凸度量空间中可交换映射的公共不动点定理

第38卷 第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l .38 N o .2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )F e b .2013文章编号:10005471(2013)02001803度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点①王 磊, 吴健荣苏州科技学院数理学院,江苏苏州215009摘要:讨论了度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点的存在性问题,并给出了映射对的公共不动点的存在唯一性的充分条件.关 键 词:度量空间;交换点;反交换映射;公共不动点中图分类号:O 177.91文献标志码:A自文献[1]引入相容映射的概念后,许多学者研究了相容映射的不动点.近年来,人们开始关注非相容映射族的公共不动点问题.非相容映射族的公共不动点问题主要是围绕交换(弱交换)性㊁R 弱交换性㊁局部交换性等条件进行讨论的.文献[2]定义了R 弱交换映射,文献[3-6]运用这一概念给出了一系列的公共不动点定理.文献[7]引入了局部交换相切映射,证明了度量空间中的一对局部交换相切映射的公共不动点定理.文献[8]引入了反交换映射,证明了度量空间中反交换映射的公共不动点定理.文献[9]在文献[8]的基础上讨论了度量空间中反交换映射的公共不动点的存在唯一性问题.本文将讨论具有交换点的自映射的公共不动点的存在唯一性问题.定义1[8] 称度量空间(X ,d )中两个自映射f 和g 是反交换的,若存在x ɪX ,使得f g x =g f x ⇒f x =gx 定义2[8]称t ɪX 为度量空间(X ,d )中两个自映射f 和g 的交换点,如果f g x =g fx .定理1 设(X ,d )为度量空间,f ,g :ңX X 是具有交换点的自映射.若对任意非负常数α>1,以及任意的x ,y ɪX ,有d (g x ,g y )ȡαm a x {d (f x ,f y ),d (f x ,g y ),d (f y ,g y )}(1)则f ,g 有唯一的公共不动点.证 设u 是f 和g 的交换点,即f g u =g f u .现假设f u ʂg u ,则d (f u ,g u )>0.令x =y =u ,则有d (g u ,g u )ȡαm a x {d (f u ,f u ),d (f u ,g u ),d (f u ,g u )}=αd (f u ,gu )(2)由(2)式及α>1可知d (f u ,g u )=0,与d (f u ,g u )>0相矛盾,于是f u =g u ,则f g u =g f u =f f u =g gu .下面证明g u 是g 的不动点.由(1)式可知d (g u ,g g u )ȡαm a x {d (f u ,f g u ),d (f u ,g g u ),d (f g u ,g g u )}=αd (g u ,g gu )(3)由(3)式及α>1可知d (g u ,g g u )=0,即g u =g g u .又因为f g u =g g u =g u ,故g u 也是f 的不动点,从而g u 是f 和g 的公共不动点.再证唯一性.若f 和g 有另一公共不动点v ,则由(1)式知d (g u ,v )=d (g u ,g v )ȡαm a x {d (f u ,f v ),d (f u ,g v ),d (f v ,gv )}=①收稿日期:20110609作者简介:王 磊(1987),男,安徽砀山人,硕士研究生,主要从事非线性分析的研究.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.αm a x {d (g u ,g v ),d (g u ,g v ),d (g v ,g u )}=αd (g u ,gv )(4)由(4)式及α>1可知d (gu ,v )=0,即g u =v ,所以f 和g 有唯一的公共不动点.定理2 设(X ,d )为度量空间,f ,g :ңX X 是具有交换点的自映射.若对任意非负常数α,β,γ,以及任意的x ,y ɪX ,有d (g x ,g y )ȡαd (f x ,f y )+βd (f x ,g y )+γd (f y ,gx )(5)则f 和g 有唯一的公共不动点,其中β>0,且α+β+γ>1.证 设u 是f ,g 的交换点,即f g u =g f u .现假设f u ʂg u ,则d (f u ,gu )>0.令x =y =u ,则有d (g u ,g u )ȡαd (f u ,f u )+βd (f u ,g u )+γd (f u ,gu )(6)整理(6)式可知(β+γ)d (f u ,g u )ɤ0.由条件β>0,可得出d (f u ,g u )=0,与d (f u ,g u )>0相矛盾.于是必然有f u =g u ,则f g u =g f u =f f u =g gu .下面证明g u 是g 的不动点.由(5)式可知d (g u ,g g u )ȡαd (f u ,f g u )+βd (f u ,g g u )+γd (f g u ,gu )=(α+β+γ)d (g u ,g gu )(7)由α+β+γ>1及(7)式可知d (g u ,g g u )=0,即g u =g g u .又因为f g u =g gu =g u ,故g u 也是f 的不动点,从而g u 是f 和g 的公共不动点.再证唯一性.若f ,g 有另一公共不动点v ,则由(5)式知d (g u ,v )=d (g u ,g v )ȡαd (f u ,f v )+βd (f u ,g v )+γd (f v ,gu )=αd (g u ,g v )+βd (g u ,g v )+γd (g v ,g u )=(α+β+γ)d (g u ,gv )(8)由α+β+γ>1及(8)式可知d (g u ,v )=0,即g u =v ,所以f ,g 有唯一的公共不动点.定理3 设(X ,d )为度量空间,f 1,f 2,g 1,g 2:ңX X 为自映射,(f 1,f 2)与(g 1,g 2)分别为反交换映射对,且均存在交换点.若对任意的x ,y ɪX ,有d (f 2x ,g 2y )ȡα1d (f 1x ,g 1y )+α2d (f 1x ,g 2y )+α3d (g 1y ,g 2y )+α4d (f 1x ,f 2x )+α5d (f 2x ,g 1y )(9)则f 1,f 2,g 1,g2存在唯一的公共不动点,其中非负实数组α1,α2,α3,α4,α5满足α1+α2+α5>1.证 设u ,v 分别为(f 1,f 2)与(g 1,g 2)的交换点,即f 1f 2u =f 2f 1u ,g 1g 2v =g 2g 1v .由于(f 1,f2)与(g 1,g 2)分别为反交换映射对,则f 1u =f 2u ,g1v =g 2v ,从而f 1f 2u =f 2f 1u =f 1f 1u =f 2f 2u g 1g 2v =g 2g 1v =g 1g 1v =g 2g2v 下面证明f 2u =g 2v .