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高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
直线与圆知识点以及经典例题总结
归纳
直线与圆的知识点以及经典例题总结归纳
一、直线与圆的概念
1.直线：是一条无限长的抽象线段，它有一定的方向，并由两个端点构成。
2.圆：一种特殊的曲线，它的轨迹是一个闭合的曲线，它的圆心和半径是固定的，每一点到圆心的距离都是半径的长度。
二、直线与圆的性质
1.直线的性质：
(1)直线穿过的任意两点之间的距离相等。
(2)任意一点到直线的距离是不变的，且与直线上任意一点到此直线的距离相等。
2.圆的性质：
(1)圆的任意两点之间的距离都相等。
(2)任意一点到圆的距离都是固定的，且与圆心的距离相等，即为半径。
三、直线与圆的经典例题
1.已知圆O的半径为5，直线l与圆O相交于A、B两点，若∠BAO=60°，求直线l的斜率。
解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则AB 两点的坐标分别为(5,0),(-3.464,4.264)，∴直线l的斜率为：k=4.264/3.464=1.237
2.已知圆O的半径为1，点P在圆O外，且P到圆O的距离为2，求直线OP的斜率。
解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则点P 的坐标为(2,0)，∴直线OP的斜率为：k=0/2=0。
直线与圆的方程知识点总结归纳直线与圆是几何学中常见的两类曲线，在数学中有各自的方程表示形式。
在本文中，我们将总结和归纳直线与圆的方程的相关知识点。
让我们一起深入了解吧。
直线的方程在平面几何中，直线可以用多种形式表示。
其中，最常见的是点斜式和一般式。
1. 点斜式方程点斜式方程是直线的一种表示方法，使用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
设直线上一点为(x₁, y₁)，斜率为m。
那么点斜式方程可以表示为：y - y₁ = m(x - x₁)2. 一般式方程一般式方程是直线的另一种表示方法，使用直线的斜率和截距来表示。
设直线的斜率为m，截距为c。
那么一般式方程可以表示为：ax + by + c = 0其中，a和b为不同时为0的任意实数。
圆的方程在平面几何中，圆可以用多种形式表示。
常见的表示形式有标准式和一般式。
1. 标准式方程标准式方程是圆的一种表示方法，使用圆心的坐标和半径长度来表示。
设圆心坐标为(h, k)，半径长度为r。
那么标准式方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²2. 一般式方程一般式方程是圆的另一种表示方法，使用圆心的坐标和半径长度来表示。
设圆心坐标为(h, k)，半径长度为r。
那么一般式方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为不全为0的任意实数。
直线与圆的关系直线与圆的关系可以通过它们的方程来判断。
根据方程的形式，可以得出直线与圆的以下关系：1. 直线与圆相切如果直线的方程与圆的方程仅有一个交点，那么直线与圆相切。
2. 直线与圆相离如果直线的方程与圆的方程没有交点，那么直线与圆相离。
3. 直线与圆相交如果直线的方程与圆的方程有两个交点，那么直线与圆相交。
4. 直线为圆的切线如果直线的方程与圆的方程有一个交点，并且该交点为圆上的点，那么直线为圆的切线。
总结本文总结归纳了直线与圆的方程的相关知识点。
智才艺州攀枝花市创界学校高中数学第七章-直线和圆的方程 考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的间隔．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由条件列出曲线方程．圆的HY 方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：〔1〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程．〔2〕掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔公式可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系．〔3〕理解二元一次不等式表示平面区域．〔4〕理解线性规划的意义，并会简单的应用．〔5〕理解解析几何的根本思想，理解坐标法．〔6〕掌握圆的HY 方程和一般方程，理解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07.直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或者重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或者12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：假设232--=x y 是一直线的方程，那么这条直线的方程是232--=x y ，但假设)0(232≥--=x x y 那么不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，假设b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点〔0，b 〕的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线.②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或者无视其中任一个“前提〞都会导致结论的错误.〔一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，那么1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或者21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠〕推论：假设两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα那么1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，那么有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或者02=k ，且1l 的斜率不存在.〔即01221=+B A B A 是垂直的充要条件〕4.直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角〔方向角〕；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，那么有21121tan k k k k +-=θ. 5.过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内〕6.点到直线的间隔：⑴点到直线的间隔公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的间隔为d ，那么有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的间隔公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的间隔：||OP = 2. 定比分点坐标分式。
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程(x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。
-____ 2 2 2说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件-确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
(二) 圆的一般方程2 2 2 2 2 2 2 2将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r。
