十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题18 坐标系与参数方程 Word版含答案解析版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________.2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox 中,A(2,0),B (√2,π4),C (√2,3π4),D(2,π),弧AB ⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M 1是弧AB⏜,曲线M 2是弧BC ⏜,曲线M 3是弧CD ⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M 由M1,M2,M3构成,若点P 在M 上,且|OP|=√3 5.(2018·全国1·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l 与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最(2)设点A的极坐标为(2,π3大值.10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a. 13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (2)直线l 的参数方程是(t 为参数),l 与C 交于A,B 两点,|AB|=,求l 的斜率.14. (2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin =2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)设点P 在C 1上,点Q 在C 2上,求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M,N, 求△C 2MN 的面积.16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:(t 为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5, √3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,].半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q都在曲线 C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C 1:(t 为参数),圆C 2:(θ为参数).(1)当α=时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】√2 +1【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知1+1=1,即|1-a|=√2,解得a=1±√2.∵a>0,∴a=√2+1. 2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【解析】(1)因为-1<1-t 21+t2≤1,且x2+(y 2)2=(1-t 21+t2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l的距离为√3sinα+11√7=4cos (α-π3)+11√7.当α=-2π3时,4cos (α-π3)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7. 3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2√3. 由已知得|OP|=|OA|cos π3=2.设Q(ρ,θ)为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos θ-π3=|OP|=2. 经检验,点P 2,π3在曲线ρcos θ-π3=2上. 所以,l 的极坐标方程为ρcos θ-π3=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt △OAP 中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P 在线段OM 上,且AP ⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2. 所以,P 点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈π4,π2.4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox 中,A(2,0),B (√2,π4),C (√2,3π4),D(2,π),弧AB ⏜,BC ⏜,CD ⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M 1是弧AB⏜,曲线M 2是弧BC ⏜,曲线M 3是弧CD ⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M 由M1,M2,M3构成,若点P 在M 上,且|OP|=√3 【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤,M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ≤θ≤,M 3的极坐标方程为ρ=-2cos θ≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.综上,P 的极坐标为.5.(2018·全国1·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C 2的直角坐标方程;(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点,求C 1的方程.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x+1)2+y 2=4. (2)由(1)知C 2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2,由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以|-k+2|√k +1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2|√k +1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.7.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l 与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,<α<.设A,B,P对应的参数分别为t A,t B,t P,则t P=,且t A,t B满足t2-2tsin α+1=0.于是t A+t B=2sin α,t P=sin α.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最(2)设点A的极坐标为(2,π3大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为(t 为参数),直线l 2的参数方程为(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M 为l3与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y=k(x-2);消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k 得x 2-y 2=4(y≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5, 所以交点M 的极径为.11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy 中,已知直 线l 的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2s),从而点P 到直线l 的距离d=.当s=时,d min =.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值.12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.15.(2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,4求△C2MN的面积.【解析】(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.故当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.【解析】(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,点P的直角坐标为(3,0).18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5, √3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d=√55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=d sin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55. 20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 【解析】(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为(t 为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C 是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=,t=.故D 的直角坐标为,即.21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离 d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得所以C1与C2交点的极坐标分别为.23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【解析】因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A,B,C,D,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3点的交点为B,求|AB|.【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数). (1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),因此当α变化时,P点轨迹的参数方程为(α为参数).P点轨迹的普通方程为+y2=.故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题03函数1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1,x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]【答案】C【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2.而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x =x -a x >0此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a ≤1.(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立.此时f'(x)=x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知1<a ≤e.