由(9)式知d (f 2u ,g 2v )ȡα1d (f 1u ,g 1v )+α2d (f 1u ,g 2v )+α3d (g 1v ,g 2v )+α4d (f 1u ,f 2u )+α5d (f 2u ,g1v )=(α1+α2+α5)d (f 2u ,g2v )(10)由条件α1+α2+α5>1及(10)式知d (f 2u ,g2v )=0,即f 2u =g 2v .再证f 2u 为f 2的不动点,即f 2u =f 2f2u .由(9)式知d (f 2u ,f 2f 2u )=d (f 2f 2u ,g 2v )ȡα1d (f 1f 2u ,g 1v )+α2d (f 1f 2u ,g 2v )+α3d (g 1v ,g2v )+α4d (f 1f 2u ,f 1f 2u )+α5d (f 2f 2u ,g 1v )=(α1+α2+α5)d (f 2f 2u ,g2v )(11)由条件α1+α2+α5>1及(11)式知d (f 2f 2u ,f 2u )=0,即f 2u =f 2f 2u ,所以f 2u 为f 2的不动点.再由f 1f2u =f 2f 1u =f 1f 1u =f 2f 2u 可推出f 1f2u =f 2u ,即f 2u 为f 1的不动点.同理,由(9)式知d (g 2v ,g 2g 2v )=d (f 2u ,g 2g2v )ȡα1d (f 1u ,g 1g 2v )+α2d (f 1u ,g 2g 2v )+α3d (g 1g 2v ,g 2g2v )+α4d (f 1u ,1f 2u )+α5d (f 2u ,g 1g 2v )=(α1+α2+α5)d (f 2u ,g 2g2v )(12)12第2期 王 磊,等:度量空间中具有交换点的自映射的公共不动点Copyright ©博看网. All Rights Reserved.22西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷由条件α1+α2+α5>1及(12)式知d(g2v,g2g2v)=0,即g2v=g2g2v,所以g2v为g2的不动点.再由g1g2v=g2g1v=g1g1v=g2g2v可推出g1g2v=g2v,即g2v为g1的不动点.由f2u=g2v知,f2u为f1, f2,g1和g2的公共不动点.设v为f1,f2,g1和g2的另一公共不动点,则d(f2u,v)=d(f2u,g2v)ȡα1d(f1u,g1v)+α2d(f1u,g2v)+α3d(g1v,g2v)+α4d(f1u,f2u)+α5d(f2u,g1v)=(α1+α2+α5)d(f2u,g2v)(13)由条件α1+α2+α5>1及(13)式知d(f2u,v)=0,即f2u=v.所以f1,f2,g1和g2有唯一的公共不动点.参考文献:[1]J U N G C K G.C o m p a t i b l eM a p p i n g s a n dC o mm o nF i x e dP o i n t s[J].I n t e r n e t JM a t hS c i,1986,9(4):771-779.[2] P A N T RP.C o mm o nF i x e dP o i n t s o fN o n c o mm u t i n g M a p p i n g s[J].JM a t hA n a lA p p l,1994,188(3):436-440.[3] P A N T RP.R-W e a kC o mm u t a t i v i t y C o mm o nF i x e dP o i n t s o fN o n c o m p a t i b l eM a p s[J].G a n i t a,1998,49:19-27.[4] P A N T RP.C o mm o nF i x e dP o i n tT h e o r e m s f o rC o n t r a c t i v eM a p s[J].JM a t hA n a lA p p l,1998,226(1):251-258.[5] P A N T RP.N o t eD i s c o n t i n u i t y a n dF i x e dP o i n t s[J].JM a t hA n a lA p p l,1999,240:284-289.[6] P A N TRP.N o t eC o m m o nF i x e dP o i n t s o f L i p c h i t zT y p e M a p p i n g P a i r s[J].JM a t hA n a lA p p l,1999,240(2):280-283.[7] S A S T R Y KPR.C o mm o nF i x e dP o i n t s o f T w oP a r t i a l l y C o mm u t i n g T a n g e n t i a l S e l f m a p s o n aM e t r i c S p a c e[J].JM a t hA n a lA p p l,2000,250:731-734.[8]吕中学.度量空间中反交换映射的公共不动点[J].应用泛函分析学报,2002,4(3):226-228.[9]胡新启,刘启宽.度量空间中反交换映射的公共不动点[J].数学杂志,2007,27(1):19-22.C o m m o nF i x e dP o i n tw i t hS w i t c hP o i n tM a p p i n g i n M e t r i c S p a c eWA N G L e i, WUJ i a n-r o n gC o l l e g eo fM a t ha n dP h y s i c s,S u z h o uU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,S u z h o u J i a n g s u215009,C h i n aA b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,w e i n v e s t i g a t e t h e e x i s t e n c e o f c o mm o n f i x e d p o i n tw i t hs w i t c h p o i n tm a p p i n g i n m e t r i c s p a c e,t h e nw e p r e s e n t s o m e i m p r o v e d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r o b t a i n i n g t h e e x i s t e n c e a n du n i q u e-n e s s o f c o mm o n f i x e d p o i n t.K e y w o r d s:m e t r i c s p a c e;s w i t c h p o i n t;c o n v e r s e c o mm u t i n g s e l f m a p;c o mm o n f i x e d p o i n t责任编辑廖坤Copyright©博看网. 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前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。

