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平行线的性质教课方案初中数学（湘教版）七年级下册1.【教材剖析】本节是湘教版七年级下册第四章第三节平行线的性质的内容，学生已经初步掌握了平面内两条直线的地点关系，订交与平行，而本次在此基础上让学生经过察看，着手丈量，猜想等得出平行线的性质，这个内容又与下一个内容平行线的判断互为逆定理。
且在此后的几何知识中也常常应用到，为学习三角形，四边形，相像等知识确立基础。
【学情剖析】本节课是湘教版七年级下册第四章第三节内容，学生接触几何不久，几何思想、几何语言、几何表达还不是很娴熟。
特别是中放学生显得较为突出。
同学们对同位角、内错角、同旁内角在三线八角中的辨别和认识已经有了基础，本节课需要在教师的指引下，让学生经过察看，归纳总结得出两平行线的性质。
也为了让学生养成优秀的数学思想习惯。
【教课工具】多媒体课件，直尺，三角板，量角器【教课目的】（一）知识目标经历研究平行线性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.(二)能力目标：经历察看、丈量、推理、沟通等活动,进一步发展空间观点，有条理地思虑和表达自己的研究过程和结果，进而进一步增强剖析、归纳、表达能力.（三）感情目标：经过对平行线性质的研究，使学生初步认识数学与现实生活的亲密联系，领会科学的思想方法，激发学生研究创新精神。
经过师生的共同活动，促进学生在学习活动中培育优秀的感情、合作沟通、主动参加的意识。
【教课要点】平行线的三条性质及简单应用.【教课难点】平行线的三条性质以及有条理的写出推理过程【教课过程】一、回首与思虑问题：在前方，我们学习了两条直线被第三条直线所截，产生了同位角、内错角、同旁内角，假如这两条直线平行(如图)，你能看出哪些是同位角，内错角，同旁内角？还记得怎么记忆啦?a2134b 65 78 c【教课说明】让学生带着疑问进入讲堂，激发学生的学习踊跃性.1.二、思虑研究，获得新知在下边两图中，已知AB与CD平行，用量角器下边两个图形中标出的角，看看它们之间有什关系。
《平行线的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《平行线的性质》的学习，使学生能够掌握平行线的基本概念和性质，理解平行线在几何图形中的作用和重要性，同时能灵活运用所学知识解决实际问题。
二、作业内容作业内容主要包括以下方面：1. 理解平行线的定义及其性质：通过自学或课堂讲解，使学生掌握平行线的定义和性质，理解平行线与交线、斜线之间的区别和联系。
2. 掌握平行线的判定方法：通过例题和练习，让学生熟悉平行线的判定方法，如内错角相等、同位角相等等。
3. 运用平行线性质解决实际问题：通过几何图形的绘制和问题解答，让学生运用所学知识解决实际问题，如计算平行四边形的面积等。
4. 拓展延伸：引导学生思考平行线在日常生活中的应用，如道路规划、建筑设计等，并尝试用所学知识解释这些应用。
三、作业要求1. 认真完成作业：学生应按照作业要求认真完成每一项任务，不得抄袭或敷衍了事。
2. 独立思考：在解决问题时，学生应独立思考，尝试用所学知识解决问题，不得依赖他人。
3. 规范书写：作业书写应规范、整洁，步骤清晰，计算准确。
4. 及时反馈：学生应按时提交作业，并在课堂上及时反馈自己的学习情况和问题。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确度、解题思路的清晰度、书写的规范性等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师评价和同学互评相结合的方式，以鼓励表扬为主，同时指出存在的问题和不足。
3. 评价反馈：教师应对学生的作业进行评价和反馈，指出存在的问题和不足，并给出改进意见和建议。
同时，应及时表扬表现优秀的学生，激励其他学生努力学习。
五、作业反馈1. 学生自评：学生应对自己的作业进行自评，总结自己的优点和不足，明确下一步的学习方向。
2. 教师反馈：教师应对学生的作业进行认真批改和评价，及时给予反馈和指导，帮助学生解决问题和提高学习效果。
3. 课堂讨论：在课堂上，教师应组织学生进行课堂讨论，让学生交流学习心得和解题思路，促进互相学习和提高。
教师科目年级七班级时间课题平行线的性质第 1 课时教学目标1、使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算。
2、通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力。
3、培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性。
教学重点探究并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算。
教学难点平行线的性质1的探究，能用平行线的性质进行简单的推理和计算。
教学工具多媒体一．复习引入1.如图:直线a,b被直线c所截，且a//b,请找出图中的同位角，内错角以及同旁内角？同位角：_________________________________________内错角：_________________________________________同旁内角：_______________________________________2.请度量∠1和∠5, ∠2和∠6的大小，你能发现什么关系？二．新课探究探究一(1)用量角器量出上述两组角的大小。
学生观察：上述两组角是同位角，两条被截直线是平行的位置关系，根据测量的结果得到猜想：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
(2)引导学生利用平移定理从理论上验证学生的猜想：作一个平移，移动方向为点H到点G的方向，移动距离等于线段HG的长度，则点H的像是点G，射线HE的像是射线GE。
直线CD的像是经过点G且与它平行的直线，又已知AB//CD，且AB经过点G，所以直线CD的像是直线AB。
从而射线HD的像是射线GB，从而∠α的像是∠β，所以∠α=∠β。
