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广东省广东实验中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题：1.设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()R PQ =（ ）A. []2,0-B. (,0)-∞C. (0,)+∞D.(,2)-∞-【答案】D 【解析】分析:先化简集合P 和Q,再求R Q 和()RP Q ⋂.详解：由题得P R =,{|2}Q x x =≥-，所以R Q ={x|x ＜-2}，所以()RP Q ⋂= (),2-∞-，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题{}|lg P y y x ==，表示的是函数的值域. 集合{|Q x y ==表示的是函数的定义域. 2.复数3iz i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A. 131010i + B. 131010i - C. 931010i + D.931010i - 【答案】B 【解析】()()()3-i 13=,333-i 10i i i z i i ⋅+==++ 故复数3i z i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为131010i - 故选B.3.已知向量a ，b 满足||2a =，||4=b ，()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A. 1- B. 2-C. 2D. 1【答案】A【解析】分析：先求a 和b 的夹角，再求向量a 在b 方向上的投影.详解:因为()a ab ⊥+，所以2()424cos ,48cos ,0,a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅=+= 所以12cos ,,,.23a b a b π=-∴=所以向量a 在b 方向上的投影=1cos ,2() 1.2a ab =⋅-=-故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)a 在b 方向上的投影=cos ,cos ,.a a b b a b ≠ 4.已知变量x ，y 满足220,1,10,x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则21x y x +++的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【详解】分析：先作出不等式组对应的可行域，再化简211(1)111(1)x y x y y x x x +++++--==+++--，最后利用数形结合求21x y x +++的取值范围.详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示，211(1)111(1)x y x y y x x x +++++--==+++--,(1)(1)y x ----表示可行域内的点(x,y)和点D （-1，-1）的线段的斜率，由图可知，max min 1(1)0(1)12,0(1)1(1)2BD CD k k k k ----======----,所以21x y x +++的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值和直线的斜率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)()()x a x a y b y b +--=+--表示点(x,y)和点（-a,-b ）的斜率.5.若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【答案】A 【解析】 【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间。
2021年高三上学期10月阶段测试数学（理）含解析注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3． 函数的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8． 已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为的函数是奇函数， （1）求的值；( 2) 判断并证明函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.19．（本小题16分）已知函数．（1）若函数在R 上是增函数，求实数的取值范围； （2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学xx 届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解， ∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 8．，试题分析：由题意得：函数的值域包含， 当m ＝0时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或， 综合得：实数m 的取值范围是. 9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b<54，又0<b <a ⇒a b >1，故a b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案 ．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分 (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅． …………8分当时，y 有最大值，． …………10分此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆， 则有，所以． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1），,42222222x x x xab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅. 