作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。

1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。

brouwer 不动点定理Brouwer不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它由荷兰数学家L.E.J. Brouwer于1910年提出。

该定理在拓扑学、函数分析和经济学等领域具有广泛的应用。

它的核心思想是：对于一个连续变换的闭集，至少存在一个点在变换后不发生移动，即保持不动。

为了更好地理解Brouwer不动点定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设有一个地球仪，我们将地球仪放在桌子上，然后以任意方式移动地球仪，再将它放在桌子上，这个过程可以看作是一个连续变换。

根据Brouwer不动点定理，无论我们怎样移动地球仪，至少存在一个点在移动后保持不动，这个点就是地球仪的一个不动点。

在数学上，Brouwer不动点定理可以用更严谨的方式描述。

假设有一个从一个n维球面到自身的连续函数f(x)，其中x表示球面上的点。

根据Brouwer不动点定理，存在至少一个点x0，使得f(x0) = x0，即f(x0)保持不动。

要证明Brouwer不动点定理，需要使用拓扑学中的一些基本概念和定理。

首先，我们需要了解拓扑空间和连续映射的概念。

一个拓扑空间是一个集合，其中的元素被称为点，同时还有一些子集被称为开集，这些开集满足一定的性质。

一个连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，它将一个空间中的点映射到另一个空间中的点，并保持拓扑结构不变。