归纳：平行线的性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
文字简写：两直线平行，同位角相等。
几何语言表述:∵a∥b (已知)∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.探究二如图，AB//CD，被EF所截，请问∠1与∠2的大小关系是怎样的？学生讨论，回答：因为AB//CD (已知)所以∠1=∠4 (两直线平行，同位角相等).又因为∠2=∠4 (对顶角相等)，所以∠1=∠2 (等量代换).学生总结：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
湘教版七下数学第4章相交线与平行线4.3平行线的性质教学设计一. 教材分析湘教版七下数学第4章相交线与平行线4.3平行线的性质，主要介绍了平行线的性质。
本节内容是学生在学习了直线、射线、线段以及相交线的基础上进行的，是进一步引导学生对平行线的认识和理解。
教材通过实例和几何图形的观察，引导学生发现平行线的性质，并运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，对相交线有一定的了解。
但学生在应用平行线的性质解决实际问题时，还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过实例和几何图形的观察，让学生深入理解平行线的性质，提高学生运用知识解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解平行线的性质，并能运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线的性质及应用。
2.难点：如何引导学生发现平行线的性质，并运用性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和几何图形的观察，引导学生发现平行线的性质。
2.问题驱动法：设置问题，引导学生运用平行线的性质解决问题。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例和几何图形，用于引导学生发现平行线的性质。
2.准备练习题，用于巩固学生对平行线性质的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过实例和几何图形的观察，引导学生发现平行线的性质。
例如，展示两辆火车在铁轨上并行行驶的图片，让学生观察并描述两辆火车的运动状态。
2.呈现（10分钟）展示教材中关于平行线性质的图片和文字，引导学生阅读并理解平行线的性质。
同时，教师可以通过讲解和示范，让学生深入理解平行线的性质。
3.操练（10分钟）设置问题，让学生运用平行线的性质解决问题。
例如，给出一个几何图形，要求学生找出其中的平行线，并说明理由。
湘教版七下数学第4章相交线与平行线4.4平行线的判定4.4.2平行线的判定教学设计一. 教材分析湘教版七下数学第4章相交线与平行线4.4平行线的判定4.4.2平行线的判定主要介绍了平行线的判定方法。
本节课的内容是学生学习平行线的基础，对于学生来说，理解和掌握平行线的判定方法对于后续学习几何知识有着重要的意义。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和巩固平行线的判定方法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了相交线的性质，对几何图形的认知有一定的基础。
但是，对于平行线的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对于一些判定方法的应用场景和条件还不够清楚，需要在课堂上进行讲解和练习。
三. 教学目标1.理解平行线的判定方法，并能够运用判定方法判断两条直线是否平行。
2.能够运用平行线的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平行线的判定方法及其应用。
2.教学难点：对于一些特殊情况，如何灵活运用平行线的判定方法。
五. 教学方法1.讲授法：讲解平行线的判定方法，分析判定条件的含义。
2.案例分析法：通过实例分析，让学生理解和掌握平行线的判定方法。
3.练习法：通过练习题，巩固学生对平行线判定方法的掌握。
4.小组讨论法：让学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材：湘教版七下数学第4章相交线与平行线。
2.课件：制作课件，内容包括平行线的判定方法、实例分析、练习题等。
3.练习题：准备一些关于平行线判定方法的练习题，用于课堂练习和学生课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际生活中的平行线现象，如铁路、公路等，引导学生思考平行线的特点和判定方法。
2.呈现（10分钟）讲解平行线的判定方法，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
通过实例分析，让学生理解判定条件的含义。
(湘教版)七年级数学下册：第4章《相交线与平行线》复习说课稿一. 教材分析《相交线与平行线》是湘教版七年级数学下册第4章的内容。
本章主要让学生了解和掌握相交线与平行线的概念、性质及应用。
在此之前，学生已学习了线段、射线、直线等基础知识，为本章的学习打下了基础。
本章内容不仅为后续的平面几何学习奠定基础，而且对学生形成正确的几何观念具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已具备一定的数学基础，但相交线与平行线这部分内容较为抽象，学生理解起来可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，帮助他们克服学习中的困难。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握相交线与平行线的概念、性质及判定方法，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.重点：相交线与平行线的概念、性质及判定方法。