4分（2）因为，所以是单调递减的.证明：设,因为所以从而，所以在上是单调递减的. 10分（3）又是奇函数，又是减函数，，即 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由在R 上是增函数，则即，则范围为；…4分 （2）由题意得对任意的实数，恒成立， 即，当恒成立，即，，，故只要且在上恒成立即可， 在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可， 而当时，，为增函数，； 当时，，为增函数，，所以；（3）当时，在R 上是增函数，则关于x 的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为， 时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为；由存在，方程有三个不相等的实根，则， 即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为； 综上所述，实数的取值范围为． 20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分23177 5A89 媉l22284 570C 圌22562 5822 堢36488 8E88 躈40337 9D91 鶑"32831 803F 耿)r39891 9BD3 鯓H8。
2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）{}{}0,3A x x B x x =≥=≤()R A B =I ðA.B.C.D.()0,∞+[)0,+∞(],3-∞()3,+∞2. 已知，则（ ）21i z =-2z =A. B. C. D. 2i22i+23i+3i3. 已知，则（ ）0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===A. B. C. D. b a c >>c b a>>a c b >>a b c>>4.已知，则（）()2tan 3tan 6αβα+==tan β=A. B. C. D. 233517125. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，ABC V D BC C E AD 若，则（ ）(),ED EB EC λμλμ=+∈RA. B. C. D.1λμ+=2μλ=3μλ=13λμ-=-6. 设等比数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 573103,9a aa a ==105S S =A. 243B. 244C. 81D. 827. 在四面体中，，且四面体的各ABCD 2,AB BC AC BD AD CD======ABCD 个顶点均在球的表面上，则球的体积为（）O OD.8. 设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分:C x =)l C ,A B AB 线分别交直线于点，若，则的斜率可以为（）x =l,MN AB MN =l C. 2D. 22+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知曲线，则（ ）22:2312C x y +=A.的焦点在轴上B. 的短半轴长为C y C 2C. 的右焦点坐标为D. C )C 10. 已知正数满足，则（ ）,x y 111x y x y -+=-A.B. C. D.()lg 10y x -+>cos cos y x>20251y x->22y x ->-11. 已知定义在上且不恒为的函数对任意，有，R 0()f x ,x y ()()()2f xy f x xf y +=+且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）()f x A.的图象存在对称轴B.的图象有且仅有一个对称中心()f x ()f xC.是单调函数 D.为一次函数且表达式不唯一()f x ()f x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 样本数据的极差和第75百分位数分别为______．90,80,79,85,72,74,82,7713. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 小正周期的最小值为______．14. 已知数列中，，则______．{a n }111,n n a a na +==1111112k k k a a a =-=∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y （单位：cm ），与其根茎长度x （单位：cm ）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号i1234根茎长度ix 10121416植株高度iy 6286112132参考数据：．()()44221120,59.1iii i x x y y ==-=-=≈∑∑（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若r y x ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；0.75r >（2）求关于的线性回归方程.y x 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 计公式，相关系数的公式分别为r．()()()121,,nniii ni i x x y y x y bay bx r x x==--==-=-∑∑ 16. 已知中，角的对边分别为，且．ABC V ,,A B C ,,a b c 222cos sin2sin2ab C a B b A =+（1）求；C （2）若，求面积的最大值．2c =ABC V 17. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，．ABCDMN ABCD 41MN =（1）证明：；//AB MN （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线G CD M ABCD BG 与平面，求直线与平面所成角的正弦值．