初三数学二次函数知识精讲

初三数学二次函数知识精讲

一. 本周教学内容：

二次函数

［学习目标］

1. 掌握二次函数的概念，形如yaxbxca20()的函数，叫做二次函数，定义域xR。

特别地，bc0时，yaxa20()是二次函数特例。

2. 能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围，明确它有三个待定系数a，b，c，()a0，需三个相等关系，才可解。

3. 二次函数解析式有三种：

（1）yaxbxca20() 一般式

（2）yaxhk2 顶点式；hk， 顶点

（3）yaxxxx12 双根式；xx1200，，是图象与x轴交点坐标。

4. 二次函数图象：抛物线

分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。

5. 抛物线yaxa20()与抛物线yaxbxca20()形状、大小相同，只有位置不同。

6. 描点法画抛物线yaxbxca20()了解开口、顶点、对称轴、最值。

（1）a决定开口：

a0开口向上，a0开口向下。

a表示开口宽窄，a越大开口越窄。

（2）顶点baacba2442，，当xba2时，y有最值为442acba。

（3）对称轴xba2

（4）与y轴交点（0，c），有且仅有一个 （5）与x轴交点A（x10，），B（x20，），令y0则axbxc20。

①△＞0，有xx12，两交点A、B。

②△＝0，有xx12，一个交点。

③△＜0，没有实数xx12，与x轴无交点。

7. yaxbxc2配方可得yaxhka20()

yax2向右（h0）或向左（h0）平移h个单位，得到yaxh2，再向上k0向下k0平移k个单位，便得yaxhk2，即yaxbxc2 ()a0。

8. 五点法作抛物线

（1）找顶点baacba2442，，画对称轴xba2。

（2）找图象上关于直线xba2对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。

（3）把上述五个点连成光滑曲线。

9. 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。

判别式

bac24 0 0 0

二次函数

yaxbxc2

()a0

axbxc20

xbbaca12242,

（xx12） xxba122 无实根

一元

二次 axbxc20

a0 xx1或xx2 不等于ba2的实数 全体实数

不等

式 axbxc20

a0 xxx12 空集 空集

二. 重点、难点：

重点掌握二次函数定义、解析式、图象及其性质。

难点是配方法求顶点坐标，只要坚持配完后看看与原二次函数是否相等即可。 例1. 已知抛物线yxx123522，五点法作图。

解：yxx123522

126512699522xxxx

1234123222xx

∴此抛物线的顶点为M32，

∴对称轴为x3

令y0，即解方程1235202xx

xx1215，

∴抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）

令x0则y52，得抛物线与y轴交于点C（0，52）

又C（0，52）关于对称轴x3的对称点为D652，

将C、A、M、B、D五点连成光滑曲线，此即为抛物线yxx123522的草图。

例2. 已知抛物线yaxbxc2如图，试确定：

（1）abc，，及bac24的符号； （2）abc与abc的符号。

解：（1）由图象知抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，过A（1，0）与y轴交于B（0，c），在x轴上方

acbab00200，，

∵抛物线与x轴有两交点

bacabcbac224000040，，，

（2）∵抛物线过A（1，0）

002000abcacbabcbabcabc，

例3. 求二次函数解析式：

（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；

（2）顶点M（-1，2），且过N（2，1）；

（3）与x轴交于A（-1，0），B（2，0），并经过点M（1，2）。

解：（1）设二次函数解析式为yaxbxca20()

由题意2001593··abcabcabc

abc122

∴所求二次函数为yxx222

（2）设二次函数解析式为yaxhk2 ∵顶点M（-1，2）

hkyax12122，

∵抛物线过点N（2，1）

1212192aa

∴所求解析式yx19122

即yxx19291792

（3）设二次函数解析式为yaxxxxa120()

∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（2，0）

yaxx12

∵抛物线过M（1，2）

21112a

a1

∴所求解析式yxx12

即yxx22

例4. 已知二次函数ymxmm242在x0时，y取最大值，且抛物线与直线yx2相交，试写出二次函数的解析式，并求出抛物线与直线的交点坐标。

解：∵二次函数ymxmm242有最大值

mmm22240

即mmmm220220

m1

∴抛物线为yx32

由题意yxyx322 xyxy132343，

∴抛物线与直线的交点坐标是13，与2343，

例5. 已知函数yaxbxc12，它的顶点为（-3，-2），y1与yxm22交于点（1，6），求yy12、的解析式。

解：二次函数的解析式可化为：

yaxbaacba122244

∵已知顶点为32，，可得：

baacba23144222

又点（1，6）在抛物线上，得：

abc63

由<1>、<2>、<3>可解得：

abc12352，，

又点（1，6）在直线yxm22上

2641235224122mmyxxyx，

例6. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x20，且在x轴上截取长度为22的线段，求解析式。

解：∵对称轴为x20，即x2

∴可设二次函数解析式为yaxk22

∵在x轴上截取长度为22 ∴抛物线过220，与220，两点

022212ak

又∵（-1，-1）在抛物线上

11222ak

由<1>、<2>解得：ak12，

∴解析式为yx222

即yxx242

（答题时间：35分钟）

一. 选择题。

1. 用配方法将12322xx化成axbc2的形式（ ）

A. 123522x B. 1232542x

C. 12322x D. 12372x

2. 对于函数yaxa20()，下面说法正确的是（ ）

A. 在定义域内，y随x增大而增大

B. 在定义域内，y随x增大而减小

C. 在，0内，y随x增大而增大

D. 在0，内，y随x增大而增大

3. 已知abc000，，，那么yaxbxc2的图象（ ）

4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线yaxbxc2上，则抛物线的对称轴是（ ）

A. xab B. x2 C. x3 D. x1 5. 一次函数yaxb和二次函数yaxbxc2在同一坐标系内的图象（ ）

6. 函数yxx33322的最大值为（ ）

A. 94 B. 32 C. 32 D. 不存在

二. 填空题。

7. ymxmxm11321是二次函数，则m____________。

8. 抛物线yxx52222的开口向____________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。

9. 抛物线yaxbxc2的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a___________，b____________，c____________。

10. 函数yxx123522图象沿y轴向下平移2个单位，再沿x轴向右平移3个单位，得到函数____________的图象。

三. 解答题。

12. 抛物线yxmxmm222243，m为非负整数，它的图象与x轴交于A和B，A在原点左边，B在原点右边。

（1）求这个抛物线解析式。

（2）一次函数ykxb的图象过A点与这个抛物线交于C，且SABC10，求一次函数解析式。