2.难点：相交线与平行线的应用，以及如何灵活运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现和解决问题。
2.运用多媒体课件、几何模型等教学辅助手段，直观展示相交线与平行线的性质和应用，提高学生的空间想象力。
3.小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，如篮球场上的线条、书桌上的直线等，引出相交线与平行线的概念。
2.自主学习：让学生自主探究相交线与平行线的性质，引导学生发现并总结规律。
3.课堂讲解：讲解相交线与平行线的判定方法，并通过几何模型直观展示，帮助学生理解和记忆。
4.练习巩固：布置相关的练习题，让学生在实践中运用所学知识，巩固课堂所学。
5.拓展延伸：引导学生思考相交线与平行线在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
第4章相交线与平行线考点一：邻补角的概念及性质例1 如图1，O为直线AB上一点，若∠COB=26°30′，则∠1=_____度．解析：根据邻补角的定义，知∠1与∠COB互为邻补角.所以∠1=180°－∠COB=180°-26°30′=153°30′=153.5°．故填153.5．考点二：垂线段及其性质例2 如图2，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）.A．2.5 B．3 C．4 D．5 解析：AC是BC边上的垂线段，由垂线段最短，可知线段AP的长度应该大于或等于AC．所以AP长不可能是2.5．故选A．考点三：平行线的判定例3 对于图3中标记的各角，下列条件中，能够得到a∥b的是（）.A．∠1=∠2 B．∠2=∠4 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°解析：选项A、B、C中，∠1与∠2、∠2与∠4、∠3与∠4都不是同位角或内错角，故A、B、C不正确；选项D中，∠1+∠4=180°，所以∠1的对顶角与∠4互补，即∠2+∠3=∠4，因此a∥b. 故选D．考点四：平行线的性质例4 如图4，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于点A、B．已知∠1=35°，则∠2的度数为（）.A．165° B．155° C．145° D．135°解析：由邻补角的定义，知∠3=180°－∠1=180°－35°=145°，所以∠2=∠3=145°，故选C．考点五：平移例5 如图5所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时，所扫过的面积为．解析：为了求半圆AB所扫过的面积，不妨利用割补法，将图形中y轴左侧的部分平移到图形的右侧，使半圆AB与半圆CD重合，此时图5就变成了图6所示的长方形ABCD，其长BD为3，宽AB为2，则其面积为S=3×2=6，通过图形的平移巧妙的解决了本题，故填6．误区点拨误区1：概念理解不透例1 判断对错：如图1，直线AB与CD不平行，点P在AB上，PQ⊥CD于点Q，线段PQ的长度叫点Q到直线AB的距离．错解：正确．点拨：点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，因为PQ垂直于CD，不垂直于AB，所以线段PQ的长度不是点Q到直线AB的距离，而是点P到直线CD的距离．正解：错误．误区2：对平行线的性质理解不透例2下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）.错解：选C．点拨：选项A中，∠1与∠2是直线AB、CD被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠1不一定等于∠2；选项C中，∠1与∠2不是直线AB、CD被直线AD所截得的角，由AB∥CD，不能得到∠1=∠2；选项D中，∠1与∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截得的角，所以∠1不一定等于∠2；选项B中，∠1与∠2是直线AB、CD被第三条直线所截得的角，由AB∥CD可得∠1的对顶角等于∠2，所以∠1 =∠2．正解：选B．误区3：混淆平行线的判定和性质例3 如图2，已知直线a∥b，若∠1=50°，求∠2的度数．错解：因为∠1=50°，∠1=∠3，所以∠3=∠1=50°. 由于a∥b，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得∠2+∠3=180°，所以∠2=180°－∠3=180°－50°=130°．点拨：上述解法错在混淆了平行线的判定定力和性质的区别．判定定理是根据某些条件来判定两条直线是否平行；性质定理是根据两直线平行得到角之间的关系．正解：因为∠1=50°，∠1=∠3，所以∠3=∠1=50°. 由于a∥b，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠2+∠3=180°，所以∠2=180°－∠3=180°－50°=130°．误区4：对平移的距离或性质理解不透例4 如图3，△A′B′C ′是由△ABC平移得到的，下列说法中正确的是（）A．图形平移前后，对应线段相等、对应角相等B．图形平移过程中，对应线段一定平行C．图形平移的距离是线段B B′ D．图形平移的距离是线段C B′错解：选B或C．点拨：平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，即经过平移，对应线段相等（不改变大小），对应角相等（不改变形状）．需要注意的是，对应线段不一定总平行，还可能在同一条直线上，比如对应线段BC和B′C ′在同一条直线上，故B不正确. 图形平移的距离是指对应点之间线段的长度，不是线段，故C、D都不正确．正解：选A．复习方案基础盘点1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）2．点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的（）A．垂线 B．垂线段 C．垂线的长 D．垂线段的长3．下列语句中，不是命题的是（）A．如果，，则 B．三角形的内角和等于180°C．若两直线平行，同位角相等吗 D．两点之间线段最短4．如图1，直线AB、EF相交于点D，∠1的对顶角是______，∠2的邻补角是_______．5．如图2，已知直线a∥b，直线c与a、b相交，若∠1=65°，则∠2=________°．6．如图3，三条直线AB、CD、EF交于点O，若∠1＝30°，∠2＝70°，求∠3的度数。
