2016-2017学年高三上学期期末练习数学(文)试题 Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。

浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm22．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=04．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．抛物线C ：y 2=2x 的准线方程是 ，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则= ．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ﹣ABC 中，M 是SC 的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S ﹣ABC 的体积为 ，其外接球的表面积为 ．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为 ．14．己知点O为坐标原点，△ABC为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为．15．已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，Z的最小值是．三、解答题（共39分）16．已知命题P：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17．圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：﹣=1过点P且离心率为．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B，两点，△AOB 的面积为8，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，求|PF|的最小值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．浙江省宁波市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．2．若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵0＜x＜，分别画出y=xtanx（红色曲线），和y=xsinx（绿色曲线），如图所示，由图象可知，∴tanx＞sinx＞0，∴xtanx＜1⇒xsinx＜1，反之不成立，因此xtanx＜1是xsinx＜1的充分不必要条件．故选：A．3．已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y﹣3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A．x﹣2y=0 B．2x+y﹣5=0 C．2x+y﹣3=0 D．x﹣2y+4=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标，根据直径和直线的位置关系进行求解即可．【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+1）2=16，得圆心坐标为（2，﹣1），∵圆的一条直径过直线x﹣2y﹣3=0被圆截得的弦的中点，∴直径和直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直径对应直线的斜率为﹣2，则直径所在的直线方程为y+1=﹣2（x﹣2），即2x+y﹣3=0，故选：C．4．如图，三棱锥V﹣ABC底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA=VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的画图要求“长对正，高平齐，宽相等”可以找出左视图的宽、高与俯视图的宽、主视图的高的相等关系，进而求出答案．【解答】解：设底面正△ABC的边长为a，侧面VAC的底边AC上的高为h，可知底面正△ABC的高为，∵其主视图为△VAC，∴；∵左视图的高与主视图的高相等，∴左视图的高是h，又左视图的宽是底面△ABC的边AC上的高，===．∴S侧视图故选B ．5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】从直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确． 故选：D ．6．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用对称性，可得MF 1=F 1F 2=2c ，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，得到x 的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，再由a ，b ，c 的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F 2（c ，0），由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上，由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ，则MO==c ，∠MF 1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2，即c ＞a ，则有e=＞． 故选A ．7．已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M （t ，0）为一个切点，则（ ）A ．t=2B ．t ＞2C ．t ＜2D ．t 与2的大小关系不确定【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，由此能求出t 的值．【解答】解：由题意知，圆C 是△AF 1F 2的旁切圆，点M 是圆C 与x 轴的切点，设圆C 与直线F 1A 的延长线、AF 2分别相切于点P ，Q ，则由切线的性质可知：AP=AQ ，F 2Q=F 2M ，F 1P=F 1M ，∴MF 2=QF 2=（AF 1+AF 2）﹣（AF 1+AQ ）=2a ﹣AF 1﹣AP=2a ﹣F 1P=2a ﹣F 1M∴MF 1+MF 2=2a ，∴t=a=2．故选A ．8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F∥平面D 1AE ，则A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值构成的集合是（ ）A ．{t|}B ．{t|≤t≤2}C ．{t|2}D ．{t|2}【考点】直线与平面所成的角．【分析】设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，可证出平面A 1MN∥平面D 1AE ，从而得到A 1F 是平面A 1MN 内的直线．由此将点F 在线段MN 上运动并加以观察，即可得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围．【解答】解：设平面AD 1E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点分别取B 1B 、B 1C 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，则∵A 1M∥D 1E ，A 1M ⊄平面D 1AE ，D 1E ⊂平面D 1AE ，∴A 1M∥平面D 1AE ．同理可得MN∥平面D 1AE ，∵A 1M 、MN 是平面A 1MN 内的相交直线∴平面A 1MN∥平面D 1AE ，由此结合A 1F∥平面D 1AE ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ运动点F 并加以观察，可得当F 与M （或N ）重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ==2；当F 与MN 中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ==2∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．双曲线的焦距是 2 ，渐近线方程是 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求出双曲线的几何量，然后求解即可．【解答】解：双曲线可得a=1，b=，双曲线的焦距是2c=2=2．双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．10．抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则= 9 ．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|转化为|AM|+|BN|，再转化为2|PK|，从而得出结论．【解答】解：抛物线C：y2=2x的准线方程是x=﹣，它的焦点F（，0）．过A作AM⊥直线l，BN⊥直线l，PK⊥直线l，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，（|AM|+|BN|）=|PK|=，∴|AF|+|BF|=9，故答案为：．11．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为3π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体切去一个角余下的部分，其主观图如下：∴多面体的体积为1﹣××1×1=．此多面体外接球的直径是此正方体的对角线．因此其球的表面积是4π•=3π．故答案为：，3π．12．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO﹣r|，利用勾股定理列方程解出r．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴ +（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．13．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为．【考点】球内接多面体．【分析】若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，可先求出该球的半径，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a=2r ，进而可得答案．【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球，设该小球的半径为r ，则r+1+=，解得：r=，若将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则： a=2r ，解得：a=，故答案为：．14．己知点O 为坐标原点，△ABC 为圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，由三角形的中心可得++=，则•（）=（+）•（2﹣），运用向量的数量积的性质和定义，化简可得7﹣2cos∠OC 1A ，再由向量共线可得最小值．【解答】解：圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=1的圆心为C 1（1，），半径为1，由C 1为正三角形ABC 的中心，可得++=，则•（）=（+）•（+++）=（+）•（2﹣）=22﹣2+•=2×（1+3）﹣1﹣2cos∠OC 1A=7﹣2cos∠OC 1A ，当，同向共线时，cos∠OC 1A 取得最大值1，即有•（）的最小值为7﹣2=5． 故答案为：5．15．已知动圆过定点F （0，﹣1），且与直线l ：y=1相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点A （0，2）在椭圆N 上．若过F 的动直线m 交椭圆于B ，C 点，交轨迹M 于D ，E 两点，设S 1为△ABC 的面积，S 2为△ODE 的面积，令Z=S 1S 2，Z 的最小值是 9 ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由抛物线的定义可得动圆圆心Q 的轨迹的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b ，进而得到椭圆方程；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程为：x 2=﹣4y ，依题意可设椭圆N 的标准方程为+=1，显然有c=1，a=2，b==，可得椭圆N 的标准方程为+=1；显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：y=kx ﹣1①联立椭圆N 的标准方程+=1，有（3k 2+4）x 2﹣6kx ﹣9=0，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则有|BC|=|x 1﹣x 2|=•=，又A （0，2）到直线m 的距离d 1=，∴S 1=|BC|d 1=，再将①式联立抛物线方程x 2=﹣4y 有x 2+4kx ﹣4=0，同理易得|DE|=4（1+k 2），d 2=，∴S 2=2，∴Z=S 1S 2==12（1﹣）≥12（1﹣）=9，∴当k=0时，Z min =9． 故答案为：9．三、解答题（共39分）16．已知命题P ：x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根，且不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立；命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解，若命题p∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． 【考点】复合命题的真假．【分析】化简命题p ，q ；由p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知p 与q 有且仅有一个为真．从而得出a 的取值范围．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣mx ﹣1=0的两个实根， ∴x 1+x 2=m ，x 1•x 2=﹣1，|x 1﹣x 2|=，∴当m ∈R 时，|x 1﹣x 2|min =2．由不等式a 2+4a ﹣3≤|x 1﹣x 2|对任意m ∈R 恒成立， 得：a 2+4a ﹣5≤0， ∴﹣5≤a≤1；∴命题p 为真命题时﹣5≤a≤1． 命题p 为假命题时a ＞1或a ＜﹣5； 命题q ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解， ①当a ＞0时，显然有解， ②当a=0时，2x ﹣1＞0有解，③当a ＜0时，∵ax 2+2x ﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a ＜0；从而命题p ：不等式ax 2+2x ﹣1＞0有解时a ＞﹣1∴命题q 是真命题时a ＞﹣1，命题q 是假命题时a≤﹣1． ∵p∨q 真，p ∧q 假，∴p 与q 有且仅有一个为真．（1）当命题p 是真命题且命题q 是假命题时﹣5≤a≤﹣1； （2）当命题p 是假命题且命题q 是真命题时a ＞1； 综上所述：a 的取值范围为：﹣5≤a≤﹣1或a ＞1．17．圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线C 1：﹣=1过点P 且离心率为．