第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程预习案新人教A版选修2_1

第二章 圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程.知识点一 直接法求曲线的方程已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹方程是________．解析 设点P 的坐标为(x ，y)，则A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得x 2＋y 2＝25. 答案 x 2＋y 2＝25知识点二 代入法求曲线的方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y. ∵顶点C(x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，① 整理，得y ＝3(x －2)2＋1，故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.知识点三 定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA ·k MB ＝－1，求动点M 的轨迹方程．解 如图所示，设动点M 的坐标为(x ，y)．由题意知：MA ⊥MB.所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边． 又因为原点O 是AB 的中点， 所以，|MO|=12， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上． 根据圆的方程的定义知：方程为x 2+y 2=1.又因为动点M 不能与点A ，B 重合，所以，x ≠〒1， 所以，动点M 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (x ≠〒1)．知识点四 参数法求曲线的方程已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．解 设M(x ，y)，并设l ：y －b ＝k(x －a)，由题意知k 存在，且k ≠0，则得A(a －bk，0)，B(0，b －ak)，又AM ，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得M(a －bk，b －ak)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b k ，y ＝b －ak ，消去参数k ，得xy －ay －bx ＝0.所以动点M 的轨迹方程是xy －ay －bx ＝0.知识点五 交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P(x 0，y 0)，证明：f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)＝0的曲线也经过P 点(λ∈R )，并求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋y ＝0的交点的直线方程．解 ∵P (x 0，y 0)是两曲线的交点， ∴f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0， ∴f 1(x 0，y 0)＋λf 2(x 0，y 0)＝0.即方程f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线经过P 点． ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3x －y ＝0， ①3x 2＋3y 2＋y ＝0， ② ①×3－②得9x －4y ＝0.即过两曲线的交点的直线方程为9x －4y ＝0.考点赏析1.(福建高考) 如图，已知点F （1,0），直线l:x=-1,P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·=·.求动点P 的轨迹C 的方程.解 方法一 设点P(x ，y)，则Q(-1，y)， 由PQ →·QF →＝FP →·FQ → 得：(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .方法二 由 QF →·QF →＝FP →·FQ →得：(PQ →·(PQ →＋PF →) ＝0，∴ PF →－PF →)·(PQ →＋PF →)＝0， PQ →2－PF →2－PF →2＝0，∴ |PQ →|＝|PF →|.所以点P 的轨迹C 是抛物线， 由题意，轨迹C 的方程为： y 2＝4x .2.（陕西高考）如图所示，三定点 A （2，1） ，B （0， -1），C （-2，1）；三动点D ，E ，M 满足=t ，= t ， =t ，t ∈［0，1］. (1)求动直线DE 斜率的变化范围； (2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)设D (x D ，y D )，E (x E ，y E )，M (x ，y )由=t ， =t BC ，知（x D -2，y D -1）= t （-2， -2），∴⎩⎪⎨⎪⎧ x D ＝－2t ＋2，y D ＝－2t ＋1.同理⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－2t ，y E＝2t －1. ∴k DE ＝y E －y D x E －x D ＝2t －1－(－2t ＋1)－2t －(－2t ＋2)＝1－2t .∵t ∈[0,1]，∴k DE ∈[－1,1]．（2）∵ tDE →＝tDE →， ∴(x ＋2t －2，y ＋2t －1)＝t (－2t ＋2t －2,2t －1＋2t －1) ＝t (－2,4t －2)＝(－2t,4t 2－2t )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(1－2t )，y ＝(1－2t )2. ∴y ＝x 24，即x 2＝4y .∵t ∈[0,1]，∴x ＝2(1－2t )∈[－2,2]．所求轨迹方程为x 2＝4y ，x ∈[－2,2]1．如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标不都满足方程f (x ，y )＝0C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D ．至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0 答案 D解析 对于命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的否定是“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f (x ，y )＝0.2．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 C解析 易知B 、C 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3， 所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.3．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 答案 B解析 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x－3y ＋24＝0.4．在下列图中方程表示图中曲线的是( )答案 C解析 对于A ，方程x 2+ y 2=1表示一个完整的圆．对于B ，x 2-y 2=(x+y)(x -y)=0，它表示两条相交直线．对于D ，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.5. 设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若=2，且·= 1，则P 点的轨迹方程是 ( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案 D解析 如图所示，若P (x ，y )，则A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )， ＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)， 即为点P 轨迹方程． 6．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，所以P 点的坐标为(3x 0,3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 20－13，即点M 的轨迹方程是y ＝6x 2－13. 7．点P (a ，b )是单位圆上的动点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是________________． 答案 x 2－2y －1＝0解析 设Q (x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b ，y ＝ab .因为a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1.所以x 2－2y ＝1.所以点Q 的轨迹方程是x 2－2y －1＝0.8．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y2)，C (x ，y ) 若⊥，则动点C 的轨迹方程为________．答案 y 2＝8x解析 ＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y 2)， ＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y2)．因为⊥,所以·,所以(2，－y 2)·(x ，y2)＝0，即y 2＝8x .所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )． ∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)， ∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y2－0，∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0. 方法二设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM. ∵l 1⊥l 2，∴2|PM|=|AB|.而|AB|=∴=化简，得x+2y -5=0，为所求轨迹方程. 方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ， ∴O 、A 、P 、B 四点共圆， 且该圆的圆心为M ， ∴|MP|=|MO|，∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵kOP==204-- = 2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y -2= -21(x -1)，x+2y -5=0.方法四 设点M 的坐标为(x ，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)， ∵PA ⊥PB ，即⊥，∴ ·=0. ∴（2x-2，-4）·（-2，2y-4）=0， 即-2（2x-2）-4（2y -4）=0， 化简得：x+2y-5=0.10. 设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且=2， ⊥.当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.解 设 M （a,0）,P(0,b),动点N （x,y ）,则=（x-a,y ）,=(-a,b), PF →＝(1，－b )．因为MN →＝2MP →， PF →⊥PF →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2a ，y ＝2b ，且－a －b 2＝0.上述方程组消去a ，b ，得y 2＝4x .所以动点N 的轨迹方程为y 2＝4讲练学案部分2．