由(1)(2)可知,a ∈[0,e],故选C.2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ,0≤x ≤1,1x,x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( )A.54,94B.54,94C.54,94∪{1} D.54,94∪{1} 【答案】D【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=54.当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=94.故当54≤a≤94时,有两个相异点.当x>1时,f'(x 0)=-1x 02=-14,x 0=2.此时切点为2,12,此时a=1.故选D.3.(2019•浙江•T9)设a,b ∈R,函数f(x)={x ,x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点, 则( )A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0【答案】C【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=b 1-a ,最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数,令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系. ①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b 最多只能有一个交点,不符合题意.②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点,且此时要求x=b 1-a <0,故-1<a<1,b<0,选C.4.(2019•北京•文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x 【答案】A【解析】函数y=2-x ,y=lo g 12x,y=1x 在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x 12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2,π)内单调递增 ③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x ∈[2k π,2k π+π](k ∈N *)时,f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π,2k π+2π](k ∈N *)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的偶函数,∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34).又y=2x 在R 上单调递增,∴log 34>1=20>2-23>2-32. 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32),∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】因为a=log 20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】∵a=log 52<log 5√5=12,b=log 0.50.2>log 0.50.5=1,c=0.50.2=（12）0.2>（12）1,∴b>c>a.故选A.9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a,b,c 的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b命题点比较大小,指、对数函数的单调性.解题思路利用指、对数函数的单调性比较.【答案】A【解析】a=log 27>log 24=2.b=log 38<log 39<2,且b>1.又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A.10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]的图像大致为( )【答案】D【解析】由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A. 又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除B,C.故选D. 11.(2019•全国3•理T7)函数y=2x 32x +2-x 在[-6,6]的图像大致为( )【答案】B【解析】设y=f(x)=2x 32x +2-x ,则f(-x)=2(-x )32-x +2x =-2x 32x +2-x =-f(x),故f(x)是奇函数,图像关于原点对称,排除选项C.f(4)=2×4324+2-4>0,排除选项D.f(6)=2×6326+2-6≈7,排除选项A.故选B.12.(2019•浙江•T6)在同一直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a x+12(a>0,且a ≠1)的图象可能是 ( )【答案】D【解析】当0<a<1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递减,D 选项符合;当a>1时,函数y=a x 的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=log a （x+12）的图象过定点（12,0）且单调递增,各选项均不符合.故选D.13.(2019•全国2•理T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( )A.-∞,94B.-∞,73C.-∞,52D.-∞,83 【答案】B 【解析】∵f (x+1)=2f(x),∴f (x)=2f(x-1).∵当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),∴f (x)的图象如图所示.∵当2<x ≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),∴令4(x-2)(x-3)=- ,整理得9x 2-45x+56=0,即(3x-7)(3x-8)=0,解得x 1=73,x 2=83.∵当x ∈(-∞,m]时,f(x)≥-89恒成立,即m≤73,故m ∈-∞,73.14.(2018•全国1•文T12)设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0) 【答案】D【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知:①当x+1≥0且2x ≥0,即x ≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意;②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立;③当x+1≤0时,x ≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得x<1.故x ≤-1.综上所述,x 的取值范围为(-∞,0).15.(2018•全国2•理T11文T12)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50【答案】C【解析】∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.16.(2018•全国3•文T7)下列函数中,其图像与函数y=ln x 的图像关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)【答案】B【解析】设所求函数的图像上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q 在y=ln x 上, ∴y=ln(2-x),故选B.17.(2018•上海•T16)设D 是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D 上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A.√3B.√32C.√33D.0 【答案】B【解析】若f(1)=√3,则f(√3)=1,f(1)=-√3,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=√33,则f (2√33)=0,f(1)=-√33,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f (12)=√32,f (12)=-√32,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是√32,故选B.18.(2018•全国3•理T12)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b【答案】B【解析】∵a=log 0.20.3>0,b=log 20.3<0,∴ab<0.又a+b=lg0.3lg0.2+lg0.3lg2=lg3-1lg2-1+lg3-1lg2=(lg3-1)(2lg2-1)(lg2-1)•lg2而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,∴a+b<0.a+b ab =1b +1a =log 0.32+log 0.30.2=log 0.30.4<log 0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B.19.(2018•天津•理T5)已知a=log 2e,b=ln 2,c= lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【解析】因为c=lo g 1213=log 23,a=log 2e,且y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 23>log 2e>log 22=1,即c>a>1.因为y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2<ln e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.20.(2018•天津•文T5)已知a=log 372,b=(14)13,c=lo g 1315,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵c=lo g 1315=log 35>log 372>log 33=1,∴c>a>1.又b=（14） 13<（14）0=1,∴c>a>b. 21.(2018•全国2•T3)函数f(x)=e x -e -xx 2的图像大致为( )【答案】B【解析】∵f(-x)=e -x -e xx 2=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=e 10-1e 10100>1,排除C 、D,故选B. 22.(2018•全国3•理T7文T9)函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为( )【答案】D【解析】当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-(12)4+(12)2+2>2.排除C.故选D.23.(2018•浙江•T5)函数y=2|x|sin 2x 的图象可能是( )【答案】D【解析】因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数,所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B.当x=0,x=π2,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D.24.(2018•全国1•理T9)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,lnx ,x >0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【答案】C【解析】要使得方程g(x)=f(x)+x+a 有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a 有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a 的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a 位于直线y=-x+1的下方,所以-a ≤1,即a ≥-1.