（Ⅰ）求C 1的方程；（Ⅱ）若椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切点P （x 0，y 0），（x 0＞0，y 0＞0），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x 0x+y 0y=4．令x=0，可得；令y=0，可得．∴切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积S==．∵4=，当且仅当时取等号．∴．此时P．由题意可得，，解得a 2=1，b 2=2．故双曲线C 1的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C 1的焦点（±，0），即为椭圆C 2的焦点．可设椭圆C 2的方程为（b 1＞0）．把P 代入可得，解得=3，因此椭圆C 2的方程为．由题意可设直线l 的方程为x=my+，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化为，∴，．∴x 1+x 2==，x 1x 2==．，，∵，∴，∴+，∴，解得m=或m=，因此直线l 的方程为：或．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB⊥平面DEF ？证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDE．（II）由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．（Ⅲ）由已知得PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F，PF=，使得PB⊥平面DEF．【解答】（I）证明：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，1，1），，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，取y=﹣1，得．∵=2﹣2=0，∴，又PA不包含于平面BDE，PA∥平面BDE，（II）解：由（Ⅰ）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，∴cosθ=cos＜，＞=．故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．（Ⅲ）解：∵ =（2，2，﹣2），=（0，1，1），∴=0，∴PB⊥DE，假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，（0＜λ∠1），则=（2λ，2λ，﹣2λ），==（2λ，2λ，2﹣2λ），由=0，得4λ2+4λ2﹣2λ（2﹣2λ）=0，∴∈（0，1），此时PF=，即在棱PB 上存在点F ，PF=，使得PB⊥平面DEF ．19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线交抛物线于A ，B ，两点，△AOB 的面积为8，直线l 与抛物线C 相切于Q 点，P 是l 上一点（不与Q 重合）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若以线段PQ 为直径的圆恰好经过F ，求|PF|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）F 的坐标为，根据三角形的面积即可求出p 的值，问题得以解决；（Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），根据韦达定理求出和向量的数量积的运算，即可求出x 1的值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：F 的坐标为，|AB|=2p ，∴，∴p=4，∴抛物线方程为y 2=8x ； （Ⅱ）设Q （x 0，y 0），P （x 1，y 1）设直线为l ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），联立方程得利用△=0化简可得：，又∵，可得∴直线l ：y 0y=4（x+x 0），∵，，∴，∵y 1y 0=4（x 0+x 1），∴x 1x 0+2（x 0+x 1）+4=（x 1+2）（x 0+2）=0， ∵x 0＞0， ∴x 1+2=0， ∴x 1=﹣2，即点P 是抛物线准线x=﹣2上的点 ∴PF 的最小值是4．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2且交椭圆C 于A ，B两点（如图），△ABF 1的周长为，原点O 到直线l 的最大距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 2作弦AB 的垂线交椭圆C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得a ，c 的值，由隐含条件求得b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）分类求出直线AB 的斜率不存在、斜率为0时的四边形AMBN 面积，在设出斜率存在且不为0时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程利用弦长公式求得|AB|、|MN|的长度，代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得最值，同时得到边形AMBN 面积最小时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，c=1，∴，又∵a2=b2+c2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，有，，∴；当直线AB的斜率为0时，，∴；当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为，联立得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|===．同理|MN|=，∴|AB|•|MN|=，令t=k2+1（t≥1），，当．即k2+1=2，即k=±1时，．此时设直线AB的方程为y=±（x﹣1）．。

2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．42．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．“a2＞b2”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1345．已知圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）6．函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（，1）C．（1，2） D．[2，+∞）8．已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．9．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π10．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f （x），则实数m的取值范围为（）A．[1，]B．[1，2]C．[，2]D．[，]11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8 B．10 C．12 D．1412．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且|+|=|﹣|，则|+2|=．14．已知α∈（0，π），sinα=，则tan（α﹣）=．15．已知抛物线C1：y=ax2（a＞0）的焦点F也是椭圆C2：+=1（b＞0）的一个焦点，点M，P（，1）分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|+|MF|的最小值为．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知正项等比数列{b n}的前n项和为S n，b3=4，S3=7，数列{a n}满﹣a n=n+1（n∈N+），且a1=b1．足a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD 内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2．（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；（2）求几何体ADG﹣BCE，P﹣EF﹣B的体积．19．（12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．临界值表：参考公式：K2=．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx与g（x）=3﹣的图象在点（1，1）处有相同的切线．（1）若函数y=2（x+m）与y=f（x）的图象有两个交点，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=3（x﹣）+g（x）﹣2f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：F（x2）＜x2﹣1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分[选修4-4：参数方程与极坐标系]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x﹣2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ=（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2016-2017学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4【分析】化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．【解答】解：集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2n＜33}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，2，4}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选：A．【点评】本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．2．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．“a2＞b2”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna＞lnb．即可判断出结论．【解答】解：若lna＞lnb，则a＞b＞0，可得a2＞b2；反之，“a2＞b2”a，b可能为负数，推不出lna＞lnb．∴“a2＞b2”是“lna＞lnb”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【分析】设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．【点评】本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．5．已知圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）【分析】先求出切线的斜率，再利用圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点，可得＞，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==，∴k=±，∵圆（x﹣1）2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有两个交点，∴＞，∴1+＞4，∴e＞2，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．函数f（x）=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用函数的特殊值判断即可．【解答】解：函数f（x）=是奇函数，排除A，D．当x=时，f（）=＞0，函数的图象的对应点在第一象限，排除B．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性，特殊点等等是解题的常用方法．7．已知a＞0且a≠1，如图所示的程序框图的输出值y∈[4，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（，1）C．（1，2） D．[2，+∞）【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，根据程序框图的输出值y∈[4，+∞），分类讨论可得答案．【解答】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，当x≤2时，y=﹣x+6≥4恒成立，当x＞2时，由y=3+log a2≥4得：log a2≥1，解得：a∈（1，2]，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，程序框图，根据已知分析出程序的功能是解答的关键．8．已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+2与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：B．【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．9．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π【分析】先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∴xy•3x=6，∴y=，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为4x+≥3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为=，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积=14π，故选C．【点评】本题考查长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积，考查体积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x=对称，若对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f （x），则实数m的取值范围为（）A．[1，]B．[1，2]C．[，2]D．[，]【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜）的图象在y 轴上的截距为1，∴Asinφ﹣=1，即Asinφ=．∵函数f（x）=Asin（2x+φ）﹣的图象关于直线x=对称，∴2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴A•sin=，∴A=，∴f（x）=sin（2x+）．