在这个基础上，我们可以引入Brouwer不动点定理的证明。

我们假设不存在不动点，即对于任意的x，f(x) ≠ x。

然后，我们构造一个函数g(x)，使得g(x) = f(x) - x。

根据我们的假设，g(x) ≠ 0。

接下来，我们考虑g(x)的零点集合Z = {x | g(x) = 0}。

由于g(x)是一个连续函数，Z是一个闭集。

根据定义，球面是一个紧致空间，因此Z也是一个紧致集合。

然后，我们需要使用反证法来推导出矛盾。

假设Z是一个非空集合，那么根据Brouwer分割定理，Z的补集是连通的。

L-凸空间中的选择定理和不动点定理
唐净熔
【期刊名称】《重庆交通大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(023)005
【摘要】笔者在文中得到了L-凸空间中的一个选择定理,推广了Ding[2]的结果.修改了Lin[1,3]中的错误,同时得出L-凸空间中的不动点定理和叠合点定理.
【总页数】3页(P128-130)
【作者】唐净熔
【作者单位】重庆师范大学,初等教育学院,重庆,400700
【正文语种】中文
【中图分类】O177.92
【相关文献】
1.L-凸空间中的GLSKKM定理及其对不动点的应用 [J], 李和睿;刘高文;文开庭
2.L-凸空间中的Browder不动点定理及其对抽象经济的应用 [J], 李和睿;夏仁强;文开庭
3.T-凸空间中的连续选择定理与不动点定理 [J], 陈治友
4.L-凸空间内的连续选择定理和不动点定理及应用 [J], 丁协平
5.L-凸空间中一个新的连续选择及其不动点定理以及对抽象经济的应用（英文）[J], 文开庭
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凸集,博弈论,不动点定理1.引言1.1 概述概述：本文将探讨凸集、博弈论和不动点定理这三个重要的数学概念，并分析它们的定义、性质以及在实际应用中的作用。

通过研究这些概念，我们可以深入理解和应用它们在不同领域中的关联和相互关系。

凸集是一个几何概念，指的是在欧几里德空间中的一个集合，其中任意两点的连线上的所有点也都属于该集合。

凸集具有许多重要的性质，如可加性、局部性以及凸组合等，这些性质使得凸集在优化问题、经济学、几何学等领域中有广泛的应用。

博弈论是研究决策制定者之间相互关系与冲突的一门学科。

它涉及多个参与者之间的互动和决策，并通过分析不同的策略和结果来研究可能的决策结果。

博弈论的应用范围广泛，包括经济学、管理学、社会科学等领域，通过博弈论可以帮助我们预测和解决各种竞争和合作策略决策问题。

不动点定理是数学中的一个重要概念，指的是在某个映射函数下存在一个点，经过迭代作用后保持不变。

不动点定理在函数分析、拓扑学等领域中有广泛的应用，它可以用来证明存在性和收敛性等问题。

通过对凸集、博弈论和不动点定理的研究，我们可以进一步理解数学在实际问题中的应用和价值。

本文将详细介绍这些概念的定义、性质以及在实际问题中的应用，希望读者在阅读本文后能够对凸集、博弈论和不动点定理有更深入的理解，并进一步探索这些概念在其他领域中的应用和发展。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：第一部分为引言部分，介绍本篇文章的背景和主题。

该部分分为概述、文章结构和目的三个小节，分别对文章的整体情况、组成结构以及研究目的进行说明。

第二部分为凸集的内容，该部分分为定义和性质以及凸集的应用两个小节。

在定义和性质部分，我们会给出凸集的基本概念和相关性质的阐述，介绍凸集的形式以及其重要性。

接着，在凸集的应用部分，我们会介绍凸集在优化问题、经济学和几何学等领域的具体应用。

第三部分为博弈论的内容，该部分分为博弈论的基本概念和博弈论的应用两个小节。

凸度量空间中的不动点定理不动点问题一直是泛函分析中研究的主要方向之一,并且在代数方程、微分方程、积分方程等有着广泛的应用.本文主要针对凸度量空间,通过构造不同的条件,得出一些不动点方面的定理.第一章,介绍了凸度量空间的概念,以及凸度量空间中一些已有的不动点定理.第二章,给出了公共不动点的定义,并且得到了凸度量空间中单值映射在不同条件下的公共不动点定理,其主要内容如下：第一部分,(X,d)为具有I性质的凸度量空间,c为X的紧子集.映射T,G：C→X是可交换映射而且满足T是G非扩张的以及G2=G.如果G是连续的、仿射的,子集C是G星形的,那么T和G在C中有唯一的公共不动点.第二部分,(X,d)是具有凸结构W 的凸度量空间.K是X的一个非空闭子集,映射f,g是K上可相容的映射而且对于所有的x,y∈K,有d(fx,fy)≤ad(gx,gy)+b max{d(gx,fx),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)},其中a,b,c≥0而且a+b+2c=1,b(1-b)/(2+b)>c.如果f(K)∈g(K),g既是W仿射又是连续的,那么存在一个唯一的f和g的公共不动点z,而且f在z这一点连续.第三章,介绍了凸度量空间中的多值映射的概念,得到了多值映射在凸度量空间中的共同点定理,即：(X,d)是凸度量空间且K为X的闭子集.令T,S：K→CB(X)是一对多值映射,f,g：K→X是一对单值映射,对于任意x,y∈X满足：H(Sx,Ty)≤ad(fx,gy)+βmax{D(fx,Sx),D(gy,Ty)}+γmax{D(fx,Sx)+D(gy,Ty),D(fx,Ty)+D(gy,Sx)}其中α,β,γ≥0且满足：λ=α+2β+3γ+αγ<1.(ⅰ)(?)K∈fk∩gK；(ⅱ)Sk∩K∈gK,TK∩K∈fK；(ⅲ)fx∈(?)K推出Sx∈K,gx∈(?)K推出Tx∈K.f(K)和g(K)是完备的,那么在K中存在u和w使得：fu∈Su,gw∈Tw,fu=gw和Su=Tw.第四章,介绍了(E.A)性质,得到了具有(E.A)性质映射的公共不动点定理：(X,d)是凸度量空间,K为X的一个非空闭子集.映射f和g是K上的自映射,满足不等式.：d(fx,fy)≤ab(gx,gy)+b max {d(gx,gy),d(gy,fy)}+cmax{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)}其中a,b,c为非负实数,且满足a+b+2c=1.若g是W仿射的,fK∈gK且gK(或fK)是X的完备子集,那么(ⅰ)f和g 存在一个共同点v;(ⅱ)若f,g是弱相容的,那么fv=u是f和g的公共不动点；(ⅲ)若映射g在u点连续,那么f在u点连续.。

