高考数学二轮名师精编精析(19)：圆锥曲线最值和范围问题

专题 圆锥曲线综合应用（2）- 最值、范围、证明问题一、 高考题型特点：最值、范围、证明问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。

二、重难点：1.求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．2.圆锥曲线中的范围问题： (1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适 的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．3.圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 三、易错注意点：本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。

四、典型例题：例1.（2019全国卷III ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()(22121||312S AB d d t t =+=++设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =因此，四边形ADBE 的面积为3或42例2.（2019全国卷II ）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212x k =+．记212u k=+，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ k =+221||uk k PG +=， 所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 例3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为21()24P ． 例4．(2016年全国卷II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(,0)t k A t >>，则直线AM 的方程为(y k x t =+，联立(2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x tk x t k t +++-=解得x t =23t tk tx -=所以2223611t tk t t AM k t k -=+=+由题意MA NA ⊥，所以AN 的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233k tk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 五、强化提升训练：1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．【解析】(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋mx 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．【解析】(1)由题意知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1. ①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，则(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，所以(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，化简得m 2＋k 2＝54. ② 由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋941＋k2， 又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，解得0≤d ＜2147. 所以原点O 到直线l 的距离的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.3.若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 取最大值时，求直线l 的方程．【解析】(1)因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以圆C 半径为2，圆心C 是原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设C (p ，q )，由⎩⎪⎨⎪⎧q p ＝1，p 2＋q2－2＝0得p ＝q ＝2，所以C (2,2)．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m2，所以b ＝222－d 2＝41＋m2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋5y 2＝5得(5＋m 2)y 2＋4my －1＝0，设直线l 与椭圆E 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m 5＋m 2，y 1·y 2＝－15＋m2， a ＝|AB |＝1＋m2y 1＋y 22－4y 1y 2＝25m 2＋1m 2＋5，ab ＝85m 2＋1m 2＋5＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤25，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．所以当m ＝±3时，ab 取最大值．此时直线l 的方程为x ±3y －2＝0.4．(2019·梅州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，其离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，过点F 2的直线l 2与椭圆C 交于P ，Q 两点，且l 1∥l 2，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形．【解析】(1)由已知，得c a ＝12，b ＝3，又c 2＝a 2－b 2，故解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)，知F 1(－1，0)，如图， 易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12＝0x ＝my －1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.此时|MN |＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2].同理，令直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 此时y 3＋y 4＝－6m 3m 2＋4，y 3y 4＝－93m 2＋4，此时|PQ |＝1＋m2[y 3＋y 42－4y 3y 4]，故|MN |＝|PQ |.所以四边形MNPQ 是平行四边形．若平行四边形MNPQ 是菱形，则OM ⊥ON ，即OM →·ON →＝0，于是有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1， 所以有(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝0， 整理得到－12m 2－53m 2＋4＝0， 即12m 2＋5＝0，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形．