湘教版七下数学第4章相交线与平行线4.1.2相交与平行说课稿一. 教材分析湘教版七下数学第4章《相交线与平行线》4.1.2《相交与平行》是本章的重要内容。
这部分内容主要介绍了相交线与平行线的概念，以及它们之间的相互关系。
教材通过丰富的实例和生动的语言，让学生理解并掌握相交线与平行线的基本性质和判定方法，为后续几何学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了初步的数学知识，对于图形的认知有一定的基础。
但是，对于相交线与平行线这样的抽象概念，学生可能还比较难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例中发现规律，抽象出概念，并运用判定方法解决问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解相交线与平行线的概念，掌握它们的性质和判定方法，能运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习几何的兴趣，培养学生团结协作、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：相交线与平行线的概念及其性质和判定方法。
2.教学难点：相交线与平行线的判定方法，以及如何运用这些方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和案例教学法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等教具，以及黑板、粉笔等传统教学工具，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的相交线与平行线实例，引导学生关注这些现象，激发学生学习兴趣。
2.探究新知：学生观察、操作几何模型，引导学生发现相交线与平行线的性质和判定方法。
3.巩固新知：通过课堂练习，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固新知。
4.拓展提高：引导学生思考相交线与平行线在实际生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
5.课堂小结：总结本节课所学内容，强调重点，突破难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出相交线与平行线的核心内容。
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4.3 平行线的性质
一．选择题（共5小题）
1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
（第1题图）
A．20°B．30°C．45°D．50°
2．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（）
（第2题图）
A．58°B．42°C．32°D．28°
3．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）
（第3题图）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为（）
（第4题图）
A．10°B．15°C．20°D．25°
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（）
（第5题图）
A．132°B．134°C．136°D．138°
二．填空题（共10小题）
6．如图，a∥b，∠1=110°，∠3=40°，则∠2=°．
（第6题图）
7．一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD=度．
（第7题图）
8．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为．
9．如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于．
（第9题图）
10．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是．
（第10题图）
三．解答题（共5小题）
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：①∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED、∠EAB、∠EDC的关系并说明理由．
（2）拓展应用，如图2，线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD 交于点F．图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域（不含边界），P是位于以上两个区域内的一点，猜想∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求说明理由）
（第11题图）
12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是；
证明：
（2）如图②，AB∥CD，BE∥DF，∠1与∠2的关系是；
证明：
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
解：
（第12题图）
13．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．