1.1 曲线与方程对点讲练知识点一 曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 答案 C解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题即“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如上图所示的曲线C ，考查C 与方程F(x ，y)=x 2 -1=0的关系，显然A 、B 、D 中的说法全不正确．【反思感悟】 “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标都不满足f (x ，y )＝0C ．坐标满足f (x ，y )＝0的点有些在C 上，有些不在曲线上D ．一定有不在曲线上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0 答案 D解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，就是说“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x 0，y 0)，虽然f (x 0，y 0)＝0，但(x 0，y 0)∉C ，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0.故应选D知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？解(1)如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．所以|y|=1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|=1所表示曲线的一部分．(2)由方程x+y-2=0知，当x=4时，y=-2.故点(4，-2)的坐标是方程x+y-2=0的一个解，但点(4，-2)不在线段AB上．∴x+y-2=0不是线段AB的方程．【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.解(1)错误．因为以方程|x|=2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|=2所表示的图形的一部分．(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1和l2，直线l1上的点的坐标都是方程y=x的解，但是直线l2上的点(除原点)的坐标不是方程y=x的解．故y=x不是所求的轨迹方程．知识点三证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为| y0|，与y轴的距离为|x0|，所以| x0 |·| y0|=k，即(x0，y0)是方程xy=〒k的解．(2)设点M1的坐标(x1 ，y1)是方程xy=〒k的解，则x1y1=〒k，即| x1|·| y1|=k.而| x1|、| y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy=〒k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．【反思感悟】 要证某轨迹的方程为f(x ，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0，y0)的坐标都是f(x ，y)=0的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨迹上．已知两点A (0,1)，B (1,0)，且|MA |＝2|MB |，求证：点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89. 证明 设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式， 得|MA |＝(x －0)2＋(y －1)2 |MB |＝(x －1)2＋(y －0)2 又|MA |＝2|MB |， ∴(x －0)2＋(y －1)2 ＝2(x －1)2＋(y －0)2.两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89① 所以轨迹上的每一点的坐标都是方程①的解； 设M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，即⎝⎛⎭⎫x 1－432＋⎝⎛⎭⎫y 1＋132＝89. 即3x 21＋3y 21－8x 1＋2y 1＋3＝0，|M 1A |＝(x 1－0)2＋(y 1－1)2＝x 21＋y 21－2y 1＋1＝x 21＋y 21＋3x 21＋3y 21－8x 1＋3＋1 ＝2(x 1－1)2＋(y 1－0)2＝2|M 1B |即点M 1(x 1，y 1)在符合条件的曲线上． 综上可知：点M 的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89. 课堂小结： 1.称曲线C 的方程是f(x,y)=0(或称方程f(x,y)=0的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x , y)=0的解(纯粹性);(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上(完备性).2.设曲线C 的方程是f(x , y)=0,则点P(x 0 , y 0)在曲线C 上 f(x 0 , y 0)=0.课时作业一、选择题1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1) D ．(－1,1) 答案 B解析 点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0.2．已知直线l 的方程是f (x ，y )＝0，点M (x 0，y 0)不在l 上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线 答案 C解析 方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．选C.3．已知圆C 的方程f (x ，y )＝0，点A (x 0，y 0)在圆外，点B (x ′，y ′)在圆上，则f (x ，y )－f (x 0，y 0)＋f (x ′，y ′)＝0表示的曲线是( )A ．就是圆CB ．过A 点且与圆C 相交的圆 C ．可能不是圆D ．过A 点与圆C 同心的圆 答案 D解析 由点B (x ′，y ′)在圆上知f (x ′，y ′)＝0. 由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数， 点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立． 所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点． 因此选D.4．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A ．y ＝x ，yx＝1 B ．y ＝x ，y ＝x 2C ．|y |＝|x |，y ＝xD ．|y |＝|x |，y 2＝x 2 答案 D解析 A 中y ＝x 表示一条直线，而yx＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线，故选D.5．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0，故选B.二、填空题6．求方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________． 答案 2 解析方程|x|+|y|=1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为2. ∴方程|x|+|y|=1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.7．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0 解析 可设动点坐标为(x ，y )， 则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.8．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3，则a ＝____________，b ＝________.答案 16－83 2 三、解答题9．已知直线l 1：mx －y ＝0，l 2：x ＋my －m －2＝0. 求证：对m ∈R ，l 1与l 2的交点P 在一个定圆上．证明 l 1与l 2分别过定点(0,0)及(2,1)，且l 1⊥l 2，∴l 1与l 2的交点P 必在以(0,0)，(2,1)为端点的直径的圆上，其方程为x 2＋y 2－2x －y ＝0.10．曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的范围，若有一个交点呢？无交点呢？解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋4，x 2＋(y －1)2＝4， 得(1＋k 2)x 2＋2k (3－2k )x ＋(3－2k )2－4＝0，Δ＝4k 2(3－2k )2－4(1＋k 2)[(3－2k )2－4]＝48k －20.∴Δ>0，即k >512时，直线与曲线有两个不同的交点；Δ＝0，即k ＝512时，直线与曲线有一个交点；Δ<0，即k <512时，直线与曲线没有交点．2．1.2 求曲线的方程.对点讲练知识点一 直接法求轨迹的方程设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2+2y 2=4交于A 、B 两点，P 是l 上满足· =1的点，求点P 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(x ，y )，又由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2，∴y ＝± 4－x 22，∴A 、B 两点的坐标分别为(x, 4－x 22)，(x ，－4－x 22)·PB →＝1. ∴(0, 4－x 22－y )·(0，－4－x 22－y )＝1，即y 2－4－x 22＝1，∴x 26＋y 23＝1又直线l 与椭圆交于两点， ∴－2<x <2∴点P 的轨迹方程为x 26＋y 23＝1(－2<x <2)．【反思感悟】 直接法：根据条件、直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线定义直接确定曲线类型．已知△ABC 的一边AB 的长为定值4，边BC 的中线AD 的长为定值3，求顶点C 的轨迹方程．解 方法一以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B 点坐标为(4,0)．设C 点坐标为(x ，y)． ∵D 为BC 边中点，∴D 点坐标为(24+x , 2y). 又∵|AD|=3，∴(24+x )2 + (2y )2= 9化简得(x+4)2+y2=36，即为C 点的轨迹方程(点(2,0)，(-10,0)除外)．方法二 如图，作CB ′∥OD 交x 轴于B ′ ∵D 是BC 中点，则OD 为△BCB ′的中位线 ∴B ′(-4,0)且|B ′C|=6，|AD|=3，故C 在以B ′(-4,0)为圆心，6为半径的圆上． 其方程为(x+4)2+y2=36 (y ≠0)．知识点二 代入法(相关点法)求轨迹方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0)、B (6，0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．解 设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1， 故所求的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.【反思感悟】 代入法求轨迹方程就是根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系式，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代入相关动点所在曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称相关点法．