5.已知动圆C 过定点F 2(1,0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，(1)中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．【解析】(1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝23＞|F 1F 2|，由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4.因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－1k x －1，x 23＋y 22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3＝43k 2＋12k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋443k 2＋12k 2＋3＝83k 2＋12k 22k 2＋3.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则S ＝83t 2t －12t ＋1＝83－1t 2－1t ＋2＝83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94. 因为t ＞1，所以0＜1t ＜1，易知－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94的范围是(0,2)，所以S ＞832＝4 3. 综上可得S ≥43，S 的最小值为4 3.6．(2019·安庆二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ，N 两点，分别记△ABM ，△ABN 的面积为S 1，S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)根据题意可得：c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得：a 2＝8，b ＝2.故椭圆C 的标准方程为：x 28＋y 24＝1. (2)由(1)知F (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，S 1＝S 2，于是|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，x 28＋y 24＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0. ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k2，于是|S 1－S 2|＝12×42×|y 1＋y 2|＝22|k (x 1＋x 2)－4k |＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×8k 21＋2k 2－4k ＝82|k |1＋2k 2＝821|k |＋2|k |≤8222＝4.当且仅当k ＝±22时等号成立，此时|S 1－S 2|的最大值为4. 综上，|S 1－S 2|的最大值为4.7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点为F ，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x ＝433相交于点B 时，求证：△FAB 为直角三角形． 【解析】(1)由题意得c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 判别式Δ＝64k 2m 2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＝0，得m 2＝4k 2＋1＞0.设A (x 1，y 1)，则x 1＝－8km 24k 2＋1＝－8km 2m 2＝－4k m ，y 1＝kx 1＋m ＝－4k 2m ＋m ＝1m ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m . 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，433k ＋m ，F (3，0)， 则FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3，1m ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，433k ＋m ， FA →·FB →＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫433k ＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FA →⊥FB →，即△FAB 为直角三角形，得证．8．(2019·朝阳区模拟)过椭圆W ：x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A (0,1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点(不与A ，B 重合)，且D 点不与点(0，－1)重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G .(1)求B 点坐标和直线l 1的方程；(2)求证：|EF 1|＝|F 1G |.【解析】(1)由题意可得直线l 1的方程为y ＝x ＋1.与椭圆方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1x 22＋y 2＝1可求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13. (2)证明：当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |. 当l 2不与x 轴垂直时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，l 2的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 22＋y 2＝1消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y －1＝y 2－1x 2x ，令x ＝－1， 得点E 的纵坐标y E ＝x 2－y 2＋1x 2. 把y 2＝k (x 2＋1)代入得y E ＝x 2＋11－k x 2. 由已知，x 1≠－43， 则直线BC 的方程为y ＋13＝y 1＋13x 1＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43， 令x ＝－1，得点G 的纵坐标y G ＝y 1－x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋43.把y 1＝k (x 1＋1)代入得y G ＝x 1＋1k －13x 1＋4. y E ＋y G ＝x 2＋11－k x 2＋x 1＋1k －13x 1＋4 ＝1－k [x 2＋13x 1＋4－x 2x 1＋1]x 2·3x 1＋4 ＝1－k [2x 1x 2＋3x 1＋x 2＋4]x 2·3x 1＋4把x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1代入到2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4中， 2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4＝2×2k 2－22k 2＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋4＝0. 即y E ＋y G ＝0， 即|EF 1|＝|F 1G |.。