MG ABCD AN ADM 18. 已知函数．()e e ln 2a a f x x a x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）当时，求零点的个数；0a <()f x （3）当时，，求的取值范围．1x ≥()()e 1f x x ≥-a 19. 现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集M ,a b M ∈[]2,3ab ∉M 合．（1）证明：是可分比集合；{}1,4,6,7（2）设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值；,A B {}1,2,,A B n = n （3）探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使k n 12,,,k M M M得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．{}121,2,,k M M M n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ k。
2021年高三上学期10月月考数学试卷 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是 ．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ，则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____．6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ．7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210n n n n n n n C C C C =++++ ． 9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留）11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是 10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ） ．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件．(B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ． （B ）． （C ）． （D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学10月阶段性测试试题理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项最符合题目要求的，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出的解集作为集合，求解出的解集作为集合，然后再求解的结果.【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以；所以.应选：A.【点睛】此题考察集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零.2.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断的大小，再根据对数函数的单调性判断的正负，即可确定之间的大小关系.【详解】因为在上递增，所以，即；又因为在上递增，所以；又因为，，所以，应选：B.【点睛】利用指、对数函数的单调性比较数的大小时，经常会用到“中间值比较法〞：对数式经常会与作比较，指数式经常会与作比较.，那么是成立的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别考虑是否是的充分条件或者者必要条件，然后结合前面得到的结论确定是的何种条件.【详解】当时，，所以是成立的充分条件；当时，或者，所以是成立的不必要条件，所以是成立的充分不必要条件，应选：A.【点睛】充分、必要条件对应的推出情况〔常见两种〕：〔1〕假设是的充分不必要条件：；〔2〕假设是的必要不充分条件：.4.我们在求高次方程或者超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比方借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全一样的硬币，其中有一假币〔质量较轻〕，把两枚硬币放在天平的两端，假设天平平衡，那么剩余一枚为假币，假设天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币〔质量较轻〕，假设只有一台天平，那么一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为〔〕A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为组，然后将有问题的一组再分为组，再将其中有问题的一组分为，此时每组仅为枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，假设天平平衡，那么假币在第三组中；假设天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，假设天平平衡，那么假币在第三组，假设天平不平衡那么假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量假设天平平衡，那么假币是剩下的一个；假设天平不平衡，那么较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.应选：B.【点睛】此题考察类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.5.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式先将变形为，然后再利用二倍角公式结合条件计算的值即可.【详解】因为，所以，应选：D.