已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解(代入法)设A(a,0)、B(0，b)、M(x 、y)，一方面：∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①另一方面：M 分的比为12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b 1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .② 将②式代入①式化简为：x 216＋y 24＝1.知识点三 参数法求轨迹方程已知∠AOB ＝π3，P ，Q 分别是∠AOB 两边上的动点，若△POQ 的面积为8，试建立适当的坐标系，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解以O 为原点，∠AOB 的平分线所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．则射线OA 的方程为y =33x( x >0)射线OB 的方程为y= -33x( x >0) 设P{x 1 ,33 x 1}, Q{ x 2 , -33x 2} M(x ，y)．由题意得x= 21( x 1+x 2), 又S △POQ=21|OP|·|OQ|sin60° =21·32 x 1·32 x 2·23 = 33 x 1·x 2∴2121212,x x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪⨯=⎩ 由(x 1+x 2)2 - (x 1 -x 2)2=4x 1x 2， 消去x 1，x 2得x 2 -3y 2=83 由于x 1>0，x 2>0，故x>0，动点M 的轨迹方程为x 2-3y 2=83 (x>0)．【反思感悟】 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．过点P 1(1,5)作一直线交x 轴于点A ，过点P 2(2，7)作直线P 1A 的垂线，交y轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解 设P 2B 的直线方程为：y －7＝k (x －2)，则P 1A 的方程为：y －5＝－1k(x －1)，则有A (5k ＋1,0)、B (0，－2k ＋7)．设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得⎩⎨⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143.消去k ，并整理得12x ＋15y －74＝0.∴动点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0. 课堂小结：1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x ，y ），而不要设成（x 1，y 1）或（x ′,y ′）等.3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y 的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明.课时作业一、选择题1．已知点A (－2,0)，B (2,0)，C (0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2) 答案 B解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．所以选B. 2．与点A (－1,0)和点B (1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2 D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0) 答案 B解析 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1，k PB ＝yx －1，所以k P A ·k PB ＝y x ＋1·yx －1＝－1.整理得x 2＋y 2＝1，又k P A 、k PB 存在，所以x ≠±1.所以所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1 (x ≠±1)，所以选B.3. 设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点，定点A （0，- 1），点M 分所成的比 为2∶1，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13答案 A解析 设点M 的坐标为(x,y)，点P 的坐标为(x 0 , y 0)，因点P 在抛物线上，即y 0=2x 02 +1MA12 所以 PM =2MA ,即（x - x 0 , y - y 0）=2(-x, -1 -32y + y),所以002,22,x x x y y y -=-⎧⎨-=--⎩即003,32,x x y y =⎧⎨=+⎩因此有 ：32y += 2⨯9x 2 +1,即y=6x 2 -31. 4．自圆x 2＋y 2＝1外动点P 作该圆的两条切线，切点分别为A ，B .若∠APB ＝π2，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝2 C.x 24＋y 2＝1 D.x 22＋y 2＝1 答案 B解析 四边形P AOB 为正方形，故|OP |＝ 2.5．已知点A (2,0)及原点O ，动点P 满足(|P A |＋|PO |)·(|P A |－|PO |)＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＝14B ．x ＝12C ．x ＝34D ．x ＝32答案 C解析 设P (x ，y )，条件即|P A |2－|PO |2＝1，故[(x －2)2＋y 2]－(x 2＋y 2)＝1，化简得x ＝34.二、填空题6．方程(x ＋y －1)x －1＝0表示的曲线是________． 答案 射线x ＋y －1＝0(x ≥1)与直线x ＝1 解析 由(x ＋y －1)x －1＝0得： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或⎩⎨⎧x －1≥0，x －1＝0. 即x ＋y －1＝0(x ≥1)，或x ＝1.所以，方程表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.7. 已知两点M （-2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||·||+·= 0，则动点P(x,y)的轨迹方程为. ________．答案 y 2＝－8x解析 由题意知 ＝(4,0)， MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，所以|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，MN →·NP →＝4(x －2)，根据已知条件得4(x ＋2)2＋y 2＝4(2－x )，整理，得y 2＝－8x ， 所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a 为参数且a ≠±1)的交点的轨迹方程是______________．答案 x 2＋y 2－x ＋y ＝0解析 设两条直线的交点为(x 0，y 0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧ax 0＋y 0＋1＝0，x 0－ay 0－1＝0.求出(x 0，y 0)的方程即为轨迹的方程． 当a ＝0时，交点为(1，－1)． 当a ≠0时，由ax 0＋y 0＋1＝0，∴a ＝－y 0＋1x 0，代入x 0－ay 0－1＝0，得x 20＋y 20－x 0＋y 0＝0，即交点的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.同时，点(1，－1)也适合方程x 2＋y 2－x ＋y ＝0， 综上可知所求方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0. 三、解答题9．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解 方法一 直接法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .设OC 中点为M (12，0)，则|MP |＝12|OC |＝12，由两点间距离公式得方程(x －12)2＋y 2＝12，考虑轨迹的范围知0<x ≤1.所以弦的中点轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝14(0<x ≤1)．方法二 定义法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，则CP ⊥OQ ，即∠OPC=90°，设OC 中点为M(21,0)，所以|PM|=21|OC|=21，所以动点P 在以M(21，0)为圆心，OC 为直径的圆上，圆的方程为(x-)2+y 2=.14因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x-21)2+y 2=14 (0<x ≤1)．方法三 代入法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，设Q(x 1，y 1)，则11,2,2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒112,2,x x y y =⎧⎨=⎩又因为点Q(x 1，y 1)在⊙C 上， 所以(x 1-1)2+y 12 =1.将112,2,x x y y =⎧⎨=⎩代入上式得：(2x-1)2+(2y)2=1，即(x - 21)2 + y 2 =41，又因为OQ 为过O 的一条弦，所以0<x1≤2，所以0<x ≤1，所以所求轨迹方程为(x - 21)2 + y 2 =41(0<x ≤1)．方法四 参数法：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P(x ，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y=kx ，代入圆的方程得(x -1)2+k 2x 2=1，即(1+k 2)x 2-2x=0.设方程(1+k 2)x 2-2x=0.的两根为x 1，x 2，所以212x x x +==21k k +，y = kx = 21kk +. 消去参数k 得：x 2 -x+y 2=0，所以，所求轨迹方程为x 2+y 2 -x=0(0<x ≤1)． 10．点A (3,0)为圆x 2＋y 2＝1外一点，P 为圆上任意一点，动点M 满足|AM ||MP |＝12，求点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)．（1）若＝12MP →，则(x －3，y )＝12(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎨⎧x －3＝12(x 0－x )y ＝12(y 0－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －6y 0＝3y 又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上∴(3x －6)2＋(3y )2＝1即(x －2)2＋y 2＝19.（2）若＝－12MP →，则(x －3，y )＝－12(x 0－x ，y 0－y )∴⎩⎨⎧x －3＝x －x2y ＝y －y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋6y 0＝－y .又∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(－x ＋6)2＋(－y )2＝1，即(x －6)2＋y 2＝1. ∴M 点的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝19或(x －6)2＋y 2＝1.。