§8.10 圆锥曲线中范围与最值问题题型一 范围问题例1 (2022·临沂模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，以PF 1为直径的圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －142＝4916过焦点F 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的右顶点为A ，与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M ，N 与A 点不重合)，且满足AM ⊥AN ，点Q 为MN 的中点，求直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围． 解 (1)在圆E 的方程中，令y ＝0，得x 2＝3，解得x ＝±3，所以F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．因为E ⎝⎛⎭⎫0，14， 又因为|OE |＝12|F 2P |，OE ∥F 2P ， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，12， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2×74＋12＝4， 得a ＝2，b ＝1，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)右顶点为A (2,0)，由题意可知直线AM 的斜率存在且不为0，设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，由MN 与x 轴不垂直，故k ≠±1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，又点A (2,0)，则由根与系数的关系可得2x 1＝16k 2－41＋4k 2， 得x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k (x 1－2)＝－4k 1＋4k 2， 因为AM ⊥AN ，所以直线AN 的方程为y ＝－1k(x －2)， 用－1k 替换k 可得，x 2＝8－2k 24＋k 2，y 2＝4k 4＋k 2， 所以点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫30k 2(1＋4k 2)(4＋k 2)，6k (k 2－1)(1＋4k 2)(4＋k 2)， 所以直线AQ 的斜率k 1＝6k (k 2－1)(1＋4k 2)(4＋k 2)30k 2(1＋4k 2)(4＋k 2)－2＝3k (1－k 2)2(2k 4＋k 2＋2)， 直线MN 的斜率k 2＝y 2－y 1x 2－x 1＝4k 4＋k 2＋4k 1＋4k 28－2k 24＋k 2－8k 2－21＋4k 2＝5k 4(1－k 2)， 所以k 1k 2＝15k 28(2k 4＋k 2＋2)＝158⎝⎛⎭⎫2k 2＋2k 2＋1， 因为k 2>0且k 2≠1，所以2k 2＋2k 2＋1>22k 2×2k2＋1＝5， 所以0<158⎝⎛⎭⎫2k 2＋2k 2＋1<38，即k 1k 2∈⎝⎛⎭⎫0，38. 所以直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，38. 教师备选(2022·武汉调研)过双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2.(1)若△ABF 2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ，使得AF 2⊥BF 2，求Γ的离心率的取值范围．解 (1)依题意得|AF 1|＝2，|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，a ＝1，2c ＝|F 1F 2|＝23，c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝2，此时Γ的标准方程为x 2－y 22＝1. (2)设l 的方程为x ＝my －c ，与x 2a 2－y 2b2＝1联立， 得(b 2m 2－a 2)y 2－2b 2cmy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2b 2cm b 2m 2－a 2，y 1y 2＝b 4b 2m 2－a2， 由AF 2⊥BF 2，F 2A －→·F 2B －→＝0，(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，(my 1－2c )(my 2－2c )＋y 1y 2＝0⇒(m 2＋1)b 4－4m 2c 2b 2＋4c 2(b 2m 2－a 2)＝0⇒(m 2＋1)b 4＝4a 2c 2⇒(m 2＋1)＝4a 2c 2b 4≥1 ⇒4a 2c 2≥(c 2－a 2)2，∴c 4＋a 4－6a 2c 2≤0⇒e 4－6e 2＋1≤0，又∵e >1，∴1<e 2≤3＋22，∴1<e ≤1＋2，又A ，B 在左支且l 过F 1，∴y 1y 2<0，b 4b 2m 2－a 2<0⇒m 2<a 2b 2⇒m 2＋1＝4a 2c 2b 4<a 2b 2＋1， ∴4a 2<b 2＝c 2－a 2⇒e 2>5. 综上所述，5<e ≤1＋ 2.思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1 (2022·南昌模拟)已知圆M ：x 2＋(y －1)2＝8，点N (0，－1)，P 是圆M 上一动点，若线段PN 的垂直平分线与PM 交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，D (1,0)，直线DA 与直线DB 的斜率之积为16，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)由题意可知|QN |＝|QP |，又点P 是圆上的点，则|PM |＝22，且|PM |＝|PQ |＋|QM |，则|QN |＋|QM |＝22>2，由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中a ＝2，c ＝1，b ＝1，则点Q 的轨迹方程C ：y 22＋x 2＝1.(2)由已知得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－2＝0，Δ＝8k 2－8m 2＋16>0，解得m 2<k 2＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－2k 2＋2， 所以k DA ·k DB ＝y 1x 1－1·y 2x 2－1 ＝kx 1＋m x 1－1·kx 2＋m x 2－1＝16， 化简得2(m 2－k 2)(m ＋k )2＝16. 当m ＝－k 时，直线l 的方程为y ＝kx －k 恒过(1,0)，不符合题意；当m ≠－k 时，得m ＝1311k ， 直线l 的方程为y ＝kx ＋1311k 恒过⎝⎛⎭⎫－1311，0， 由m 2<k 2＋2得169121k 2<k 2＋2， 即k ∈⎝⎛⎭⎫－11612，0∪⎝⎛⎭⎫0，11612. 