Brouwer不动点定理的几种证明学院名称：专业名称：学生姓名：指导教师：二○一一年五月摘要Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.关键词：Brouwer；不动点.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 本课题的研究内容 (1)第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)引理2.1.1（sperner，1982） (3)定理2.1.2 (Brouwer) (3)2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)2.2.1 基本概念与引理 (5)定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)定理2.2.2.2(KKM定理) (5)2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)2.3 Brouwer不动点定理的nor分析证明 (9)2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)参考文献 (19)致谢 (20)第一章引言1.1 研究背景Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.1.2 本课题的研究内容整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.12第二章 Brouwer 不动点定理的证明2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明Brouwer 不动点定理：若2∆表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2∆到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈∆，使得00()f p p =.首先把2∆剖分成若干小三角形区域，即221m i i δ=∆=，221,n ij i ji j mδδ≠≤≤的面积为零.把2∆的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2∆上的边上，且2∆的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2∆的这种标志的剖分称为三角剖分.1图 2.1v v 1v 59v 10v 11图 2.23引理2.1.1（sperner ，1982）在2∆的三角剖分中，正常三角形为奇数个.证：记20δ为2∆的外部区域，22212,,...,m δδδ是2∆进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2∆的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2∆上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2∆这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)f 是2∆到自己的连续映射，则存在'20p ∈∆，使''00()f p p =. 证：012,,p p p 是2∆的三个顶点，则对任意2p ∈∆，可以写成001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，201i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且012(,,)p a a a =，'''012()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈∆≥=. 如果能证出 012S S S φ≠，则存在012012(,,)a a a S S S ∈，且',0,1,2ii a a i ≤=；又22'01i i i i a a ====∑∑，故必有'''001122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证2i i S φ=≠.事实上，考虑2∆的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属于,0,1,2i S i =.2∆上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'ii a a >.于是22'00ii i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三4角形顶点i p S ∈且0i a >时，p 标志以i ，这种标志是正常标志，例如2∆的顶点(0,1,2)i p i =有1i a =，故i i p S ∈，标成i ；在2∆的01p p 边上各点的20a =，我们只能把这边上的点标以0或1；02p p 边上的点同理只能标志0或2；12p p 上的点只能标志1或2，故正常标志.由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在012,,S S S 中的三个点，两两相距可以任意小，又f 是连续的，故012,,S S S 是闭集.于是，012S S S φ≠.证毕.52.2 Brouwer 不动点定理的初等证明2.2.1 基本概念与引理定义2.2.1.1 设E 是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ⊂称为有限闭的，若它与每一有限维平面L E ⊂的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的；一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.定义2.2.1.2 设E 是一线性空间，X 是E 上的任意子集，称:2E G X →是一个KKM 映像，如果对任何有限子集{}12,,...mx x xX ⊂，有：{}121,,...()m mi i x x x G x =∞⊂引理2.2.1.3 设集合n X R ⊂非空，则距离函数()inf y Xd x x y ∈=-是Lipschitz的，即有：()()d x d y x y -≤- ,n x y R ∀∈2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点． 定理2.2.2.2(KKM 定理)设E 是一线性空间，X 是E 的子集，:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何x X ∈，()G x 是有限闭的，则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.证: 反证法.假设存在{}12,,...mx x xX ⊂使得1()m i i G x φ==.设L 是由{}12,,...mx x x 张成的有限维平面，d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...mD co x x x =，则D L ⊂.由假定每个1,2,...,()i i m L G x =在L 中闭，故(,())0i d x L G x =的充分必要条件是()i x LG x ∈.定义函数： 1()(,())mi i x d x L G x λ==∑由于1()mii G x φ==，故对于每一x D ∈，()0x λ>.由引理1知：6()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ∀∈不妨设D 包含原点，否则用11m ii D x m =-∑代替D 即可.