【点睛】此题考察利用诱导公式、二倍角余弦公式求值，难度一般.常见的二倍角公式有：.有三个零点，那么〔〕A.4B.6C.8D.12【答案】C【解析】【分析】作出图象，将有三个零点转化为方程有个根的问题，根据计算出的值，根据韦达定理计算出的值，由此计算出的值.【详解】画出与的图象如以下图所示：且，由有三个零点，当时方程在区间内有两个相等的实根，所以得或者，假设时，，舍去；假设时，满足条件，所以；当时，的两根之积为，所以，所以，应选：C.【点睛】在函数与方程的综合应用中，例如的零点，即为方程的根，同时也是图象与图象交点的横坐标，注意此三者之间的转化.7.关于x的方程没有正数根，使a的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先考虑的范围，再考虑为假的情况时的范围，对此范围在实数集内取补集即为的范围.【详解】假设；假设或者，所以，假设假假，所以或者，解得：，所以当，应选：C...中，，那么该三角形一定是〔〕A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】解法一：利用余弦定理完成角化边，然后再进展边的化简即可判断结果；解法二：利用正弦定理完成边化角，进展利用两角和的正弦展开式进展化简即可判断结果.【详解】解法一：由余弦定理得，所以，所以为直角三角形.解法二：由正弦定理得，所以，所以.应选：B.【点睛】利用正弦定理进展边角互化时，要注意到“齐次〞的问题，也就是每一项对应的边或者者角的正弦的次数要一样，如：、.，那么〔〕A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】解法一：通过导数判断单调性，利用特殊值确定的范围，从而计算出的范围，通过选项对进展取值；解法二：根据三次函数的对称性，计算出对称中心，根据的特殊性计算的值；解法三：根据条件将进展化简，然后通过正负判断计算出的值.【详解】解法一：，所以为增函数，又，所以即，所以，可得解法二：，，所以的对称中心为，又，所以解法三：由得，，即因所以.应选：C.【点睛】此题考察三次函数的综合运用，难度一般.对于形如的三次函数的对称中心是.有下述四个结论：①是奇函数；②在区间单调递减；③在有3个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号是〔〕A.①③B.②④C.③④D.②③④【答案】B【解析】【分析】将写成分段函数形式，并作出在的图象，即可判断出①②③的正误，根据周期性并利用图象即可判断出④的正误.【详解】当时，，当时，，所以，画出函数的在区间上的图象如以下图所示，显然不是奇函数，所以①错误；在上单调递减，所以②正确；图象在上与轴有个交点，所以有个零点，所以③错误；时，，又因为，所以，所以，所以④正确.应选：B.【点睛】此题考察三角函数的图象与性质综合，难度一般.处理这类问题关键是使用数形结合的思想，通过图象去分析函数性质.11.，，那么〔〕A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果；解法二：将等式穿插相乘并化简，根据的单调性得到与的关系，从而得到结果；解法三：对等式两边分别化简，然后根据的单调性得到与的关系，从而得到结果.【详解】解法一：〔排除法〕当时，，可排除B，C；当时，，可排除A，可知D正确；解法二：由得又函数在上为增函数，所以.即；解法三：所以又，在上增函数所以，即.应选：D.【点睛】此题考察利用三角函数单调性对等式进展化简，难度较难.〔1〕在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵敏运用.〔2〕函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系.与的公一共点个数为〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据条件分析出的公切线，然后分析区间上的交点数，再根据对应的草图分析和时的交点个数，从而得到结果.【详解】，，所以，所以有公切线，且当时，证明如下：设，那么，所以为增函数，又，所以，所以在上单调递减，又，所以即所以当时，当时，所以当时，与只有一个公一共点画出函数，的草图如以下图，可知时，两函数图象有一个交点，当时，必有一个公一共点，所以一共有三个公一共点，应选：A.【点睛】此题考察利用导数方法分析函数图象的交点个数，难度较难.〔1〕函数图象的交点个数可认为是函数的零点个数，也可认为是方程的根的数目.〔2〕利用导数解答函数零点个数问题时，注意结合单调性和图象进展分析.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕在点〔1，0〕处的切线方程为_______．【答案】【解析】【分析】先求解时的导数值即为切线斜率，根据切点和斜率即可得到直线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为，故答案为：.【点睛】此题考察函数上某一点的切线方程的求解，难度较易.求解函数上某点处的切线方程步骤：〔1〕对函数进展求导；〔2〕求出导函数在该点处的导数值作为直线的斜率；〔3〕根据直线的点斜式方程求解出切线方程.上的奇函数在区间上单调递增，且.假设，那么在区间内的解集为________．【答案】【解析】【分析】先根据对称性和奇偶性得到周期，然后分析在上的单调性，考虑且时的取值，再根据单调性即可求解出在内的解集.【详解】因为为奇函数，所以，，即的周期为8，又因为在区间上单调递增，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.又，，所以在区间内的解集为，故答案为：.【点睛】函数对称性和周期性的认识：〔1〕假设或者，那么的一条对称轴为；〔2〕假设或者或者〔〕，那么的周期.的图象向左平移个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，当时，方程有三个实数根，且，那么___________.【答案】【解析】【分析】先根据图象变换得到解析式并画出在上的图象，考虑这条直线与有三个交点时的对称情况，根据对称性计算出的值.【详解】由得，，函数与的交点分别为，由图可知关于直线对称，关于直线对称，所以，所以故答案为：.【点睛】此题考察三角函数的图象与性质的综合运用，难度一般.通过数形结合方法，将方程根数目问题转化为函数图象交点个数问题.16.