题型二 最值问题例2 (2022·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A ⎝⎛⎭⎫－1，22，短轴长为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点(0,2)的直线l (直线l 不与x 轴垂直)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且O 为坐标原点．求△MON 的面积的最大值．解 (1)依题意得(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫222b 2＝1，而b ＝1， 则1a 2＋12＝1⇒1a 2＝1－12＝12⇒a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l 不与x 轴垂直，则l 的斜率k 存在，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则有Δ＝(8k )2－4·(2k 2＋1)·6＝16k 2－24>0⇒k 2>32， 即k <－62或k >62， 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1， x 1x 2＝62k 2＋1， 所以|MN |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2k 2＋12－4·62k 2＋1＝1＋k 2·8(2k 2－3)(2k 2＋1)2 ＝1＋k 2·22·2k 2－32k 2＋1， 而原点O 到直线l ：kx －y ＋2＝0的距离d ＝2k 2＋1，△MON 的面积S ＝12·|MN |·d＝12·1＋k 2·22·2k 2－32k 2＋1·2k 2＋1 ＝22·2k 2－32k 2＋1，令t ＝2k 2－3⇒2k 2＝t 2＋3(t >0)，S ＝22t t 2＋4＝22t ＋4t， 因为t ＋4t ≥2t ·4t＝4， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时k 2＝72， 即k ＝±142，符合要求， 从而有S ≤224＝22， 故当k ＝±142时， △MON 的面积的最大值为22. 教师备选(2022·厦门模拟)设椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，点A ，B ，C 分别为Γ的上、左、右顶点，且|BC |＝4.(1)求Γ的标准方程；(2)点D 为直线AB 上的动点，过点D 作l ∥AC ，设l 与Γ的交点为P ，Q ，求|PD |·|QD |的最大值．解 (1)由题意得2a ＝|BC |＝4，解得a ＝2.又因为e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝1.所求Γ的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)方法一 由(1)可得A (0,1)，B (－2,0)，C (2,0)，则k AC ＝－12， 直线AB 的方程为x －2y ＋2＝0，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋λ. 联立⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋λ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得，x 2－2λx ＋2λ2－2＝0.①由Δ>0，得－2<λ<2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋λ，x －2y ＋2＝0，解得D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫λ－1，λ＋12， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2λ，x 1x 2＝2λ2－2，② 又|PD |＝52|x 1－(λ－1)|， |QD |＝52|x 2－(λ－1)|， 所以|PD |·|QD |＝54|x 1x 2－(λ－1)(x 1＋x 2)＋(λ－1)2|，③ 将②代入③，得|PD |·|QD |＝54|λ2－1| ，λ∈(－2，2)， 所以当λ＝0时，|PD |·|QD |有最大值54. 方法二 设AD →＝λAB →＝λ(－2，－1)＝(－2λ，－λ)，则D (－2λ，1－λ)，由点斜式，可得直线l 的方程为y －(1－λ)＝－12(x ＋2λ)， 即y ＝－12x －2λ＋1. 联立⎩⎨⎧ y ＝－12x －2λ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2＋(4λ－2)x ＋8λ2－8λ＝0，①由Δ＝(4λ－2)2－4×(8λ2－8λ)>0， 解得1－22<λ<1＋22， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由①得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2－4λ，x 1x 2＝8λ2－8λ，② 由题意可知|PD |＝52|x 1＋2λ|， |QD |＝52|x 2＋2λ|， 所以|PD |·|QD |＝54|x 1x 2＋2λ(x 1＋x 2)＋4λ2|，③ 将②代入③得|PD |·|QD |＝54|4λ2－4λ|＝5|λ2－λ|， 当λ＝12时，|PD |·|QD |有最大值54. 思维升华 圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2 如图所示，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，∵P A ⊥PF ，∴AP →·FP →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，可得2x 2＋9x －18＝0，得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，故x ＝32，于是y ＝532. ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，532. (2)由(1)可得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，点B (6,0)．设点M 的坐标是(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.由椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，得d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2 ＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，由f (x )＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15的图象可知，当x ＝92时，d 取最小值，且最小值为15. 课时精练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)如图，若直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点Q ，P ，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解 (1)因为e ＝c a＝2， 所以c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2.所以双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1， 即3x 2－y 2＝3a 2.