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2.1 曲线与方程1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤1．下列结论正确的个数为 ( )(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1，0)，C(－1，0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.A．1 B．2C．3 D．4A [(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x 轴距离为3的直线方程还有一个y ＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD 是一条线段，而不是直线，∴中线AD 的方程为x ＝0(－3≤y ≤0)，∴结论错误．]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上B [将点M 的坐标代入直线l 和曲线C 的方程知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．] 3．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [方程可化为x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0.因此方程的曲线是两条直线．] 4．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (－1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝3，则点P 的轨迹方程为________．x －2y ＋3＝0 [由题意OP →＝(x ，y )，OA →＝(－1，2)，则OP →·OA →＝－x ＋2y .由OP →·OA →＝3，得－x ＋2y ＝3，即x －2y ＋3＝0.]题中正确的是 ( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A (2，0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； ②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； ③第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．(1)B [根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A 、C 、D 错．](2)解：①过点A (2，0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2，0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2，0)平行于y 轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．1．(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 C [根据曲线的方程的定义知，选C.] (2)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.①判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．[解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．②因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？[提示] 只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？ [提示] 根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．【例2】 在Rt △ABC 中，斜边长是定长2a (a ＞0)，求直角顶点C 的轨迹方程． 思路探究：以线段AB 的中点为原点，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC |2＋|BC |2＝|AB |2求解． 法二(定义法)：顶点C 在以AB 为直径的圆上．[解] 法一(直接法)：取AB 边所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点， 过O 与AB 垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系， 则A (－a ，0)，B (a ，0)，设动点C 为(x ，y )． 由于|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以(（x ＋a ）2＋y 2)2＋(（x －a ）2＋y 2)2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＝a 2. 由于当x ＝±a 时，点C 与A 或B 重合，故x ≠±a . 所以所求的点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )． 法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．因为AC ⊥BC ，则顶点C 的轨迹是以AB 为直径的圆(除去A ，B 两点)，因此顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x ≠±a )．1．直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M |p (M )}直接翻译成x ，y 的形式F (x ，y )＝0，然后进行等价变换，化简为f (x ，y )＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4.所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1.代入法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点； (3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．2．已知△ABC ，A (－2，0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x ，y )，而不要设成(x 1，y 1)或(x ′，y ′)等．4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f (x ，y )＝0化成x ，y 的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．1．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．－1或0D ．0或1 D [由题意知m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1，故选D.] 2．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )C [当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点D ．两个点B [由题意知|AC |＝|BC |，则顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线(除去线段AB 的中点)，故选B.]4．动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程．[解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a，k MB ＝yx －a(x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．。

