浅谈拉普拉斯变换的应用

东北农业大学课程论文

1 复变函数的发展史及laplace变换在自控领域中的应用

摘 要 ：复变函数经历了150多年的发展历程，在不断发展和更新的过程中愈来愈完善并不断向各个领域延伸，特别是在自动控制领域的作用愈来愈重要。复变函数中的Laplace变换是近一世纪来迅速发展起来的一种有效的数学方法。借助于Laplace变换可把微积分的运算转化复平面的代数运算 ，因此，可利用它解常微分方程、偏微分方程、积分方程及差分方程，简化了求解过程，是解线性系统的重要工具，。通过在自动控制理论中建立系统的动态数学模型，根据拉普拉斯变换及其反变换的定义式，求解得到系统的动态过程，从而阐明其计算具有快速、简洁和方便的特点，在现代自控理论中得到广泛的应用。

关键词：复变函数 拉普拉斯变换 原函数 象函数 传递函数

Abstract : Complex function has experienced 150 years of development,and it became be more perfect and

constantly to the various fields in the process of developing and updating, especially it palys a more and more

important role in the field of automatic place transform is nearly a century to rapidly develop an

effective mathematical method. Using Laplace transform can turn calculus operations in the plane of the

transformation of complex arithmetic, therefore, can use it to solution of differential equation, partial

常用拉普拉斯变换总结

1、指数函数

000)(ttAetft，其中，A和a为常数。

sAteAteAeAeLtssttt0)(0dd][

2、阶跃函数

000)(ttAtf，其中，A为常数。

sAtAeALst0d][

3、单位阶跃函数

4、斜坡函数

，其中，A为常数。

000dd][tsAeseAttAteAtLststst

A＝1时的斜坡函数称为单位斜坡函数，发生在t=t0时刻的单位斜坡函数写成r（t-t0）

5、单位斜坡函数

000)(ttttf 0010)(tttustetuLst1d)]([0000)(ttAttf20dsAtesAst000dd][tsesetttetLststst

201d1stesst

6、正弦函数

00sin0)(tttAtf，其中A为常数。

根据欧拉公式：

拉式变换为：

2201212d)(2]sin[sAjsjAjsjAteeejAtALsttjtj

同理余弦函数的拉式变换为：22]cos[sAstAL

7、脉动函数

ttttttAtf000,000)(，其中，A和t0为常数。

脉动函数可以看做是一个从t＝0开始的高度为A/t0的阶跃函数，与另一个从t＝t0开始的高度为A/t0的负阶跃函数叠加而成。

)()()(000ttutAtutAtf

)1()()()]([00000000ststestAestAstAttutALtutALtfL )(tft图2.3正弦函数和余弦函数)(tft(a)(b)00)(21sintjtjeejt8、脉冲函数

拉普拉斯变换在电路中的应用

10071051朱海云

应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。

1.电路定律的运算形式

基尔霍夫定律的时域表示：

把时间函数变换为对应的象函数：

得基尔霍夫定律的运算形式：

2.电路元件的运算形式

根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。

1)电阻R的运算形式 图1（a） 图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR的运算形式： 或

根据上式得电阻R的运算电路如图（b）所示。 图1（b）

2)电感L的运算形式

图2(a)所示电感元件的电压电流关系为

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR的运算形式：

或

根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。

式中图2（a）

图2（b）

图2（c） 分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。

3)电容C的运算形式

图3(a)所示电容元件的电压电流关系为：

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式：

或

根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。

图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。

式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。 图3（a）

图3（b）

图3（c）

4)耦合电感的运算形式

２Ｏ　０　２年２月　第８卷第１期　安庆师范学院学报（鼻然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｆｅｂ．２ＯＯ２　Ｖｏｔ．８　ＮＯ．１　

拉普拉斯变换及其应用　

陆镭　

（上海城青昔理技术学院．上海２００２３３）　

摘要：阐述拉普拉斯变换的基本原理和它的应用，特别是在解常镦分方程韧值问题方面　的应用．　关键词；变换；逆变换；算子　反演　中冒分类号：０１７７．６文献标识玛：Ａ　文章绾号：１００７－－４２６０（２００２）０１—０ｏ４９～０２　

在科学和工程中，有关温度、热流、电流、放射　

现象等问题，数学上都可以构成有定解条件的微　

分方程，这些微分方程的解对科学研究有着重要　的价值。为得到这些微分方程的解可用拉普拉斯　

变换（简称拉氏变换）方法，把微分方程归结为一　

个未知数的代数方程（或方程组），解出这个拉氏　

变换，再取其逆就得出所要求的解。　设函数ｆ（ｆ）满足：　

（１）　＜０时，ｆ“）一ｏ，　

（２）　≥ｏ时，（　）及　（ｆ）除去有限个第一间　

断点外处处连续；（３）存在常数Ｍ和　≥０，使Ｉ，　（ｆ）【＜ＭＰ　（０≤　＜ｏ。），则函数，（　）的拉普拉斯　

１　变换定义为：　｛，（　））一Ｆ（ｓ）一Ｊ　ｏ　ｅ－Ｊｒｆ（　）ｄｔ式　

中，（　）称为拉氏变换的原函数，Ｆ（ｓ）为像函数，　

ｅ…称为拉氏变换的核。符号￡称为拉普拉斯变换　

算子，这是一个线性算子。即　

Ｌ｛ｃ１　ｆｌ（ｆ）＋　ｚ　（ｆ））一旬Ｌ｛＾（ｆ））＋　ｚＬ（＾　

（　）、式中ｆ（ｔ）是Ｆ（ｓ）的逆拉普拉斯变换，记作：　

￡　ｆＦ（Ｓ））一ｆ（ｆ），符号￡　称为逆拉普拉斯　

变换算子，也是一个线性算子，即：　

￡　（ｃ　ＬＦｌ（　）＋ｃ？Ｆ２（Ｓ）｝一ｃ　Ｌｆｌ　０）　ｃ２＾（ｒ）　拉氏变换的重要应用之一是解常微分方程的　

初值问题，这就必需求出导数的拉氏变换。设ｆ（ｔ）　

及ｆ　（ｔ）都满足于拉氏变换式存在的条件，ｆ（ｔ）的拉