实数，满足，那么的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据等式，将点看成函数上一点，将点看成直线上一点，问题转化为：直线上一点到上点的间隔平方的最小值，利用平移切线法完成求解即可.【详解】由可知，点在函数上，由知，点在直线上，那么，所以当点处的切线与直线平行时，点到直线的间隔的平方就是的最小值.由得，，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】此题考察转化思想的应用，难度较难.求解直线上一点到曲线上某一点的最小间隔的处理方法：将直线平移至与曲线相切，过对应的切点向直线作垂线，此时垂足与切点相连所形成的线段长度即为直线上的点到曲线上点的间隔最小值.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.的内角的对边分别为，的面积.〔1〕求C；〔2〕假设，求.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用面积公式和余弦定理对等式化简，得到的值，计算出；〔2〕解法一：利用正弦定理以及的结果得到的等式，根据同角的正弦与余弦的平方和为，计算出的值.解法二：利用余弦定理，通过化简得到之间的关系，再根据正弦定理即可得到之间的关系，从而计算出.【详解】〔1〕由余弦定理以及三角形面积公式得,所以，又，所以.〔2〕由〔1〕得，,因为，由正弦定理得,所以,所以,，所以〔负根舍去〕.解二：由余弦定理得，，又两式消去得，，即,，由正弦定理得.【点睛】此题考察解三角形的综合应用，难度一般.〔1〕利用面积公式化简时，注意根据等式选择适宜的面积公式去化简；〔2〕考虑用正弦定理完成边角互化时，一定要注意等式的两边是否都是“齐次〞的情况.的函数是奇函数．〔1〕务实数的值；〔2〕假设对于任意的，不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕先根据计算出的值，然后再带回检验是否为奇函数，由此确定出的值；〔2〕将不等式变形，根据奇偶性将不等式变形为函数值之间的大小关系，再根据单调性将不等会变形为自变量之间的关系，问题转化为：给定区间上的恒成立问题求解参数范围.【详解】〔1〕因为是奇函数，所以,所以,此时，，所以是奇函数，所以满足条件.〔2〕因函数为奇函数，所以，又因函数为增函数，所以,即对任意的有，所以对任意的，所以，解之得.【点睛】〔1〕定义域满足的情况下，通过求解奇函数中的参数值，一定要将结果带回原函数中检验；〔2〕假设在区间上恒有，只需要，假设在区间上恒有，只需要..〔1〕假设函数在区间上存在零点，务实数的取值范围；〔2〕假设对任意的，总存在使得成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根据对称轴分析零点存在时对应的的范围；〔2〕根据条件分析可得：的值域应为的值域的子集，此时注意对与的关系进展分类讨论，由此得到满足条件的的取值范围.【详解】〔1〕因函数的对称轴是，所以在区间上是减函数，因函数在区间上存在零点，那么必有，即解得.故所务实数的取值范围.〔2〕假设对任意的，总存在使得成立，只需函数的值域为函数的值域的子集.在区间的值域为,①当时，为常数，不符合题意舍去；②当时，在区间的值域为，所以，解得.③当时，在区间的值域为，所以，无解.综上所述实数的取值范围.【点睛】任意、存在问题对应的函数相等和不等关系的处理方法：〔1〕，使得，那么有：在上的值域为在上的值域的子集；〔2〕，使得，那么有：；，使得，那么有：；，使得，那么有：.20.如图有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为两点在半圆弧上满足，设，现要在景区内铺设一条观光通道，由和组成.〔1〕用表示观光通道的长，并求观光通道的最大值；〔2〕现要在景区内绿化，其中在中种植鲜花，在中种植果树，在扇形内种植草坪，单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的倍，那么当为何值时总利润最大？【答案】〔1〕，；〔2〕当时，总利润取最大值.【解析】【分析】〔1〕根据直径的长度和角度计算出的长度，写出的函数解析式，注意定义域，判断取何值的时候有最大值并计算出最大值；〔2〕设出单位面积的利润，将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时的取值.【详解】〔1〕作，垂足为，在直角三角形中，，所以，同理作，垂足为，，所以，如图：所以,当时，取最大值.〔2〕设种植草坪单位面积的利润为，,那么总利润,,因为，所以当时，，所以在递增，递减，所以当时总利润取最大值，最大值为.【点睛】此题考察三角函数在实际问题中的应用，难度一般.〔1〕求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域；〔2〕求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值..〔1〕讨论的单调性；〔2〕当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值.【答案】〔1〕当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；〔2〕．【解析】【分析】〔1〕先对求导，然后对进展分类，分别讨论的单调性；〔2〕方法一：对于的取值进展分类：，考虑每种情况下对应时的取值，由此确定的最大值；方法二：对进展分类，采用参变别离并分析新函数的最小值，由此得到的最大值.【详解】〔1〕，当时，恒成立，在上单调递增,当时，令，即，那么,当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，综上所述：当时，在上单调递增.当时，在单调递减，在单调递增.〔2〕方法一：由得，当时，恒成立，由〔1〕得，当时，在上单调递增，，不合题意；当时，对于任意有，故在单调递减；对于任意有，故在单调递增，因此当时，有最小值为成立．当时，对于任意有，故在单调递减，因为恒成立，所以只需，即，综上，的最大值为．方法二：由题设知，当时，，〔1〕当时，．设，那么，故在单调递减，因此，的最小值大于，所以．〔2〕当时，成立．〔3〕当时，，因为，所以当时，成立．综上，的最大值为．【点睛】此题考察导数的综合应用，难度较难.利用导数去确定参数的范围或者者最值的方法如下：〔1〕分类讨论法：根据条件对参数范围分类讨论，注意借助参数的临界值讨论；〔2〕参变别离法：将参数从不等式中别离出来，构造新函数，分析函数最值与参数的关系从而求解出参数范围或者最值..