初三数学-二次函数讲义-详细

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二次函数

一、二次函数的解析式

1. 二次函数解析式有三种：

(1)一般式：yaxbxca20()

(2)顶点式：yaxhk2 顶点为hk，

(3)交点式：yaxxxx12 xx1200，，是图象与x轴交点坐标。

2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式.

二、二次函数与一元二次方程

1. 二次函数20yaxbxca与一元二次方程200axbxca的关系。

一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况。

2.图像与x轴的交点个数：

①当240bac时，图像与x轴交于两点1212,0,,0AxBxxx，其中12,xx是一元二次方程200axbxca的两根；

②当0时，图像与x轴只有一个交点；

③当0时，图像与x轴没有交点。

1’ 当0a时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y

2’ 当0a时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y。

板块一 二次函数解析式

1.(1)把函数23212xxy化成它的顶点式的形式为_______________________；

(2)把函数6422xxy化成它的交点式形式为____________________________；

(3)把函数2324yx化为它的一般式的形式为__________________________；

(4)把函数12)1(32xy化成它的交点式为__________________________;

(5)把函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是 ；

(6)把抛物线322xxy向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .

2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线 ( ) 22xy2

A．x=1 B．x=－1 C．x=－3 D．x=3

(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )

A．2 B．1 C．－3 D．23

3.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。

(2)已知二次函数2yaxbxc的对称轴为2x,且经过点(1，4),(5,0),求二次函数的解析式。

(3)已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数的解析式，并化成它的一般形式。

(4)已知二次函数的图像与x轴交于A(-1，0)，B(2，0)，并经过点M(1，2)求二次函数的解析式。

4.已知二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)、B(3，0)两点，且函数有最大值是2.

(1)求二次函数的图象的解析式；

(2)设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

板块二 二次函数与方程

1.(1)二次函数2yaxbxc与x轴的两个交点坐标为(-1,0)、(5,0)，则一元二次方程20axbxc的两根为_____________. 3

(2)如果一元二次方程20axbxc的两个根是3和-1.则二次函数2yaxbxc的图像的对称轴是直线_________________.

(3)已知二次函数24yxxm的部分图像如右图所示，则关于x的一元二次方程

240xxm的解是______________.

2.根据下列表格中二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，判断方程200,,,axbxcaabc为常数的一个解x的范围是( )

x 6.17 6.18 6.19 6.20

2yaxbxc -0.03 -0.01 0.02 0.04

A.66.17x B. 6.176.18x C. 6.186.19x D. 6.196.20x

3.已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表：

x …… -1 0 1 3 ……

y …… -3 1 3 1 ……

则下列判断中正确的是( )

A.抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴

C. 当4x时，0y D.方程20axbxc的正根在3和4之间

4.(1)已知直线5yxk与抛物线235yxx的交点的横坐标为1，则k=________

(2)直线41yx与抛物线22yxxk有唯一的交点，则k=___________ (3)直线6yax与抛物线243yxx只有一个交点，则a=___________

(4)当m取何值时，抛物线2yx与直线yxm：①有公共交点；②没有公共点

5.已知关于x的二次函数222134yxmxmm，探究m满足什么条件时，二次函数y的图像与x的交点个数。

xy5254

6.二次函数20yaxbxca的部分图像如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)写出x为何值时，y的值大于0；

(2)写出x为何值时，y随x的增大而增大；

(3)若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

板块三 二次函数与不等式

1.(1)不论x为何值时，2yaxbxc永远为正值的条件是( )

A．0,0a B. 0,0a C. 0,0a D. 0,0a

(2)若抛物线2123ymxmxm位于x轴上方，则m的取值范围是( )

A. 1m B. 32m C. 32m D. 312m

(3)二次函数2yaxbxc对于x的任何值都恒为负值的条件是( )

A．0,0a B. 0,0a C. 0,0a D. 0,0a

2.（1）如图1所示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，则（ ）

（A）0c；（B）02ba（C）042acb； （D）0cba

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，则下列四个结论：①b<0；②c>0；③b2一4ac>0；

④a-b+c<0，其中正确的个数是 ( ) A．1 B． 2 C．3

D．4

(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为 ( ) A．2 B． 3

C．4 D． 5

(4)如图4，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系式不正确的是

( )

A．h=m B．k=n C．k>n D．h>0，k>0 111.5X=-1-1-2-3-1xy1-11xyO 图1 图2 图3 5

（5）已知二次函数2yaxbxc的图象如图6所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ①③④ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤

(6)已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图7所示，则下列结论：1）,ab同号；2）当1x和3x时，函数值相同；3）40ab；4）当2y时，x的值只能为0；其中正确的是

3.(1)如图7，)0(21acbxaxy与mkxy2的图像交于点A（-2，4），B（8，2），观察图像，写出21yy时x的取值范围 ，方程mkxcbxax2的解为 。

图7 图8

(2)二次函数的图象如图8所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是 ．

(3)已知，抛物线562xxy,满足0562xx的x的取值范围是 .

4.如图，直线yxm和抛物线2yxbxc都经过点A(1，0)，B(3，2)。

（1） 求m的值和抛物线的解析式；

（2） 求不等式2xbxcxm的解集

【课后练习】

1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )

223yxx图4 图5

1xAyO1xByO1xCyO1xDyO6

2.小强从如图1所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得

出了下列五个结论：①a<0；②c>1；③b>0；④a+b+c>0；

⑤a－b+c>0．其中正确的个数是 ( )

A．2 B． 3 C．4 D． 5

3.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图2所示，则下列判断错误的是( )

A．a<0 B． b<0 C．c<0 D． b2—4ac<0

4.用配方法把二次函数y=x2－4x+3 变成它的顶点式为______________________

5.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的解析式．

6.二次函数20yaxbxca的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）方程20axbxc的两个根是_______________

（2）不等式20axbxc的解集是_______________

（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是_______________

（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________

7.如图，二次函数过点A(0，－2)，B(－1，0)，C)89,45(．

(1)求此二次函数的解析式．

(2)点M(1，21)是否在直线AC上?

(3)过点M(1，21)作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点(不同于A、B、C三点)，请自己给出点E的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

xyO1322图1 图2