令：11()(,())()mi i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ∀∈ 式中，1t >是待定参数.则:f D D →连续，且对任意,x y D ∈，有：1111()()(,())(,())()()mmiii i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑1111(,())(,())()()m miii i i i d y LG x x d x LG x x t y t y λλ==≤-∑∑1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1．对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d y L G x x d x LG x x t y t y λλ==-∑∑11()()mi i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2)，对任意,x y D ∈，有：1111(,())(,())()()mmiii i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑11(,())()()()()mi i i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑1((,()))()()mi i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑综合式(3)、(4)、(5)知：(,)()()h x y f y f x x y t-≤-7式中，111(,)(,())()()()m mi i i i i nh x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑.在有界闭集D D⨯上连续，因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥，则，f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道，，有一不动点x D ∈.令{}{}|(,())0,1,2,...i I i d x LG x i m -=>∈则()ii Ix G x -∈∉.另外:11()(,())()mi i i x f x d x L G x x t x λ---===∑{}1(,())|()()i i i i i Ii Id x LG x x x i I G x t x λ--∈∈=∈∞∈⊂∑导致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.证明:反证法.假设A λλσφ∈=，则它的余集为全空间，即()n CA C A R λλλσλσ∈∈==即开集CA λ.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ，即：012m A CA CA CA ⊂从而：012m CA A A A ⊃，即：012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾，从而引理2成立.定理2.2.3.2 (FKKM 定理)设X 是n R 中的非空紧凸集，:n G X R →是闭值的KKM 映射，且存在一点0x 使0()G x 有界，则集族{}()|G x x X ∈有非空交.证明 ：根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续，则至少存8在一点y X -∈使得：()inf ()x Xy G y x G y ---∈-=-引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ，连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)设:n n G D R R ⊂→是闭集D 上的压缩映像，()G D D ⊂，则对任意0x D ∈，迭代序列：1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.证明:由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.92.3 Brouwer 不动点定理的nor 分析证明2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数，在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+⋅<>就称为n 维欧式空间，其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量，诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量；向量(,...,)i n x x x =和(,...,)i n y y y =相加，结果是一个向量，定义为11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘，结果是一个向量，定义为1,...,)(n x x x ααα=向量x 和y 的内积是一个实数，定义为 1,ni ii x y x y =〈〉=∑于是，向量的长度定义为x ==向量x 和y 的之间的距离就是x y -=由于对任何α有2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα〈++〉=〈〉+〈〉+〈〉≥ 所以判别式2,,,0x y x x y y 〈〉-〈〉〈〉≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y 〈〉≤⋅10等式成立的充要条件是：相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y 〈〉︿的余弦为cos ,x y 〈〉︿,x y x y〈〉⋅＝显然，,cos x y 〈〉≤︿１｜｜；x 和y 相差正数因子时，,cos x y 〈〉≤︿１｜；相差负数因子时，,cos x y 〈〉=-︿１｜｜；此外由于222,x y x y x y -=+-〈〉２22,cos x y x y x y +-〈〉⋅︿＝２与通常的余弦定律一致，所以,cos x y 〈〉︿的定义是合理的.从而，向量x 和y 正交定义为， ,x y 〈〉︿＝０.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示，也可以平行移动到任何位置，只依赖于方向和长度.因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则.图 2.3(a) 图 2.3(b)2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈，都相应的地有一个向量()n y x R ∈，就说y 是把*I 映入n R 的一个映像（变换）.如果()y x 的诸分量1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数，就说y 是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ，使得*()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈证明，由于v 是*I 上的连续，所以对任何*I ξ∈，存在()0δξ>，使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤11处处连续可微，命 *(,())sup ||iij x I jI v c x ξδξξ∈∈∂=∂ 于是，根据微分中值定理，对任何,(,())x y I ξδξ∈有22()()|(,...,)(,...,)|i n i n iv x v y v x x v y y -≤-∑1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n iv x x x v y x x ≤-+∑1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -,,||ij i i ij i ji jc x y c x y ≤-≤-∑∑今证存在0δ>，不依赖于*I ξ∈，使得对任何,(,())x y I ξδξ∈，上述吧不等式成立.