证明：〔1〕在区间存在唯一极大值点；〔2〕有且仅有1个零点.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕先确定函数定义域，根据函数的正负先判断出的单调性，然后确定的零点分布，由此得到的单调性即可完成证明；〔2〕对区间进展分段：，分别考虑每一段区间上的零点情况，由此证明的零点仅有个.【详解】函数的定义域为,〔1〕，，当时，所以在区间上单调递减,，所以在区间内有唯一零点，当时，，当时，所以在区间存在唯一极大值点.〔2〕当时，，在区间上单调递增因，所以存在零点,当时，,当时，,所以有且仅有1个零点．【点睛】此题考察利用导数判断函数的极大值点和零点个数问题，难度较难.〔1〕判断函数的极值点个数：可通过函数的单调性也就是的取值正负来判断，假设的取值正负不易直接判断，可先通过判断的正负来确定的单调性，由此来确定的取值正负；〔2〕利用导数研究函数的零点个数：先分析给定区间的单调性，然后结合零点的存在性定理说明零点存在情况，注意有时需要对定义域进展分类.。
卜人入州八九几市潮王学校华侨2021届高三数学10月模考试题文〔含解析〕一：选择题。
()3,1a =-,()3,.b λ=假设a 与b一共线,那么实数λ=()A.1-B.1C.3-D.3【答案】A 【解析】 【分析】利用向量一共线的坐标表示得出0=,解出即可．【详解】解：//a b ,0=,解得1λ=-．应选A ．【点睛】本小题主要考察平面向量一共线的坐标表示，纯熟掌握向量一共线定理是解题的关键，属于根底题.i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1mm i -+是纯虚数〞是“1m =〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 先求得“复数()1mm i -+是纯虚数〞时m 的值，再根据充分、必要条件的判断根据，判断出正确选项.【详解】解：复数()1m m i -+是纯虚数,那么0m =或者1m =,所以“复数()1mm i -+是纯虚数〞不是“1m =〞的充分条件；当1m =时,复数为i ,是纯虚数,“复数()1m m i -+是纯虚数〞是“1m =〞的必要条件,所以“复数()1mm i -+是纯虚数〞是“1m =〞的必要不充分条件．应选B ．【点睛】此题考察复数的根本概念,属于根底题,直接利用复数的根本概念以及充要条件判断即可．{|A x y ==,集合{}2|20B x x x =->,那么()RC A B ⋂等于〔〕 A.()0,2B.[)1,2C.()0,1D.()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合A 和B ,根据补集与交集的定义写出()R C A B ⋂即可．【详解】集合{|{|10}{|1}A x y x x x x ===-≥=≥,集合{}()20{|20}{02}|2|B x x x x x x x x ->==-<=<<,那么{|1}R C A x x =<,()(){|01}0,1R C A B x x ∴⋂=<<=．应选C ．【点睛】此题考察了集合的化简与运算问题,是根底题目．a 与向量b满足3a =,,2213a b +=,那么a 与b的夹角为〔〕 A.6πB.4πC.23π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ,由条件利用向量模的运算列式,求得cos θ的值,可得θ的值． 【详解】解：设a 与b 的夹角为θ,3a =,,2213a b +=, 2244413a a b b ∴+⋅+=⨯,即494324413cos θ⨯+⨯⨯⨯+=⨯,求得1cos 2θ=,3πθ∴=, 应选D ．【点睛】此题主要考察用向量模的运算，考察向量数量积的运算，属于根底题．2cm 的扇形的面积为28cm ,那么这个扇形的中心角的弧度数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】 【分析】直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】设这个扇形的中心角的弧度数为θ， 因为扇形的半径为2cm ，面积为28cm ， 所以21282θ⨯⨯=，解得4θ=．应选D ． 【点睛】此题考察了扇形面积计算公式，属于根底题．扇形的面积公式为：〔1〕12sl r =⨯⨯；〔2〕212s r α=⨯⨯.6.sin345︒=C.D.【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出。
2023-2024学年广东省广州市高三上册10月月考数学试题
⊥．(1)求证：BF AC
2【详解】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AE 由勾股定理得：22DE BD BE =-所以圆台的体积为(1π4π3V =⨯++故选：D
11．ABC
【分析】π()06f -=，故选项正确；ππ0262x ω⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，
故选：ABD
关键点点睛：本题为立体几何中的动点问题，难度较大
A选项，因BD与1A P异面，故利用平行关系将
B选项，因难以直观判断周长与λ关系，故从代数角度求出周长关于C选项，涉及体积的动点问题常需要观察其中是否存在线面平行关系；D选项，向量法是求线面角的强有力工具
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又因为QF FR ⊥，所以四边形因为4QF FR =，设FR m =则224PF a PF a m '=-=-，
易知平面BAF 的一个法向量为(0,0,1)m =
，
假设BC h =，则(23,0,0),(0,2,0),(0,0,A F C h 设平面CAF 的法向量为(,,)n x y z = ，所以n AF n AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ 令23z =，则,3x h y h ==，所以平面CAF π
cos ,m n
（2）由3cos a c B =，根据正弦定理，可得在ABC 中，πA B C ++=，则所以sin cos cos sin 3sin B C B C +=2。