对于任意的x∈[0，]，都有m2﹣3m≤f（x），∵2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，sin（2x+）∈[﹣，]，∴m2﹣3m≤﹣，求得≤m≤，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，数形结合可得几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下所示：三棱锥A﹣BCD的体积为：××3×4×4=8，四棱锥C﹣AFED的体积为：××（2+4）×2×3=6，故组合体的体积V=6+8=14，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【分析】根据f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，得到f（x）=t+log2016x，结合f（x）是增函数判断a，b，c的大小即可．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数，由题意得∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，则f（x）=t+log2016x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5∴a＞b＞c，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、对数函数的运算以及推理论证能力，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且|+|=|﹣|，则|+2|=5．【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，，由|+|=|﹣|，求出m=1，由此能求出|+2|的值．【解答】解：∵平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴=（﹣1，2+m），=（3，2﹣m），∵|+|=|﹣|，∴1+（2+m）2=9+（2﹣m）2，解得m=1，∴=（﹣2，1），=（﹣3，4），|+2|==5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．14．已知α∈（0，π），sinα=，则tan（α﹣）=﹣或﹣7．【分析】由已知，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα，进而利用两角差的正切函数公式即可计算求值得解．【解答】解：当α∈（0，）时，由sinα=，可得：cosα==，tan=，可得：tan（α﹣）==﹣；当α∈（，π）时，由sinα=，可得：cosα=﹣=﹣，tan=﹣，可得：tan（α﹣）==﹣7．故答案为：﹣或﹣7．（漏解或错解均不得分）【点评】本题主要考查三角函数恒等变换与求值问题，考查分类讨论的思想方法，属于基础题．15．已知抛物线C1：y=ax2（a＞0）的焦点F也是椭圆C2：+=1（b＞0）的一个焦点，点M，P（，1）分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|+|MF|的最小值为2．【分析】先求出椭圆方程，可得焦点坐标，再设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．【解答】解：P（，1）代入椭圆C2：+=1，可得=1，∴b=，∴焦点F（0，1），∴抛物线C1：x2=4y，准线方程为y=﹣1．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为1﹣（﹣1）=2．故答案为2．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BC=BDcosα+CDsinβ，则四边形ABCD周长的取值范围为（3+，3+2）．【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosβsinα=sinαsinβ，进而可求tan，结合范围β∈（0，π），可求，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，基本不等式可求CB+CD≤2，利用两边之和大于第三边可求CB+CD＞，即可得解四边形ABCD的周长的取值范围．【解答】解：∵BC=BDcosα+CDsinβ，∴sin∠BDC=sinβcosα+sinαsinβ，∴sin（α+β）=sinβcosα+sinαsinβ，∴（cosβsinα+cosαsinβ）=sinβcosα+sinαsinβ，∴cosβsinα=sinαsinβ，∴tan，又∵β∈（0，π），∴，根据题意，∠BAD=，由余弦定理，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠BAD=4+1﹣2×2×1×cos=7，又∵BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosβ=（CB+CD）2﹣3CB•CD≥（CB+CD）2﹣=，∴CB+CD≤2，又∵CB+CD＞，∴四边形ABCD的周长AB+CB+CD+DA的取值范围为：（3+，3+2）．故答案为：（3+，3+2）．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用和解三角形的基本知识以及运算求解能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知正项等比数列{b n}的前n项和为S n，b3=4，S3=7，数列{a n}满足a n﹣a n=n+1（n∈N+），且a1=b1．+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）设等比数列{b n}的公比为q，由题意列式求得b1，得到a1，利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（2）直接利用裂项相消法求得数列{}的前n项和．【解答】解：（1）由题意，设等比数列{b n}的公比为q，则，解得．又a n﹣a n=n+1，+1∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=；（2）∵，∴=．【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，是中档题．18．（12分）如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD 内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2．（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；（2）求几何体ADG﹣BCE，P﹣EF﹣B的体积．【分析】（1）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，从而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（2）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC﹣BCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，∴AE⊥平面ABCD，又AE⊂平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，∴ABCD为正方形，又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，∵EF⊂平面ABEG，∴EF⊥BC，又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=，又AG的中点为F，∴∠AEF=．∵∠AEF+∠AEB=，∴EF⊥BE．又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE，又EF⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．=∴V ADC﹣BCE=．∴几何体ADC﹣BCE的体积为4．【点评】本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题．19．（12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品．（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均来自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．临界值表：参考公式：K2=．【分析】（1）利用抽样比，求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）求出基本事件的个数，利用古典概型概率公式求解；（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）各公园幸运之星的人数分别为=3，=4，=2，=1；（2）基本事件总数=15种，这两人均来自乙公园，有=6种，故所求概率为=；（3）K2==7.5＞6.635，∴据此判断能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关．【点评】本题考查分层抽样，考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，知识综合性强．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质、涉及直线与椭圆相交问题，常转化为关于x的一元二次方程，利用△＞0及根与系数的关系、向量相等等基础知识与基本技能方法求解，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx与g（x）=3﹣的图象在点（1，1）处有相同的切线．（1）若函数y=2（x+m）与y=f（x）的图象有两个交点，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=3（x﹣）+g（x）﹣2f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：F（x2）＜x2﹣1．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出f（x）的解析式，设T（x）=f（x）﹣2x﹣2m=lnx﹣x﹣2m，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出F（x）的导数，等价于方程x2﹣2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，根据函数的单调性证明结论即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1+，g′（x）=，根据题意得，解得：；∴f（x）=x+lnx，设T（x）=f（x）﹣2x﹣2m=lnx﹣x﹣2m，则T′（x）=﹣1，当x∈（0，1）时，T′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，T′（x）＜0，∴T（x）max=T（1）=﹣1﹣2m，∵x→0时，T（x）→﹣∞，x→+∞时，T（x）→﹣∞，故要使两图象有2个交点，只需﹣1﹣2a＞0，解得：a＜﹣，故实数a的范围是（﹣∞，﹣）；（2）证明：由题意，函数F（x）=x﹣﹣2lnx，其定义域是（0，+∞），F′（x）=，令F′（x）=0，即x2﹣2x+m=0，其判别式△=4﹣4m，函数F（x）有2个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+m=0在（0，+∞）内有2个不等实根，又x1x2＞0，故0＜m＜1，∴x2=1+且1＜x2＜2，m=﹣+2x2，F （x2）﹣x2+1=x2﹣2lnx2﹣1，令h（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则h′（t）=，由于1＜t＜2，则h′（t）＜0，故h（t）在（1，2）递减，故h（t）＜h（1）=1﹣2ln1﹣1=0，∴F（x2）﹣x2+1=h（x2）＜0，∴F（x2）＜x2﹣1．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力、函数与方程思想．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分[选修4-4：参数方程与极坐标系]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x﹣2y=0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ=（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（I）根据已知中圆C的直角坐标系方程，可得圆C的极坐标方程；先由直线l的参数方程消参得到直线l的普通方程，进而可得直线l的极坐标方程（Ⅱ）已知射线OM与圆C的交点为O，P，将θ=代和，可得P，Q点的极坐标，进而得到线段PQ的长．【解答】解：（I）∵圆C的直角坐标系方程为x2+y2+2x﹣2y=0，∴圆C的极坐标方程为：ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即ρ+2cosθ﹣2sinθ=0，即，∵直线l的参数方程为（t为参数），消参得：x﹣y+1=0，∴直线l的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，即sinθ﹣cosθ=；（Ⅱ）当θ=时，|OP|==2，故点P的极坐标为（2，），|OQ|==，故点Q的极坐标为（，），故线段PQ的长为：．【点评】本题考查的知识点是参数方程和极坐标，熟练掌握参数方程与普通方程及极坐标方程之间的转化方式，是解答的关键．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【分析】（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围（Ⅱ）图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，即可求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．【点评】本题主要考查绝对值函数，考查恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{4，5}2．（5分）设（x，y∈R，i为虚数单位），则模|x﹣yi|=（）A．1 B．C．D．3．（5分）若实数x，y满足，则使得z=y﹣2x取得最大值的最优解为（）A．（3，0） B．（3，3） C．（4，3） D．（6，3）4．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且，则a n=（）A．B．C．D．5．（5分）去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n是（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．508．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是减函数D．函数f（x）的图象关于直线对称9．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表气温（°C）2016124用电量14284462（度）由表中数据得回归直线方程y=x+中=﹣3，预测当气温为2℃时，用电量的度数是（）A．70 B．68 C．64 D．6210．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”B．