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2.1 曲线与方程2。

1.1 曲线与方程2.1。

2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系。

(了解）2。

理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（重点）3。

通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.（难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；（2)以这个方程的解为坐标的点都是__________,那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线。

【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f（x，y）＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( ）A.坐标满足方程f（x，y)＝0的点都不在曲线C上B。

曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C。

坐标满足方程f（x，y）＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f（x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f（x，y）＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错,选项B显然错。

2．2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第31页[基础认识]知识点一双曲线的定义预习教材P45，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，则|(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2|＝2a，整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，令b2＝c2－a2(b>0)，则b2x2－a2y2＝a2b2，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．知识梳理双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)答案：C授课提示：对应学生用书第31页 探究一 双曲线定义的应用[教材P 54习题2.2A 组1题]双曲线4x 2－y 2＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：双曲线4x 2－y 2＋64＝0可化为y 264－x 216＝1，∴a ＝8.由定义知|PF 1|－|PF 2|＝16，|PF 2|＝±16＋|PF 1|，|PF 2|＝17或|PF 2|＝－15(舍去)． 答案：17[例1] (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[解析] (1)由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) 故选B.(2)⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. 在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10 ∴△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.故选C.[答案] (1)B (2)C方法技巧 1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．跟踪探究 1.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解析：由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 探究二 求双曲线的标准方程[阅读教材P 47例1]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1、F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．题型：待定系数法求双曲线的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②根据双曲线的定义得2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴a ＝3.又∵c ＝5，从而求出b . ③写出所求的标准方程．[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. [解析] (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.方法技巧 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪探究 2.(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 解析：(1)由题意， 知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1. 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.探究三 与双曲线有关的轨迹问题[阅读教材P 47例2]已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．题型：求动点的轨迹方程．方法步骤：①建立直角坐标系，使A ，B 在x 轴上，坐标原点为AB 的中点，设爆炸点P (x ，y )．②建立P 的几何性质，|P A |－|PB |＝680. (AB ＝800>600)故P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线一支． 从而写出所求轨迹方程．[例3] 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．方法技巧 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．[素养培优]1．忽视双曲线上的点到焦点距离的范围致误双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21易错分析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10， 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点．若|PF 2|＝11， ∴|PF 1|＝1或21，故选A ，忽视了|PF 1|的取值范围． 考查直观想象、逻辑推理的学科素养．自我纠正 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10(F 1、F 2为左、右焦点)． 又∵|PF 1|＝1或21，当P 在左支上时，|PF 1|>c －a ＝2，故|PF 1|＝1舍去；当P 在右支上时，|PF 1|>c ＋a ＝12， 故|PF 1|＝21，故选D. 答案：D2．混淆a ，b ，c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k 的值． 易错分析 由8kx 2－ky 2＝8， 得x 21k －y 28k＝1. ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝8－k ，b 2＝－1k ，又∵c 2＝a 2－b 2，故3＝－7k ，∴k ＝－73.混淆了椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正 将双曲线的方程化成kx 2－k8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线x 2m －2－y 2m －7＝1的焦距等于6，求实数m 的值．易错分析 解答本题时，容易将m －2看作a 2，将m －7看作b 2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正 因为双曲线的焦距等于6，即2c ＝6，所以c ＝3，即a 2＋b 2＝c 2＝9.(1)当双曲线焦点在x 轴上时，方程为x 2m －2－y 2m －7＝1，a 2＝m －2，b 2＝m －7，所以m －2＋m －7＝9，解得m ＝9，即实数m 的值为9.(2)当双曲线焦点在y 轴上时，方程为y 27－m －x 22－m ＝1，a 2＝7－m ，b 2＝2－m ，所以7－m＋2－m ＝9，解得m ＝0，即实数m 的值为0.综上可知，实数m 的值为0或9.。