故选C.25.(2017•山东•理T1)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( )A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)【答案】D【解析】由4-x 2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A ∩B=[-2,1).故选D.26.(2017•山东•文T9)设f(x)={√x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1.若f(a)=f(a+1),则f (1a )=( ) A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由x≥1时,f(x)=2(x-1)是增函数可知,若a≥1,则f(a)≠f(a+1),所以0<a<1,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得√a =2(a+1-1),解得a=14,则f 1a =f(4)=2(4-1)=627.(2017•全国1•理T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x ≤3.所以x 的取值范围是[1,3].28.(2017•天津•理T6)已知奇函数f(x)在R 上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R 上的偶函数.∴g(-log 25.1)=g(log 25.1).∵奇函数f(x)在R 上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在(0,+∞)上是增函数.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.29.(2017•北京•理T5)已知函数f(x)=3x -(13)x ,则f(x)( )A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数【答案】A【解析】因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-(13)-x=(13)x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-(13)x在R 上都是增函数,所以函数f(x)在R 上是增函数.故选A.30.(2017•全国1•理T11)设x,y,z 为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D【解析】由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.由2x 3y =2ln33ln2=ln9ln8>1,可得2x>3y;再由2x 5z =2ln55ln2=ln25ln32<1,可得2x<5z;所以3y<2x<5z,故选D.31.(2017•全国2•文T8)函数f(x)=ln(x 2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【答案】D【解析】由题意可知x 2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x 2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t 在t ∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 32.(2017•全国1•文T9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x 2+2x),x ∈(0,2).当x ∈(0,1)时,x 增大,-x 2+2x 增大,ln(-x 2+2x)增大,当x ∈(1,2)时,x 增大,-x 2+2x 减小,ln(-x 2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.33.(2017•山东•理T7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a <log 2(a+b) B.b 2a <log 2(a+b)<a+1b C.a+1b <log 2(a+b)<b2aD.log 2(a+b)<a+1b <b2a【答案】B【解析】不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b 2a=18,log 2(a+b)=log 252∈(log 22,log 24)=(1,2),即b 2a <log 2(a+b)<a+1b.故选B.34.(2017•浙江•理T5)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a 有关,且与b 有关 B.与a 有关,但与b 无关 C.与a 无关,且与b 无关 D.与a 无关,但与b 有关 【答案】B【解析】因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f (-a2)=b-a 24中取,所以最值之差一定与a 有关,与b 无关,故选B.35.(2017•全国1•文T8)函数y=sin2x1-cosx 的部分图象大致为( )【答案】C 【解析】令f(x)=sin2x 1-cosx,因为f(-x)=sin (-2x )1-cos (-x )=-sin2x1-cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B;因为f(π)=sin2π1-cosπ=0,故排除选项D;因为f(1)=sin21-cos1>0,故排除选项A.故选C.36.(2017•全国3•文T7)函数y=1+x+sinx x 2的部分图象大致为( )【答案】D【解析】当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y →+∞,故排除B,满足条件的只有D,故选D.37.(2017•山东•理T10)已知当x ∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中,分别作出函数f(x)=(mx-1)2=m 2（x-1m ）2与g(x)=√x +m 的大致图象.分两种情形:(1)当0<m≤1时,1m ≥1,如图①,当x ∈[0,1]时, f(x)与g(x)的图象有一个交点,符合题意;(2)当m>1时,0<1m <1,如图②,要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点,只需g(1)≤f(1), 即1+m≤(m -1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 综上所述,m ∈(0,1]∪[3,+∞).故选B.38.(2017•天津•文T8)已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x,x ≥1.设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[-2√3,2] C.[-2,2√3] D.[-2√3,2√3]【答案】A【解析】若a=2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项C 、D.若a=-2√3,则当x=0时,f(0)=2,而x 2+a =2√3,不等式不成立,故排除选项B.故选A.39.(2017•全国3•理T11文T12)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12 B.13C.12D.1【答案】C【解析】∵f (x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1),∴f (2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e -(2-x)+1)=x 2-4x+4-4+2x+a(e 1-x +e x-1) =x 2-2x+a(e x-1+e-x+1),∴f (2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f (x)有唯一零点,∴f (x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e 1-1+e-1+1)=0,解得a=12.40.(2017•北京•理T8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48) A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】设MN =x=33611080,两边取对数,得lg x=lg 33611080=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x ≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D. 41.(2016•全国2•文T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 ( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x【答案】D 【解析】y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).y=x 的定义域和值域均为R;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R; y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞); y=√x 的定义域与值域均为(0,+∞).故选D.42.(2016•北京•文T4)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x【答案】D【解析】选项A,y=11-x 在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x 在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数;选项D,y=2-x=12x在R 上为减函数,故在(-1,1)上是减函数.43.(2016•山东•文T9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f (x +12)=f (x -12),则f(6)= ( )A.-2B.-1C.0D.2【答案】D【解析】由题意可知,当-1≤x ≤1时,f(x)为奇函数; 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f(6)=2.故选D.44.(2016•全国1•文T8)若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c<b cD.c a>c b【答案】B【解析】对于A,log a c=lgclga ,log b c=lgc lgb,∵0<c<1,∴lg c<0,而a>b>0,∴lg a>lg b,但不能确定lg a,lg b 的正负,故log a c 与log b c 大小不能确定,A 不正确; 对于B,在lg a>lg b 两边同乘以一个负数1lgc ,不等号改变,得log c a<log c b,B 正确;对于C,∵0<c<1,∴幂函数y=x c在(0,+∞)上为增函数. ∵a>b>0,∴a c>b c ,故C 不正确;对于D,∵0<c<1,∴指数函数y=c x在R 上为减函数.∵a>b>0,∴c a<c b,故D 不正确. 45.(2016•全国1•理T8)若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c<b cB.ab c<ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c 【答案】C【解析】特殊值验证法,取a=3,b=2,c=12, 因为√3>√2,所以A 错;因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错;因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错;因为3log 212=-3<2log 312=-2log 32,所以C 正确.