“x=2”是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件C．若“ｐ∧q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π12．（5分）已知函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则m=．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于．15．（5分）已知θ为第二象限角，且，则sinθ+cosθ＝．16．（5分）已知函数f（x）=，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f （ln2）]，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=1，a4=﹣5，数列{b n}满足b1=1，b4=21，且{a n+b n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知如图正四面体SABC的侧面积为，O为底面正三角形ABC 的中心．（1）求证：SA⊥BC；（2）求点O到侧面SABC的距离．20．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为n（n∈N），则当天的利润y（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率．（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？21．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立+4=0，直线l的方程为x 极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ﹣y﹣1=0．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+m|，m∈R．（1）当m=﹣4时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{4，5}【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）设（x，y∈R，i为虚数单位），则模|x﹣yi|=（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵，∴x=y=，则|x﹣yi|=||=．故选：D．3．（5分）若实数x，y满足，则使得z=y﹣2x取得最大值的最优解为（）A．（3，0） B．（3，3） C．（4，3） D．（6，3）【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最值，由，解得，即A（4，3），即z=y﹣2x取得最大值的最优解为（4，3）．故选：C．4．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：由，取n=1，得，即．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，即（n≥2）．∴数列{a n}是以为首项，以为公比的等比数列，则．故选：D．5．（5分）去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵去A城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A城市旅游，每位同学选择每一条线路的可能性相同，∴这两位同学选择同一条路线的概率为p==．故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得：a=1，A=1，S=0，n=1，S=2；不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=2，n=2，S=，不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=4，n=3，S=，不满足条件S≥10，执行循环体，a=，A=8，n=4，S=，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：B．7．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=（）A．8 B．2 C．﹣2 D．50【解答】解：f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+3）=f（x），当时，f（x）=2x2，则f（5）=f（2）=f（﹣1）=f（1）=2．故选：B．8．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是减函数D．函数f（x）的图象关于直线对称【解答】解：函数，f（x）的最小正周期为T==π，故A正确；当x=时，y=cos（2×﹣）=0，∴f（x）的图象关于点对称，B正确；x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，f（x）=cos（2x﹣）不是减函数，C错误；当x=时，y=cos（2×﹣）=为最大值，∴f（x）的图象关于x=对称，D正确．故选：C．9．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表气温（°C）2016124用电量14284462（度）由表中数据得回归直线方程y=x+中=﹣3，预测当气温为2℃时，用电量的度数是（）A．70 B．68 C．64 D．62【解答】解：由表格数据得=×（20+16+12+4）=13，=×（14+28+44+62）=37；又回归直线方程y=x+中=﹣3，且过样本中心点（，），所以37=﹣3×13+，解得=76，所以y=﹣3x+76；当x=2时，y=﹣3×2+76=7，即预测当气温为2℃时，用电量的度数是70（度）．故选：A．10．（5分）下列判断错误的是（）A．命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件B．“x=2”C．若“ｐ∧q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”【解答】解：命题“?x＞1，x2﹣1＞0”的否定是“?x＞1，x2﹣1≤0”，故A正确；是“ｘ2﹣x﹣2=0”的充分不必要条件，故B “ｘ2﹣x﹣2=0”?“x=2，或x=﹣1”，故“x=2”正确；若“ｐ∧q”为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假命题，故C错误；命题“若a?b=0，则a=0或b=0”的否命题为“若a?b≠0，则a≠0且b≠0”，故D 正确；故选：C．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于（）A．5πB．20πC．8πD．16π【解答】解：设棱柱的高为h，则，∴h=4．∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴BC=如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OA，由题意，AP=?=1，OP=2，∴OA==，所以球的表面积为：4πＲ2=20π．故选：B．12．（5分）已知函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：函数与g（x）=cosx+log2（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则转化为函数f1（x）=2x﹣（x＜0）与g′（x）=log2（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，f1（x）=2x﹣（x＜0）只需将y=2x的图象向下平移，g1（x）=log2（x+a）需要将y=log2x的图象向左或右平移|a|，分析可得，a＜，故a的取值范围是（﹣∞，），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则m=﹣．【解答】解：∵向量，，且，∴，解得m=﹣．故答案为：．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于9π．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆锥，其底面面积S==，高h==4，故几何体的体积V==9π；故答案为：9π15．（5分）已知θ为第二象限角，且，则sinθ+cosθ＝．【解答】解：∵，∴=3，∴tanθ＝﹣2，∵θ为第二象限角，∴sinθ＝，cosθ＝﹣，∴sinθ+cosθ＝，故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=，若m＞0，n＞0，且m+n=f[f（ln2）]，则的最小值为3+2．【解答】解：函数f（x）=，m+n=f[f（ln2）]=f（e ln2﹣1）=f（2﹣1）=log33=1，则=（m+n）（）=3++≥3+2=3+2，当且仅当n=m时，取得最小值3+2．故答案为：3+2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=1，a4=﹣5，数列{b n}满足b1=1，b4=21，且{a n+b n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{a n+b n}的公比为q，∴，∴a n=a1+（n﹣1）d，=1+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+3．∵a1+b1=2，a4+b4=16，∴，∴q=2，∴，∴．（2）S n=b1+b2+b3+…+b n=（21﹣1）+（22+1）+（23+3）+…+（2n+2n﹣3）=（21+22+23+…+2n）+（﹣1+1+3+…+2n﹣3）==2n+1+n2﹣2n﹣218．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）根据正弦定理得：，∴，∴，∵C∈（0，π），∴sinC＞0，∴，即，∵B∈（0，π），∴，（2）∵，∴ac=8，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴12=a2+c2﹣8，即a2+c2=20，∴，∴△ABC的周长为：．19．（12分）已知如图正四面体SABC的侧面积为，O为底面正三角形ABC 的中心．（1）求证：SA⊥BC；（2）求点O到侧面SABC的距离．【解答】（1）证明：取BC的中点D，连结AD，SD，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵△SBC是等边三角形，D是BC的中点，∴SD⊥BC，∵AD∩SD=D，AD，SD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，∵SA?平面SAD，∴SA⊥BC；（2）解：由（1）可知BC⊥平面SAD，∵BC?平面SBC，∴平面SAD⊥平面SBC，∵平面SAD∩平面SBC=SD，过点O作OE⊥SD，则OE⊥平面SBC，∴OE就是点O到侧面SBC的距离．由题意可知点O在AD上，设正四面体SABC的棱长为a，∴，∵正四面体SABC的侧面积为，∴，得a=8．在等边三角形ABC中，D是BC的中点，∴．同理可得．∵O为底面正三角形ABC的中心，∴，，∴在Rt△SAO中，，由，得：，∴，即点O到侧面SBC的距离为．20．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为n（n∈N），则当天的利润y（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率．（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？【解答】解：（1）当n≥17时，Y=17×（100﹣50）=850，当n≤16时，Y=100n﹣17×50=100n﹣850，∴当天的利润y=．n∈N．（2）①由（1）得当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式为：②设“当天利润不低于600”为事件A，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”∴所以当天的利润不低于600元的概率为：（3）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：；若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：，∵，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．21．（12分）设函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）讨论函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）∵==当0＜a＜1时，令f'（x）＜0得a＜x＜1；令f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，所以函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）；当a=1时，恒成立，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞1时，令f'（x）＜0得1＜x＜a；令f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，+∞），单调减区间为（1，a）．（2）由（1）可知，当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1），所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，当a=1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，又注意到，f（4）=ln4＞0所以函数f（x）有唯一零点；当a＞1时，函数f（x）的单调递增是（0，1）和（a，+∞）上，单调递减是（1，a）上，所以，，注意到f（2a+2）=aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有唯一零点，综上，函数f（x）有唯一零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立+4=0，直线l的方程为x 极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ﹣y﹣1=0．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．+4=0及【解答】解：（1）由ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ得：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，即（x﹣1）2+（y ﹣2）2=1，所以曲线C的参数方程为：；（2）设点P（1+cosθ，2+sinθ）（θ∈R），则点P到直线l的距离为：==所以当时，点，此时，即，k∈z．所以，所以点P坐标为，点P到直线l的距离最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+m|，m∈R．（1）当m=﹣4时，解不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣4时，f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣4|，x＜1时，不等式可化为1﹣x+2x﹣4＜0，∴x＜3，∴x＜1；1≤x≤2时，不等式可化为x﹣1+2x﹣4＜0，∴x＜，∴1≤x＜，x＞2时，不等式可化为x﹣1+4﹣2x＜0，∴x＞3，∴x＞3，综上所述，不等式的解集为{x|x＜或x＞3}；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x﹣1＜|2x+m|，∴m＞﹣x﹣1或m＜1﹣3x，∴m≥﹣2．第21页（共21页）。