因为点M (5，3)在双曲线上，所以15－3＝3a 2，所以a 2＝4.所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1. (2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OQ 的方程为y ＝－1kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24－y 212＝1，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，所以|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2. 同理可得|OQ |2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k 23－1k 2＝12(k 2＋1)3k 2－1， 所以1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 设|OP |2＋|OQ |2＝t ，则t ·⎝⎛⎭⎫1|OP |2＋1|OQ |2＝2＋⎝⎛⎭⎫|OQ ||OP |2＋⎝⎛⎭⎫|OP ||OQ |2 ≥2＋2＝4，所以t ≥416＝24， 即|OP |2＋|OQ |2≥24(当且仅当|OP |＝|OQ |＝23时取等号)．所以当|OP |＝|OQ |＝23时，|OP |2＋|OQ |2取得最小值24.2．(2022·阳泉模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，P 是椭圆C 上的一个动点，当P 是椭圆C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2，与椭圆C 的另一个交点为Q .若存在T (t,0)，使得|TP |＝|TQ |，求t 的取值范围．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，12·b ·2c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，直线PF 2的斜率为k ，由(1)设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)．当k ＝0时，t ＝0符合题意；当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－2)＝8k 2＋8>0，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2， y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2， 即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2. ∵|TP |＝|TQ |，∴直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，∴TN ⊥PQ ，即k TN ·k ＝－1.∴－k1＋2k 22k 21＋2k 2－t ·k ＝－1， ∴t ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2.∵k 2>0，∴1k 2>0 ,2＋1k 2>2， ∴0<12＋1k 2<12， 即t ∈⎣⎡⎭⎫0，12.3．(2021·北京)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点A (0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 5.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P (0，－3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y ＝－3于点M ，N ，若|PM |＋|PN |≤15，求k 的取值范围．解 (1)因为椭圆过A (0，－2)，故b ＝2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b ＝45，即a ＝5， 故椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1. (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB ：y ＝y 1＋2x 1x －2，令y ＝－3，则x M ＝－x 1y 1＋2， 同理x N ＝－x 2y 2＋2. 直线BC ：y ＝kx －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，4x 2＋5y 2＝20， 可得(4＋5k 2)x 2－30kx ＋25＝0，故Δ＝900k 2－100(4＋5k 2)>0，解得k <－1或k >1.又x 1＋x 2＝30k 4＋5k 2，x 1x 2＝254＋5k 2， 故x 1x 2>0，所以x M x N >0.又|PM |＋|PN |＝|x M ＋x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 1＋2＋x 2y 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1－1＋x 2kx 2－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2kx 1x 2－(x 1＋x 2)k 2x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪50k 4＋5k 2－30k 4＋5k 225k 24＋5k 2－30k 24＋5k 2＋1＝5|k |， 故5|k |≤15，即|k |≤3，综上，－3≤k <－1或1<k ≤3.4．(2022·德州模拟)已知抛物线E ：x 2＝－2y ，过抛物线上第四象限的点A 作抛物线的切线，与x 轴交于点M .过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D .(1)求证：直线BC 过定点；(2)若MB →·MC →≥2，求|AD |·|AO |的最小值．(1)证明 由题意知，抛物线E ：x 2＝－2y ，则y ＝－12x 2，可得y ′＝－x ， 设A (2t ，－2t 2)(t >0)，则k AM ＝－2t ，所以l AM ：y ＋2t 2＝－2t (x －2t )， 即y ＝－2tx ＋2t 2，所以M (t,0)，又k OA ＝－2t 22t ＝－t ，所以k BC ＝1t， 所以l BC ：y －0＝1t (x －t )，即y ＝1tx －1， 所以直线BC 过定点(0，－1)．(2)解 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x －1，x 2＝－2y ，整理得x 2＋2tx －2＝0， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t，x 1x 2＝－2， 则MB →·MC →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2) ＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋14x 21x 22＝1＋t 2≥2， 所以t 2≥1， 又由|AD |＝⎪⎪⎪⎪1t ·2t ＋2t 2－11＋1t 2＝2t 2＋1t 2＋1·t ，|AO |＝(2t )2＋(－2t 2)2＝2t 1＋t 2， 所以|AD |·|AO |＝2t 2＋1t 2＋1·t ·2t ·1＋t 2 ＝⎝⎛⎭⎫2t 2＋122－14， 因为2t 2≥2，所以当2t 2＝2，即t ＝1时， |AD |·|AO |的最小值是6.。