（1）如图①，若∠A=20°，∠C=40°，则∠AEC=°．
（2）如图②，若∠A=x°，∠C=y°，则∠AEC=°．
（3）如图③，若∠A=α，∠C=β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．
（第13题图）
14．已知△ABC 中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
（第14题图）
（1）如图1，连接CE，
①若CE∥AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
（2）若直线CE垂直于△ABC的一边，请直接写出∠BEC的度数．
15．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．
（第15题图）
参考答案
一．1．D 2．C 3．A 4．B 5．B
二．6．70 7．270 8．6cm或2cm 9．80° 10．60°
三．11．解：（1）①过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=30°，∠D=40°，
∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，
∴∠AED=∠1+∠2=70°；
②过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵∠A=20°，∠D=60°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，
∴∠AED=∠1+∠2=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EF∥CD，
∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）如答图2，当点P在①区域时，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）﹣180°．
∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，
∴∠EPF=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣（∠PEB+∠PFC）+180°=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；当点P在区域②时，如答图3所示，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠CFE=180°，
∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，
∴∠EPF=∠PEB+∠PFC．
（第11题答图）
12．解：（1）∠1=∠2．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2；
（2）∠1+∠2=180°．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵BE∥DF，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠1+∠2=180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x﹣60°，
当x=3x﹣60°，解得x=30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；
当x+3x﹣60°=180°，解得x=60°，则这两个角的度数分别为60°，120°．13．解：如答图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF．
（1）∵∠A=20°，∠C=40°，
∴∠1=∠A=20°，∠2=∠C=40°，
∴∠AEC=∠1+∠2=60°；
（2）∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠1+∠2+x°+y°=360°，
∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°；
（3）∠A=α，∠C=β，
∴∠1+∠A=180°，∠2=∠C=β，
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α，
∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β．
（第13题答图）14．解：（1）①∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=ABC=40°，
∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE=40°；
②∵∠A=60°，∠ACB=40°，
∴∠ABC=80°，∠ACD=180°﹣∠ACB=140°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=ABC=40°，∠ECD=ACD=70°，
∴∠BEC=∠ECD﹣∠CBE=30°；
（2）①如答图1，当CE⊥BC时，
∵∠CBE=40°，
∴∠BEC=50°；
②如答图2，当CE⊥AB于F时，
∵∠ABE=40°，
∴∠BEC=90°+40°=130°，
③如图3，当CE⊥AC时，
∵∠CBE=40°，∠ACB=40°，
∴∠BEC=180°﹣40°﹣40°﹣90°=10°．
（第14题答图）15．证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义）
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠3（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．。