2016-2017学年青海省高三（上）期末试卷（文科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．（5分）设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i3．（5分）已知平面向量，，且，则=（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）4．（5分）点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或5．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．66．（5分）如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞67．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．08．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±29．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]10．（5分）设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）12．（5分）已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= ．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取名学生．16．（5分）设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=bc，cosAcosB=．（1）求角A和角B的大小；（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及单调递减区间．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，∠EBD=45°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求该几何体的体积．19．（12分）为了解某班学生喜爱数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关？说明你的理由．提示：K2=20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率，AF2与x轴垂直，且|AF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4－5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．2016-2017学年青海省高三（上）期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•南关区校级期末）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．（5分）（2016秋•南关区校级期末）设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解：==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016秋•南关区校级期末）已知平面向量，，且，则=（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【分析】先根据向量的平行求出m的值，再根据向量的向量的坐标运算计算即可．【解答】解：∵，，且，∴﹣1×m=2×2，解得，m=﹣4，∴（2，﹣4），∴=3（﹣1，2）+2（2，﹣4）=（﹣3，6）+（4，﹣8）=（1，﹣2），故选：C【点评】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．4．（5分）（2016秋•南关区校级期末）点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，a＞0时，准线方程为：y=﹣，a＜0时准线方程为：y=点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+=2，解得a=，﹣﹣1=2，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5．（5分）（2016秋•南关区校级期末）已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．6【分析】由已知中的三视图，求出棱锥的底面积和高，进而可得棱锥的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得：棱锥的底面积S=×2×4=4；高h=×2=，故棱锥的体积V==4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6．（5分）（2016•中山市模拟）如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，依次将按照程序依次进行运行即可．7．（5分）（2016秋•南关区校级期末）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】利用函数的周期性结合函数在在区间（﹣2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．【解答】解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）（2016秋•南关区校级期末）已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±2【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a 的值．【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，﹣1）点都适合直线的方程，a=±1；故选C．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．9．（5分）（2016秋•南关区校级期末）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．10．（5分）（2016秋•南关区校级期末）设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【分析】把选项中的符号语言还原为几何图形，根据空间中的平行与垂直关系，即可得出正确的选项．【解答】解：对于A，当直线m，n与平面α所成的角相等时，不一定有m∥n，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m⊂α，n⊂β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选：D．【点评】本题考查了几何符号语言的应用问题，解题时应注意符号语言与几何图形的应用，是基础题目．11．（5分）（2016秋•南关区校级期末）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）【分析】求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；法二：问题转化为m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函数y=x+≥2，故m≤2；故选：C．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．12．（5分）（2016秋•南关区校级期末）已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的图象求解函数的零点个数．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F（x）=xf（x）﹣的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016秋•南关区校级期末）若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= 114 ．【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列{an }的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6，则S19==19a10=114，故答案为：114．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2016秋•南关区校级期末）若x，y满足约束条件，则的取值范围是[﹣，+∞）．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率的几何意义利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得，即C（2，﹣1），则CD的斜率z==﹣，即的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．15．（5分）（2009•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40 名学生．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．16．（5分）（2016秋•南关区校级期末）设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．【分析】利用y=x2在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵y=x2，∴y'=2x．x=2，y'=4∵y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，∴曲线（x＞0）上点P处的切线斜率为﹣．又y'=﹣，设点P（x0，y）∴﹣=﹣，∴x0=±2，∵x＞0，∴x=2，∴y=，∴点P．故答案为．【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2016秋•南关区校级期末）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=bc，cosAcosB=．（1）求角A和角B的大小；（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及单调递减区间．【分析】（1）利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，利用两角和差的余弦公式化简cosAcosB=，可得B的值．（2）利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）△ABC中，∵a2﹣（b﹣c）2=bc，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，∴cosA==，∴A=．∵cosAcosB=，∴2cosAcosB=sinA+cosC，∴cosB=+cos（﹣B），即 cosB=+cos•cosB+sin sinB，即cosB=1+sinB，∴B=．综上可得，．（2）∵C=﹣B=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的余弦公式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．18．（12分）（2016秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，∠EBD=45°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求该几何体的体积．【分析】（I）四边形ABCD是正方形，可得AC⊥DB．由DE⊥平面ABCD，可得DE⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（II）四边形ABCD是边长为2的正方形，可得DB=2，又∠EBD=45°，可得DE=DB=2．又DE=2AF，可得AF=．利用线面垂直的性质定理可得AF⊥AD．四边形ADEF的面积S，利用已知可得AB⊥平面ADEF，V四棱锥ADEF =．V三棱锥E﹣BCD=，即可得出．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥DB．∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE．（II）解：四边形ABCD是边长为2的正方形，∴DB=2，又∠EBD=45°，∴DE=DB=2．∵DE=2AF，∴AF=．∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴DE⊥AD，AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD．四边形ADEF的面积S==3．∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AB．又AB⊥AD，AD∩DE=D，∴AB⊥平面ADEF，===2．∴V四棱锥B﹣ADEFV===．三棱锥E﹣BCD∴该几何体的体积=2+=．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016秋•南关区校级期末）为了解某班学生喜爱数学是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关？说明你的理由．提示：K2=【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为，可得喜爱数学的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱数学的学生的概率为，可得喜爱数学的学生为30人，故可得列联表补充如下：（2）∵K2=≈8.333＞7.879∴有99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关．【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•南关区校级期末）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F 2，A点在椭圆上，离心率，AF2与x轴垂直，且|AF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）由题意求出椭圆方程，（2）然后求出和OA平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA的距离转化为原点O到切线的距离，则三角形AOB面积的最大值可求．【解答】解（1）：由题意，，a2=b2+c2解得a=2，b=c=2，则椭圆的方程为：（2）要使△AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远．设与OA平行的直线方程为y=．由消去y并化简得．x2+x+b2﹣4=0．由△=0得b=±2，不妨取b＞0，∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=，则B到直线OA的距离等于O到直线：y=，的距离d，d=，又|OA|=，△AOB面积的最大值s=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．21．（12分）（2016秋•南关区校级期末）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）（2016秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【分析】（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣3=0，直线l的参数方程为（t为参数），将参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，整理得t2﹣8tcosα+12=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣48≥0，∴cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线上任意一点，∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2sin（θ+），∴x+y的取值范围是[1﹣2，1+2]．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4－5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2016秋•南关区校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立⇔1﹣2m≤f（x）=﹣3，解之即可求min得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，∴函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，=﹣3，∴1﹣2m≤f（x）min∴m≥2．即m的取值范围为[2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．21页。