ʏ广东省佛山市顺德区容山中学 胡 萍圆锥曲线中的最值与范围问题是圆锥曲线中动态变化问题的集中体现,一般有面积㊁线段㊁系数等最值或范围问题,这些问题都有强大的几何背景,都是用代数方法研究几何问题,问题求解的关键是列出关于面积㊁线段㊁系数的函数解析式,然后利用基本不等式或函数观点进行求解㊂文章结合实例分析圆锥曲线中的最值或范围问题的常见考向及求解思路,目的是帮助大家梳理圆锥曲线中的最值或范围问题的考查思路,为备考指明方向,提高备考的针对性和有效性㊂一、面积的最值问题面积问题是圆锥曲线中最常见的问题,也是高考考查的热点问题㊂一般考查三角形或四边形的面积问题,四边形的面积问题可转化为三角形的面积问题,求三角形的面积,关键是选择三角形的底和高,并用所设未知量对其进行表示,最终列出关于面积的函数解析式,再利用基本不等式或函数性质求解面积的最值问题㊂1.三角形面积的最值例1 已知F是抛物线C :x 2=4y 与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的公共焦点,椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3㊂(1)求椭圆的方程;(2)过点M 作C 的两条切线,记切点分别为A ,B ,求әM A B 面积的最大值㊂解析:(1)由题意知抛物线C 的焦点为F (0,1),所以椭圆的半焦距c =1,因为椭圆上的点M 到点F 的最大距离为a +c =3,所以a =2,b 2=3,故椭圆的方程为y 24+x 23=1㊂(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,求导得y '=x2,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则直线M A 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即x 1x -2y 1-2y =0,同理可得,直线M B 的方程为x 2x -2y 2-2y =0㊂由于M 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0,x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以点A ,B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以直线A B 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,与抛物线方程x 2=4y 联立,消去y 整理得x 2-2x 0x +4y 0=0,所以x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0㊂由弦长公式得A B =1+x 022㊃x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022㊃4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0㊂因为点M 到直线A B 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4,所以S әM A B =12A B ㊃d =12(x 20+4)(x 20-4y 0)㊃|x 20-4y 0|x 20+4=12x 20-4y 0 32,因为x 20-4y 0=3-3y 204-4y 0=-34㊃y 0+832+253,由条件知-2ɤy 0ɤ2,所以当y 0=-2时,әM A B 的面积最大,且最大值为82㊂评注:本题的第(2)问是求三角形面积的最大值,试题难度不大㊂首先利用导数表示出直线M A 和M B 的方程,联立即得直线A B 的方程,再与抛物线方程联立,借助韦达定理的桥梁作用,用弦长公式求得三角形的底,用点到直线的距离公式求得三角形的高,实现用所设变量表示出әM A B 的面积,最后利用函数性质即可求出三角形面积的最大值㊂2.四边形面积的最值例2 已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)经过点E 1,1且离心率为22,直线l 与椭圆C 1交于A ,B 两点,且以A B 为直径1 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的圆过原点㊂(1)求椭圆C 1的方程;图1(2)如图1,若过原点的直线m 与椭圆C 1交于C ,D 两点,且O C ң=t ㊃O A ң+O Bң ,求四边形A C B D 面积的最大值㊂解析:(1)因为椭圆C 1:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)经过点E 1,1,所以1a 2+1b2=1,又椭圆的离心率为22,则a 2=2c 2,即a 2=2b 2,即12b 2+1b2=1,解得a 2=3,b 2=32,所以椭圆C 1的方程为x 23+2y 23=1㊂(2)当直线A B 的斜率不存在时,设以A B 为直径的圆的圆心为(t ,0),则(x -t )2+y 2=t 2,不妨取A (t ,t ),故t 23+2t 23=1,解得t =ʃ1,故直线A B 的方程为x =ʃ1㊂由直线C D 过A B 的中点,得A B =2,C D =23,故S 四边形A C B D =12A B ㊃C D =23㊂当直线A B 的斜率存在时,设其方程为y =k x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x 2+2y 2=3,y =k x +m ,消去y 整理得(2k 2+1)x 2+4k m x +2m 2-3=0,则Δ=4(6k 2-2m 2+3)>0㊂①所以x 1+x 2=-4k m2k 2+1;②x 1x 2=2m 2-32k 2+1㊂③因为以A B 为直径的圆过原点,所以O A ң㊃O B ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )㊃(k x 2+m )=(k 2+1)x 1x 2+k m (x 1+x 2)+m 2=0,将②③两式代入整理得(k 2+1)㊃(2m 2-3)+k m (-4k m )+m 2(2k 2+1)=0,即m 2=k 2+1㊂④将④式代入①式,得Δ=4(4k 2+1)>0恒成立,则k ɪR ,设线段A B 的中点为M ,由O C ң=t O A ң+O Bң =2t O M ң,不妨设t >0,得S 四边形A C B D =2S 四边形O A C B =4t S әO A B ㊂又因为S әO A B =12mx 1-x 2=m4k 2+12k 2+1,所以S 四边形A C B D =4t m4k 2+12k 2+1㊂由O C ң=t O A ң+O Bң ,得点C 的坐标为(t (x 1+x 2),t (y 1+y 2)),将t (x 1+x 2)=-4k m 2k 2+1t ,t (y 1+y 2)=-2m2k 2+1t ,代入椭圆方程得8m 2t 22k 2+1=3,即t =3(2k 2+1)8m2㊂则S 四边形A C B D =4t S әO A B =43(2k 2+1)8m2㊃m4k 2+12k 2+1=64k 2+12k 2+1=6㊃2-12k 2+1<23,故四边形A C B D 面积的最大值为23㊂评注:本题的第(2)问是求四边形面积的最大值问题,综合性强,运算能力要求高,有一定的灵活性㊂本题解答的关键是列出关于四边形A C B D 面积的函数解析式,并能进行化简分析,求得最值㊂在求解时还需注意分类讨论直线A B 的斜率是否存在㊂二、线段的最值或取值范围问题对于线段的最值或取值范围问题,关键是线段的表示,主要利用弦长公式,由参数表示线段长,然后利用基本不等式或函数性质求得线段的最值或取值范围㊂1.