可见，任何一个2圆的方程都可以写成 ：X2y Dx Ey F 02 2问题：形如xy DxEy F 0的方程的曲线是不是圆？2 2FD 2E 2 J D ‘ E 4F将方程X y Dx Ey左边配方得：2)2) 2D E0表示以 22为圆2 2(1)当 D E 4F >° 时，方程(1 )与标准方程比较，方程xyDx Ey FD 2E 2 4F心，以2为半径的圆。
DE DE⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計2 2(3)当D 2E 24F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：2 2当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：22(1) X 和y 的系数相同，不等于零；(2) 没有xy 这样的二次项。
(三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。
专题：圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程形如： 222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程。
王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :022=++++F Ey Dx y x 。
问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22222)24()2()2(F E D E y D x -+=-+- （1）当0422>-+F E D 时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以)2,2(ED --为圆心，以2422FE D -+为半径的圆。
（2）当0422=-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为2,2Ey D x -=-=,所以表示一个点)2,2(ED --. （3）当0422<-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）22y x 和的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。
一. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线与圆的位置关系教学目标:1.了解直线与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。
2.了解切线与割线的概念。
3.了解圆与圆的三种位置关系，掌握运用圆心到圆心的距离的数量关系来确定圆与圆的三种位置关系的方法。
重点：理解直线与圆、圆与圆的相交、相切、相离三种位置关系。
难点：直线与圆、圆与圆的三种位置关系判断方法的运用；【知识精要】知识点1 直线与圆的位置关系的定义及有关概念（1）圆的割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。
（2）圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
（3）直线和圆相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
例题1下列说法正确的有（）①圆的切线只有一条；②若直线与圆不相切，则直线与圆相交；③若直线与圆有公共点，则直线与圆相交；④过圆的内接三角形的顶点的直线是圆的切线。
直线与圆的典型例题解析直线与圆啊，那可是数学里特别有趣的一对组合呢！就像两个性格迥异的小伙伴，有时候互相合作得特别好，有时候又有点小摩擦。
咱们今天就来好好唠唠关于它们的典型例题。
你看啊，有一种题呢，是让你判断直线和圆的位置关系。
这就好比两个人在路上走，看他们会不会碰面或者擦肩而过。
如果直线到圆心的距离比圆的半径大，那就像两个人隔得老远，根本碰不到一块儿，这就是相离的情况。
比如说圆的方程是\((x - 1)^2+(y - 2)^2 = 4\)，半径是2，有一条直线方程是\(x + y - 10 = 0\)，我们通过点到直线距离公式算出圆心\((1,2)\)到直线的距离\(d=\frac{|1 + 2 -10|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)，这个距离\(d\)大于半径2，那这条直线和圆就是相离的。
这是不是就像两个人一个在东一个在西，八竿子打不着呀？还有相切的情况呢。
这就像是两个人刚好轻轻地挨了一下，就那么一点接触。
比如说圆\(x^2 + y^2 = 9\)，圆心是\((0,0)\)半径是3，直线\(y=\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}\)，算出圆心到直线的距离\(d=\frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}} = 3\)，刚好等于半径，那这条直线和圆就是相切的，就像两个人礼貌性地握了一下手，不多不少刚刚好。
相交就更好理解啦，就像两个人在路上有一段重叠的路要走，直线穿过圆。
比如圆\((x - 2)^2+(y - 3)^2 = 16\)，直线\(2x - y - 1 = 0\)，算出圆心\((2,3)\)到直线的距离\(d=\frac{|2\times2 - 3 - 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 0\)，距离小于半径4，那直线和圆就是相交的，就像两个人在同一条路上走了一段呢。
再来说说求切线方程的题吧。
直线与圆知识点与典型例题一、考试内容1．有向线段。
两点间的距离。
线段的定比分点。
2．直线的方程。
直线的斜率。
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。
直线方程的一般式。
3．两条直线平行与垂直的条件。
两条直线所成的角。
两直线交点。
点到直线的距离。
4．圆的标准方程和一般方程。
二、考试要求1．理解有向线段的概念。
掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。
2．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。
能够根据条件求出直线的方程。
3．掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。
会求两条相交直线的夹角和交点。
掌握点到直线的距离公式。
4．熟练掌握圆的标准方程和一般方程。
能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。
掌握直线和圆的位置关系的判定方法。
三、考点简析1．有向线段。
有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB 的数量AB=x B -x A 。
2．两点间的距离公式。
不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2-x 1|或|AB|=|y 2-y 1|。
3．定比分点公式。
定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。
这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了。
若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 。
当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 。
4．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k=tan α。
5．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
6．平面上直线与二元一次方程是一一对应的。
7．两条直线的夹角。
当两直线的斜率k 1，k 2都存在且k 1²k 2≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。