2016-2017学年江西省新余一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，+∞）3．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∩A=（）A．[0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，0]D．以上都不对4．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log x3＜log y3 C．log4x＜log4y D．5．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到6．下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．幂函数f（x）=mx m﹣2在其定义域上为减函数D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．8．平面向量与的夹角为30°，已知=（﹣1，），||=2，则|+|=（）A． B． C． D．9．函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，2）C．（1，2]D．（，1）10．函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），则当x∈（3，4）时，f（x）为（）A．增函数且f（x）＞0 B．增函数且f（x）＜0 C．减函数且f（x）＞0 D．减函数且f（x）＜011．已知命题p：函数f（x）=为R上的单调函数，则使命题p成立的一个充分不必要条件为（）A．a∈（﹣1，0）B．a∈[﹣1，0）C．a∈（﹣2，0）D．a∈（﹣∞，﹣2）12．已知定义在区间[0，]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（）A．B． C． D．3π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知对不同的a值，函数f（x）=2+a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是．14．若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数在点A处的切线方程为．15．已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是．16．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R）在区间（﹣2，2）不单调，则a 的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知sin（π﹣α）=，α∈（0，）．（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的单调递增区间．18．为检验寒假学生自主学生的效果，级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是物理成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的x值及平均成绩；（2）从分数在[70，80）中选5人记为a1，a2，…，a5，从分数在[40，50）中选3人，记为b1，b2，b3，8人组成一个学习小组现从这5人和3人中各选1人做为组长，求a1被选中且b1未被选中的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（3，2）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设与直线OP（O为坐标原点）平行的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与x轴围成一个等腰三角形．21．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．2016-2017学年江西省新余一中高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数z=（其中i是虚数单位），那么z的共轭复数是（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴．故选：A．2．函数的定义域是（）A．B．C．D．[0，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得x＞﹣且x≠0，故函数的定义域为，故选：B．3．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁R B）∩A=（）A．[0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，0]D．以上都不对【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合A为对数函数的定义域，集合B为指数函数的值域，分别解出再进行运算即可．【解答】解：由2x﹣x2＞0，得x（x﹣2）＞0，即0＜x＜2，故A={x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，故B={y|y＞1}，∁R B={y|y≤1}，则（∁R B）∩A=（0，1]故选B4．若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log x3＜log y3 C．log4x＜log4y D．【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的单调性，y=log4x为单调递增函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log4x为增函数∴log4x＜log4y故选C．5．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由于它的最小正周期为π，故A正确；当x=时，f（x）=2sin（2x﹣）﹣1=1，函数取得最大值，故f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，故f（x）在区间[0，]上是增函数，故C 正确．由于把g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x ﹣）﹣1的图象，故D错误，故选：D．6．下列判断错误的是（）A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题B．命题“∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．幂函数f（x）=mx m﹣2在其定义域上为减函数D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题；B，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；C，函数f（x）=mx m﹣2为幂函数，则没m=1，f（x）=mx m﹣2=x﹣1，单调性是局部性质，必须指明区间；D，原命题的否命题是”若am2≥bm2，则a≥b”，其中m可能为0．【解答】解：对于A，p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，故正确；对于B，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；对于C，函数f（x）=mx m﹣2为幂函数，则没m=1，f（x）=mx m﹣2=x﹣1在（0，+∞），（∞，0）上为减函数，故错；对于D，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是”若am2≥bm2，则a≥b”，其中m可能为0，为真命题，故正确．故选：C．7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．8．平面向量与的夹角为30°，已知=（﹣1，），||=2，则|+|=（）A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出||，再由，展开后得答案．【解答】解：由=（﹣1，），得，又||=2，且向量与的夹角为30°，∴=，∴|+|=．故选：D．9．函数f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，2）C．（1，2]D．（，1）【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得t=2﹣ax2在（0，1）上为减函数，且t＞0，a＞1，即，由此求得a的范围【解答】解：由题意可得a＞0，a≠1，设t=2﹣ax2，则t=2﹣ax2在（0，1）上为减函数，且t＞0．再根据f（x）=log a（2﹣ax2）在（0，1）上为减函数，可得a＞1，故有，求得1＜a≤2，故选：C．10．函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），则当x∈（3，4）时，f（x）为（）A．增函数且f（x）＞0 B．增函数且f（x）＜0 C．减函数且f（x）＞0 D．减函数且f（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质、函数图象的对称轴求出函数的周期，由题意、函数的奇偶性、周期性、对称性画出函数的图象，由图象可得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且图象关于x=1对称，∴f（x）=﹣f（﹣x），f（2﹣x）=f（x），∴﹣f（x﹣2）=f（x），则f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x），∴函数的周期是4，又当x∈（0，1）时，f（x）=ln（x+1），画出函数的图象如图所示：由图可得，当x∈（3，4）时，f（x）为增函数且f（x）＜0，故选B．11．已知命题p：函数f（x）=为R上的单调函数，则使命题p成立的一个充分不必要条件为（）A．a∈（﹣1，0）B．a∈[﹣1，0）C．a∈（﹣2，0）D．a∈（﹣∞，﹣2）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出使函数f（x）=为R上的单调函数的a的范围，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若函数f（x）=为R上的单调增函数，则，此时不存在满足条件的a值；若函数f（x）=为R上的单调减函数，则，解得：a∈[﹣1，0），故使命题p成立的一个充分不必要条件为a∈（﹣1，0），故选：A．12．已知定义在区间[0，]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，当x时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（）A．B． C． D．3π【考点】余弦函数的图象；函数的图象．【分析】作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为S，即可得到答案【解答】解：依题意作出在区间[0，]上的简图，当直线y=a与函数y=f（x）的图象有交点时，则可得﹣1≤a≤0①当＜a≤0，f（x）=a有2个解，此时S=②当时，f（x）=a有3个解，此时S==③当﹣1＜a时，f（x）=a有4个交点，此时S==3π④a=﹣1时，f（x）=a有2个交点，此时S==故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知对不同的a值，函数f（x）=2+a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（1，3）．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点P的坐标【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=2+a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位．则（0，1）点平移后得到（1，3）点．则P点的坐标是（1，3）故答案为（1，3）14．若幂函数f（x）的图象经过点，则该函数在点A处的切线方程为4x﹣4y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出幂函数的解析式，根据幂函数f（x）的图象经过点，求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在A处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：设f（x）=xα∵幂函数f（x）的图象经过点，∴=α∴α=，∴f（x）=，∴f′（x）=当x=时，f′（）=1，∴函数在点A处的切线方程为y﹣=x﹣，即4x﹣4y+1=0．故答案为：4x﹣4y+1=0．15．已知命题，命题q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0）若非p是非q的必要不充分条件，那么实数m的取值范围是[4，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先求出非p、非q为真时，m的范围，再利用非p是非q的必要不充分条件，可求实数m的取值范围．