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2.2 椭圆§2.2。

1 椭圆及其标准方程（一)【教学目标】1.知识与技能：掌握椭圆的定义;了解椭圆标准方程的推导过程，熟记椭圆标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆方程中的参数a、b、c的关系．2。

过程与方法：借助课件展示椭圆轨迹的产生，让学生经历椭圆的形成过程，师生共同推导标准方程，体会坐标法在平面解析几何中的应用，感受数学推理的严密．3.情感态度价值观：椭圆的定义及标准方程是本章的重点,也是高考经常涉及的考点；体会数与形的内在联系和完美统一,激发学生的求知欲．【预习任务】阅读教材P38—40，回答:1.（1）写出椭圆的定义．椭圆的焦点、焦距,椭圆定义中，有哪些特别注意事项；（2）若常数=｜F1F2|,则动点的轨迹是什么？；若常数<｜F1F2｜,则动点的轨迹是否存在？2.建立适当坐标系，推导椭圆的标准方程．3．根据椭圆的标准方程如何确定焦点所在的位置？4．找出右图中能表示a,b，c的所有线段．写出a,b，c 的关系式并体会它们的大小关系．B ACDF1F2【自主检测】1。

已知两点A(0，—3)、B(0，3)，由下列条件,分别写出点M的轨迹方程(1)｜MA｜+|MB｜=8 （2) |MA|+|MB｜=62.课本P42练习1,2,3【组内互检】椭圆的定义．椭圆的焦点、焦距及标准方程§2.2。