故选C.46.(2016•全国3•理T6)已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423>425=b,c=2513=523>423=a, 所以b<a<c.47.(2016•全国3•文T7)已知a=243,b=323,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A【解析】因为a=243=423,c=2513=523,b=323, 且函数y=x 23在[0,+∞)内是增函数, 所以323<423<523,即b<a<c.故选A.48.(2016•全国2•文T12)已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x 2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1mx i =( )A.0B.mC.2mD.4m【答案】B【解析】由题意可知,y=f(x)与y=|x 2-2x-3|的图象都关于x=1对称,所以它们的交点也关于x=1对称. 当m 为偶数时,∑i=1mx i =2×m2=m;当m 为奇数时,∑i=1m x i =2×m -12+1=m,故选B.49.(2016•全国1•T9)函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )【答案】D【解析】特殊值验证法,取x=2,则y=2×4-e 2≈8-2.7182≈0.6∈(0,1),排除A,B;当0<x<2时,y=2x 2-e x,则y'=4x-e x,由函数零点的判定可知,y'=4x-e x在(0,2)内存在零点,即函数y=2x 2-e x在(0,2)内有极值点,排除C,故选D. 50.(2016•浙江•文T3)函数y=sin x 2的图象是( )【答案】D【解析】∵f (-x)=sin(-x)2=sin x 2=f(x), ∴y=sin x 2的图象关于y 轴对称,排除A,C; 又当x=±π2时,sin π24≠1,∴排除B,故选D.51.(2016•浙江•文T7)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|,且f(x)≥2x,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥b D.若f(a)≥2b ,则a ≥b 【答案】B【解析】∵f (x)≥|x|且f(x)≥2x,∴f (x)表示的区域如图阴影部分所示.∵对于选项A 和选项C 而言,无论f(a)≤|b|还是f(a)≥|b|,均有a ≤b 或a ≥b 都成立,∴选项A 和选项C 均不正确;对于选项B,若f(a)≤2b,只能得到a ≤b,故选项B 正确;对于选项D,若f(a)≥2b,由图象可知a ≥b 与a ≤b 均有可能,故选项D 不正确. 52.(2015•湖北•文T7)设x ∈R,定义符号函数sgnx={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn |x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x 【答案】D【解析】利用排除法逐项验证求解.当x<0时,|x|=-x,x|sgn x|=x;xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x )•(-1)=x,故排除A,B,C 项,选D.53.(2015•重庆•文T3)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【答案】D【解析】要使函数有意义,应满足x 2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞). 54.(2015•湖北•文T6)函数f(x)= √4-|x |+lg x 2-5x+6x -3的定义域为( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6] 【答案】C【解析】要使函数有意义,需{4-|x |≥0,x 2-5x+6x -3>0,即{-4≤x ≤4,x >2且x ≠3,即2<x<3或3<x≤4. 故函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].55.(2015•全国1•文T10)已知函数f(x)={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-74B.-54C.-34D.-14【答案】A【解析】当a ≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7. ∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74.56.(2015•陕西•文T4)设f(x)={1-√x ,x ≥0,2x,x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32【答案】C【解析】f(f(-2))=f (14)=1-√14=12.57.(2015•山东•文T10)设函数f(x)={3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( )A.1B.78C.34D.12【答案】D【解析】∵f (56)=3×56-b=52-b,∴f (f (56))=f (52-b). 当52-b<1,即b>32时,f (52-b)=3×(52-b)-b=4,∴b=78(舍去).当52-b≥1,即b≤32时,f (52-b)=252-b =4,即52-b=2,∴b=12. 综上,b=1258.(2015•全国2•文T12)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1)B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13)D.(-∞,-13)∪(13,+∞) 【答案】A【解析】函数f(x)的定义域为R,又由题意可知f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数. 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x 2,因为y 1=ln(1+x)单调递增,y 2=-11+x 2亦为单调递增,所以f(x)在(0,+∞)为增函数.由f(x)>f(2x-1)⇔f(|x|)>f(|2x-1|),得|x|>|2x-1|,解得x ∈(13,1).59.(2015•北京•文T3)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x 2sin x B.y=x 2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x【答案】B【解析】A 选项中函数为奇函数,B 选项中函数为偶函数,C 选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D 选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.60.(2015•天津•文T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 【答案】B 【解析】∵f (-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数,∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x ∈R 恒成立,解得m=0.∴f (x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数.∵a=f (log 0.53)=f(-log 23)=f(log 23),c=f(2m)=f(0),且0<log 23<log 25, ∴f (0)<f(log 23)<f(log 25),即c<a<b.61.(2015•全国2•理T5)设函数f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1, x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 【答案】C【解析】∵f (-2)=1+log 24=3,f(log 212)=2log 212-1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f(log 212)=9.62.(2015•全国2•理T10文T11)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x ∈0,π4时,f(x)=tan x+√4+tan 2x ,图象不是线段,从而排除A,C; ∵fπ4=f34π=1+√5,f π2=2√2,2√2<1+√5,∴fπ2<fπ4=f34π,从而排除D.故选B.63.(2015•安徽•文T10)函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【答案】A【解析】由图象可知f(0)=d>0,f'(x)=3ax 2+2bx+c,x 1,x 2为方程3ax 2+2bx+c=0的两根,因此x 1+x 2=-2b 3a ,x 1•x 2=c3a .由图象可知x ∈(-∞,x 1)时,f'(x)>0,所以a>0.而由图象知x 1,x 2均为正数,所以-2b3a >0,c3a >0,由此可得b<0,c>0,故选A.64.(2015•浙江•文T5)函数f(x)=(x -1x )cos x(-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【答案】D【解析】因为f(-x)=-x+1x cos(-x)=-x-1x cos x=-f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π)=(π-1π)cos π=-π+1π<0,排除C,故选D.65.(2015•天津•文T8)已知函数f(x)={2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A【解析】因为f(x)={2+x ,x <0,2-x ,0≤x ≤2,(x -2)2,x >2,所以f(2-x)={2+(2-x ),2-x <0,2-(2-x ),0≤2-x ≤2,(2-x -2)2,2-x >2⇒f(2-x)={x 2,x <0,x ,0≤x ≤2,4-x ,x >2,f(x)+f(2-x)={x 2+x +2,x <0,2,0≤x ≤2,x 2-5x +8,x >2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)={x 2+x -1,x <0,-1,0≤x ≤2,x 2-5x +5,x >2.其图象如图所示.显然函数图象与x 轴有2个交点,故函数有2个零点.66.(2015•北京•理T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是 ( ) A.{x|-1<x ≤0} B.{x|-1≤x ≤1} C.{x|-1<x ≤1} D.{x|-1<x ≤2} 【答案】C【解析】如图,作出函数f(x)与y=log 2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =-x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f(x)≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.67.(2014•江西•理T3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R),若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1【答案】A【解析】由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0,代入g(x),则a-1=0,即a=1.故选A. 68.(2014•山东•理T3)函数f(x)=√(log 2x )-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)【答案】C【解析】要使函数有意义,应有(log 2x)2>1,且x>0,即log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.