】由余弦定理得：22202cos12023CBABCAABAC，所以在∆ABC中，设∆ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，则由正弦定理得：2,2sinBCrrA所以，设球的半径为R，圆心为O，则2221145ROOr，所以球的表面积为2420R。
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（3b－c）cosA=acosC，则cosA= 。
【答案】33
【解析】由正弦定理得：3sincossincossincosBACAAC，3sincos=sincos+sincosBACAAC即，所以3sincos=sin()BAAC，即 6 3sincossinBAB，因为B为三角形的内角，所以sin0B，两边同时除以sinB，得3cos3A。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且12，an，Sn是等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若21()2nbna，设nnnbca，求数列{cn}的前n项和Tn。
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB =2．
（I）求证：AB1∥平面BC1D;
（Ⅱ）若四棱锥B－AA1C1D的体积为3，求二面角C－BCl －D的正切值．
19．（本小题满分12分）
为迎接2012年伦敦奥运会，在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（I）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；
（Ⅱ）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望。