2.1 曲线与方程曲线与方程求曲线的方程学习目标： 1. 认识曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2. 理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的观点．( 要点 )3. 经过详细的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[自主预习·探新知]1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程 f ( x， y)＝0的实数解成立了以下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思虑： (1) 假如曲线与方程仅知足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么状况？举例说明．(2) 假如曲线 C 的方程是 f ( x，y)＝0，那么点P( x0， y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？[ 提示 ] (1) 会出现曲线上的点的坐标不知足方程的状况，如方程y＝1－ x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是 f ( x0， y0)＝0.2．求曲线方程的步骤[ 基础自测 ]1．思虑辨析(1) 若点P的坐标是方程 f ( x，y)＝0的解，则点 P 在方程 f ( x，y)＝0的曲线上．( )(2) 单位圆上的点的坐标是方程x2＋ y2＝1的解．( )1 1(3) 方程y＝x与方程y＝x( x>0) 是同一条曲线的方程．( )[答案] (1) √ (2)×(3) ×2．已知直线l ：＋－ 3＝0 及曲线：(x－ 3) 2＋(y－ 2) 2＝ 2，则点 (2,1)( ) x y C MA．在直线l 上，但不在曲线C上B．在直线l 上，也在曲线 C上C．不在直线l 上，也不在曲线 C上D．不在直线l 上，但在曲线C上B [ 将点M的坐标代入直线l ，曲线 C的方程知点 M在直线 l 上，也在曲线C上．]3．到两坐标轴距离之和为 4 的点的轨迹方程为 ( )M【导学号： 46342051】A．x＋y＝ 4 B．x－y＝4C． | x＋y| ＝ 4 D． | x| ＋| y| ＝ 4D [ 点M( x，y) 到两坐标轴的距离分别为| x| 和 | y| ，应选 D.][合作研究·攻重难 ]曲线与方程的观点(1) 命题“曲线C上的点的坐标都是方程 f ( x，y)＝0的解”是正确的，以下命题中正确的选项是()A．方程f ( x，y) ＝0 的曲线是 CB．方程f ( x，y) ＝0 的曲线不必定是 CC．f ( x，y) ＝ 0 是曲线C的方程D．以方程f ( x， y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上(2)剖析以下曲线上的点与相应方程的关系：①过点(2,0) 平行于y 轴的直线与方程 |x| ＝2 之间的关系；A②到两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程xy＝ 5 之间的关系；③第二、四象限角均分线上的点与方程x＋ y＝0之间的关系．[分析] (1) 依据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．[答案] (1)B(2) ①过点 (2,0) 平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程 |x| ＝2 的解，但以方程A|x | ＝ 2 的解为坐标的点不必定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上． 所以 | x |＝2 不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5 的点的坐标不必定知足方程xy ＝ 5，但以方程 xy ＝ 5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积必定等于5. 所以到两坐标轴的距离的积等于5 的点的轨迹方程不是xy ＝5.③第二、四象限角均分线上的点的坐标都知足x ＋y ＝ 0，反之，以方程x ＋ y ＝ 0 的解为坐标的点都在第二、四象限角均分线上．所以第二、四象限角均分线上的点的轨迹方程是 x ＋ y ＝0.[ 规律方法 ]1. 解决“曲线”与“方程”的判断这种问题 ( 即判断方程是不是曲线的方程或判断曲线是不是方程的曲线) ，只需一一查验定义中的两个条件能否都知足，并作出相应的回答即可．2．判断点能否在曲线上，就是判断点的坐标能否合适曲线的方程．[ 追踪训练 ]1． (1) 已知坐标知足方程f ( x ， y ) ＝0 的点都在曲线 C 上，那么 ( )【导学号： 46342052】A ．曲线 C 上的点的坐标都合适方程f ( x ， y ) ＝0B ．凡坐标不合适 f ( x ， y ) ＝ 0 的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标必不合适f ( x ， )＝0yD ．不在曲线 C 上的点的坐标有些合适f ( x ， y ) ＝ 0，有些不合适 f ( x ， y ) ＝ 0C [ 依据曲线的方程的定义知，选C ．](2) 已知方程 x 2＋ ( y － 1) 2＝ 10.①判断点 P (1 ，－ 2) ， Q ( 2， 3) 能否在此方程表示的曲线上；m②若点 M 2，－ m 在此方程表示的曲线上，务实数 m 的值．[ 解 ]①因为 12＋ ( － 2－ 1) 2 ＝10， ( 2) 2＋ (3 － 1) 2＝ 6≠ 10，所以点 (1 ，－ 2) 在方程2＋ ( y － 1) 2＝10 表示的曲线上，点(2， 3) 不在方程2P xQx＋ ( y － 1) 2＝ 10 表示的曲线上．m22②因为点 M 2，－ m 在方程 x ＋ ( y － 1) ＝ 10 表示的曲线上，m22所以 x ＝2， y ＝－ m 合适方程 x ＋ ( y －1) ＝ 10，即m 2＋ ( － m － 1) 2＝10. 218解得 m ＝2 或 m ＝－ 5 .18m5用直接法 ( 定义法 ) 求曲线方程[ 研究问题 ]1．求曲线方程为何要第一“成立合适的坐标系”？怎样建系？提示： 只有成立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线当作知足某种条件的点的会合或轨迹．成立坐标系时，应充足利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为何要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？提示： 依据条件求出的方程，只知足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．在 Rt △ ABC 中，斜边长是定长 2a ( a ＞ 0) ，求直角极点 C 的轨迹方程 .