【解答】解：由题意，，∴或x≥1；q：x2+2x+1﹣m≤0（m＞0），∴¬q：x2+2x+1﹣m＞0，∴（x+1）2＞m，解得或∵¬p是¬g的必要不充分条件，∴，∴m≥4．故实数m的取值范围是[4，+∞）故答案为：[4，+∞）16．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R）在区间（﹣2，2）不单调，则a 的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．【解答】解：由题意可得f′（x）=3x2+（2﹣2a）x﹣a（a+2）=0在区间（﹣2，2）上有解，故有①，或f′（﹣2）f（2）＜0 ②．可得，a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．已知sin（π﹣α）=，α∈（0，）．（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的单调递增区间．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的单调性．【分析】通过条件求出sinα=，cosα=，（1）利用二倍角的正弦，余弦的升角降次，直接求出sin2α﹣cos2的值．（2）化简函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x为sin（2x﹣），借助正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=．又∵α∈（0，），∴cosα=．（1）sin2α﹣cos2=2sinαcosα﹣=2××﹣=．（2）f（x）=×sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+π，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+π]，k∈Z．18．为检验寒假学生自主学生的效果，级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是物理成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中的x值及平均成绩；（2）从分数在[70，80）中选5人记为a1，a2，…，a5，从分数在[40，50）中选3人，记为b1，b2，b3，8人组成一个学习小组现从这5人和3人中各选1人做为组长，求a1被选中且b1未被选中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出x及平均成绩．（2）从这5人和3人中各选1人做为组长，先求出基本事件总数，再求出a1被选中且b1未被选中包含的基本事件个数，由此能求出a1被选中且b1未被选中的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：×3++x+×10=1，平均成绩=45××10+55××10+65××10+75××10+85××10+95××10=74．（2）从分数在[70，80）中选5人记为a1，a2，…，a5，从分数在[40，50）中选3人，记为b1，b2，b3，8人组成一个学习小组，现从这5人和3人中各选1人做为组长，基本事件总数n=5×3=15，a1被选中且b1未被选中包含的基本事件个数m=1×2=2，∴a 1被选中且b 1未被选中的概率p==．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1=AB=6，D 为AC 的中点．（1）求证：直线AB 1∥平面BC 1D ；（2）求证：平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点．可得DO 为△AB 1C 中位线，A 1B ∥OD ，结合线面平行的判定定理，得A 1B ∥平面BC 1D ；（2）由AA 1⊥底面ABC ，得AA 1⊥BD ．正三角形ABC 中，中线BD ⊥AC ，结合线面垂直的判定定理，得BD ⊥平面ACC 1A 1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．【解答】（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 中点，得DO 为△AB 1C 中位线，∴A 1B ∥OD ．∵OD ⊂平面AB 1C ，A 1B ⊄平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D ；（2）证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD ，∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵BD ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）解：由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，∴S △BCD ==，∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =••6=9． 20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点P （3，2）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设与直线OP （O 为坐标原点）平行的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：直线PA ，PB 与x 轴围成一个等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：， =1，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出．（2）设直线l 的方程为2x ﹣3y +t=0（t ≠0），将直线方程代入椭圆方程得：8x 2+4tx +t 2﹣72=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式只要证明：k AP +k BP =0即可证明直线PA ，PB 与x 轴围成等腰三角形．【解答】（1）解：由题意可得：， =1，a 2=b 2+c 2，联立解得：a2=18，b=3．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线l的方程为2x﹣3y+t=0（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程得：8x2+4tx+t2﹣72=0，△＞0⇒0＜|t|＜12，∴，，∵k AP+k BP=+=，∴分子=（x2﹣3）+=+（x1+x2）﹣2t+12=+﹣2t+12=0，∴k AP+k BP=0，∴k AP=﹣k BP，∴直线PA、PB与x轴所成的锐角相等，故围成等腰三角形．21．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：x（0，）（，e]g′（x）﹣0 +g（x）单调减最小值单调增所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线c1：（α为参数）．（Ⅰ）求曲线c1的普通方程；（Ⅱ）若点M在曲线C1上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【分析】（1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos2α+sin2α=1消参数得到曲线C1的普通方程；（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出距离的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴cosα=，sinα=，∴曲线C1的普通方程是：．（Ⅱ）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0．点M到曲线C的距离为，（）．∴α﹣φ=0时，，此时．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|，即|m﹣2|=4，解得实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集M=（﹣∞，m﹣2]或[m+2，+∞），结合[2，4]⊆M，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|因为函数f（x）的值域为[﹣4，4]，所以|m﹣2|=4，即m﹣2=﹣4或m﹣2=4所以实数m=﹣2或6．…（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，解得：x≤m﹣2或x≥m+2，即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=[m+2，+∞），∵[2，4]⊆M，∴m+2≤2⇒m≤0或m﹣2≥4⇒m≥6所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．…2017年1月8日。

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}，那么A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜0或x＞2} 2．（5分）在复平面内，复数z=i（1+i），那么|z|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知实数x，y满足那么z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ），x∈R（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，如图所示．那么f（x）的解析式为（）A．B．C．D．5．（5分）下列四个命题：①?x0∈R，使；②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx＜0”；③如果a，b∈R，且a＞b，那么a2＞b2；的逆否命题为真命题．④“若α=β，则sinα=sinβ”其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在7．（5分）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①估计样本的中位数为4800元；②如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税；③根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至5200元．其中正确结论的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）对于给定的正整数数列{a n}，满足a n+1=a n+b n，其中b n是a n的末位数字，下列关于数列{a n}的说法正确的是（）A．如果a1是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}必有相同的项B．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}必没有相同的项C．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}只有有限个相同的项D．如果a1不是5的倍数，那么数列{a n}与数列{2n}有无穷多个相同的项．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．。

2016-2017学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|＜0}，集合B=N，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0} 2．（5分）已知命题q：∀x∈R，x2+1＞0，则¬q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞03．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（）A．5B．C．D．6．（5分）已知cosα﹣sinα=（π＜α＜），则=（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）已知函数f（x）=存在最小值，则当实数a取最小值时，f[f（﹣2）]=（）A．﹣2B．4C．9D．168．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a1=2，=21，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．或D．或9．（5分）已知函数y=log a（x﹣3）﹣1（a＞0且a≠1）图象过定点P，当直线mx﹣ny﹣1=0（m＞0，n＞0）过点P时，则+的最小值为（）A．4B．2C．9D．1810．（5分）已知函数f（x）=，若存在两对关于y轴对称的点分别再直线y=k（x+1）（k≠0）和函数y=f（x）的图象上，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：3：5，现用分层抽样的方法抽得容量为n的样本进行质量检测，已知抽得乙种型号的产品12件，则n=．12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，则•=．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为．14．（5分）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为．15．（5分）已知点A时抛物线M：x2=2py（p＞0）与圆N：（x+2）2+y2=r2在第二象限的一个公共点，满足点A到抛物线M准线的距离为r，若抛物线M上动点到其准线的距离与到点N的距离之和最小值为2r，则p=．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．16．（12分）设函数f（x）=2sin（2ωx+）﹣4cos2ωx+3（0＜ω＜2），且y=f （x）的图象的一条对称轴为x=．（1）求ω的值并求f（x）的最小值；=，（2）△ABC中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a=1，S△ABC f（A）=2，求△ABC的周长．17．（12分）某校高三共有男生400名，从所有高三男生中随机抽取20名男生测量身高（单位：cm）作为样本，得到频率分布表与频率分布直方图1（部分）如表：分组频数频率[150，160）1[160，170）n1f1[170，180）n2f2[180，190）5[190，200]3（Ⅰ）求n1、n2、f1、f2；（Ⅱ）试估计身高不低于180cm的该校高三男生人数，并说明理由；（Ⅲ）从样本中不低于180cm的男生身高，绘制成茎叶图（图2）；现从身高不低于185cm的男生中任取3名参加选拔性测试，求至少有两位身高不低于190cm的概率．18．（12分）如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥O﹣PBC的体积．19．（12分）已知数列{a n}满足首项a1=2，a n=2a n﹣1+2n（n≥2）．（Ⅰ）证明：{}为等差数列并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log，记数列{}的前n项和为T n，设角B恒成立，求角B的取值范是△ABC的内角，若sinBcosB＞T n，对于任意n∈N+围．