所以函数f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞). 69.(2014•江西•文T4,)已知函数f(x)= {a •2x ,x ≥0,2-x ,x <0 (a ∈R),若f[f(-1)]=1,则a=( )A.14B.12 C.1 D.2【答案】A【解析】由题意可知f(-1)=21=2,则f[f(-1)]=f(2)=a •22=4a=1.故a=1470.(2014•全国1•理T3文T5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 对于A 选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), f(x)g(x)为奇函数,故A 错误;对于B 选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)为偶函数,故B 错误; 对于C 选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|, f(x)|g(x)|为奇函数,故C 正确; 对于D 选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x )•g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,故D 错误.71.(2014•北京•文T6)已知函数f(x)=6x -log 2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【答案】C【解析】由题意知f(1)=61-log 21=6>0,f(2)=62-log 22=3-1=2>0,f(4)=64-log 24=32-2=-12<0.故f(2)•f(4)<0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).72.(2013•全国1•理T11)已知函数f(x)={-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]【答案】D【解析】由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax 只有a ≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C. ②当x ≤0时,y=|f(x)|=|-x 2+2x|=x 2-2x. 故由|f(x)|≥ax 得x 2-2x ≥ax. 当x=0时,不等式为0≥0成立. 当x<0时,不等式等价于x-2≤a. ∵x -2<-2, ∴a≥-2.综上可知,a ∈[-2,0].73.(2013•全国2•文T12)若存在正数x 使2x(x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 【答案】D【解析】由题意可得,a>x-(12)x(x>0).令f(x)=x-(12)x,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x 使原不等式成立.74.(2013•全国2•理T8)设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D【解析】根据公式变形,a=lg6lg3=1+lg2lg3,b=lg10lg5=1+lg2lg5,c=lg14lg7=1+lg2lg7,因为lg 7>lg 5>lg 3,所以lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3,即c<b<a.故选D.75.(2013•全国2•文T8)设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】∵a=log 32>log 3√3=12,∴a ∈（12,1）. ∵b=log 52<log 5√5=12,∴b ∈（0,12）. ∵c=log 23>log 22=1,即c>1,∴c>a>b.76.(2013•全国1•文T9)函数f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除B.当x ∈(0,π2]时,f(x)>0,排除A. 当x ∈(0,π)时,f'(x)=sin 2x+cos x(1-cos x)=-2cos 2x+cos x+1. 令f'(x)=0,得x=23π.故极值点为x=23π,可排除D,故选C.77.(2013•北京•理T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【答案】D【解析】依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x,于是f(x)相当于y=e -x向左平移1个单位的结果,∴f (x)=e-x-1,故选D.78.(2012•全国•文T11)当0<x≤12时,4x<log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1)C.(1,√2)D.(√2,2)【答案】B【解析】由0<x≤12,且log a x>4x>0,可得0<a<1,由412=log a 12可得a=√22.令f(x)=4x,g(x)=log a x,若4x<log a x,则说明当0<x≤12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如下图所示),此时需a>√22.综上可得a 的取值范围是(√22,1).79.(2012•全国•理T10)已知函数f(x)=1ln (x+1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )【答案】B【解析】当x=1时,y=1ln2-1<0,排除A;当x=0时,y 不存在,排除D;f'(x)=[1ln (x+1)-x]'=x x+1[ln (x+1)-x ]2,因定义中要求x>-1,故-1<x<0时,f'(x)<0,故y=f(x)在(-1,0)上单调递减,故选B.80.(2012•湖北•文T6)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )【答案】B 【解析】y=f(x)y=f(-x)y=f[-(x-2)]=f(2-x)y=-f(2-x),故选B.81.(2012•全国•理T12)设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( )A.1-ln 2B.√2(1-ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)【答案】B【解析】由题意知函数y=12e x与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,两曲线上点之间的最小距离就是y=x 与y=12e x最小距离的2倍,设y=12e x上点(x 0,y 0)处的切线与y=x 平行,有12e x 0=1,x 0=ln 2,y 0=1,∴y=x与y=12e x的最小距离是√22(1-ln 2),∴|PQ|的最小值为√22(1-ln 2)×2=√2(1-ln 2).82.(2011•全国•理T2文T3)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x 3B.y=|x|+1C.y=-x 2+1D.y=2-|x|【答案】B【解析】A 中y=x 3是奇函数不满足题意;由y=|x|+1的图象可知B 满足题意;C 中y=-x 2+1在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意;D 中y=2-|x|在(0,+∞)上为减函数,故不满足题意,故选B.83.(2011•全国•文T10)在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间为( ) A.(-14,0) B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的增函数且图象是连续的,且f (14)=e 14+4×14-3=e 14-2<0,f (12)=e 12+4×12-3=e 12-1>0, ∴f(x)在(14,12)内存在唯一零点.84.(2011•全国•理T12)函数y=11-x 的图象与函数y=2sin πx(-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8 【答案】D【解析】由题意知y=11-x =-1x -1的图象是双曲线,且关于点(1,0)成中心对称.又y=2sin πx 的周期为T=2ππ=2,也关于点(1,0)成中心对称,因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称,如图所示,可知两个图象在[-2,4]上有8个交点,因此8个交点的横坐标和x 1+x 2+…+x 8=4×2=8.85.(2011•全国•文T12)已知函数y=f(x)的周期为2,当x ∈[-1,1]时f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.1个【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg x|<1; x>10时|lg x|>1.结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.86.(2010•全国•理T8)设偶函数f(x)满足f(x)=x 3-8(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2), 又∵f(x)=x 3-8(x ≥0)为增函数, ∴|x-2|>2.解得x>4或x<0.87.(2010•全国•文T9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x ≥0),则{x|f(x-2)>0}等于( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【答案】B【解析】f(x)={2x -4,x ≥0,12x-4,x <0,f(x-2)={2x -2-4,x ≥2,12x -2-4,x <2,令f(x-2)>0⇒x>4或x<0.88.(2010•全国•理T11文T12)已知函数f(x)={|lgx|,0<x≤10,-12x+6,x>10.若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】C【解析】因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.89.(2019•全国2•理T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a= .【答案】-3【解析】∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln 2)=-8.∵当x<0时,f(x)=-e ax,∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8,∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8,∴-a=3,∴a=-3.90.(2019•北京•T14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为. 【答案】（1）130（2）15【解析】(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,y<120元时,李明得到的金额为y•80%,符合要求.y≥120元时,有(y-x)•80%≥y•70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤y 8,即x≤(y8)min=15.所以x 的最大值为15.91.(2019•北京•理T13)设函数f(x)=e x +ae -x(a 为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R 上的增函数,则a 的取值范围是 . 【答案】-1 (-∞,0]【解析】若函数f(x)=e x+ae -x为奇函数, 则f(-x)=-f(x),e -x+ae x=-(e x+ae -x), (a+1)(e x+e -x)=0对任意的x 恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=e x+ae -x是R 上的增函数,则f'(x)=e x-ae -x≥0恒成立,即a ≤e 2x,故a ≤0.92.(2018•全国3•文T16)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= . 【答案】-2【解析】令g(x)=ln(√1+x 2-x),g(-x)=ln(√1+x 2+x),∴g(x)+g(-x)=ln(1+x 2-x 2)=0,∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2.93.(2018•江苏•T9)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0,则f(f(15))的值为 .【答案】√22【解析】由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+12|=12.因此f(f(15))=f (12)=cos π4=√22. 94.(2018•全国1•文T13)已知函数f(x)=log 2(x 2+a),若f(3)=1,则a= . 【答案】-7【解析】因为f(3)=log 2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.95.(2019•浙江•T16)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是_______________。