线段的取值范围例3已知直线l :y =x -1与椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >1,b >1)相交于P ,Q 两点,M (-1,0),M P ң㊃M Q ң=0㊂(1)证明椭圆过定点T (x 0,y 0),并求出x 20+y 20的值;(2)求弦长|P Q |的取值范围㊂解析:(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =x -1,x 2a 2+y2b2=1,消去y 整理得(a 2+b 2)x 2-2a 2x +a 2-a 2b 2=0㊂11知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以x 1+x 2=2a2a 2+b2,x 1x 2=a 2-a 2b 2a 2+b2,因为M P ң㊃M Q ң=0,所以(x 1+1,y 1)㊃(x 2+1,y 2)=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)+(x 1-1)(x 2-1)=2x 1x 2+2=0,所以x 1x 2=a 2-a 2b2a 2+b 2=-1,得2a 2+b 2=a 2b 2,所以1a 2+2b2=1,即椭圆过定点T 1(1,2),T 2(1,-2),T 3(-1,2),T 4(-1,-2),所以x 20+y 20=1+2=3㊂(2)由弦长公式得|P Q |=2|x 1-x 2|=2㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2㊃2a2a 2+b22+4=22㊃11+b 2a22+1㊂①由2a 2+b 2=a 2b 2,得b 2=2a 2a 2-1>0,所以b 2a 2=2a 2-1,代入①式得|P Q |=22㊃11+2a 2-12+1,因为a 2>1,所以|P Q |的取值范围是(22,4)㊂评注:本题考查直线与椭圆的位置关系,第(2)问求解的关键是由弦长公式用参数表示线段P Q ,最后借助函数性质分析求得线段的取值范围㊂2.线段之和的最值例4 已知抛物线E :y 2=2p x (p >0)的焦点为F ,点M (4,m )在抛物线E 上,且әO M F 的面积为12p 2(O 为坐标原点)㊂(1)求抛物线E 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,过A ,B 分别作垂直于l 的直线A C ,B D ,分别交抛物线于C ,D 两点,求|A C |+|B D |的最小值㊂解析:(1)由题意知m 2=8p ,12㊃p 2㊃|m |=12p 2,解得p =2,故抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)由题意知直线l 的斜率一定存在且不为0,设直线l 的方程为x =t y +1,t ʂ0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),联立x =t y +1,y2=4x ,消去x 整理得y 2-4t y -4=0,所以y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4㊂由A C ʅl ,则直线A C 的方程为y -y 1=-t (x -x 1),联立y -y 1=-t (x -x 1),y 2=4x ,消去x 整理得t y 2+4y -4t x 1-4y 1=0,所以y 1+y 3=-4t ,y 1y 3=-4t x 1-4y 1t㊂故|A C |=(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2=1+1t 2 [(y 1+y 3)2-4y 1y 3]=1+1t 2 16+16t 2x 1+16t y 1t2=1+1t 216+4t 2y 21+16t y 1t 2=2t 2+1t2㊃|t y 1+2|=2t 2+1t2(t y 1+2)㊂同理可得|B D |=2t 2+1t2(t y 2+2),所以|A C |+|B D |=2t 2+1t2[t (y 1+y 2)+4]=8t 2+1t2(t 2+1)=8(t 2+1)3t4㊂令f (x )=(x +1)3x2,x >0,则f '(x )=(x +1)2(x -2)x3,x >0㊂所以当x ɪ(0,2)时,f '(x )<0,f (x )单调递减;当x ɪ(2,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )单调递增㊂所以当x =2时,f (x )取得最小值,即当t =ʃ2时,|A C |+|B D |取最小值为123㊂评注:本题有较强的综合性,对运算求解能力要求也比较高㊂本题的求解首先利用弦长公式用参数t 表示线段A C 和B D ,最后借助导数工具求得目标函数的最值㊂(责任编辑 王福华)21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.几何特征法几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C 上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为.解析：圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C 点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.点评：解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x 为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.解析：如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤?，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.点评：例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.代数法利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.（1）求椭圆的方程；（2）如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.解析：（1）由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.（2）当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，，所以DF1=，DE=2DF1=，四边形DMEN的面积S==4.同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k （x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.所以x1-x2==，DE==?x1-x2= .设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==??=.令u=k2+，得S==4-S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.点评：与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.【练一练】［2012年嘉兴市高三教学测试（二）第9题］已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A）0 ，（B），+∞（C）0 ，∪，+∞（D），1∪1，【参考答案】解析：先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论. 当01时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得1，所以. 当>1即0。