【导学号： 46342053】[ 思路研究 ] 以线段 AB 的中点为原点，以线段的垂直均分线为y 轴成立平面直AB角坐标系，法一 ( 直接法 ) ：利用 | AC | 2＋| BC | 2＝ | AB | 2 求解．法二 ( 定义法 ) ：极点 C 在以 AB 为直径的圆上．[ 解 ] 法一 ( 直接法 ) ：取 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的中点 O 为坐标原点，过O 与 AB 垂直的直线为 y 轴，成立以下图的直角坐标系，则 ( －a, 0)， ( 0) ，设动点C为 ( ， ) ．AB a,x y因为 | AC | 2＋ | BC | 2＝ | AB | 2，所以 ( (x ＋ a)2 ＋ y2) 2＋ ( (x － a)2 ＋ y2) 2＝ 4 2，整理得 x 2＋ y 2 ＝ 2.a a因为当 x ＝± a 时，点 C 与 A 或 B 重合，故 x ≠± a .所以所求的点 C 的轨迹方程为 x 2＋ y 2＝ a 2( x ≠± a ) ．法二 ( 定义法 ) ：成立平面直角坐标系同法一因为 AC ⊥ BC ，则极点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆 ( 除掉 A ， B 两点 ) ，所以极点 C 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝ a 2( x ≠± a )母题研究：1.( 变条件 ) 若本例题改为“一个动点P 到直线 x ＝ 8 的距离是它到点 (2,0)A的距离的 2 倍．求动点 P 的轨迹方程．怎样求解？”[ 解 ]设 P ( x ， y ) ，则 |8 －x | ＝ 2| PA |.则 |8 － x | ＝ 2 (x － 2)2 ＋(y － 0)2 ，化简，得 3x 2＋ 4y 2＝ 48，故动点 P 的轨迹方程为 3x 2＋ 4y 2＝ 48.2．( 变条件 ) 若本例题改为“已知圆 C ：( x － 1) 2＋ y 2＝1，过原点 O 作圆的随意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．”怎样求解？[ 解 ]如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P ( x ，y ) 为此中点，则 CP ⊥OQ ，设 M 为 OC 的1中点，则 M 的坐标为 2， 0 .∵∠ OPC ＝ 90°，1∴动点 P 在以点 M 2， 0 为圆心， OC 为直径的圆上，1 221由圆的方程得 x －2 ＋ y ＝ 4(0< x ≤ 1) ． [ 规律方法 ]1. 直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法， 依据所知足的几何条件， 将几何条件 { M | p ( M )}直接翻译成 x ，y 的形式 ( ， ) ＝ 0，而后进行等价变换，化简为f ( ， ) ＝0. 要注意轨F x yx y迹上的点不可以含有杂点，也不可以少点，也就是说曲线上的点一个也不可以多，一个也不可以少．2．定义法求曲线方程假如动点的轨迹知足某种已知曲线的定义，则可依照定义联合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要擅长抓住曲线的定义特点 .代入法求轨迹方程已知圆 C 的方程为x 2＋ y 2＝ 4，过圆 C 上的一动点 作平行于 x 轴的直线 ，Mm→ → →设 m 与 y 轴的交点为 N ，若向量 OQ ＝ OM ＋ ON ，求动点 Q 的轨迹方程．[ 解 ] 设点 的坐标为 (x ， ) ，点 的坐标为 (x 0， 0) ，则点 N 的坐标为 (0 ， 0) ．QyMyy→ → →因为 OQ ＝OM ＋ ON ，即 ( x ， y ) ＝ ( x 0， y 0) ＋ (0 ， y 0) ＝( x 0, 2y 0) ，y则 x 0＝ x ，y 0＝ 2.2y2又点 M 在圆 C 上，所以 x 02＋y 02＝ 4，即 x ＋ 4 ＝ 4.所以，动点的轨迹方程是 x2 ＋ y2 ＝ 1.Q 4 16[ 规律方法 ]代入法求轨迹方程的步骤(1) 剖析所求动点与已知动点坐标间关系；(2) 用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；(3) 代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．[ 追踪训练 ]2．已知△ ABC ， A ( － 2,0) ，B (0 ，－ 2) ，第三个极点 C 在曲线 y ＝ 3x 2－ 1 上挪动，求△ ABC 的重心的轨迹方程．[ 解 ]设△ ABC 的重心为 G ( x ， y ) ，极点 C 的坐标为 ( x 1， y 1) ，由重心坐标公式得－ 2＋ 0＋ x1x ＝ 3，0－ 2＋ y1y ＝，3x1＝3x ＋ 2， ∴y1＝3y ＋ 2.代入 y 1＝ 3x 12－ 1，得 3y ＋ 2＝ 3(3 x ＋ 2) 2－ 1.∴ y ＝ 9x 2＋12x ＋ 3 即为所求轨迹方程．1．若点 M ( m ， m ) 在曲线 [当堂达标·固双基]2x －y ＝ 0 上，则 m 的值为 ()A ． 0B ． 1C ．－1 或D ．0 或12D [ 由题意知m－ m＝0，解得 m＝0或 m＝1，应选 D.]2．在直角坐标系中，方程| x| ·y＝1 的曲线是 ()【导学号： 46342054】C[ 当x＞0 时，方程为xy＝1，∴y＞0，故在第一象限有一支图象；当 x＜0时，方程为－ xy ＝1，∴ y＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC底边两头点是A(－3，0)，B( 3，0)，极点 C的轨迹是( ) A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点B [ 由题意知 | AC| ＝| BC| ，则极点C的轨迹是线段AB的垂直均分线 ( 除掉线段AB的中点 ) ，应选 B.]4．已知两点( －2,0) ， (2,0) ，点P →→P的轨迹方程为 ________．知足 PM· PN＝ 4，则点M Nx 2y2 [ 设点P的坐标为( ，y→→，－y) ·(2－，－y) ＝＋＝ 8 ) ，由 PM·PN＝ ( － 2－P x x xx 2－ 4＋y 2＝ 4，得x 2＋ y 2＝ 8，则点P的轨迹方程为x 2＋ y 2＝ 8.]1 5．动点M与距离为2a的两个定点A，B 的连线的斜率之积等于－2，求动点 M的轨迹方程 .【导学号： 46342055】[ 解 ]如图，以直线AB为 x 轴，线段AB的垂直均分线为y 轴，成立平面直角坐标系，则 A(－a, 0)， B( a, 0)．设 M( x，y)为轨迹上随意一点，则k MA＝y，k MB＝y( x≠±a) ．x＋a x－ a1∵ k MA· k MB＝－，2y y 1∴x＋ a ·x－ a＝－2，化简得： x2＋2y2＝ a2( x≠± a)．∴点 M的轨迹方程为 x2＋2y2＝a2( x≠± a)．。