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知A、B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，过原点O做斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于C、D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣x，g（x）=lnx．（Ⅰ）求函数y=xg（x）的单调区间；（Ⅱ）若t∈[，1]，求y=f[xg（x）+t]在x∈[1，e]上的最小值（结果用t表示）；（Ⅲ）关于x的不等式g（x）﹣f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．2016-2017学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={x|＜0}，集合B=N，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0}【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）已知命题q：∀x∈R，x2+1＞0，则¬q为（）A．∀x∈R，x2+1≤0B．∃x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＞0【解答】解：∵命题q：∀x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故选：C．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．4．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0且当x→+∞时，y→0，故选：A．5．（5分）函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（）A．5B．C．D．【解答】解：由于y=x2，则y′=2x，∴k=y′|x=1=2，∵函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，∴=2，∴e===，故选：B．6．（5分）已知cosα﹣sinα=（π＜α＜），则=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵cosα﹣sinα=，平方可得1﹣2si nαcosα=，∴2sinαcosα=．又α∈（π，），故sinα+cosα=﹣=﹣=﹣，∴===．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=存在最小值，则当实数a取最小值时，f[f（﹣2）]=（）A．﹣2B．4C．9D．16【解答】解：∵函数f（x）=存在最小值，∴﹣1+a≥12，解得a≥2．则当实数a取最小值2时，x＜1时，f（x）=﹣x+2．∴f（﹣2）=4．f[f（﹣2）]=f（4）=42=16．故选：D．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a1=2，=21，则数列{}的前5项和为（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项为S n，a1=2，=21，∴===21，即=（1+q+q2）（1﹣q+q2）=（1+q2）2﹣q2=21，整理，得q4+q2﹣20=0，解得q=±2．当q=2时，，数列{}的前5项和为当q=﹣2时，a n=2×（﹣2）n﹣1，数列{}的前5项和为=．∴数列{}的前5项和为或．故选：C．9．（5分）已知函数y=log a（x﹣3）﹣1（a＞0且a≠1）图象过定点P，当直线mx﹣ny﹣1=0（m＞0，n＞0）过点P时，则+的最小值为（）A．4B．2C．9D．18【解答】解：当x=4时，y=log a（x﹣3）﹣1=﹣1恒成立，故函数y=log a（x﹣3）﹣1（a＞0且a≠1）图象过定点P（4，﹣1），由直线mx﹣ny﹣1=0（m＞0，n＞0）过点P得：4m+n=1，故+=（+）（4m+n）=4+1++≥5+2=9，即+的最小值为9，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=，若存在两对关于y轴对称的点分别再直线y=k（x+1）（k≠0）和函数y=f（x）的图象上，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：设（x0，y0）在y=k（x+1）上，则（x0，y0）关于y轴对称点为（﹣x0，y0），∴y0=k（x0+1），y0=，∴k（x0+1）==∴k=﹣＜0或x0=﹣1，则x0=﹣1为其中一个根，又另一个根不为﹣1，则k≠﹣1，故k＜0且k≠﹣1，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）某工厂生产甲乙丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：3：5，现用分层抽样的方法抽得容量为n的样本进行质量检测，已知抽得乙种型号的产品12件，则n=36．【解答】解：某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为1：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则乙被抽的抽样比为：=，样本中乙型产品有12件，所以n=12÷=36，故答案为36．12．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，则•=3．【解答】解：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，如图所示；则O（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），E为AB的中点，∴E（1，0）；=（﹣1，2），=（1，2）；∴•=﹣1×1+2×2=3．故答案为：3．13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．化目标函数z=x+y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．（5分）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为16π．【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，底面外接球的半径r==，球心到底面的距离d==，故该“堑堵”的外接球的半径R==2，故该“堑堵”的外接球的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π15．（5分）已知点A时抛物线M：x2=2py（p＞0）与圆N：（x+2）2+y2=r2在第二象限的一个公共点，满足点A到抛物线M准线的距离为r，若抛物线M上动点到其准线的距离与到点N的距离之和最小值为2r，则p=．【解答】解：圆圆N：（x+2）2+y2=r2圆心N（﹣2，0），半径为r，|AN|+|AF|=2r，由抛物线M上一动点到其准线与到点N的距离之和的最小值为2r，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点N的距离之和的最小值为2r，可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF的中点，由N（﹣2，0），F（0，），可得A（﹣1，），代入抛物线的方程可得，1=2p•，解得p=，三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．16．（12分）设函数f（x）=2sin（2ωx+）﹣4cos2ωx+3（0＜ω＜2），且y=f （x）的图象的一条对称轴为x=．（1）求ω的值并求f（x）的最小值；=，（2）△ABC中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a=1，S△ABC f（A）=2，求△ABC的周长．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（2ωx+）﹣4cos2ωx+3（0＜ω＜2）=2（sin2ωx+cos2ωx）﹣2（1+cos2ωx）+3=sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin（2ωx+），由y=f（x）的图象的一条对称轴为x=，可得2ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=3k+1，k∈Z，由0＜ω＜2，可得ω=1；当2x+=2kπ﹣，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z，f（x）=1+2sin（2x+）取得最小值1﹣2=﹣1；（2）由f（A）=1+2sin（2A+）=2，可得sin（2A+）=，由A为三角形的内角，可得2A+∈（，），即有2A+=，解得A=，=，由a=1，S△ABC可得bcsinA=，即为bc=1，①由a2=b2+c2﹣2bccosA，即为b2+c2=2②可得b+c===2，则△ABC的周长为a+b+c=3．17．（12分）某校高三共有男生400名，从所有高三男生中随机抽取20名男生测量身高（单位：cm）作为样本，得到频率分布表与频率分布直方图1（部分）如表：分组频数频率[150，160）1[160，170）n1f1[170，180）n2f2[180，190）5[190，200]3（Ⅰ）求n1、n2、f1、f2；（Ⅱ）试估计身高不低于180cm的该校高三男生人数，并说明理由；（Ⅲ）从样本中不低于180cm的男生身高，绘制成茎叶图（图2）；现从身高不低于185cm的男生中任取3名参加选拔性测试，求至少有两位身高不低于190cm的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在【180，190）之间的频率为0.35，∴f2=0.35，∴n2=20×0.35=7（人），n1=20﹣1﹣7﹣5﹣3=4（人），∴f1=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[190，200）的频率为=0.15，身高不低于180cm的频率为0.25+0.15=0.4，故可估计该校高三男生身高不低于180cm的人数为：400×0.4=160（人），故身高不低于180cm的男生有160人．（Ⅲ）由题意身高在[185，190）之间的男生有3人，身高在[190，200）的男生有3人，从身高不低于185cm的男生中任取3名参加选拔性测试，基本事件总数n==20，至少有两位身高不低于190cm的包含的基本事件个数m=．∴至少有两位身高不低于190cm的概率p=．18．（12分）如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥O﹣PBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，∵O为正三角形ABC的外接圆圆心，∴O是三角形ABC的中心，连接AO并延长，交BC于E，则AO=2OE，连接PE，又AD=2DP，∴OD∥PE，∵PE⊂平面PBC，OD⊄平面PBC，∴OD∥平面PBC；（Ⅱ）解：∵正三角形ABC的外接圆半径为2，即OA=2，∴AE=3，则BE=，∴，．∵OD⊥平面ABC，PE∥OD，∴PE⊥平面ABC，又PB=PC=2，BE=，∴PE=1．=V P﹣OBC=．则V O﹣PBC19．（12分）已知数列{a n}满足首项a1=2，a n=2a n﹣1+2n（n≥2）．（Ⅰ）证明：{}为等差数列并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=log，记数列{}的前n项和为T n，设角B恒成立，求角B的取值范是△ABC的内角，若sinBcosB＞T n，对于任意n∈N+围．【解答】解：（Ⅰ）∵a n=2a n﹣1+2n，两边同时除以2n，可得=+1∴﹣=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴a n=n•2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=n•2n，则b n=log=2n，∴==（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+﹣+…﹣）=（1﹣）＜．又∵sinBcosB=sin2B＞T n，对于任意n∈N恒成立，+∴sin2B≥，即sin2B≥．又B∈（0，π），即2B∈（0，2π），∴≤2B≤，∴B∈[，]．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知A、B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，过原点O做斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于C、D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，解得a2=4，b2=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）由题意可设CD：y=kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y=kx代入，得x2=，则x1=，x2=﹣．由A（2，0），B（0，1）得|AB|=，且AB：x+2y﹣2=0，d1=，d2=﹣，S=|AB|（d1+d2）=[（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）]=（1+2k）（x1﹣x2）=，S2=4（1+），∵1+4k2≥4k，当且仅当4k2=1时取等号，∴当k=时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣x，g（x）=lnx．（Ⅰ）求函数y=xg（x）的单调区间；（Ⅱ）若t∈[，1]，求y=f[xg（x）+t]在x∈[1，e]上的最小值（结果用t表示）；（Ⅲ）关于x的不等式g（x）﹣f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）y=xg（x）=xlnx，y′=lnx+1，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：0＜x＜，故函数y=xg（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）函数y=f[xg（x）+t]=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，x∈[1，e]，令u=xlnx，由（Ⅰ）得：u=xlnx在[1，e]上单调递增，所以0≤u≤e，y=h（u）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t，h（u）的图象的对称轴u=﹣t+，若t∈[，1]，则﹣≤﹣t+≤0，h（u）在[0，e]上递增，h（u）min=h（0）=t2﹣t，即y=f[xg（x）+t]在x∈[1，e]上的最小值是t2﹣t；（Ⅲ）由g（x）﹣f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，化为：a＞=m（x），只需a＞m（x）max，x＞0．m′（x ）=，令m′（x ）＞0，解得0＜x ＜e ，此时函数m （x ）单调递增； 令m′（x ）＜0，解得e ＜x ，此时函数m （x ）单调递减． ∴当x=e 时，函数m （x ）取得极大值即最大值，m （e ）=， ∴a ＞．∴整数a 的最小值为1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域Rx yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。