否则，对任何正整数p ，存在*p I ξ∈以及1,(,)p p p x y I pξ∈，使得()()p p ij p p ijx x v y c x y -≤-∑由于*I 是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass 定理，可设*p I ξξ→∈，从而，,p p x y ξ→.于是，当p 充分大时，,(,())p p x y I ξδξ∈，所以，()()p p ij p p ijv x v y c x y -≤-∑矛盾.这样一来，如果命 *,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i jMc c δ=∑则对任何*,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.命u ：*n I R →是一个变换，定义为*()(),u x x t v x x I =+⋅∈ 于是，当||t 充分小时，u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换，区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.证明：据引理1，设是的Lipschitz 常数.于是，当1||t c<时，变换u 是一一的.因为，若x y ≠而()()v x u y =，则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-，矛盾. 其次，由于所以的Jacobi 行列式是12,,()[]1,0,ii j ji jv J u tx i j i jδδ∂=+∂=⎧=⎨≠⎩因而可以表为的多项式：1()1()()n n J u a x t a x t =+++其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意，当0t =时，这个行列式之值为1，所以只要||t 充分小，则()J u 恒为正.于是，则反函数定理，当||t 充分小时，u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的.因此，按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则，区域的体积可以表示为**1()(())n u I vol u I du du =⎰⎰*12()I J u dx dx =⎰⎰01n n a a t a t =+++其中 **1()i i n I a a x dx dx =⎰⎰*0,1,,,1i n a ==,nc k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈= 命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =，就说v 是1n S -上的向量场.今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场，即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域图 2.4*13{|}22n I x k x =∈≤≤13命*()(),xv x x v x I x=∈ 于是，v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于()u x ==可见变换u 把半径为13()22r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=变到半径为的球面1(n S -上.引理2.3.2.3 当t 充分小时，变换u 把1()n S r -变成1(n S -证明：设11,3t t c<<，其中c 是在上的Lipschitz 常数.对于任何固定的10(n u S -∈命*()(),w x tv x x I =∈ 由于1()2tv x t x =⋅<， 所以13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外， ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=⋅-≤⋅⋅-而1t c ⋅<，可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理，有唯一的原动点00()x w x =，即00()x tv x =+，所以1x =000()u tv ξξ=+，其中100n x S ξ-=∈.这就证明了对任何10(n u S -∈，存在唯一的10n S ξ-∈，使得00()u u ξ=14图 2.52.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式(())n n n vol B r c r =其中 111312,2221322,23n nn n n cn n n c n n c n n n π----⎧⎪⎪-=⎨--⎪⎪-⎩为偶数为奇数 事实上，例如12342,,3c c c ππ===，按归纳法有10(())2[rn n n vol B r vol B dx -=⎰ 221012()2rn n n n c r x dx --=-⎰ 2102cos nn n c r d πθθ-=⎰算出上述积分，就得到所要的结果.图 2.6152.3.4 现在我们问：球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量？这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈但是，如果1n -是偶数，回答则是否定的定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.证明：假若不然，当n 是奇数时，若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ，则据引理3，变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13{|}22n I x R x =∈≤≤变成区域*(){n u I x R x =∈≤≤，所以*()u I 的体积是*(())[[n n vol u I vol B vol B =-31[()()22n n n n c =-*()n vol I =由于n 是奇数，这个体积不可能是t 的多项式，因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.