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：函数（含解析）1.(2019•天津•理T8)已知a ∈R ，设函数f(x)={x 2-2ax +2a ，x ≤1，x -alnx ，x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A.[0，1]B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e] 【答案】C【解析】(1)当a ≤1时，二次函数的对称轴为x=a.需a 2-2a 2+2a ≥0.a 2-2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x ，f'(x)=1-a x =x -a x >0此时要使f(x)=x-aln x 在(1，+∞)上单调递增，需1-aln 1>0.显然成立.可知0≤a ≤1.(2)当a>1时，x=a>1，1-2a+2a ≥0，显然成立.此时f'(x)=x -a x ，当x ∈(1，a)，f'(x)<0，单调递减，当x ∈(a ，+∞)，f'(x)>0，单调递增.需f(a)=a-aln a ≥0，ln a ≤1，a ≤e ，可知1<a ≤e.由(1)(2)可知，a ∈[0，e]，故选C.2.(2019•天津•文T8)已知函数f(x)={2√x ，0≤x ≤1，1x ，x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1} 【答案】D【解析】当直线过点A(1，1)时，有1=-14+a ，得a=54.当直线过点B(1，2)时，有2=-14+a ，a=94.故当54≤a≤94时，有两个相异点.当x>1时，f'(x 0)=-1x 02=-14，x 0=2.此时切点为2，12，此时a=1.故选D.3.(2019•浙江•T9)设a ，b ∈R ，函数f(x)={x ，x <0，13x 3-12(a +1)x 2+ax ，x ≥0.若函数y=f(x)-ax-b 恰有3个零点，则( )A.a<-1，b<0B.a<-1，b>0C.a>-1，b<0D.a>-1，b>0【答案】C【解析】当x<0时，由x=ax+b ，得x=b 1-a ，最多一个零点取决于x=b 1-a 与0的大小，所以关键研究当x≥0时，方程13x 3-12(a+1)x 2+ax=ax+b 的解的个数，令b=13x 3-12(a+1)x 2=13x 2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示，可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.①若32(a+1)<0，即a<-1时，x=0处为偶重零点反弹，x=32(a+1)为奇重零点穿过，显然在x≥0时g(x)单调递增，故与y=b 最多只能有一个交点，不符合题意.②若32(a+1)=0，即a=-1，0处为3次零点穿过，也不符合题意.③若32(a+1)>0，即a>-1时，x=0处为偶重零点反弹，x=32(a+1)为奇重零点穿过，当b<0时g(x)与y=b 可以有两个交点，且此时要求x=b 1-a <0，故-1<a<1，b<0，选C.4.(2019•北京•文T3)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x【答案】A【解析】函数y=2-x ，y=lo g 12x ，y=1x 在区间(0，+∞)上单调递减，函数y=x 12在区间(0，+∞)上单调递增，故选A.5.(2019•全国1•理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(π2，π)内单调递增③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域为R ，关于原点对称，且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确; 当π2<x<π时，f(x)=2sin x ，它在区间(π2，π)内单调递减，故②错误;当0≤x ≤π时，f(x)=2sin x ，它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时，f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x ，它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π，π]上有3个零点-π，0和π，故③错误;当x ∈[2k π，2k π+π](k ∈N *)时，f(x)=2sin x;当x ∈(2k π+π，2k π+2π](k ∈N *)时，f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数，所以f(x)的最大值为2，故④正确;综上可知①④正确，故选C.6.(2019•全国3•理T11文T12)设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则( )A.f (log 314)>f(2-32)>f(2-23)B.f (log 314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f (log 314)D.f(2-23)>f(2-32)>f (log 314)【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的偶函数，∴f (log 314)=f(-log 34)=f(log 34).又y=2x 在R 上单调递增，∴log 34>1=20>2-23>2-32.又f(x)在区间(0，+∞)内单调递减， ∴f(log 34)<f(2-23)<f(2-32)，∴f(2-32)>f(2-23)>f (log 314).故选C.7.(2019•全国1•理T3文T3)已知a=log 20.2，b=20.2，c=0.20.3，则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【解析】因为a=log 20.2<0，b=20.2>20=1，又0<c=0.20.3<0.20<1，所以a<c<b.故选B.8.(2019•天津•理T6)已知a=log 52，b=log 0.50.2，c=0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A【解析】∵a=log 52<log 5√5=12，b=log 0.50.2>log 0.50.5=1，c=0.50.2=（12）0.2>（12）1，∴b>c>a.故选A.9.(2019•天津•文T5)已知a=log 27，b=log 38，c=0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b命题点比较大小，指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较.【答案】A【解析】a=log 27>log 24=2.b=log 38<log 39<2，且b>1.又c=0.30.2<1，故c<b<a ，故选A.10.(2019•全国1•T5)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π，π]的图像大致为( )。

全国卷•十年高考（解答题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (10)2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (15)2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (20)2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (25)2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (31)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (36)2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (41)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (46)2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）三、解答题：共60分。

17．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．18．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．19．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．20．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．21．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。

x = ， ⎪ 1 + t 2 ⎪ y = 【答案】（1） x + = 1(x ≠ -1) ； l 的直角坐标方程为 2 x + 3 y + 11 = 0 ；（2） 7 ． ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 + t ⎭ (1 + t 2 )2 = 1 ，所以C 的直角坐标方程为 2 ⎪⎩⎧ 4cos α - ⎪ + 11= 4cos α -⎪ + 11 取得最小值7，故C 上的点到 l 距离的最小值为 7 ．专题 18坐标系与参数方程⎧ 1 - t 2 1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 x Oy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ （t 为参数）．以4t ⎪ 1 + t 2坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 ρ cos θ + 3ρ sin θ + 11 = 0 ．（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．y 22 41 - t2 ⎛ y ⎫2 ⎛ 1 - t 2 ⎫2 4t 2【解析】（1）因为 -1 < + 1 + t 2 y 2 x 2 += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2 x + 3 y + 11 = 0 ．（2）由（1）可设C 的参数方程为 ⎨ x = cos α , ⎩ y = 2sin α（ α 为参数， -π < α < π ）．⎛ π ⎫ | 2cos α + 2 3 sin α + 11| ⎝3 ⎭ C 上的点到 l 的距离为 ．7 7当 α =-2π⎛ π ⎫时，3 ⎝ 3 ⎭【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．3【答案】（1） ρ = 2 3 ，l 的极坐标方程为 ρ cos θ -⎛ ⎝⎪ = 2 ； （2） ρ = 4cos θ , θ ∈ ⎢ , ⎥ ．