高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。

解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。

以下从五个方面予以阐述。

一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。

练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B两点，求证：22AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C的左焦点，离心率2e =设l 为椭圆的左准线。

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。

大题考法专训（五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题A 级——中档题保分练1．(2019·武汉模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆C 上异于A ，B 的点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (8,0)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．解析：(1)设T (x ，y )(x ≠±4)，则直线TA 的斜率为k 1＝yx ＋4，直线TB 的斜率为k 2＝y x －4. 于是由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1(x ≠±4)，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题意设直线PQ 的方程为x ＝my ＋8，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋8，x 216＋y 212＝1，得(3m 2＋4)y 2＋48my ＋144＝0， Δ＝(48m )2－4×144×(3m 2＋4)＝12×48(m 2－4)＞0，即m 2＞4，y P ＋y Q ＝－48m 3m 2＋4，y P y Q ＝1443m 2＋4. 所以|PQ |＝m 2＋13m 2＋4·Δ＝24(m 2＋1)(m 2－4)3m 2＋4， 又点O 到直线PQ 的距离d ＝8m 2＋1. 所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝96m 2－43m 2＋4＝963m 2－4＋16m 2－4≤43⎝⎛⎭⎫当且仅当m 2＝283时等号成立，且满足m 2＞4. 故△OPQ 面积的最大值为4 3.2.如图所示，A ，B ，C ，D 是抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上的四点，A ，C 关于抛物线的对称轴对称且在直线BD 的异侧，直线l ：x －y －1＝0是抛物线在点C 处的切线，BD ∥l .(1)求抛物线E 的方程；(2)求证：AC 平分∠BAD .解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x －y －1＝0， 消去y 得x 2－2px ＋2p ＝0.∵l 与抛物线相切，∴Δ＝4p 2－8p ＝0，∴p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设点B (x B ，y B )，D (x D ，y D )，由(1)可得C (2,1)，A (－2,1)．∵直线l ∥BD ，∴设直线BD 的方程为y ＝x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4t ＝0， ∴x B ＋x D ＝4.又∵k AD ＋k AB ＝x 2D 4－1x D ＋2＋x 2B 4－1x B ＋2＝x D ＋x B －44＝0， ∴AC 平分∠BAD .3．已知A ，B 分别为曲线C ：x 2a 2＋y 2＝1(y ≥0，a ＞0)与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，M 为l 上位于x 轴上方的一点，连接AM 交曲线C 于点T .(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB 的三等分点，试求出点M 的坐标；(2)若a ＞1，S △MAB ＝2，当△TAB 的最大面积为43时，求椭圆的离心率的取值范围． 解：(1)当曲线C 为半圆时，得a ＝1.由点T 为AB 的三等分点，得∠BOT ＝60°或120°.当∠BOT ＝60°时，∠MAB ＝30°，又|AB |＝2，。

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

高考数学圆锥曲线中的最值与范围专题一、整理方法 提升能力圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法：方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．上述三种方法中，方法1主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见．例1 已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点为()0,1F ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN的最小值．例2 设椭圆22213x y a +=（3a >）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围．例3 已知椭圆E ：2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （0k >）的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．二、练习巩固 整合提升练习1：如图，设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -．（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．练习2：椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线l ：y x m =+（m ∈R ）与椭圆M 有两个不同的交点P 、Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S 、T ，求PQST 的最大值及取得最大值时m 的值．练习3：如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求△ABD 面积取最大值时直线1l 的方程．练习4：如图，O 为坐标原点，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b-=的左右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =． （1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P 、Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．。