另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。
8．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。
（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶y =k 1x +b 1， l 2∶y =k 2x +b 2，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔k 1=k 2②l 1⊥l 2⇔k 1²k 2= -1（2）对于直线l 1∶A 1x +B 1y +C 1=0， l 2∶A 2x +B 2y +C 2=0，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C9．点到直线的距离公式。
（1）已知一点P （x 0，y 0）及一条直线l ：A x +B y +C=0，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1:A x +B y +C 1=0， l 2:A x +B y +C 2=0之间的距离d=2221||BA C C +-。
10．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。
（1）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r 2，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F>0），圆心坐标为（-2D ，-2E），半径为r=2422FE D -+。
11．直线与圆的位置关系的判定方法。
（1）法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0。
⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程acb 42-=−−→−△判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000 （2）法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆心（a ，b ）到直线的距离为d=22||B A C Bb Aa +++−→−⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切相离r d r d r d12．两圆的位置关系的判定方法。
设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；| r 1-r 2|<|O 1O 2|< r 1+r 2⇔两圆相交； | O 1O 2 |=| r 1-r 2|⇔两圆内切； 0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含。
四、思想方法1．公式法。
求直线和圆的方程要正确运用公式解题。
各种位置关系的判断要灵活使用各种结论。
2．数形结合思想。
解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。
即：将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。
【例题解析】例1 已知圆(x+4)2+y 2=25的圆心为M 1，圆(x-4)2+y 2=1的圆心为M 2，一动圆与这两个圆都外切。
（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）若过点M 2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A 、B ，求|AM 1|²|BM 1|的取值范围。
解 （1）∵|PM 1|-5=|PM 2|-1，∴|PM 1| - |PM 2|=4∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支。
c=4，a=2，b 2=12，故所求轨迹方程为42x －122y =1（x ≥2）。
（2）当过M 2的直线倾斜角不等于2π时，设其斜率为k ， 直线方程为 y=k(x-4)与双曲线 3x 2-y 2-12=0联立，消去y 化简得 (3-k 2)x 2+8k 2x-16k 2-12=0又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-+=>-+=>-=+0)34)(3(166403121603822422212221k k k k k x x k k x x △ 解得 k 2>3。
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有 |AM 1|²|BM 1|=e|x 1+1|²e|x 2+1|=4[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]=4(3121622-+k k +3822-k k +1)=100+33362-k∵k 2-3>0，∴|AM 1|³|BM 1|>100 又当直线倾斜角等于2π时，A(4，y 1)，B(4，y 2)， |AM 1|=|BM 1|=e(4+1)=10 |AM 1|²|BM 1|=100故 |AM 1|²|BM 1|≥100。
例2 如图9-1，已知圆C ：（x+4）2+y 2=4。
圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切。
圆 D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0)。
（1）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值； （2）当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的最大值； （3）在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由。
解 （1）∵|CD|=22OD CO +=5，（O 为原点）且圆D 与圆C 外切， ∴圆D 半径r=5-2=3，此时，A 、B 坐标分别为（0，0）、（0，6）， ∴PA 在x 轴上，且BP 的斜率k=2， ∴tan ∠APB=2。
（2）如图9-2，设D 的坐标为(0，a)，圆D 的半径为r ，则(r+2)2=16+a 2。
①设PA 、PB 的斜率为k 1、k 2，又A 、B 的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)。
则k 1=3r a -，k 2=3ra +， ∴tan ∠APB=33133r a r a ra r a -⋅++--+=9622+-r a r ②由①解出a 2代入②，得tan ∠APB=346-r r =23+689-r ，而8r-6为单调增函数，r ∈[2，+∞)。
∴tan ∠APB ∈(23，512] ∠APB 的最大值为arttan 512。
（3）假设存在Q 点，设Q(b ，0)，QA 、QB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1=b r a --，k 2=bra -+， tan ∠AQB=|12121k k k k +-|=|br a b r a b ra b r a --⋅-++----+1|=|2222r a b br -+-|将a 2=(r+2)2 – 16代入上式，得 tan ∠AQB=|r b br 41222+--|=|41222+--rb b| 欲使∠AQB 大小与r 无关，则应有b 2=12，即b=±23， 此时tan ∠AQB=3，∠AQB=60°。
∴存在Q 点，当圆D 变动时，∠AQB 为定值60°，这Q 点坐标为（±23，0）。
例3 设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为31。
（1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程。
解 （1）由(x-3)2+y 2=9-a(a<9)可知圆心M 的坐标为(3，0)，依题意：∠ABM=∠BAM=4π，k AB =31。
∴MA ，MB 的斜率k 满足：|k k 31131+-|=1， 解得：k AC = -21，k BD =2。