证明：假若不然，命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场， 1()n x Sm Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8]，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近，所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→，即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式，图 2.716使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ ， 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ 显然，上的联讯可微向量场，此外，21(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈所以u 是1n S -上的切向量场，最后，()0u x =蕴涵()(),p x p x x x =， 所以(),()0p x v x =,()()p x v x m -=>矛盾，从而u 在1n S -上处处不为零.因此()()()u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是，如果1n -是偶数，定理1说，这是不可能的.例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说，地球表面上总有一处是完全无风的.2.3.5 现在介绍一种方法，怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +，设111{|0}{|1}{|1}n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤图 2.8n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为零的连续向量场u ，使得1n x S -∈时，()u x x =.首先，利用北极投影把n B 映成南半17球1{|0}n n n S x S x -+=∈≤，奇数对任何n x B ∈，从北极(0,0,1)N 到1(,,0)n x x x 的连线与n S 的交点ξ就是所要的对应点.容易验证，北极投影的确定义是2121()(2,,2,1),1n n x x x x x B x ξ=-∈+ 他的递变是111()(,,,0),1n n n x S ξξξξξ-+=∈-显然，这两个变换都是连续可微的.对于任何固定的n x B ∈， n k 中的直线()x tu x + ()t a <经过北极投影变成n S 上的球面曲线(())x tu x ξ+ （注意，北极投影显然对整个n k 上的点都有定义，不过n k 中不属于的点背变到北半球上罢了）.我们来证明：这条曲线在0t ≤时速度向量()u ξ是n S -在ξ处的切向量.事实上，按定义有 0()(())|t d u x tu x dt ξξ==+ 2201[(2()),,(2()),()1]1()t d x tu x x tu x x tu x dt x tu x =⎧⎫⎪⎪=⋅+++-⎨⎬++⎪⎪⎩⎭ {22121221(1)[2(),,2(),2,()][2,,2,1]2()[1]n x u x u x x u x x x x x u x x =+⋅--++ 由于()u x 连续依赖于x ，而x 连续依赖于ξ，可见()u ξ连续依赖于n S ξ-∈.此外，{}22222221(),(1)[4,()(1)2,()][4(1)]2,()[1]u x x u x x x u x x x x u x x ξξ=+⋅+--+-+ {2222221(1)2,()(1)2,()[1]0x x u x x x u x x =+-++=可见，u 是n S -上的连续切向量场.最后，还应指出μ在n S -上处处不为零，因为()0μξ=蕴涵,()0x u x =，从而有推出所有的()0i x μ=，与假设矛盾.只要当1n x S -∈时，(),()x x u x x ξ==所以()(0,,0,1)μξ=指向正北.同样，如果我们利用南极投影和向量场u 我们将得到北半球{}1|0n n n S x S x ++=∈≥上的处处不为零的连续向量场μ，但是在赤道1n S -上这个向量场指向正南.为了得到整个球面n S 上的连续向量场，我们利用向量场u -，这样18相应的向量场μ在赤道1n S -上也指向正北.与南半球上的向量场一致.这样一来，我们从所给的向量场u 构造出在整个上处处不为零的连续向量场μ.2.3.6 Brouwer 不动点定理定理3.把n 球体映入自身的任何连续映象f 至少有一个不动点，即存在n x B ∈，使()f x x =证明：假若不然，对任何n x B ∈，()f x x ≠.命1,(),1n x x u x x y x B x y-=-∈-- 其中()x f x =显然，当1n x S -∈时，()u x x =； ()u x 连续依赖于x ，因为,1x y ≠.此外，u 在n B 上处处不为零，因为()0u x =蕴涵,x x x y y x x y --=-或,,x x x x y y x x y +=+ 所以,,,,,,x x x x y x y x x x x y +=+ 即 ,,x x y x =由此再据()0u x =即得y x =于是，u 是n B 上处处不为零的连续向量场.使得1n x S -∈时，()u x x =.据F ，可以由此构造n S 上处处不为零的连续切向量场μ.据定理2，当是偶数时是不可能的.因此，我们证明了当n 是偶数时的Brouwer 定理.奇数的情形则由偶数的情形立即推出.事实上，如果2121:k k f B B --→没有不动点，那么22:k k F B B →也没有不动点，这里12121(,,)((,,),0)k k F x x f x x -=.参考文献[1] 江泽涵，拓扑学引论（第二分册）[M].1965年，上海科技出版社，126.[2] 中国科学院数学研究所，《对策论（博弈论）》[M].1965年，人民教育出版社，1960.[3] V.Guillemin，A.Pollack,Differential Topology,Prentice-Hall,Inc.1974.[4] nor. Analytic proofs of the"Hainy Ball Theorem"and the Brouwer Fixed Point Theorem[M]. 1978年，521—524.[5] 王树禾，图论（第二版）[M].2009年，科技出版社，15.[6] 熊金城，点集拓扑讲义（第三版）[M].2003年，高等教育出版社，251.[7] 燕子宗，杜乐乐，刘永明,Brouwer不动点定理的初等证明[J].长江大学学报，2008，5(1)，15-17.[8] 岳崇山，用组合发证明三维情况的Brouwer不动点定理 [J].数学学报，1962，No.7，p.33.[9] 江上欧，压缩映象原理的产生与应用，河北北方学院学报，2006，6(1)，3-6.[10] J.Dieudonne,Elements d’Analyse,I.fondements de l’Analyse moderme Ganthier-Villars,1972.19致谢回首既往，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极.在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外，与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的.老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉.在此，我特别要感谢我的论文指导老师刘永平老师.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，她都费尽心血.没有刘老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成.在此我还要感谢和我一起学习和生活的同学，与他们的交流使我受益颇多.最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心.这也将是我克服困难、不断前进的精神动力.郝斌斌2011年4月于兰州城市学院20。