时， ρ = 4sin = 2 3 ．33设 Q( ρ,θ ) 为l 上除P 的任意一点．在 Rt △OPQ 中， ρ cos θ - ⎪ =| OP |= 2 ，经检验，点 P(2, ) 在曲线 ρ cos θ -π ⎪ = 2 上．⎪ = 2 ．⎛ 因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ρ = 4cos θ , θ ∈ ⎢ , ⎥ ．4 2 4 2 弧 AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ，(1, ) ，(1,π) ，曲线 M 1 是弧 AB ，曲线 M 2 是弧 BC ，（1）当θ =π时，求 ρ 0 及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．⎡ π π ⎤ ⎣ 4 2 ⎦π⎫ 3 ⎭【解析】（1）因为 M (ρ ,θ)在C 上，当θ 0 = π π由已知得 | OP |=| OA | cos π 3= 2 ．⎛ ⎝π⎫ 3 ⎭3 ⎝⎛ π⎫ 3 ⎭所以，l 的极坐标方程为 ρ cos θ - ⎝π⎫ 3 ⎭（2）设 P( ρ,θ ) ，在 Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ = 4cos θ , 即 ρ = 4cos θ ．⎡π π⎤ ⎣ ⎦⎡π π⎤ ⎣ ⎦【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．3．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中， A(2,0) ， B( 2, π 4 ) ，C ( 2, 3π 4) ， D(2, π) ，π 2曲线 M 3 是弧 CD ．（1）分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；（2）曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP |=3 ，求 P 的极坐标．M的极坐标方程为 ρ = 2cos θ 0 ≤ θ ≤ ⎝⎪ ， M 2 的极坐标方程为ρ = 2sin θ ⎛ M 的极坐标方程为 ρ = -2cos θ ⎪ ， ≤ θ ≤ π ⎪ ． 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭（2） 3,⎪ 或 3, ⎪ 或 3, ⎪ 或 3, 6 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 6 ⎭M 的极坐标方程为 ρ = 2sin θ ⎪ ， 2⎪ ，M 3⎛ 的极坐标方程为 ρ = -2cos θ ⎛ 3π ≤ θ ≤ π ⎪ ． ，则 2cos θ = 3 ，解得θ = ；综上，P 的极坐标为 3, ⎪ 或 3, ⎪ 或 3, 或 3, ⎪ ⎪ ．, B 2, ⎪ ， 直 线 l 的方 程 为4 ⎭ ⎝ 2 ⎭ρ sin ⎛θ + ⎫⎪ = 3 ．⎛【答案】（1）1⎛ π ⎫ 4 ⎭π ⎝ 4 ≤ θ ≤ 3π ⎫ ⎛ 3π ⎫ 3⎛ ⎝π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ 5π ⎫⎪ ．【解析】（ 1）由题设可得，弧 AB, BC, C D 所在圆的极坐标方程分别为 ρ = 2cos θ ， ρ = 2sin θ ，ρ = -2cos θ ．所以 M 1 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ 0 ≤ θ ≤ ⎝π ⎫ ⎛ π 4 ⎭ ⎝ 4≤ θ ≤ 3π ⎫ 4 ⎭⎫ ⎝ 4 ⎭（2）设 P( ρ,θ ) ，由题设及（1）知若 0 ≤ θ ≤ π π4 6π 3π π 2π 若 ≤ θ ≤ ，则 2sin θ = 3 ，解得θ = 或 θ = ；4 4 3 3若 3π 5π ≤ θ ≤ π ，则 -2cos θ = 3 ，解得θ =4 6．⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ 5π ⎫⎝6 ⎭⎝3 ⎭⎝3 ⎭⎝6 ⎭【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．4 ． 【 2019 年 高 考 江 苏 卷 数 学 】 在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 两 点 A 3, ⎝π ⎝4 ⎭（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．π⎫ ⎛ π⎫ ⎪【解析】（1）设极点为 ．在△O OAB 中，A （3， π- ) = 5 ．= 2 ，故 k = - 或 k = 0 ． 经检验，当 k = 0 时， l 与 C 没有公共点；当 k = - 时， l 与 C 只有一个公共点，l 与 C 有两个公共 3【答案】（1） 5 ；（2）2．π），B （2 ， ）， 42由余弦定理，得AB = 32+ ( 2) 2- 2 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ cos(（2）因为直线l 的方程为 ρ sin(θ + π) = 3 ，4π π2 4则直线l 过点 (3 2, π) ，倾斜角为 23π4 ．又 B( 2, π ) ，所以点B 到直线l 的距离为 (3 2 - 2) ⨯ s in( 2 3π π- ) = 2 ．4 2【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．5．【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为 y = k|x| + 2 ．以坐标原点为极点，1x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ 2 + 2 ρ cos θ - 3 = 0 ．2（1）求 C 的直角坐标方程；2（2）若 C 与 C 有且仅有三个公共点，求 C 的方程．1 21【答案】（1） C 2 的直角坐标方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 4 ．；（2） C 1 的方程为 y = -4 3| x | +2 ．【解析】（1）由 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ 得 C 2 的直角坐标方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 4 ．（2）由（1）知 C 2 是圆心为 A(-1,0) ，半径为 2 的圆．由题设知， C 1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为 l 1 ， y 轴左边的射线为l ．由于 B 在圆 C 的外面，故 C 与 C 有且仅有三个公共点等价于 l 与 C 只有一个公共点且 l 与 C 有2 2121222两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点．当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时， A 到 l 1 所在直线的距离为 2 ，所以 | -k + 2 |k 2 + 14341 2 1 2 2 2点．直线 l 的参数方程为 ⎨（ t 为参数）． y = 2 + t sin α+ = 1 ，l 的直角坐标方程为 x = 1 ；（2）l 的斜率为 -2 ． 【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为 + = 1 ．1 + 3cos2 α 7．【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系 xOy 中， ⊙O 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数）， y = sin θ( )当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时， A 到 l 2 所在直线的距离为 2 ，所以 | k + 2|k 2 + 1 = 2，故 k = 0 或 k = 4 ． 3经检验，当 k = 0 时， l 1 与 C 2 没有公共点；当 k = 43时， l 2 与 C 2 没有公共点．综上，所求 C 1 的方程为 y = - 4 3| x | +2 ．⎧ x = 2cos θ ，6．【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ （ θ 为参数），⎩ y = 4sin θ⎧ x = 1 + t cos α ，⎩（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率．【答案】（1）曲线 C 的直角坐标方程为x 2 y 24 16x 2 y 24 16当 cos α ≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α ⋅ x + 2 - tan α ，当 cos α = 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．（2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1+ 3cos 2 α )t 2 + 4(2cos α + sin α )t - 8 = 0 ．①因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以①有两个解，设为 t 1 ， t 2 ，则 t 1 + t 2 = 0 ．又由①得 t + t = - 4(2cos α + sin α )，故 2cos α + sin α = 0 ，于是直线 l 的斜率 k = tan α = -2 ．1 2⎧ x = cos θ，⎩过点 0 ，- 2 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ，B 两点．（1）求 α 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）α 的取值范围是 ( , ) ．；（2）点 P 的轨迹的参数方程是 ⎨为参数， π 时，记 tan α = k ，则 l 的方程为 y = kx - 2 ． l 与 O 交于两点当且仅当 |1 + k2 得 k < -1 或 k > 1 ，即 α ∈ ( , ) 或 α ∈ ( , 综上， α 的取值范围是 ( , ) ．(t 为参数， < α < ) ． ⎪ 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t A ，t B ，t P ，则t = t + t2 于是 t + t = 2 2 sin α ， t = 2 sin α ．又点 P 的坐标 ( x , y) 满足 ⎨⎪⎩ y = - 2 + t sin α. (α 为参数， < α < ) ．⎧ 2⎪ x =sin 2α , π 3π ⎪ 24 4 ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α⎪⎩22(α3π < α <4 4)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1．当 α = π2时， l 与 O 交于两点．当 α ≠ π 2 2|< 1 ，解π π π 3π4 2 2 4 π 3π4 4) ．⎧ x = t cos α ,（2） l 的参数方程为 ⎨⎪⎩ y = - 2 + t sin απ 3π 4 4P A B ，且t A ，t B 满足 t 2 - 2 2t sin α + 1 = 0 ．⎧⎪ x = t cos α , P A B P P⎧ 2⎪ x =sin 2α , ⎪ 2所以点 P 的轨迹的参数方程是 ⎨⎪ y = - 2 - 2 cos 2α ⎪⎩ 2 2π 3π 4 48．【2018 年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρ sin(4cos θ ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 ．【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cos θ ，所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆．π因为直线 l 的极坐标方程为 ρ sin( - θ ) = 2 ，6 π则直线 l 过 A （4，0），倾斜角为 ，6π 6- θ ) = 2，曲线 C 的方程为 ρ =9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎨（θ为参数），y=sinθ,直线l的参数方程为⎨⎧x=a+4t,y=1-t,⎪+y2=1⎧x=3,⎪⎪⎪y=24.⎩y=0⎩所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π．6连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以AB=4cos π=23．6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．⎧x=3cosθ,⎩（t为参数）．⎩（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，(-21,24)；（2）a=8或a=-16．2525【解析】（1）曲线C的普通方程为x29+y2=1．当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0．⎧x+4y-3=0,⎪由⎨x2⎩9解得⎨或⎨⎧21x=-,25从而C与l的交点坐标为(3,0)，(-21,24)．2525（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17．（2）设点 A 的极坐标为 (2, ) ，点 B 在曲线 C 上，求 △OAB 面积的最大值．3S = 1B当 a ≥ -4 时， d 的最大值为 a + 917．由题设得 a + 9= 17 ，所以 a = 8 ；17当 a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 17．由题设得 -a + 1= 17 ，所以 a = -16 ．17综上， a = 8 或 a = -16 ．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．10．【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4 ．1（1）M 为曲线 C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹 C 的直角坐1 2标方程；π2【答案】（1） (x - 2 )2 + y 2 = 4 (x ≠ 0 )；（2） 2 + 3 ．【解析】（1）设 P 的极坐标为 ( ρ,θ ) ( ρ > 0) ，M 的极坐标为 (ρ ,θ ) ( ρ > 0) ，1 1由题设知 OP =ρ, OM = ρ1= 4 cos θ．由 OM ⋅ OP = 16 得 C 的极坐标方程 ρ = 4cos θ ( ρ > 0) ． 2因此 C 的直角坐标方程为 (x - 2 )2 + y 2 = 4 (x ≠ 0 )．2（2）设点 B 的极坐标为 (ρ ,α )(ρ > 0) ，B B由题设知 OA = 2, ρ = 4cos α ，于是 △OAB 的面积Bπ π 3OA ⋅ ρ ⋅ sin ∠AOB = 4cos α ⋅ | sin(α - ) | = 2 | sin(2α - ) - | ≤ 2 + 3.23 3 211．【2017 年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 的参数方程为 ⎨ （t 为参数），直y = kt ,线 l 2 的参数方程为 ⎨ （m 为参数）．设 l 1 与 l 2 的交点为 P ，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C ． ⎪⎩ 【解析（1）消去参数 t得 l 的普通方程 l : y = k(x - 2)；消去参数 m 得 l 2的普通方程 l : y = 1(x + 2 ) ．k设 P (x, y )，由题设得 ⎨ ，消去 k 得 x 2 - y 2 = 4 (y ≠ 0)． ⎪⎩ρ (cos θ + sin θ )- 2 = 0⎪（ t 为参数）， 12． 2017 年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参考方程为 ⎨ 【 ⎪⎩ 2当 α = - π时，S 取得最大值 2 + 3 ，所以 △OAB 面积的最大值为 2 + 3 ．12【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】 +1【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知=1,即|1-a|=,解得a=1±.∵a>0,∴a=+1.2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解析】(1)因为-1<≤1,且x2+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1). l的直角坐标方程为2x+y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π<α<π).C上的点到l的距离为.当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin =2.。

专题13 坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2．（2018年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．3．（2017年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．5．（2015年）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．7．（2013年）已知曲线C1的参数方程为45cos55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．8．（2012年）已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．9．（2011年）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxyαα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2OP=OM，P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；的异于极点的交点为B，求|AB|．10．（2010年）已知直线C1：1cossinx ty tαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），C2：cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．。

极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。

专题18 坐标系与参数方程1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l 的直角坐标方程为23110x y ++=；（2）7．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l 的直角坐标方程为23110x y ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=．当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）023ρ=，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 233ρπ==． 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC ，曲线3M 是弧»CD． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =，求P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（2）π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos 3θ=，解得π6θ=； 若π3π44θ≤≤，则2sin 3θ=，解得π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos 3θ-=，解得5π6θ=． 综上，P 的极坐标为π3,6⎛⎫ ⎪⎝⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫⎪⎝⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】（1）2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．；（2）1C 的方程为4||23y x =-+． 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k +=+，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；（2）l 的斜率为2-．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）α的取值范围是(,)44π3π．；（2）点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O e 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O e 交于两点当且仅当22||11k<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C 截得的弦长为23． 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==．因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1-=a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a=或16a=-．【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy+=．当1a=-时，直线l的普通方程为430x y+-=．由22430,19x yxy+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,xy=⎧⎨=⎩或21,2524.25xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．（2）直线l的普通方程为440x y a+--=，故C上的点(3cos,sin)θθ到l的距离为|3cos4sin4|17adθθ+--=．当4a ≥-时，d 的最大值为917a +． 由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+． 由题设得11717a -+=，所以16a =-． 综上，8a =或16a =-．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）23+．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>， 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=． 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>． 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠． （2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>，由题设知2,4cos B OA ρα==，于是OAB △的面积S =13sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2 3.2332B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时，S 取得最大值23+，所以OAB △面积的最大值为23+． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。