2019-2020学年四川省广元市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
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2019-2020学年四川省广元市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．两数+1与﹣1的等比中项是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．
5．若sinα＝，则cos2α＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0
7．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（ ）
A． B．
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．40π B．50π C．25π D．36π
10．已知x＞0，y＞0，x+9y＝3，则+的最小值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＜S10＜S9，则满足Sn＞0的正整数n的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
12．设非零向量与的夹角是，且||＝||，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案直接写在答题卡上．
13．已知＝（1，0），＝（1，1），（+λ）⊥，则λ等于
．
14．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．
15．等比数列{an}的前m项和为10，前2m项和为30，则前3m项的和为 ．
16．定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题：
①“等和数列”一定是常数数列；
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
④数列{an}是“等和数列”且公和h＝100，则其前n项之和Sn＝50n； 其中，正确的命题为 ．（请填出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；
（2）解关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．
18．已知向量，，是同一平面的三个向量，其中＝（1，﹣1）．
（Ⅰ）若||＝3，且与的方向相反，求的坐标
（Ⅱ）若是单位向量，且⊥（﹣2），求与的夹角θ．
19．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？
20．已知函数f（x）＝cos2x+2cos2（x﹣）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若α∈（0，），f（α）＝，求cos2α．
21．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且＝．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，a+c＝2，D为AC的中点，求BD的长．
22．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn＝求a1c1+a2c2+…+a2nc2n（n∈N*）．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°
＝cos（45°+15°）
＝cos60°
＝．
故选：A．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用余弦定理求出cosC的值．
解：∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，
根据余弦定理，得cosC＝
＝＝﹣．
故选：B．
3．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A． B． C． D． 【分析】根据题意＝，再结合，进行替换即可．
解：由题可知，，，
则＝＝＝+（）＝+（﹣）＝﹣﹣＝﹣，
故选：B．
4．两数+1与﹣1的等比中项是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．
【分析】根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．
解：设与的等比中项是x，
则满足x2＝（）（）＝（）2﹣1＝2﹣1，
则x＝1或x＝﹣1，
故选：C．
5．若sinα＝，则cos2α＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】cos2α＝1﹣2sin2α，由此能求出结果．
解：∵sinα＝，
∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故选：B．
6．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0
【分析】由题意可以令a＝1，b＝0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．
解：利用赋值法：令a＝1，b＝0
b﹣a＝﹣1＜0，故A错误； a3+b3＝1＞0，故B错误；
a2﹣b2＝1＞0，故C错误；
排除A，B，C，
故选：D．
7．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（ ）
A． B．
C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}
【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集．
解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
∴ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0
即﹣1+2＝﹣
（﹣1）×2＝
解得a＝﹣1，b＝1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0
解得
故选：A．
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA＝1，可得A＝，由此可得△ABC的形状．
解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB＝asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，
即 sin（B+C）＝sinAsinA，可得sinA＝1，故A＝，故三角形为直角三角形，
故选：B．
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．40π B．50π C．25π D．36π
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用球体的表面积公式的应用求出结果．
解：根据三视图转换为几何体为：
设该几何体的外接球半径为r，
所以：，
解得：，
所以：该球体的表面积为S＝．
故选：B．
10．已知x＞0，y＞0，x+9y＝3，则+的最小值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
解：因为x＞0，y＞0，x+9y＝3，
则+＝（+）（x+9y）×＝＝，
当且仅当且x+9y＝3即y＝，x＝时取等号．
故选：C．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＜S10＜S9，则满足Sn＞0的正整数n的最大值为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据S8＜S10＜S9，推出a9＞0，a10＜0，a9+a10＝S10﹣S8＞0．将S18，S19用a9，a10表示出来，即可得到满足Sn＞0的正整数n的最大值．
解：由S8＜S10＜S9得，a9＞0，a10＜0，a9+a10＝S10﹣S8＞0．
又，
，
，
故选：C．
12．设非零向量与的夹角是，且||＝||，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】对||＝||两边平方化简得出||＝||，计算的平方，得到只含t的二次函数，然后利用二次函数的特性来求出最值．
解：∵||＝||，∴＝++2，即＝﹣2＝﹣2||||cos＝||||，
∴||＝||＝||．
∴＝﹣||2，
∴（）2＝＝＝（t﹣1）2+，
∴当t＝﹣1时，取得最小值＝．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案直接写在答题卡上．
13．已知＝（1，0），＝（1，1），（+λ）⊥，则λ等于
﹣ ．
【分析】根据向量的垂直的条件，以及向量的数量积计算即可．
解：＝（1，0），＝（1，1），（+λ）⊥，
∴（+λ）•＝+λ＝1×1+0×1+λ（12+12）＝0，
